2.3.3點到直線的距離公式1.會用向量工具推導點到直線的距離公式.2.掌握點到直線的距離公式,能應用點到直線距離公式解決有關距離問題.3.通過點到直線的距離公式的探索和推導過程，培養學生運用等價轉化、數形結合等數學思想方法解決問題的能力學習目標在公路附近有一家鄉村飯館,現在需要鋪設一條連接飯館和公路的道路.請同學們幫助設計一下：在理論上怎樣鋪路可以使這條連接道路的長度最短?情境導學

反思：這種解法的優缺點是什么？思考：最容易想到的方法是什么？思路①.定義法,其步驟為：求l的垂線l

PQ的方程解方程組，得交點Q的坐標求|PQ|的長我們知道，向量是解決距離、角度問題的有力工具.能否用向量方法求點到直線的距離？

思考：比較上述兩種方法，第一種方法從定義出發，把問題轉化為求兩點間的距離，通過代數運算得到結果，思路自然；第二種方法利用向量投影，通過向量運算求出結果，簡化了運算，除了上述兩種方法，你還有其他推導方法嗎？1.點到直線的距離(1)定義:平面內點到直線的距離,等于過這個點作直線的垂線所得垂線段的長度.(2)圖示:點睛：

(1)運用此公式時要注意直線方程必須是一般式,若給出其他形式,應先化成一般式再用公式.(2)當點P0在直線l上時,點到直線的距離為零,公式仍然適用.新知初探1.點到直線的距離(1)定義:平面內點到直線的距離,等于過這個點作直線的垂線所得垂線段的長度.(2)圖示:點睛：

(1)運用此公式時要注意直線方程必須是一般式,若給出其他形式,應先化成一般式再用公式.(2)當點P0在直線l上時,點到直線的距離為零,公式仍然適用.新知初探2.點(1,-1)到直線x-y+1=0的距離是(

)小試牛刀答案：×答案：C題型探究歸納總結跟蹤訓練1已知直線l經過點M(-1,2),且A(2,3),B(-4,5)兩點到直線l的距離相等,求直線l的方程.解：(方法一)當過點M(-1,2)的直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=-1,恰好A(2,3),B(-4,5)兩點到直線l的距離相等,故x=-1滿足題意;當過點M(-1,2)的直線l的斜率存在時,設l的方程為y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,由A(2,3)與B(-4,5)兩點到直線l的距離相等,得跟蹤訓練即x+3y-5=0.綜上所述,直線l的方程為x=-1或x+3y-5=0.(方法二)由題意得l∥AB或l過AB的中點.當l∥AB時,設直線AB的斜率為kAB,即x+3y-5=0.當l過AB的中點(-1,4)時,直線l的方程為x=-1.綜上所述,直線l的方程為x=-1或x+3y-5=0.點睛：用待定系數法求直線方程時,首先考慮斜率不存在是否滿足題意.(方法二)由題意得l∥AB或l過AB的中點.當l∥AB時,設直線AB的斜率為kAB,即x+3y-5=0.當l過AB的中點(-1,4)時,直線l的方程為x=-1.綜上所述,直線l的方程為x=-1或x+3y-5=0.點睛：用待定系數法求直線方程時,首先考慮斜率不存在是否滿足題意.延伸探究

若將本題改為“已知直線l經過點M(-1,2),點A(2,3),B(-4,5)在l的同側且到該直線l的距離相等”,則所求l的方程為

.

解析：將本例(2)中的x=-1這一情況舍去即可,也就是要舍去兩點在直線l異側的情況.答案：x+3y-5=0易錯點——因對斜率的情況考慮不全面而致錯案例

求經過點P(-3,5),且與原點距離等于3的直線l的方程.金題典例錯解：設所求直線方程為y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.錯因分析本題出錯的根本原因在于思維不嚴密,求直線的方程時直接設為點斜式,沒有考慮斜率不存在的情況.正解：當直線的斜率存在時,設所求直線方程為y-5=k(x+3),整理,得kx-y+3k+5=0.即8x+15y-51=0.當直線的斜率不存在時,直線方程為x=-3也滿足題意.故滿足題意的直線l的方程為8x+15y-51=0或x=-3.點睛：在根據距離確定直線方程時,易忽略直線斜率不存在的情況,避免這種錯誤的方法是當用點斜式或斜截式表示直線方程時,應首先考慮斜率不存在的情況是否符合題設條件,然后再求解.1.點(1,-1)到直線y=1的距離是(

)答案：D當堂檢測2.已知點A(-3,-4),B(6,3)到直線l:ax+y+1=0的距離相等,則實數a的值等于(

)答案：C3.直線3x-4y-27=0上到點P(2,1)距離最近的點的坐標是

.

答案：(5,-3)解析：由題意知過點P作直線3x-4y-27=0的垂線,設垂足為M,則|MP|最小,解：(方法一)∵點A(1,1)與B(-3,1)到y軸的距離不相等,∴直線l的斜率存在,設為k.又直線l在y軸上的截距為2,則直線l的方程為y=kx+2,即kx-y+2=0.由點A(1,1)與B(-3,1)到直線l的距離相等,∴直線l的方程是y=2或x-y+2=0.5.已知直線l經過點P(0,2),且A(1,1),B(-3,1)兩點到直線l的距離相等,求直線l的方程.(方法二)當直線l過線段AB的中點時,A,B兩點到直線l的距離相等.∵AB的中點是(-1,1),又直線l過點P(0,2),∴直線l的方程是x-y+2=0.當直線l∥AB時,A,B兩點到直線l的距離相等.∵直線AB的斜率為0,∴直線l的斜率為0,∴直線l的方程為y=2.綜上所述,滿足條件的直線l的方程是x-y+2=0或y=2.課堂小結1.點到直線的距離即是點與直線上點連線的距離的最小值，利用點到直線的距離公式，解題時要注意把直線方程化為一般式.

2.利用點到直線的距離公式可求直線的方程，有時需結合圖形，數形結合，使問題更清晰.備用工具&資料(方法二)當直線l過線段AB的中點時,A,B兩點到直線l的距離相等.∵AB的中點是(-1,1),又直線l過點P(0,2),∴直線l的方程是x-y+2=0.當直線l∥AB時,A,B兩點到直線l的距離相等.∵直線AB的斜率為0,∴直線l的斜率為0,∴直線l的方程為y=2.綜上所述,滿足條件