第18講圓與圓的位置關系4種常見考法歸類1.能根據給定圓的方程，判斷圓與圓的位置關系．2.能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題，體會用代數方法處理幾何問題的思想.知識點1圓與圓的位置關系1．種類：圓與圓的位置關系有五種，分別為外離、外切、相交、內切、內含．2．判定方法(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓連心線的長為d，則兩圓的位置關系的判斷方法如下：位置關系外離外切相交內切內含圖示d與r1，r2的關系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|(2)代數法：設兩圓的一般方程為C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(2,1)＋Eeq\o\al(2,1)－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(2,2)＋Eeq\o\al(2,2)－4F2>0)，聯立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))則方程組解的個數與兩圓的位置關系如下：方程組解的個數2組1組0組兩圓的公共點個數2個1個0個兩圓的位置關系相交內切或外切外離或內含注：(1)圓和圓相離，兩圓無公共點，它包括外離和內含；(2)圓和圓相交，兩圓有兩個公共點；(3)圓和圓相切，兩圓有且只有一個公共點，它包括內切和外切．(4)圓與圓的位置關系不能簡單仿照直線與圓的位置關系的判斷方法將兩個方程聯立起來消元后用判別式判斷，因為當方程組有一組解時，兩圓只有一個交點，兩圓可能外切，也可能內切；當方程組無解時，兩圓沒有交點，兩圓可能外離，也可能內含．知識點2圓與圓位置關系的應用設圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若兩圓相交，則有一條公共弦，由①－②，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.③方程③表示圓C1與C2的公共弦所在直線的方程．(1)當兩圓相交時，兩圓方程相減，所得的直線方程即兩圓公共弦所在的直線方程，這一結論的前提是兩圓相交，如果不確定兩圓是否相交，兩圓方程相減得到的方程不一定是兩圓的公共弦所在的直線方程．(2)兩圓公共弦的垂直平分線過兩圓的圓心．(3)求公共弦長時，幾何法比代數法簡單易求．兩圓公共弦長的求法兩圓公共弦長，在其中一圓中，由弦心距d，半弦長eq\f(l,2)，半徑r所在線段構成直角三角形，利用勾股定理求解．知識點3圓與圓的公切線1、公切線的條數與兩個圓都相切的直線叫做兩圓的公切線，圓的公切線包括外公切線和內公切線兩種．兩圓外離兩圓外切兩圓相交兩圓內切兩圓內含有2條外公切線和2條內公切線，共4條有2條外公切線和1條內公切線，共3條；只有2條外公切線只有1條外公切線無公切線2、公切線的方程核心技巧：利用圓心到切線的距離求解知識點4圓系方程(1)以為圓心的同心圓圓系方程：；(2)與圓同心圓的圓系方程為；(3)過直線EMBEDEquation.4過兩圓，圓：交點的圓系方程為（，此時圓系不含圓：）特別地，當時，上述方程為一次方程.兩圓相交時，表示公共弦方程；兩圓相切時，表示公切線方程.1、判斷兩圓的位置關系的兩種方法(1)幾何法：將兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之差的絕對值，半徑之和進行比較，進而判斷出兩圓的位置關系，這是在解析幾何中主要使用的方法．(2)代數法：將兩圓的方程組成方程組，通過解方程組，根據方程組解的個數進而判斷兩圓位置關系．2、圓系方程一般地過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓的方程可設為：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他條件求出λ，即可得圓的方程．3、兩圓相交時，公共弦所在的直線方程若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.4、公共弦長的求法(1)代數法：將兩圓的方程聯立，解出交點坐標，利用兩點間的距離公式求出弦長．(2)幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構成的直角三角形，根據勾股定理求解．5、求兩圓的相交弦的垂直平分線的方程即為經過兩圓的圓心的直線方程考點一：圓與圓位置關系的判斷（一）判斷圓與圓的位置關系例1．（2023秋·福建寧德·高二統考期中）圓與圓的位置關系是（

）A．相切 B．相交 C．內含 D．外離【答案】B【分析】根據給定條件，求出兩圓的圓心和半徑，并計算兩圓的圓心距即可判斷作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，于是，所以兩圓相交.故選：B變式1．（2023春·江西萍鄉·高二校聯考階段練習）圓O：與圓C:的位置關系是（

）A．相交 B．相離 C．外切 D．內切【答案】C【分析】利用兩圓外切的定義判斷即可.【詳解】圓是以為圓心，半徑的圓，圓:改寫成標準方程為，則圓是以為圓心，半徑的圓，則，=3，所以兩圓外切，故選：.變式2．（2023·全國·高三專題練習）已知圓的圓心在直線上，點與都在圓上，圓，則與的位置關系是___________.【答案】相交【分析】利用待定系數法求得圓的標準方程，求出圓心距，與兩圓的半徑和、差比較即可得出結論.【詳解】設圓的標準方程為，因為圓心在直線上，且該圓經過與兩點，列方程組，解得，即圓的標準方程為，圓心，半徑，又圓，圓心，半徑，∴，又，，而，∴與的位置關系是相交.故答案為：相交.變式3．【多選】（2023秋·江蘇南通·高二統考期末）已知圓，則（

）A．點在圓C內 B．直線與圓C相切C．圓與圓C相切 D．圓與圓C相切【答案】BCD【分析】根據點和圓的位置關系判斷A選項，根據圓心與直線距離判斷B選項，根據圓心間距離和半徑和差比較判斷圓圓位置關系判斷C,D選項.【詳解】點代入圓可得,點在圓C外，A選項錯誤；圓,圓,直線,圓心到直線距離,B選項正確；圓,圓心,,圓與圓C相外切,C選項正確;圓,圓心,,圓與圓C相內切,D選項正確.故選:BCD.變式4．（2023春·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學?？紝ｎ}練習）平面直角坐標系中，，，動點滿足，則使為等腰三角形的點個數為（

）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】設，根據可得動點的軌跡方程為圓，再結合為等腰三角形分析即可求解.【詳解】設，由，得，整理得，記為圓又，為等腰三角形，則有或.因為圓與圓相交，故滿足點有2個；因為圓與圓相交，故滿足點有2個，故使為等腰三角形的點共有4個.故選：D.變式5．【多選】（2023·湖南婁底·統考模擬預測）已知圓M：，圓N：，直線l：，則下列說法正確的是（

）A．圓N的圓心為B．圓M與圓N相交C．當圓M與直線l相切時，則D．當時，圓M與直線l相交所得的弦長為【答案】BD【分析】寫出圓的標準方程確定圓心坐標和半徑，判斷與兩圓半徑的關系判斷A、B；再由點線距離及相交弦長公式判斷C、D.【詳解】由題設，，則且半徑，，則且半徑，A錯；所以，即兩圓相交，B對；到直線l的距離，若圓M與直線l相切，則，所以或，C錯；當時，即圓M與直線l相交，相交弦長為，D對.故選：BD變式6．（2022·全國·高二專題練習）已知點在圓：上，點，，滿足的點的個數為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】設，軌跡可得點P的軌跡方程，即可判斷該軌跡與圓的交點個數.【詳解】設點，則，且，由，得，即，故點P的軌跡為一個圓心為、半徑為的圓，則兩圓的圓心距為，半徑和為，半徑差為，有，所以兩圓相交，滿足這樣的點P有2個.故選：B.（二）由圓的位置關系求參數例2．（2023秋·浙江麗水·高二統考期末）若圓與圓外切，則實數（

）A．－1 B．1 C．1或4 D．4【答案】D【分析】由兩圓的位置關系計算即可.【詳解】由條件化簡得，即兩圓圓心為，設其半徑分別為，，所以有.故選：D變式1．（2023秋·高二課時練習）若兩圓和圓相交，則a的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或【答案】B【分析】圓與圓相交，則圓心距大于兩圓的半徑之差的絕對值且小于半徑之和，解不等式．【詳解】圓與圓相交，兩圓的圓心距大于兩圓的半徑之差的絕對值且小于半徑之和，即，所以.解得或.故選：B變式2．（2023秋·高二課時練習）當為何值時，兩圓和.(1)外切；(2)相交；(3)外離.【答案】(1)或(2)或(3)或【分析】（1）化兩圓的方程為標準方程，求得圓心坐標與半徑，再求出兩圓的圓心距，由列式，即可求解.（2）由列不等式組，即可求出的范圍.（3）由列不等式，即可求出的范圍.【詳解】（1）設圓，半徑為，得，圓心，.，半徑為，得，圓心，.圓心距，因為兩圓外切，則，所以，解得或.（2）因為兩圓相交，則，即，所以，解得或.（3）因為兩圓外離，則，即，所以，解得或.變式3．（2022秋·高二課時練習）若圓與圓有公共點，則滿足的條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據兩圓之間的位置關系，由圓心距和半徑之間的關系即可求解.【詳解】由得，兩圓圓心之間的距離為＝.∵兩圓有公共點，∴，∴，即，∴，故選：C.變式4．（2023秋·浙江嘉興·高二統考期末）已知圓：與圓：有公共點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意得到，再解不等式即可.【詳解】由題知：，，，，.因為和有公共點，所以，解得.故選：C變式5．（2023春·安徽·高二校聯考期末）已知圓，，，若以線段為直徑的圓與圓有公共點，則的值可能為______.（寫出一個即可）【答案】1（2,3均可）答案不唯一【分析】根據題意，由已知利用圓與圓的位置關系即可求解.【詳解】由題意得，圓與圓有公共點，∴，∴，且，解得；故，2，3均可.故答案為：1（2,3均可）變式6．（2022·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圓和兩點，若圓C上存在點P，使得，則a的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】根據條件，將問題轉化成圓與圓C有公共交點，再利用圓與圓的位置關系即可求出結果.【詳解】由，得點P在圓上，故點P在圓上，又點P在圓C上，所以，兩圓有交點，因為圓的圓心為原點O，半徑為a，圓C的圓心為，半徑為1，所以，又，所以，解得，所以a的最小值為4.故選：C.變式7．（2023秋·高一單元測試）已知圓與圓內切，則的最小值為_______【答案】2【分析】計算兩圓的圓心距，令圓心距等于兩圓半徑之差，結合基本不等式求解最小值即可．【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓的圓心距，兩圓內切，，可得，所以．當且僅當時，取得最小值，的最小值為2．故答案為：2．變式8．（2023·浙江·校聯考模擬預測）已知圓C的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C相外切，則k的取值范圍為__________．【答案】【分析】根據題意，由圓C的圓心到直線的距離不大于兩半徑之和求解.【詳解】解：因為直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C相外切，所以圓C的圓心到直線的距離不大于兩半徑之和，即，化簡得，解得，故答案為：考點二：與圓相交有關的問題（一）求兩圓的交點坐標例3．（2022·高二課前預習）圓與圓的交點坐標為（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【分析】聯立兩圓的方程，解方程組，即可求得答案.【詳解】由,可得，即，代入，解得或，故得或,所以兩圓的交點坐標為和,故選:C變式1．（2022·高二課時練習）求圓與圓的交點的坐標．【答案】、【分析】聯立兩圓方程可得，將其代入其中一個圓的方程中求出點坐標.【詳解】由題設，，相減可得，所以，解得或，當時，；當時，；所以交點坐標為、.變式2．（2022秋·貴州遵義·高二遵義一中?？茧A段練習）圓：和圓：交于A，B兩點，則線段AB的垂直平分線的方程是______.【答案】【分析】由兩圓的方程得兩圓心坐標，兩圓心所在直線的方程即為所求直線方程，【詳解】圓方程為，圓方程為，則圓心分別為，，兩圓相交于兩點，則線段AB的垂直平分線即為直線，，則直線的方程為，即，故答案為：變式3．（2023秋·遼寧丹東·高二統考期末）已知圓與圓交于A，B兩點，則四邊形的面積為（

）A．12 B．6 C．24 D．【答案】A【分析】由兩圓標準方程得圓心坐標和半徑，由和可知，則四邊形的面積，計算即可.【詳解】圓，圓心坐標為，半徑，圓化成標準方程為，圓心坐標為，半徑，圓與圓都過點，則，如圖所示，又，∴，由對稱性可知，，，，則四邊形的面積.故選：A（二）圓系方程的應用例4．（2023·全國·高三專題練習）經過點以及圓與交點的圓的方程為______．【答案】【分析】求出兩圓的交點坐標，設出所求圓的一般方程，將三點坐標代入，解出參數，可得答案.【詳解】聯立，整理得，代入，得，解得或，則圓與交點坐標為，設經過點以及的圓的方程為,則，解得，故經過點以及圓與交點的圓的方程為，故答案為：變式1．（2022秋·高二單元測試）求過兩圓和圓的交點，且圓心在直線上的圓的方程.【答案】【分析】根據過兩圓交點的圓系方程設出所求圓的方程，并求出圓心坐標，把圓心坐標代入直線的方程，從而求出圓的方程.【詳解】設圓的方程為，則，即，所以圓心坐標為，把圓心坐標代入得，解得，所以所求圓的方程為．（三）求兩圓公共弦方程例5．（2022秋·黑龍江大慶·高二大慶實驗中學?？计谀﹫A與圓的公共弦所在直線方程為___________.【答案】【分析】判斷兩圓相交，將兩圓方程相減即可求得答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則，則兩圓相交，故將兩圓方程相減可得：，即，即圓與圓的公共弦所在直線方程為，故答案為：變式1．（2022秋·高二課時練習）已知圓與圓，求兩圓的公共弦所在的直線方程（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由兩圓方程相減即可得公共弦的方程.【詳解】將兩個圓的方程相減，得3x－4y＋6＝0.故選：D.變式2．（2023春·全國·高二衛輝一中校聯考階段練習）已知圓：過圓：的圓心，則兩圓相交弦的方程為______.【答案】【分析】求出，得到圓，兩圓相減得到相交弦方程.【詳解】圓：的圓心坐標為，因為圓過圓的圓心，所以，所以，所以：，兩圓的方程相減可得相交弦方程為.故答案為：.變式3．（2022秋·高二課時練習）已知過圓外一點做圓的兩條切線，切點為兩點，求所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據切線的特征可知所在的直線為圓和以的中點為圓心,以為直徑的圓的公共弦所在的直線方程，【詳解】根據題意得所在的直線為圓和以的中點為圓心,以為直徑的圓的公共弦所在的直線方程，因為，所以圓，兩圓相減得所在的直線方程為.故選：A.（四）求兩圓公共弦長例6．（2022·高二課時練習）已知圓，圓.(1)求圓與圓的公共弦長；(2)求過兩圓的交點且圓心在直線上的圓的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）將兩圓方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圓心到公共弦的距離，再利用弦心距，半徑和弦的關系可求得答案，（2）解法一：設過兩圓的交點的圓為，求出圓心坐標代入中可求出，從而可求出圓的方程，解法二：將公共弦方程代入圓方程中求出兩圓的交點坐標，設所求圓的圓心坐標為，然后列方程組可求出，再求出圓的半徑，從而可求出圓的方程.【詳解】（1）將兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程，即，化簡得，所以圓的圓心到直線的距離為，則，解得，所以公共弦長為.（2）解法一：設過兩圓的交點的圓為，則；由圓心在直線上，則，解得，所求圓的方程為，即.解法二：由（1）得，代入圓，化簡可得，解得；當時，；當時，；設所求圓的圓心坐標為，則，解得；所以；所以過兩圓的交點且圓心在直線上的圓的方程為變式1．（2023·河南·統考二模）若圓與圓的公共弦AB的長為1，則直線AB的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將兩圓方程相減得到直線的方程為，然后再根據公共弦的長為即可求解.【詳解】將兩圓方程相減可得直線的方程為，即，因為圓的圓心為，半徑為，且公共弦的長為，則到直線的距離為，所以，解得，所以直線的方程為，故選：D.變式2．（2021秋·廣東深圳·高二深圳中學?？计谥校┮阎獔AC的圓心為，且與直線相切．(1)求圓C的方程；(2)求圓C與圓的公共弦的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意求得圓的半徑，即可求得答案；（2）將兩圓方程相減，求出兩圓的公共弦方程，根據弦長、弦心距以及圓的半徑之間的關系即可求得答案.【詳解】（1）由題意得圓C的半徑為，故圓C的方程為；（2）圓和的圓心距為，而，即兩圓相交，將和相減得，圓的圓心到的距離為，故兩圓的公共弦長為.變式3．（2021秋·高二課時練習）若圓O：x2＋y2＝5與圓O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則直線AB的方程為________；線段AB的長為________．【答案】x＝±14【分析】連接OO1，記AB與OO1的交點為C，利用勾股定理和等面積法，求出，進而求出，根據，求出，進而聯立求出直線的方程.【詳解】連接OO1，記AB與OO1的交點為C，如圖所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝，|O1A|＝，∴|OO1|＝5，∴|AC|＝＝2，∴|AB|＝4．由|OO1|＝5，得，所以，聯立可得，解得直線AB的方程為x＝±1．故答案為：①；②4.變式4．（2023·安徽滁州·安徽省定遠中學?？寄M預測）已知圓與圓相交所得的公共弦長為，則圓的半徑（

）A． B． C．或1 D．【答案】D【分析】兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程，后由垂徑定理結合圓圓心與半徑表達式可得答案.【詳解】與兩式相減得，即公共弦所在直線方程.圓方程可化為，可得圓心，半徑.則圓心到的距離為，半弦長為，則有，解得或（舍），此時故選：.變式5．（2021秋·高二課時練習）圓與圓的公共弦長的最大值是（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】將兩圓轉化成標準方程，根據標準方程得出兩圓圓心均在直線上，再利用幾何關系即可求出結果.【詳解】由，得，圓心，半徑；由，得，圓心，半徑，所以兩圓圓心均在直線上，半徑分別為1和，如圖，當兩圓相交且相交弦經過小圓圓心，也即大圓圓心在小圓上時，兩圓公共弦長最大，最大值為小圓的直徑，即最大值為2.故選：D.考點三：兩圓的公切線問題（一）圓的公切線條數例7．（2022秋·貴州遵義·高二習水縣第五中學校聯考期末）圓與圓的公切線的條數為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先判斷圓與圓的位置關系，從而可確定兩圓的公切線條數.【詳解】圓的圓心坐標為，半徑為5；圓的圓心坐標為，半徑為3，所以兩圓的圓心距為，因為，所以兩圓相交，所以兩圓的公切線有2條.故選：B.變式1．【多選】（2023秋·高一單元測試）已知圓與圓，下列說法正確的是（

）A．與的公切線恰有4條B．與相交弦的方程為C．與相交弦的弦長為D．若分別是圓上的動點，則【答案】BD【分析】由根據兩圓之間的位置關系確定公切線個數；如果兩圓相交，進行兩圓方程的做差可以得到相交弦的直線方程；通過垂徑定理可以求弦長；兩圓上的點的最長距離為圓心距和兩半徑之和，逐項分析判斷即可.【詳解】由已知得圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，，故兩圓相交，所以與的公切線恰有2條，故A錯誤；做差可得與相交弦的方程為到相交弦的距離為，故相交弦的弦長為，故C錯誤；若分別是圓上的動點，則，故D正確.故選：BD變式2．（2023·黑龍江大慶·統考三模）已知直線是圓的切線，并且點到直線的距離是2，這樣的直線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】D【分析】由已知可推得，直線是圓與圓的公切線.根據兩圓的圓心、半徑，推得兩圓的位置關系，即可得出答案.【詳解】由已知可得，圓心，半徑.由點到直線的距離是2，所以直線是以為圓心，為半徑的圓的切線，又直線是圓的切線，所以，直線是圓與圓的公切線.因為，所以，兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，即滿足條件的直線有4條.故選：D.變式3．（2023·河北衡水·衡水市第二中學?？既＃┤魣A和有且僅有一條公切線，則______；此公切線的方程為______【答案】1【分析】根據兩圓內切由圓心距與半徑關系列出方程求，聯立圓的方程求出切點，根據圓的切線性質得出斜率即可求解.【詳解】如圖，

由題意得與相內切，又，所以，所以，解得，所以，．聯立，解得所以切點的坐標為，故所求公切線的方程為，即．故答案為：1；變式4．（2022秋·高二課時練習）已知兩圓，，當圓與圓有且僅有兩條公切線時，則的取值范圍________.【答案】【分析】根據兩圓相交即可利用圓心距與半徑的關系求解.【詳解】若圓C1與圓C2有且僅有兩條公切線時，則兩圓相交，圓心C1，半徑R＝2，圓C2，半徑r，則，若兩圓相交，則滿足，即,得，故答案為：變式5．（2023秋·陜西西安·高二長安一中校考期末）已知兩圓和恰有三條公切線，若，，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】確定兩圓圓心和半徑，根據公切線得到兩圓外切，得到，變換得到，展開利用均值不等式計算得到答案.【詳解】，即，圓心，；，即，圓心，半徑；兩圓恰有三條公切線，即兩圓外切，故，即，.當且僅當，即，時等號成立.故選：A圓的公切線方程例8．（2023·湖北黃岡·浠水縣第一中學?？寄M預測）寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程___________.【答案】（答案不唯一，或均可以）【分析】先判斷兩圓位置關系，再分情況依次求解可得.【詳解】圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為4，圓心距為，所以兩圓外切，如圖，有三條切線，易得切線的方程為；因為，且，所以，設，即，則到的距離，解得（舍去）或，所以；可知和關于對稱，聯立，解得在上，在上取點，設其關于的對稱點為，則，解得，則，所以直線，即，綜上，切線方程為或或.故答案為：（答案不唯一，或均可以）變式1．（2023·江西南昌·校聯考模擬預測）已知圓與圓，寫出圓C和圓E的一條公切線的方程______.【答案】或或.【分析】設切線方程為，根據圓心到直線的距離均為1求解方程.【詳解】設圓的公切線為，，或代入求解得：或所以切線為：或或故答案為：或或.變式2．（2023·湖南岳陽·統考三模）寫出與圓和都相切的一條直線方程____________．【答案】或中任何一個答案均可【分析】先判斷兩圓的位置關系，可知公切線斜率存在，方程可設為，根據圓心到直線的距離等于半徑列出方程組，解之即可得出答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則，所以兩圓外離，由兩圓的圓心都在軸上，則公切線的斜率一定存在，設公切線方程為，即，則有，解得或或或所以公切線方程為或.故答案為：.（答案不唯一，寫其它三條均可）變式3．【多選】（2022秋·高二單元測試）已知圓，圓，則下列是圓與圓的公切線的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】在同一坐標系內畫出兩圓圖象，由兩圓相離可知共有4條切線，再利用對稱性設出直線方程，由點到直線距離公式即可求得切線方程.【詳解】根據題意可知，兩圓心關于原點對稱，在同一坐標系內畫出兩圓圖象，如下圖所示：

顯然，圓心距，即兩圓外離，共有4條切線；又兩圓心到軸的距離都等于其半徑，所以軸是其中一條公切線，即A正確；利用對稱性可知，其中一條切線過原點，設其方程為，又到切線的距離為1，即，解得或；當時，切線即為軸，當時，切線方程為，即，B正確；由對稱性可知，切線與直線平行，易知，所以直線的方程為，可設的方程分別為，由兩平行線間距離公式可得，解得，即切線的方程分別為，；整理可得兩切線方程為和，故C正確，D錯誤；故選：ABC（二）圓的公切線長例9．【多選】（2023春·山東青島·高二統考開學考試）已知圓，圓，則（

）A．圓與圓相切B．圓與圓公切線的長度為C．圓與圓公共弦所在直線的方程為D．圓與圓公共部分的面積為【答案】BCD【分析】求出兩圓圓心坐標與半徑，求出圓心距，即可判斷A，B，兩圓方程作差即可得到公共弦方程，從而判斷C，求出兩圓圓心到公共弦的距離，從而取出公共部分的面積，從而判斷D.【詳解】解：因為圓，圓，所以圓的圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，所以，故圓與圓相交，即A錯誤；因為兩圓半徑相等，則兩圓公切線的長度為，故B正確將兩圓方程作差得，所以兩圓公共弦所在直線的方程為，故C正確；因為的圓心為，半徑，所以到直線的距離為，所以公共弦長為，又圓心到直線的距離為，所以圓與圓公共部分的面積為，故D正確.故選：BCD變式1．【多選】（2022秋·廣東惠州·高二惠州市惠陽高級中學實驗學校?？计谥校﹫A與圓相交于，兩點，則（

）A．的直線方程為 B．公共弦的長為C．圓與圓的公切線長為 D．線段的中垂線方程為【答案】ACD【分析】對于A，兩圓方程相減可求出直線的方程，對于B，利用弦心距、弦和半徑的關系可求公共弦的長，對于C，求出，再由可求得結果，對于D，線段的中垂線就是直線，求出直線的方程即可.【詳解】由，得，則，半徑，由，得，則，半徑，對于A，公共弦所在的直線方程為，即，所以A正確，對于B，到直線的距離，所以公共弦的長為，所以B錯誤，對于C，因為，，，所以圓與圓的公切線長為，所以C正確，對于D，根據題意可知線段的中垂線就是直線，因為，所以直線為，即，所以D正確，故選：ACD變式2．【多選】（2022秋·山東青島·高二青島二中?？计谥校┮阎c相交于A，B兩點，則下列結論正確的是（

）．A．直線AB的方程為B．過A，B兩點，且過點的圓的方程為C．與的公切線的長度為D．以線段AB為直徑的圓的方程為【答案】AD【分析】由圓與圓的位置關系，直線方程，圓的方程對選項逐一判斷，【詳解】由解得或，即，，對于A，直線AB的方程為，故A正確，對于B，設過A，B兩點，且過點的圓的方程，得，解得，圓的方程為，故B錯誤，對于C，的圓心為，半徑為，的圓心為，半徑為2，兩圓半徑相等，則與的公切線的長度為，故C錯誤，對于D，中點為，，則以線段AB為直徑的圓的方程為，故選：AD變式3．（2022秋·廣東云浮·高二?？计谥校┮阎獔AA的方程為，圓的方程為.(1)判斷圓A與圓是否相交，若相交，求過兩交點的直線方程及兩交點間的距離；若不相交，請說明理由.(2)求兩圓的公切線長.【答案】(1)兩圓相交，，；(2).【分析】（1）根據圓心距判斷圓的位置關系，再由兩圓方程相減得出公共弦所在直線方程，由幾何法求出弦長；（2）根據公切線的性質，利用圓心距、半徑差、公切線構成的直角三角形求解.【詳解】（1）圓A：，圓：，兩圓心距，∵，∴兩圓相交，將兩圓方程左、右兩邊分別對應相減得：，此即為過兩圓交點的直線方程.設兩交點分別為、，則垂直平分線段，∵A到的距離，∴.（2）設公切線切圓A、圓的切點分別為，，則四邊形是直角梯形.∴，∴.考點四：圓與圓的最值問題例10．【多選】（2023秋·高一單元測試）點在圓：上，點在圓：上，則（

）A．的最小值為B．的最大值為C．兩個圓心所在的直線斜率為D．兩個圓公共弦所在直線的方程為【答案】AC【分析】根據圓心距結合兩圓半徑可判斷兩圓的位置關系，故可判斷D的正誤，求出的最值后可判斷AB的正誤，利用公式可求連心線的斜率，故可判斷C的正誤.【詳解】根據題意，圓：，其圓心，半徑，圓：，即，其圓心，半徑，則圓心距，兩圓外離，不存在公共弦，故D不正確；的最小值為，最大值為，故A正確，B不正確；對于C，圓心，圓心，則兩個圓心所在直線斜率，故C正確，故選：AC.變式1．【多選】（2023·湖南·校聯考二模）已知點在圓上，點在圓上，則（

）A．兩圓外離 B．的最大值為9C．的最小值為1 D．兩個圓的一條公切線方程為【答案】ABC【分析】將兩圓的方程化為標準方程，求出兩圓的圓心和半徑，再逐項分析.【詳解】圓的圓心坐標，半徑，圓，即的圓心坐標，半徑，所以圓心距，因為，所以兩圓外離．故A正確；因為在圓上，在圓上，所以，故B、C正確；因為圓心到直線的距離，所以不是兩圓公切線，故D錯誤；故選：ABC．變式2．【多選】（2022秋·山東威海·高二?？茧A段練習）已知點，且點P在圓上，C為圓心，則下列結論正確的是（

）A．的最大值為B．以AC為直徑的圓與圓C的公共弦所在的直線方程為：C．當最大時，的面積為D．的面積的最大值為【答案】BD【分析】由求得最大值判斷A，求出以AC為直徑的圓的方程與圓C的方程相減得公共弦所在直線方程，判斷B，由圓心在直線上，確定當時，直線距離最大為圓半徑，從而求得的面積的最大值判斷D，當最大時，是圓的切線，不可能，這樣可判斷C．【詳解】由已知圓心為，半徑為，，，即在圓外，在圓內，，當且僅當是的延長線與圓的交點時等號成立，所以最大值是，A錯；中點為，圓方程為，此方程與圓方程相減得并化簡得，即為兩圓公共弦所在直線方程，B正確；直線的方程為，即，圓心在直線上，到直線的距離的最大值等于圓半徑，，所以的面積的最大值為，D正確；當的面積為時，，而最大時，是圓的切線，此時，不可能有，因此C錯誤．故選：BD．變式3．（2023·江西贛州·統考模擬預測）已知圓C：，圓是以圓上任意一點為圓心，半徑為1的圓．圓C與圓交于A，B兩點，則當最大時，（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【分析】根據給定條件，結合等腰三角形性質確定頂角最大的條件，再借助直角三角形求解作答.【詳解】依題意，在中，，如圖，顯然，是銳角，，又函數在上遞增，因此當且僅當公共弦最大時，最大，此時弦為圓的直徑，在中，，所以.故選：D1．圓與圓的位置關系為A．內切 B．相交 C．外切 D．相離【答案】B【分析】試題分析：兩圓的圓心距為，半徑分別為，，所以兩圓相交．故選B．考點：圓與圓的位置關系．2．已知圓截直線所得線段的長度是，則圓與圓的位置關系是A．內切 B．相交 C．外切 D．相離【答案】B【詳解】化簡圓到直線的距離，又兩圓相交.選B3．若⊙與⊙相交于A、B兩點，且兩圓在點A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是_________．【答案】4【詳解】依題意得OO1＝＝5，且△OO1A是直角三角形，S△OO1A＝··OO1＝·OA·AO1，因此AB＝＝4.4．（2022·全國·統考高考真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．【答案】或或【分析】先判斷兩圓位置關系，分情況討論即可.【詳解】[方法一]：顯然直線的斜率不為0，不妨設直線方程為，于是，故①，于是或，再結合①解得或或，所以直線方程有三條，分別為，，填一條即可[方法二]：設圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑，則，因此兩圓外切，由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；又由方程和相減可得方程，即為過兩圓公共切點的切線方程，又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，直線OC與直線的交點為，設過該點的直線為，則，解得，從而該切線的方程為填一條即可[方法三]：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當切線為l時，因為，所以，設方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當切線為m時，設直線方程為，其中，，由題意，解得，當切線為n時，易知切線方程為，故答案為：或或.一、單選題1．（2023春·江蘇揚州·高二統考開學考試）圓與圓的位置關系為（

）．A．相交 B．內切 C．外切 D．外離【答案】B【分析】由兩圓的位置關系計算即可.【詳解】由題意可得，故兩圓的圓心分別為：，設兩圓半徑分別為，則，易知，故兩圓內切.故選：B2．（2023春·江蘇鹽城·高二統考期末）在坐標平面內，與點距離為，且與點距離為的直線共有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】A【分析】判斷以點為圓心，為半徑的圓與以點為圓心，為半徑的圓的位置關系，即可判斷.【詳解】當直線的斜率不存在時，直線滿足與點距離為，且與點距離為，以點為圓心，為半徑的圓的方程為，以點為圓心，為半徑的圓的方程為，因為，則兩圓相內切，故兩圓的公切線有且僅有條，即，故在坐標平面內，與點距離為，且與點距離為的直線共有條.故選：A3．（2023春·重慶沙坪壩·高一重慶一中?？计谀┮阎c為直線：上的動點，過點作圓：的切線，，切點為，當最小時，直線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先利用圓切線的性質推得四點共圓，，從而將轉化為，進而確定時取得最小值，再求得以為直徑的圓的方程，由此利用兩圓相交弦方程的求法即可得解.【詳解】因為圓：可化為，所以圓心，半徑為，

因為，是圓的兩條切線，則，由圓的知識可知，四點共圓，且，，所以，又，所以當最小，即時，取得最小值，此時的方程為，聯立，解得，即，故以為直徑的圓的方程為，即，，又圓，兩圓的方程相減即為直線的方程：.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是將轉化為，從而確定最小時的坐標，從而利用兩圓相減可得相交弦方程的技巧得解.4．（2023春·河南洛陽·高二統考期末）已知點P為直線上的一點，M，N分別為圓：與圓：上的點，則的最小值為（

）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】分別求得圓的圓心坐標和半徑，求得，結合圖象，得，即可求解.【詳解】如圖所示，由圓，可得圓心，半徑為，圓，可得圓心，半徑為，可得圓心距，如圖，，所以，當共線時，取得最小值，故的最小值為.

故選：B5．（2023·河南南陽·南陽中學?？寄M預測）在平面直角坐標系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由條件結合圓與圓的位置關系可得點到直線的距離小于等于2，列不等式求的取值范圍.【詳解】圓的圓心的坐標為，半徑為，設直線上的點滿足條件，則以點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，即兩圓相交或相切，所以，所以點到點的距離小于等于，所以點到直線的距離小于等于2，所以

解得所以k的取值范圍為，故選：A.6．（2023·全國·高三專題練習）已知圓，則下列說法正確的是（

）A．點在圓內B．若圓與圓恰有三條公切線，則C．直線與圓相離D．圓關于對稱【答案】B【分析】由點與圓的位置關系判斷A；由兩圓外切，結合圓與圓的位置關系判斷B；由距離公式判斷C；由圓心不在直線上判斷D.【詳解】圓可化為，圓心為，半徑為.對于A：因為，所以點在圓外，故A錯誤；對于B：若圓與圓恰有三條公切線，則兩圓外切，圓可化為，圓心為，半徑為，因為，所以，解得，故B正確；對于C：到直線的距離為，則直線與圓相切，故C錯誤；對于D：顯然圓心不在直線上，則圓不關于對稱，故D錯誤；故選：B二、多選題7．（2023春·湖南·高二校聯考期末）已知圓和圓，分別是圓，圓上的動點，則下列說法正確的是（

）A．圓與圓有四條公切線B．的取值范圍是C．是圓與圓的一條公切線D．過點作圓的兩條切線，切點分別為，則存在點，使得【答案】ABD【分析】對于A，根據兩圓心之間的距離與半徑和的比較，確定兩圓的位置關系，可得答案；對于B，根據圓外離的基本性質，可得答案；對于C，根據公切線與圓心連線的位置關系以及距離，建立方程，可得答案；對于D，根據直線與圓相切的性質，可得答案.【詳解】對于選項A，由題意可得，圓的圓心為，半徑，圓的圓心，半徑，因為兩圓圓心距，所以兩圓外離，有四條公切線，A正確；對于B選項，的最大值等于，最小值為，B正確；對于C選項，顯然直線與直線平行，因為兩圓的半徑相等，則外公切線與圓心連線平行，由直線，設直線為，則兩平行線間的距離為2，即，故，故C不正確；對于D選項，易知當時，四邊形為正方形，故當時，，故D正確，故選：ABD.8．（2023春·廣東揭陽·高二統考期末）已知直線l：，圓C：，則下列說法錯誤的是（

）A．若或，則直線l與圓C相切B．若，則圓C關于直線l對稱C．若圓E：與圓C相交，且兩個交點所在直線恰為l，則D．若，圓C上有且僅有兩個點到l的距離為1，則【答案】AC【分析】根據直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于半徑即可判斷A，根據直線經過圓心即可判斷B，根據兩圓公共弦所在直線方程的求法即可判斷C，根據圓心到直線l的距離，即可得到不等式組，解出即可，即可判斷D.【詳解】即，圓心，對A，若直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，則，解得或，故A錯誤；若圓C關于直線l對稱，則直線通過圓心，則有，解得，故B正確；對C，圓C與圓E的方程作差得，即，則，解得，經檢驗此時圓，滿足，則，故C錯誤；對D，若圓C上有且僅有兩個點到l的距離為1，則圓心到直線l的距離，即，即，且，解得，故D正確；故選：AC.9．（2023秋·高一單元測試）如圖所示，該曲線W是由4個圓：，，，的一部分所構成，則下列敘述正確的是（

）

A．曲線W圍成的封閉圖形面積為4+2πB．若圓與曲線W有8個交點，則C．與的公切線方程為D．曲線W上的點到直線的距離的最小值為4【答案】ACD【分析】A選項可將曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個邊長為2的正方形和四個半徑為1的相同的半圓，即可判斷；B選項可直接由圖討論判斷對錯；C選項可由圓心到直線的距離等于半徑，求出公切線；D選項可先找到，的公切線方程為，曲線W上的點到直線的距離的最小值即為平行線間的距離.【詳解】曲線W圍成的封閉圖形可分割為一個邊長為2的正方形和四個半徑為1的相同的半圓，所以其面積為，故A選項正確.當時，交點為B，D，F，H；當時，交點為A，C，E，G；當或時，沒有交點；當時，交點個數為8，故B選項錯誤.設與的公切線方程為，由直線和圓相切的條件可得，解得，（舍去），則其公切線方程為，即，故C選項正確.同理可得，的公切線方程為，則兩平行線的距離，故D選項正確.故選：ACD.10．（2023·遼寧沈陽·沈陽二中?？寄M預測）已知，過點作圓的切線，切點分別為，則下列命題中真命題是（

）A．B．直線的方程為C．圓與共有4條公切線D．若過點的直線與交于兩點，則當面積最大時，.【答案】ABD【分析】由圓的方程確定圓心坐標和半徑，結合切線性質求，判斷A，求過點的圓的方程，再求其與圓的公共弦可得直線的方程，判斷B，判斷圓與圓的位置關系，判斷C，結合三角形面積公式求的面積的最大值，求，判斷D，【詳解】因為圓的方程為，所以圓心的坐標為，半徑為，所以，又，所以，由已知，所以，A正確，因為，所以點四點共圓，且圓心為的中點，線段的中點坐標為，所以圓的方程為，即，因為，所以圓與圓相交，又圓的方程可化為所以圓與圓的公共弦方程為，故直線的方程為，B正確，

圓的圓心的坐標為，半徑為，因為，，所以圓與圓相交，故兩圓只有2條公切線，C錯誤；設，則，的面積，所以當時，的面積取最大值，最大值為，此時，D正確.故選：ABD.

三、填空題11．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預測）在平面直角坐標系中，圓和外切形成一個8字形狀，若，為圓M上兩點，B為兩圓圓周上任一點（不同于點A，P），則的最大值為______．【答案】/【分析】利用已知條件求解，，即可得到圓的方程，設出的坐標，化簡向量的數量積，求解最值即可．【詳解】圓，，為圓上兩點，可得，解得，，所以，圓，滿足圓和外切，為兩圓圓周上任一點（不同于點，，如果取得最大值，可知在上，設，則,,，當且僅當時取得最大值．故答案為：

12．（2023·江蘇揚州·江蘇省高郵中學?？寄M預測）已知點，，若圓上存在點P滿足，則實數a的取值的范圍是____________．【答案】【分析】由求出點的軌跡，再求出該軌跡與圓有公共點的a的范圍作答.【詳解】設點，則，而，則，整理得，即點的軌跡是原點為圓心，2為半徑的圓，因為點在圓，即圓與圓有公共點，而圓的圓心為，半徑為1，因此，即，解得或，所以實數a的取值的范圍是.故答案為：

13．（2023春·廣西·高二校聯考期中）已知圓心在原點的單位圓和圓外切，________．【答案】16【分析】根據兩圓的圓心距以及半徑即可由外切列方程求解.【詳解】圓圓心為，半徑為1，圓，圓心為，且，半徑為，所以圓心距，因為兩圓外切，所以，所以．故答案為：1614．（2023秋·高二課時練習）已知圓C過點且與圓切于點，則圓C的方程為__________.【答案】【分析】根據條件求出圓心坐標和半徑，進而寫出圓的方程.【詳解】因為圓C過點且與圓切于點，可知圓C與的公切線為，且圓C過點，過點作切線的垂線，即為軸，可知圓心C在此垂線上，即圓心C在軸上，設圓C，又圓C過點，且圓C過點，由圓心到圓上任一點距離相等，且為半徑，所以，可得，從而半徑，所以圓C的方程為.故答案為：.15．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中學?？寄M預測）已知兩定點，如果動點滿足，點是圓上的動點，則的最大值為__________.【答案】12【分析】首先求點的軌跡方程，再利用數形結合求的最大值.【詳解】設點，則，整理為：，設圓的圓心為，圓的圓心為，

如圖，可知，的最大值是圓心距加兩個圓的半徑，即.故答案為：1216．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學校考模擬預測）已知點，，若圓上有且只有一點，使得，則實數的一個取值為___________.（寫出滿足條件的一個即可）【答案】(答案不唯一)【分析】根據題意，分析圓的圓心坐標以及半徑，設中點為，由的坐標分析的坐標以及的值，可得以為直徑的圓，進而分析，原問題可以轉化為圓與圓相切，結合圓與圓的位置關系，即可求解.【詳解】由題知，圓，即，圓心為，半徑，設中點為，因，，則，，以為直徑的圓為，因為圓上有且只有一點，使得，則圓與圓相切，又，即有或，解得或.故答案為：四、解答題17．（2023春·江西宜春·高二統考階段練習）已知圓(1)若直線過定點，且與圓C相切，求直線的方程；(2)若圓D的半徑為3，圓心在直線上，且與圓C外切，求圓D的方程．【答案】(1)或(2)或【分析】（1）由點到直線的距離等于半徑，即可分情況求解，（2）由兩圓外切圓心距與半徑之和的關系，即可列方程求解.【詳解】（1）