專題12平行四邊形經典壓軸題型專訓（36道）【平行四邊形經典壓軸題型專訓】1．（2023春·廣東佛山·九年級校考期末）如圖，在正方形中，為對角線，為上一點，過點作，與、分別交于點，，為的中點，連接，，，，下列結論中結論正確的有（

）①；②；③；④若，則，其中結論正確的有（

）A．個 B．個 C．個 D．個2．（2022秋·福建漳州·八年級校考階段練習）如圖，在中，，，，分別以，，為邊在的同側作正方形、正方形、正方形，四塊陰影部分的面積分別為，，，，則等于（

）A．20 B．18 C．16 D．143．（2022春·湖北武漢·八年級校聯考期中）如圖，正方形中，為上一點，線段的垂直平分線交于，為垂足，交正方形的兩邊于、，連接，則下列結論：①；②；③；④，其中正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④4．（2022秋·河南鄭州·九年級校考期中）如圖，在正方形中，E、F分別是，的中點，交于點G，連接，下列結論：①；②；③；④，其中正確的結論是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④5．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶南開中學校考期末）如圖，在菱形中，對角線、交于點，以為斜邊作，與交于點，連接，使得，且，若，則菱形的周長為（

）A． B． C． D．46．（2022春·湖北武漢·八年級校考階段練習）如圖，在四邊形中，．O為中點，交于點E，于點F，交于點M，的延長線交于點G．若，則下列結論正確的（）①；②；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．（2022·內蒙古包頭·模擬預測）如圖，在正方形中，是對角線上一點，且滿足，連接并延長交于點，連接，過點作于點，延長交于點．在下列結論中：①；②；③；④平分．其中不正確的結論有（

）A．個 B．個 C．個 D．個8．（2021秋·廣東佛山·九年級校聯考階段練習）如圖，將正方形翻折，使點、分別與點、重合，折痕為，交于點，交于點，連接、．給出以下結論：①垂直平分；②；③；④的周長等于的2倍．其中正確的個數有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．（2022秋·陜西寶雞·九年級統考階段練習）如圖，在矩形中，為中點，過點且，分別交于，交于，點是中點，，則下列結論正確的是（

）①；②；③是等邊三角形；④A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④10．（2022秋·山東泰安·八年級校考階段練習）如圖，四邊形中.為的平分線，，E，F分別是的中點，則的長為（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.511．（2022·重慶·重慶八中校考模擬預測）如圖，邊長為4的正方形中，點E、F分別在邊上，連接，且有．將沿翻折，若點D的對應點恰好落在上，則的長為（

）A． B． C． D．12．（2022秋·廣東梅州·九年級校考階段練習）如圖，在一張矩形紙片中，，，點，分別在，邊上，將紙片沿直線折疊，點落在上的一點處，點落在點處，有以下四個結論：①四邊形是菱形；②平分；③線段的取值范圍為；④當點與點A重合時，．以上結論中，你認為正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．413．（2022秋·浙江溫州·八年級統考期中）如圖．已知在長方形中，，，點，分別在邊，上，連接，，．將沿翻折，將沿翻折，若翻折后，點，分別落在上的，處，連接，則四邊形的周長為_____．14．（2021春·江蘇無錫·八年級無錫市江南中學校考期中）如圖，以的斜邊為一邊，在的右側作正方形，正方形的對角線交于點O，連接，如果，，那么______．15．（2021秋·陜西咸陽·九年級咸陽市實驗中學校考階段練習）如圖，線段的長為10，點在上（不與端點重合），以為邊向上作等邊，過作與垂直的射線，點是上一動點（不與點重合），以、為邊作矩形，對角線與交于點，連接，則線段的最小值為________．16．（2022·四川南充·模擬預測）如圖，在正方形外取一點，連接，，，過點A作的垂線交于點，若，．下列結論：①；②點到直線的距離為；③；④．其中正確的是________．17．（2022秋·遼寧沈陽·九年級統考期中）已知正方形，點E在線段上，連接，過點E作，垂足為G，過點D作交延長線于點F，連接，則與的數量關系為_____．18．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級校聯考階段練習）如圖，在正方形中，點在上，點在上，于點，點在上，，連接延長交于點，若，則線段的長為____________．19．（2022秋·山東濟南·九年級統考期中）如圖，在菱形ABCD中，，，點M為邊中點，點E為菱形四條邊上的一個動點，沿的方向運動，連接，以為邊作直角三角形，其中，，在點E運動的過程中，線段長度的最大值為______．20．（2022秋·重慶渝中·九年級重慶市第二十九中學校校考開學考試）如圖，點是的邊的中點，將沿直線翻折能與重合，若，，，則點到直線的距離為________21．（2022秋·廣東深圳·九年級深圳實驗學校校考期中）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點A、B、D恰好都落在點O處，且點G、O、C在同一條直線上，同時點E、O、F在另一條直線上．則的值是___________．22．（2023秋·河南鄭州·九年級鄭州市第七十三中學校考階段練習）如圖，在矩形中，，對角線，點，分別是線段，上的點，將沿直線折疊，點，分別落在點，處．當點落在折線上，且時，的長為______．23．（2022春·廣西賀州·八年級統考期末）如圖，點P是矩形ABCD的對角線上的點，M、N分別是AB、AD的中點，連接PM、PN．若AB=2，∠ADB=30°，則PM+PN的最小值是__________________．24．（2020秋·新疆·九年級新疆農業大學附屬中學校考期中）如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對角線上任意一點（不與點重合），將繞點逆時針旋轉得到，連接，，．當取最小值時，正方形的邊長為______．25．（2022春·遼寧盤錦·九年級校考期中）在中，，過點A作直線，以C為頂點作，分別交直線，于點D，E．(1)如圖1，當時，請直接寫出線段與的數量關系，不必說明理由；(2)如圖2，當時，請寫出線段，，的數量關系，并說明理由；(3)當時，且，時，請直接寫出線段的長．26．（2023秋·河南鄭州·九年級校考期末）如圖1，在矩形中，，相交于點O，點E為上的一個動點，連接并延長到點F，使，連接．(1)若點E與點B重合（如圖2），判斷AF與的數量關系和位置關系，并說明理由；(2)若以A，F，B，E為頂點的四邊形是平行四邊形，，請直接寫出線段的長度．27．（2022秋·吉林長春·八年級校考期末）【提出問題】在一次數學探究活動中，李老師給出了一道題．如圖①，點P是等邊內的一點，連接、、．當，，時，求的度數．【解決問題】小明在解決此題時，將點P繞點B逆時針方向旋轉得到點D，連接、、，并結合已知條件證得．請利用小明的作法及結論求的度數．【方法應用】如圖②，點P是正方形內一點，連接、、．若，，，則______°．28．（2021春·四川成都·八年級校考期中）已知，菱形中，，、分別是邊和上的點，且．(1)求證：．(2)如圖2，在延長線上，且，求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，，點是的中點，求的長．29．（2022秋·江蘇泰州·八年級統考期中）已知，正方形的邊長為8，點P、G分別在射線、邊上，連接，點B關于的對稱點為Q，連接．(1)如圖1，取的中點E、F，連接，若點Q剛好落在線段上，且點P在線段FC上，則的度數不可能是下列選項中的______；（填序號）①45°，②59°，③72°(2)如圖2，當點Q落在邊上（不與點D重合）時，試判斷點P是否一定在射線BC上點C的右側，并說明理由；(3)在（2）的條件下，①當時，求的長；②若線段與相交于點N，連接，試探索點Q落在不同位置時，的度數是否發生變化，若不變，求出的度數；若變化，請說明理由．30．（2022秋·吉林長春·八年級校考期末）如圖，在中，為銳角，，，．動點從點出發，以每秒2個單位的速度沿運動．同時，動點從點出發，以每秒3個單位的速度沿運動．當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點的運動時間為秒．(1)點在上運動時，_____________；點在上運動時，_____________．（用含的代數式表示）(2)點在上，時，求的值．(3)當直線平分的面積時，求的值．(4)若點的運動速度改變為每秒個單位．當，的某兩個頂點與、所圍成的四邊形為菱形時，直接寫出的值．31．（2022秋·江西上饒·九年級統考階段練習）【操作發現】(1)如圖，在等邊中，點在直線上，為邊上的一點，連接，并把線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，則線段與的數量關系是___________，線段與直線所夾銳角的度數是___________．【類比探究】(2)如圖，在等邊中，點在直線上，若為延長線上的一點，連接，并把線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，上述兩個結論還成立嗎？請說明理由．【拓展應用】如圖，在正方形中，點在直線上，為直線上的任意一點，連接，并把線段繞點順時針旋轉得到線段，連接．(3)試探究線段與的數量關系及線段與直線所夾銳角的度數，并說明理由．(4)若正方形的邊長為，連接，當時，求線段的長．32．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）我們稱長與寬之比為的矩形為“奇異矩形”，特別地，我們稱長為，寬為1的矩形為“基本奇異矩形”，如圖1所示，它的奇異之處在于：可以用若干個基本奇異矩形（互不重疊且不留縫隙地）拼成一般的奇異矩形，例如，圖2中用2個基本奇異矩形拼成了一個奇異矩形．(1)①請你在圖3的虛線框中畫出用4個基本奇異矩形拼成的奇異矩形（請仿照圖1、圖2標注必要的數據）；②請你在圖4的虛線框中畫出用8個基本奇異矩形拼成的奇異矩形；(2)若用K個基本奇異矩形可以拼成一般的奇異矩形，你發現正整數K有何特點？請敘述你的發現___________；(3)①用32個基本奇異矩形拼成的奇異矩形，其對角線長為___________；②用256個基本奇異矩形拼成的奇異矩形，其對角線長為___________；③用n個基本奇異矩形拼成的奇異矩形，其對角線長為32，則___________．33．（2022秋·吉林長春·八年級長春市第八十七中學校考期末）如圖，長方形中，，，，動點P從點B出發，以每秒的速度沿的方向，向終點D運動；動點Q從點B出發以每秒的速度沿的方向向終點C運動．以為邊向右上方作正方形，其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，設點同時出發，運動時間為t秒．(1)當時，＝______（用含t的代數式表示）；(2)當點N落在邊上時，求t的值；(3)當正方形與長方形的重疊部分為四邊形時，求重疊部分的面積S（用含t的代數式表示）；(4)請直接寫出當t滿足什么條件時，正方形與長方形的重疊部分為三角形．34．（2022秋·黑龍江大慶·八年級校考階段練習）已知：正方形中，，繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交，或它們的延長線于點，當繞點A旋轉到時如圖，易證．(1)當繞點A旋轉到時如圖，線段，和之間有怎樣的數量關系？寫出猜想，并加以證明．(2)當繞點A旋轉到如圖的位置時，線段，和之間又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想．(3)圖中若，，求的面積為______．35．（2022秋·遼寧沈陽·九年級統考期中）已知正方形，E是射線上一動點，連接，點F在直線上，且，將繞點E順時針旋轉得到，過點C作的平行線，交射線于點H，連接．(1)如圖1，當點E在中點時，重合，請判斷四邊形的形狀并證明你的結論；(2)如圖2，當點E在延長線上時，補全圖形并回答下列問題：①四邊形的形狀是否發生改變，請說明理由；②連接，交于點M，若，，請直接寫出的長．36．（2022·四川德陽·模擬預測）已知：四邊形是正方形，點在邊上，點在邊上，且．(1)如圖，與有怎樣的關系．寫出你的結果，并加以證明；(2)如圖，對角線與交于點．，分別與，交于點，點．①求證：；②連接，若，，求的長．專題12平行四邊形經典壓軸題型專訓（36道）【平行四邊形經典壓軸題型專訓】1．（2023春·廣東佛山·九年級校考期末）如圖，在正方形中，為對角線，為上一點，過點作，與、分別交于點，，為的中點，連接，，，，下列結論中結論正確的有（

）①；②；③；④若，則，其中結論正確的有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【分析】根據正方形，為對角線，，可知四邊形是矩形，由此可證、、、是等腰直角三角形，為的中點，，可知是等腰直角三角形，由此即可求解．【詳解】解：結論①，∵正方形中，為對角線，，∴，，∴，四邊形是矩形，、是等腰直角三角形，∴，∴，故結論①正確；結論②，由結論①正確可知，是等腰直角三角形，為的中點，∴，且、是等腰直角三角形，∴，，，∴，且，∴，∴，∵，故結論②正確；結論③，∵、、、是等腰直角三角形，，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴，故結論③正確；結論④若，則，由結論②正確，可知；由結論③正確可知，，且、、、是等腰直角三角形，∴，即是等腰直角三角形，如圖所示，過點作于，設，則，，，∴，，∴，故結論④正確；綜上所示，正確的有①②③④，故選：．【點睛】本題是四邊形與三角形的綜合，主要考查正方形的性質，矩形的判定與性質，三角形全等的判定與性質，等腰三角形的判定與性質等知識，掌握正方形的性質，矩形的性質，三角形全等的判定和性質，等腰直角三角形的性質是解題的關鍵．2．（2022秋·福建漳州·八年級校考階段練習）如圖，在中，，，，分別以，，為邊在的同側作正方形、正方形、正方形，四塊陰影部分的面積分別為，，，，則等于（

）A．20 B．18 C．16 D．14【答案】B【分析】過F作于N，通過證明的面積，依此即可求解．【詳解】解：過F作于N，連接，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，同理可證，所以．由可得：，∴，∵，即，且，，∴，又，∴四邊形是平行四邊形，又，∴平行四邊形是矩形，∴，又∵，，∴，同理可得，∴，∵，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，矩形的判定，有一定難度，解題關鍵是將勾股定理和正方形的面積公式進行靈活的結合和應用．3．（2022春·湖北武漢·八年級校聯考期中）如圖，正方形中，為上一點，線段的垂直平分線交于，為垂足，交正方形的兩邊于、，連接，則下列結論：①；②；③；④，其中正確的是（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】B【分析】①過N作，則，先證明△BSN是等腰直角三角形，得出，再由，證明，得出，證出，即可得出；②，是等腰直角三角形，，即可得出；③假設成立，證明，得出，可判斷③不一定成立；④過P作的平行線交于K，證出，，即可得出結論．【詳解】解：①正確；過N作分別交、于S、T，則，∵四邊形是正方形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵線段的垂直平分線交于點N，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故①正確；由①得：，是等腰直角三角形，，∴，故②正確；∵，，∴，若，則．∵，∴，∴，顯然不一定成立，故③錯誤；過P作的平行線交于K，∴．∵垂直平，∴，∵，∴，∴，作于點G，作于點H，則，由①得：，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∴，故④正確；故選：B．【點睛】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、線段垂直平分線的性質、等腰直角三角形的判定與性質；本題難度較大，綜合性強，特別是需要通過作輔助線證明三角形全等．4．（2022秋·河南鄭州·九年級校考期中）如圖，在正方形中，E、F分別是，的中點，交于點G，連接，下列結論：①；②；③；④，其中正確的結論是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④【答案】B【分析】證明，根據全等三角形的性質得到，，故①正確；求得，根據垂直的定義得到，故②正確；延長交的延長線于H，根據線段中點的定義得到，根據全等三角形的性質得到，由是斜邊的中線，得到，求得，根據余角的性質得到，故③正確；假設，根據，可得，結合，，可得，即有，進而可得，則有，顯然，即假設不成立，即可判斷④錯誤．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，分別是，的中點，，，，在與中，，，，，故①正確；，，，，故②正確；，如圖，延長交的延長線于，，，點是的中點，，，，，，，已證明，是斜邊的中線，，，，，．故③正確；根據可得，若成立，，，，，，，在中，有，，，顯然，假設不成立，，故④錯誤，故正確的有①②③，故選B．【點睛】此題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，含30度角的直角三角形的性質等，綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是能夠綜合運用上述知識．5．（2022秋·重慶沙坪壩·九年級重慶南開中學校考期末）如圖，在菱形中，對角線、交于點，以為斜邊作，與交于點，連接，使得，且，若，則菱形的周長為（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】根據菱形的性質可得，由直角三角形的性質得出，進一步得出，再根據證明得出，連接，設求出，由勾股定理可得出，進一步可得出結論．【詳解】連接,∵菱形，，在中，又，又在和中，連接，設，，在中，（舍去）∴∴菱形的周長為，故選：B【點睛】本題考查的是菱形的性質、直角三角形的性質、全等三角形的判定和性質，掌握菱形的四條邊相等、對角線互相垂直、靈活運用全等三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵．6．（2022春·湖北武漢·八年級校考階段練習）如圖，在四邊形中，．O為中點，交于點E，于點F，交于點M，的延長線交于點G．若，則下列結論正確的（）①；②；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】先根據等腰直角三角形得性質和平行線得性質得出，，即可證明，得，即可判斷①；由，，，可證明，得，則，所以，即可判斷②；由，即可判斷③；連接，設，由，可推導出，，則，得，所以,即可判斷④．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵O為中點，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，故①正確；∵于點F，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，故②正確；∵，∴，∵，∴，故③錯誤；連接，設，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故④正確，故選C．【點睛】本題考查了等腰直角三角形得判斷和性質、同角的余角相等，全等三角形得判斷和性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和勾股定理的應用，靈活運用所學知識求解是解決本題的關鍵．7．（2022·內蒙古包頭·模擬預測）如圖，在正方形中，是對角線上一點，且滿足，連接并延長交于點，連接，過點作于點，延長交于點．在下列結論中：①；②；③；④平分．其中不正確的結論有（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】A【分析】先判斷出，求得，得出，再判斷出從而得到①正確，根據平角的定義求出，得出②正確；連接，判斷出，得出③錯誤，根據，得到④正確．【詳解】解：∵是正方形的對角線，∴，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴是線段的垂直平分線，，在和中，，∴，∴，故①正確；∵，∴，故②正確；如圖，連接，∵是線段的垂直平分線，∴，∴，∵，是對角線上任意一點，∴的長是變化的，∴，∴，∴，故③錯誤；∵，，∴平分，故④正確；綜上，①②④正確，不正確的只有③一個；故選：A．【點睛】此題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的內角和定理，等腰三角形的判定和性質，解本題的關鍵是判斷出，難點是作出輔助線．8．（2021秋·廣東佛山·九年級校聯考階段練習）如圖，將正方形翻折，使點、分別與點、重合，折痕為，交于點，交于點，連接、．給出以下結論：①垂直平分；②；③；④的周長等于的2倍．其中正確的個數有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】由折疊的性質可得垂直平分，故結論①正確；過點作于，由“”證明，可得，，故結論②正確；過點作于，由“”證明，可得，，由“”證明，可得，即可求得，故結論③正確；延長至，使，連接，由“”證明，可得，，由“”證明，可得，由線段的和差關系即可證明結論④正確．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，∵將正方形沿翻折，∴垂直平分，故結論①正確；∴，如圖，過點作于，∴，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，故結論②正確；如圖，過點作于，∵將正方形沿翻折，∴，又∵，，∴，∴，，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，故結論③正確；如圖，延長至，使，連接，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴的周長，故結論④正確．綜上所述，結論正確的有①②③④，共計4個．故選：D．【點睛】本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、折疊的性質等知識，正確添加輔助線，構造全等三角形是解題關鍵．9．（2022秋·陜西寶雞·九年級統考階段練習）如圖，在矩形中，為中點，過點且，分別交于，交于，點是中點，，則下列結論正確的是（

）①；②；③是等邊三角形；④A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④【答案】D【分析】利用垂直平分線的性質可得，利用三角形的中位線定理可得，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，則，則，通過證明，可得，則得，于是可得，由于，可得①正確；利用，可以判定②錯誤；利用三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和可得，則得為等邊三角形，可得③正確；通過說明，可得④正確．【詳解】解：連接，如圖，為中點，且，，為中點，G為的中點，，，G為的中點，，，，，，，在和中，，，，，，，∵四邊形是矩形，，，故①正確；，，，故②錯誤；，，為等邊三角形，故③正確；，，，，，，，，，故④正確．故結論正確的有①③④，故選：D．【點睛】本題考查了矩形的性質，等邊三角形的性質，三角形的中位線定理，三角形的全等的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線的性質，角的直角三角形的性質，證明是解題的關鍵．10．（2022秋·山東泰安·八年級校考階段練習）如圖，四邊形中.為的平分線，，E，F分別是的中點，則的長為（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【答案】A【分析】根據勾股定理得到，根據平行線的性質和角平分線的定義得到，求得，如圖：連接并延長交于G，根據全等三角形的性質得到，求得，再根據三角形中位線定理即可得到結論．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵為的平分線，∴，∴，∴，如圖：連接并延長交于G∵∴，∵F是的中點，∴，∵，∴，∴，∴，∵E是BD的中點，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了三角形的中位線定理、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識點，根據題意正確的作出輔助線是解題的關鍵．11．（2022·重慶·重慶八中校考模擬預測）如圖，邊長為4的正方形中，點E、F分別在邊上，連接，且有．將沿翻折，若點D的對應點恰好落在上，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】過點E作于點，設，，根據勾股定理列方程求得，即可．【詳解】解：過點作于點，如下圖：設，，則，，由題意可得：，，為等腰直角三角形，又∵，∴，∴，，∴，由勾股定理可得：，，即，解得，，即，解得，，故選：D.【點睛】此題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理以及二次根式的運算，解題的關鍵是熟練掌握相關基礎性質．12．（2022秋·廣東梅州·九年級校考階段練習）如圖，在一張矩形紙片中，，，點，分別在，邊上，將紙片沿直線折疊，點落在上的一點處，點落在點處，有以下四個結論：①四邊形是菱形；②平分；③線段的取值范圍為；④當點與點A重合時，．以上結論中，你認為正確的有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先判斷出四邊形是平行四邊形，再根據翻折的性質可得，然后根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形證明，判斷出①正確；②根據菱形的對角線平分一組對角線可得，然后求出只有時平分，判斷出②錯誤；③點H與點A重合時，設，表示出，利用勾股定理列出方程求解得到的最小值，點G與點D重合時，，求出，然后寫出的取值范圍，判斷出③正確；④過點F作于M，求出，再利用勾股定理列式求解得到EF，判斷出④正確．【詳解】解：①∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形，故①正確；②∴∴只有時，平分，故②錯誤；③點H與點A重合時，設，則，在中，，即，解得，點E與點D重合時，，∴，∴線段的取值范圍為，故③正確；過點F作于M，則，由勾股定理得，，故④正確；綜上所述，結論正確的有①③④共3個，故選：C．【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了折疊問題與菱形的判定與性質、勾股定理的綜合應用，熟練掌握菱形的判定定理和性質定理、勾股定理是解本題的關鍵．13．（2022秋·浙江溫州·八年級統考期中）如圖．已知在長方形中，，，點，分別在邊，上，連接，，．將沿翻折，將沿翻折，若翻折后，點，分別落在上的，處，連接，則四邊形的周長為_____．【答案】【分析】由四邊形是矩形，得，，，根據勾股定理求得，再由翻折得，，，，則，，再根據勾股定理列方程，求得；由，求得，則，得，由勾股定理求得，則，即可由勾股定理求得，而，即可求得四邊形CGHF的周長為．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，由翻折得，，，，，，，，且，，，，且，，作于點，則，，，，，，，，四邊形的周長為，故答案為：．【點睛】此題重點考查矩形的性質、軸對稱的性質、勾股定理、根據面積等式求線段的長度等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．14．（2021春·江蘇無錫·八年級無錫市江南中學校考期中）如圖，以的斜邊為一邊，在的右側作正方形，正方形的對角線交于點O，連接，如果，，那么______．【答案】【分析】過點O作交的延長線于點M，作于點N，易證四邊形是矩形，利用已知條件再證明，因為，，所以平分；進而求出的長，根據勾股定理即可求出的長．【詳解】解：如圖：過點O作交的延長線于點M，作于點N，，，∴四邊形是矩形，，∵正方形的對角線交于點O，，，，，在和中，，，，，，∴矩形是正方形，，，，，，，由勾股定理得：，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定及性質，勾股定理，解答時作輔助線，構建全等三角形和等腰直角三角形是關鍵．15．（2021秋·陜西咸陽·九年級咸陽市實驗中學校考階段練習）如圖，線段的長為10，點在上（不與端點重合），以為邊向上作等邊，過作與垂直的射線，點是上一動點（不與點重合），以、為邊作矩形，對角線與交于點，連接，則線段的最小值為________．【答案】5【分析】連接，證明平分，從而確定點O在定直線上，結合等邊，確定，是定角，根據垂線段最短計算即可．【詳解】如圖，連接，因為等邊，矩形，所以，所以，所以，所以，所以平分，因為是定角，所以的角平分線是唯一確定的射線，所以點O在定直線上，所以，過點B作于點E，因為，所以，故答案為：5．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，矩形的性質，三角形全等的判定和性質，垂線段最短，直角三角形的性質，熟練掌握垂線段最短，直角三角形的性質是解題的關鍵．16．（2022·四川南充·模擬預測）如圖，在正方形外取一點，連接，，，過點A作的垂線交于點，若，．下列結論：①；②點到直線的距離為；③；④．其中正確的是________．【答案】①③④【分析】①利用同角的余角相等，易得，再結合已知條件利用可證兩三角形全等；③利用①中的全等，可得，結合三角形的外角的性質，易得，即可證；②過B作，交的延長線于F，利用③中的，利用勾股定理可求，結合是等腰直角三角形，可證是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求、；④在中，利用勾股定理可求，即是正方形的面積．【詳解】解：①∵，，∴，在和中，∴故①正確；③，∴，又∵，，∴，∴，故③正確；②過B作，交的延長線于F，∵，，∴，又∵③中，，∴，∵，∴，∴，故②不正確；④∵，，∴在中，，∴，故④正確，故答案為：①③④【點睛】本題利用了全等三角形的判定和性質、正方形的性質、勾股定理等知識，熟知相關知識是解題的關鍵．17．（2022秋·遼寧沈陽·九年級統考期中）已知正方形，點E在線段上，連接，過點E作，垂足為G，過點D作交延長線于點F，連接，則與的數量關系為_____．【答案】【分析】先證四邊形是平行四邊形可得，進而得到，再證明可得，進而得到是等腰直角三角形，從而完成解答．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴∵，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、平行四邊形的判定和性質、等腰直角三角形的判定與性質等知識點，靈活運用相關判定和性質定理是解答本題的關鍵．18．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級校聯考階段練習）如圖，在正方形中，點在上，點在上，于點，點在上，，連接延長交于點，若，則線段的長為____________．【答案】【分析】先證明，可得，設，則，，，，由，，可證，，再利用，可得，進一步證明，可得，，由勾股定理，可列出方程，解出的值，即可求出，的長，在根據勾股定理求出線段的長即可．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∴，∵在和中，∴，∴，∵，設，則，，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∵在正方形中，∴，∴，∴，∴，又∵，在中，由勾股定理得，∴，解得，（舍），∴，，∴在中，由勾股定理得，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質和全等三角形的判定和性質及勾股定理的應用，根據題意設出，并表示出、、，利用勾股定理列出方程，解出的值是解答本題的關鍵．19．（2022秋·山東濟南·九年級統考期中）如圖，在菱形ABCD中，，，點M為邊中點，點E為菱形四條邊上的一個動點，沿的方向運動，連接，以為邊作直角三角形，其中，，在點E運動的過程中，線段長度的最大值為______．【答案】【分析】根據點E在菱形的邊、、、的運動，可確定點F的運動路徑，即可求得的最大值．【詳解】如圖，當點E在上時，則點F在射線運動，當運動到點B時，點F點運動到點，且；當點E在上時，則點F在線段上運動，且；當點E在上時，則點F在線段上運動，且；當點E在上時，，則點F在線段上運動，且，；所以點F的運動路徑是一個菱形，其邊長為4，當點E與點D重合，點F與點重合時，最長；連結；∵在菱形ABCD中，，，點M為邊中點，∴，，∴，由勾股定理得：，∴在中，；所以線段長度的最大值為．故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質與判定，等腰三角形的性質，勾股定理等知識，確定點F的運動路徑是解題的關鍵與難點．20．（2022秋·重慶渝中·九年級重慶市第二十九中學校校考開學考試）如圖，點是的邊的中點，將沿直線翻折能與重合，若，，，則點到直線的距離為________【答案】【分析】連接，延長交于點，作于點，如圖所示，由折疊的性質及中點性質可得三角形為直角三角形，且為中點，從而，由勾股定理可得的長，再根據，即，從而可求得的長．【詳解】連接，延長交于點，作于點，如圖所示，由折疊的性質可得：，，則為的中垂線，，為中點，，，，，，，即，，即，在直角三角形中，由勾股定理可得：，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了翻折變換，點到直線的距離，直角三角形的判定、勾股定理、線段中垂線的判定，解決本題的關鍵是利用面積相等求相應線段的長．21．（2022秋·廣東深圳·九年級深圳實驗學校校考期中）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點A、B、D恰好都落在點O處，且點G、O、C在同一條直線上，同時點E、O、F在另一條直線上．則的值是___________．【答案】【分析】根據軸對稱和矩形的性質，得，，；設，，根據勾股定理和一元一次方程的性質計算，得，從而完成求解.【詳解】由折疊性質可得：，，，，，，，∴，，設，，則，，∴在直角中，，∴∴在直角中，設，則∴解得：∴∵∴故答案為：．【點睛】本題考查了矩形、軸對稱、勾股定理、一元一次方程的知識；解題的關鍵是熟練掌握軸對稱、矩形、勾股定理的性質，從而完成求解.22．（2023秋·河南鄭州·九年級鄭州市第七十三中學校考階段練習）如圖，在矩形中，，對角線，點，分別是線段，上的點，將沿直線折疊，點，分別落在點，處．當點落在折線上，且時，的長為______．【答案】2或【分析】分兩種情況討論，由折疊的性質和勾股定理可求解．【詳解】解：，，，當點落在上時，將沿直線折疊，，，，；當點落在上時，如圖2，連接，過點作于，，，，，，將沿直線折疊，，，，，綜上所述：的長為2或．【點睛】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理等知識，利用勾股定理列出方程是解題的關鍵．23．（2022春·廣西賀州·八年級統考期末）如圖，點P是矩形ABCD的對角線上的點，M、N分別是AB、AD的中點，連接PM、PN．若AB=2，∠ADB=30°，則PM+PN的最小值是__________________．【答案】【分析】根據軸對稱性質作點N關于對稱軸BD的對稱點E，線段ME即為PM＋PN的最小值，利用等邊三角形性質和勾股定理即可求出線段ME長度．【詳解】解：如圖，作點N關于線段BD的對稱點E，連接ME交線段BD于P點，ME即為PM＋PN的最小值；連接DE，過點E作EF⊥AD，EG⊥AB．∴四邊形AFEG為矩形．∴AG=FE，AF=GE∵點N、點E關于線段BD對稱，點P、點D在線段BD上．∴PE=PN，DN=DE∴PM＋PN=PM＋PE當點P、M、E在同一直線時，PM＋PE有最小值．∵∠ADB=30°∴∠NDE=60°∴△DNE是等邊三角形．∴點F垂直平分DN∵AB=2，∠ADB=30°∴AD=∵點M、N是線段AB、AD中點∴DN=DE=NE=AN=，NF=，AM=1∴EF===∵AF=AN＋NF=∴GE=AF=，EF=AG=∵MG=AG－AM==∴ME===所以PM＋PN的最小值為．故答案為：．【點睛】本題主要考查矩形的性質，軸對稱的性質和勾股定理等知識點，學會通過軸對稱的性質轉移線段以及理解兩點之間線段最短定理是解題的關鍵．24．（2020秋·新疆·九年級新疆農業大學附屬中學校考期中）如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，為對角線上任意一點（不與點重合），將繞點逆時針旋轉得到，連接，，．當取最小值時，正方形的邊長為______．【答案】【分析】根據正方形以及等邊三角形的性質結合旋轉的性質證明，得出，根據旋轉的性質得出為等邊三角形，即，則可得，從而得到當在一條直線上時，最小，過點作于點,正方形的邊長為，分別表示出的長度，然后根據勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵將繞點逆時針旋轉得到，∴，∴，∴,在和中，，∴，∴，連接，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，即當在一條直線上時，最小，過點作于點,∵取最小值，即，設正方形的邊長為，則，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，即：，解得：，（負值舍去），故正方形的邊長為，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，兩點之間線段最短，勾股定理等知識點，熟練掌握以上知識點，根據題意得出最短時的情形是解本題的關鍵．25．（2022春·遼寧盤錦·九年級校考期中）在中，，過點A作直線，以C為頂點作，分別交直線，于點D，E．(1)如圖1，當時，請直接寫出線段與的數量關系，不必說明理由；(2)如圖2，當時，請寫出線段，，的數量關系，并說明理由；(3)當時，且，時，請直接寫出線段的長．【答案】(1)(2)(3)2或5【分析】（1）證明，即可完成求證；（2）利用截長法構造全等三角形，可得到，，即可求解；（3）分為E點在A點左邊和右邊兩種情況討論，構造全等三角形求解即可．【詳解】（1）理由：∵AB=BC，，，∴是等邊三角形，，∴，∵，∴，∴，∴．（2）；理由：如圖，過點C作于F，∴∵，，，∴，∴四邊形是正方形，∴，，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，即，∴．（3）∵，，∴，∵，∴，∴，過點C作于G，于H，∴，∴，∵，∴，如圖①所示，當E點在A點左邊時，；如圖②所示，當E點在A點右邊時，；∵，，，∴，∴，∴∵，∴圖①中，，圖②中，，∵∴∴圖①中，；圖②中，；∴圖①中，，圖②中，，∴的長為2或5．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質、平行線的性質、勾股定理、含角的直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質、角平分線的性質、正方形的判定與性質等，解題關鍵是發現和構造全等三角形．26．（2023秋·河南鄭州·九年級校考期末）如圖1，在矩形中，，相交于點O，點E為上的一個動點，連接并延長到點F，使，連接．(1)若點E與點B重合（如圖2），判斷AF與的數量關系和位置關系，并說明理由；(2)若以A，F，B，E為頂點的四邊形是平行四邊形，，請直接寫出線段的長度．【答案】(1)且；(2)1或3【分析】（1）若點E與點B重合根據矩形得到，，結合，即可得到四邊形為平行四邊形；（2）先根據矩形的性質得到，，再根據三角形中位線的性質得到，，當為對角線時，如圖1根據平行四邊形的性質得到，則，即可得到一個答案；當為邊時，如圖，此時E點與D點重合，即可得到答案．【詳解】（1）解：且，∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴,∴四邊形是平行四邊形，∴，；（2）解：∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，，當為對角線時，如下圖∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴，∵，∴；當為邊時，如下圖∵四邊形為平行四邊形，∴，∵，∴此時點E與點D重合，∴；綜上所述的長度為1或3．【點睛】本題考查了矩形的性質：平行四邊形的性質矩形都具有；矩形的四個角都是直角；也考查了平行四邊形的判定和三角形中位線性質．27．（2022秋·吉林長春·八年級校考期末）【提出問題】在一次數學探究活動中，李老師給出了一道題．如圖①，點P是等邊內的一點，連接、、．當，，時，求的度數．【解決問題】小明在解決此題時，將點P繞點B逆時針方向旋轉得到點D，連接、、，并結合已知條件證得．請利用小明的作法及結論求的度數．【方法應用】如圖②，點P是正方形內一點，連接、、．若，，，則______°．【答案】【解決問題】；【方法應用】135【分析】（1）由旋轉的性質可得，，可以證明，，證明，得出，由勾股定理的逆定理可得為直角三角形，且，即可求解；（2）由旋轉的性質將繞點B順時針旋轉到，連接，，根據旋轉性質得出根據旋轉可知，，，利用等腰三角形性質求出，，得出，，根據勾股定理的逆定理證明為直角三角形，得出，即可求出結果．【詳解】解：【解決問題】∵為等邊三角形，∴，，∵將點P繞點B逆時針方向旋轉得到點D，∴，，∴為等邊三角形，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，在中，，，，∴，∴為直角三角形，且，∴．解：【方法應用】將繞點B順時針旋轉到，連接，，根據旋轉可知，，，∴，，∵四邊形為正方形，∴，，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴為直角三角形，∴，∴．故答案為：135．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理的逆定理，三角形內角和定理，利用旋轉的性質構造全等三角形是解題的關鍵．28．（2021春·四川成都·八年級校考期中）已知，菱形中，，、分別是邊和上的點，且．(1)求證：．(2)如圖2，在延長線上，且，求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，，點是的中點，求的長．【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)【分析】（1）連接，如圖1，根據菱形的性質得，即可判定為等邊三角形，得到，，然后利用可證明，即可解答；（2）過點F作，交的延長線于點H，利用平行線的性質求得是等邊三角形，得到，然后利用定理求得，從而問題得解；（3）過點B作，交于點K，根據兩組對邊分別平行求得四邊形是平行四邊形，從而求得，，A作，然后利用含的直角三角形的性質以及勾股定理求得，，即有，在中，利用勾股定理可得，問題隨之得解．【詳解】（1）連接，如圖1，∵四邊形為菱形，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，，∴，∵，即，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴；（2）過點F作，交的延長線于點H，如圖2，在（1）中已證為等邊三角形，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，又∵是等邊三角形，∴，∴，又∵，∴，即，在和中，∴，∴，∴；（3）過點B作，交于點K，如圖3，∵，，，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵點是的中點，∴，∴，過點A作，由（2）可知，，∴在中，，∴，，∴，在中，，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，及平行四邊形的判定和性質，含角的直角三角形的性質以及勾股定理等知識，題目有一定的綜合性，正確添加輔助線解題是關鍵的突破點．29．（2022秋·江蘇泰州·八年級統考期中）已知，正方形的邊長為8，點P、G分別在射線、邊上，連接，點B關于的對稱點為Q，連接．(1)如圖1，取的中點E、F，連接，若點Q剛好落在線段上，且點P在線段FC上，則的度數不可能是下列選項中的______；（填序號）①45°，②59°，③72°(2)如圖2，當點Q落在邊上（不與點D重合）時，試判斷點P是否一定在射線BC上點C的右側，并說明理由；(3)在（2）的條件下，①當時，求的長；②若線段與相交于點N，連接，試探索點Q落在不同位置時，的度數是否發生變化，若不變，求出的度數；若變化，請說明理由．【答案】(1)③(2)是，見解析(3)①3；②的度數不變，且，見解析【分析】（1）可推出，進而得出結果；（2）作，可證得，進而得出結果；（3）①作，交的延長線于E，連接，在中求得，進而求得的長，設，則，在中，由勾股定理列出方程求得結果；②先證得，，進而證得，進而得出，進一步得出結果．【詳解】（1）解：如圖1，當點P在F點時，，當點P在C點時，，∴，觀察四個選項，不可能是③，故答案為：③；（2）解：如圖2，點P落在點C的右側，理由如下：連接，作于E，∵點B和點Q關于對稱，∴垂直平分，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，，，∴，，∴，∴，∴，在中，，∴，∴點P是否一定在射線上點C的右側；（3）解：①如圖3，作，交的延長線于E，連接，∵是的垂直平分線，∴，，在中，，，∴，∵，∴，∴，設，則，在中，由勾股定理得，，∴，∴；②如圖4，不發生變化，理由如下：作，由（2）可知：，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴的度數不發生變化．【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，軸對稱的性質，線段垂直平分線性質等知識，解決問題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形．30．（2022秋·吉林長春·八年級校考期末）如圖，在中，為銳角，，，．動點從點出發，以每秒2個單位的速度沿運動．同時，動點從點出發，以每秒3個單位的速度沿運動．當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點的運動時間為秒．(1)點在上運動時，_____________；點在上運動時，_____________．（用含的代數式表示）(2)點在上，時，求的值．(3)當直線平分的面積時，求的值．(4)若點的運動速度改變為每秒個單位．當，的某兩個頂點與、所圍成的四邊形為菱形時，直接寫出的值．【答案】(1)；(2)(3)或(4)【分析】（1）根據題意：當點在上運動時，，點在上運動時，（2）點在上，時，，即可求得（3）根據題意求得，然后根據點和點在各邊上的情況分類討論即可求得的值（4）當時，菱形只能為，據此可求得的值【詳解】（1）根據題意：當點在上運動時，，當點在上運動時，，故答案為：；（2）當點在上，時，點在上，且，∴，∴，解得：，∴的值為：（3）∵當點依次在、、、上時，的取值范圍依次為：、、、，當點依次在、、、上時，的取值范圍依次為：、、、，由于當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．∴當，點在上，點在上時，直線平分的面積，∴，即，解得：，當，點在上，點在上時，直線平分的面積，∴，即，解得：，綜上所述：當直線平分的面積時，的取值為：或（4）∵，∴，∴點在上，∴，且，∴的某兩個頂點與、所圍成的菱形只能是：，∴點在邊上，，∵此時：，∴，【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質及菱形的性質，解決問題的關鍵是用分類討論的數學思想思考問題31．（2022秋·江西上饒·九年級統考階段練習）【操作發現】(1)如圖，在等邊中，點在直線上，為邊上的一點，連接，并把線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，則線段與的數量關系是___________，線段與直線所夾銳角的度數是___________．【類比探究】(2)如圖，在等邊中，點在直線上，若為延長線上的一點，連接，并把線段繞點順時針旋轉得到線段，連接，上述兩個結論還成立嗎？請說明理由．【拓展應用】如圖，在正方形中，點在直線上，為直線上的任意一點，連接，并把線段繞點順時針旋轉得到線段，連接．(3)試探究線段與的數量關系及線段與直線所夾銳角的度數，并說明理由．(4)若正方形的邊長為，連接，當時，求線段的長．【答案】(1)，(2)成立，見解析(3)，見解析(4)或【分析】（1）如圖中，過點作交于點證明≌，可得結論；（2）結論不變，如圖2，過點作交的延長線于點，證明≌，可得結論；（3）結論：，線段與直線所夾銳角的度數為在上取一點，使得利用全等三角形的性質證明即可；（4）分兩種情形：如圖中，當點在點上方時，如圖中，當點在點下方時，分別求解即可．【詳解】（1）解：如圖中，過點作交于點．是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，，，在和中，，≌，，，，故答案為：；（2）解：如圖中，結論成立．理由：過點作交的延長線于點．是等邊三角形，，，，是等邊三角形，，，，，，在和中，，≌，，，；（3）解：結論：，線段與直線所夾銳角的度數為．理由：在上取一點，使得．四邊形是正方形，，，，，，，在和中，，≌，，；（4）解：如圖中，過點作于點．當點在點上方時，是等腰直角三角形，，，，，．如圖中，當點在點的下方時，同法可得，，綜上所述，的長為或．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．32．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）我們稱長與寬之比為的矩形為“奇異矩形”，特別地，我們稱長為，寬為1的矩形為“基本奇異矩形”，如圖1所示，它的奇異之處在于：可以用若干個基本奇異矩形（互不重疊且不留縫隙地）拼成一般的奇異矩形，例如，圖2中用2個基本奇異矩形拼成了一個奇異矩形．(1)①請你在圖3的虛線框中畫出用4個基本奇異矩形拼成的奇異矩形（請仿照圖1、圖2標注必要的數據）；②請你在圖4的虛線框中畫出用8個基本奇異矩形拼成的奇異矩形；(2)若用K個基本奇異矩形可以拼成一般的奇異矩形，你發現正整數K有何特點？請敘述你的發現___________；(3)①用32個基本奇異矩形拼成的奇異矩形，其對角線長為___________；②用256個基本奇異矩形拼成的奇異矩形，其對角線長為___________；③用n個基本奇異矩形拼成的奇異矩形，其對角線長為32，則___________．【答案】(1)①見解析，②見解析(2)若用k個基本奇異矩形拼成奇異矩形，則或．(3)①，②，③2048【分析】（1）根據“奇異矩形”定義，可知“奇異矩形”必須滿足長是寬的倍，依此規律可畫出圖形；（2）根據觀察，能夠拼成奇異矩形，則都需要1個、2個、4個、8個基本奇異矩形，這些數據分別對應或需要個基本奇異矩形，（3）由勾股定理可知：奇異矩形的寬、長、對角線之比為，由此規律即可解答【詳解】（1）解：①如圖①，相關數據已標出，圖①中，長為，寬為2，長：寬=；符合奇異矩形的條件；②圖②中，長為4，寬為，長：寬=，符合奇異矩形的條件．（2）解：根據觀察，能夠拼成奇異矩形，則都需要1個、2個、4個、8個基本奇異矩形，這些數據分別對應或需要個基本奇異矩形．故答案為：若用k個基本奇異矩形拼成奇異矩形，則或．（3）解：①若用32個奇異矩形組成奇異矩形，則長，寬=，此時滿足奇異矩形的條件，根據勾股定理，，故答案為：對角線為，②若用256個基本奇異矩形拼成奇異矩形，則長=，寬，此時滿足奇異矩形的條件，根據勾股定理：，故答案為：；③根據規律可知：個基本矩形拼成的奇異矩形，長為，寬為，則對角線為，∴∴，∴．故答案為：2048．【點睛】本題屬于四邊形的綜合題，主要考查了矩形的性質、尋找規律的應用等知識點，較好的動手畫圖操作能力是解答本題的關鍵．33．（2022秋·吉林長春·八年級長春市第八十七中學校考期末）如圖，長方形中，，，，動點P從點B出發，以每秒的速度沿的方向，向終點D運動；動點Q從點B出發以每秒的速度沿的方向向終點C運動．以為邊向右上方作正方形，其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動，設點同時出發，運動時間為t秒．(1)當時，＝______（用含t的代數式表示）；(2)當點N落在邊上時，求t的值；(3)當正方形與長方形的重疊部分為四邊形時，求重疊部分的面積S（用含t的代數式表示）；(4)請直接寫出當t滿足什么條件時，正方形與長方形的重疊部分為三角形．【答案】(1)(2)(3)當時，；當時，(4)當或時，正方形與長方形的重疊部分為三角形【分析】（1）根據題意可得當時，；（2）證明，則，即，求t的值即可；（3）畫出圖形，當時，正方形在長方形的內部；當P點運動到A點處，，此時正方形與長方形的重疊部分為三角形，當M點運動到D點處時，當時，正方形與長方形的重疊部分為三角形，則可知時，正方形與長方形的重疊部分為三角形；當Q點運動與C點時，，此時正方形與長方形的重疊部分為三角形；則時，正方形與長方形的重疊部分為四邊形；（4）由（3）的討論直接求解即可．【詳解】（1）當時，；故答案為：；（2）如圖1，∵，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴