數列求和（一）

學習目標:1.熟練掌握等差、等比數列的前〃項和公式；2.掌握非等差、等比數列求和的

幾種常見方法（①分組求和；②并項求和；③裂項相消）.

知識梳理：

1.求數列的前〃項和的方法

求和公式：①等差數列的前n項和公式￡==

②等比數列的前〃項和公式（i）當q=l時，￡=；

（ii）當斤1時，S?==.

（1）分組求和：把數列的每一項分成兩項或幾項，轉化為幾個等差、等比數列，再求解.

（2）并項求和：一個數列的前A項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和.形如劣=（一

1）量（〃）類型，可采用兩項合并求解.

（3）裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差或和求和，正負相消剩下首尾若干項.

常見的裂項公式⑴7第一=/喜.⑵L+I4a肅）

⑶高=口-6

分析高考：高考文科數學數列解答題一般是第四道解答題，屬于中等難度的題

目，出題方向主要是求通項和求和，有可能會和不等式、函數、程序框圖知識

結合。

年份文科理科

2011分組與并項求和（與對數運算分組與并項求和（項數分奇數和

結合）偶數）

2012公式法、不等式公式法、不等式

2013乘公比錯位相減乘公比錯位相減

2014分組求和（項數分奇數和偶數）裂項相消

2015乘公比錯位相減乘公比錯位相減

診斷自測：

1.等差數列｛a｝的公差為2,若如&，金成等比數列，貝！］｛aj的前A項和S=（）

/一、c/_、cnn+1enn-1

A.77（/7+1）B.〃（〃—1）C.----------D.--------

乙乙

2.若數列｛&｝的通項公式為&=2"+2〃-1,則數列｛&｝的前〃項和為（）

+12,,+12

A.2"+4一1B.2"+/3-1C.2+Z?-2D.2"+n~2

3.數列｛&｝的前〃項和為S,已知$=1-2+3—4+…+(—1)〃7?〃，則品=()

A.9B.8C.17D.16

4.已知等差數列｛&｝的前A項和為￡,a=5,&=15,則數歹49一1的前100項和為()

1aa+1J

100n99八99n101

A?而B.而C.礪D.而

5.已知函數/U)"的圖象過點(4,2),2f'〃水記數列⑷的前

〃項和為S,貝！ISOM=()A.yj2013-1B.劣20為一1C.y20為一1

D.、2015+1

考點突破：

考點一分組求和

【例1】設數歹U?｝滿足囪=2,改+&=8,且對任意〃GN*,函數fC?)=(a〃-&+1+2〃+2)彳

+%+icosx—an+2sinx滿足￡(高=0.(1)求數列｛&｝的通項公式；⑵若

bn=2(a“+J-),求數列仇｝的前n項和Sn.

考點二并項求和

【例2】在等差數列｛&｝中，已知公差d=2,切是&與&的等比中項.(1)求數列｛&｝的通

項公式；(2)令=即(“+[),記北=一瓜+慶一瓜+幼一…+(―1)"4,求7k

變式提高：已知數列｛a,,｝的前〃項和S“=巴聲，〃eN*.(1)求數列｛%｝的通項公式;

(2)設d=2%+(-l)"a“，求數列也｝的前2〃項和.

考點三裂項相消法

思考：裂項相消主要涉及哪些類型？方法的根本是什么？例如：a尸—L；a產

nn-rk

1〃+1k村

g+W；af〃+22等等

【例3】已知數列｛4｝滿足a=1,a.+i=l-；,其中〃CN*.

4&

9

(1)設4=^一7,求證：數列｛4｝是等差數列，并求出｛4｝的通項公式；

4

⑵設，=蒸，求數列｛&c葉。的前n項和為T.

變式提高：2、已知等差數列｛a,,｝的公差為列前〃項和為S“，且，,邑,$4成等比數列.

（I）求數列｛4｝的通項公式；（n）令a=（—iyi--------,求數列他j的前"項和

4%

知識方法總結:

鞏固練習

1、設等差數列｛aj的前〃項和為S,且S=2S+4,戊=36,數列｛4｝是各項均為正數的

等比數列，且》?幼=2,幼?4=32.（1）求數列｛4｝,｛4｝的通項公式；（2）求數列1+4｝

的前n項和；（3）設4=￡—1（〃GN*）,7L=T;+T+^----求森

b\bzthbn

《數列求和》學情分析

對于初中學過的多數知識.在高中沒有系統深入學習的機會而初中內容是學習高中數學

的必要基礎，因而在學習高中內容時有意識地復習、深化初中內容顯得特別重要。

適當加強本章內容與函數的聯系適當加強這種聯系，不僅有利于知識的融匯貫通，加

深對數列的理解，運用函數的觀點和方法解決有關數列的問題，而且反過來可使學生對函數

的認識深化一步。比如，學生在此之前接觸的函數一般是自變量連續變化的函數，而到本章

接觸到數列這種自變量離散變化的函數之后，就能進一步理解函數的一般定義，防止了前面

內容安排可能產生的學生認識上的負遷移。

數列求和是學生學習的難點，主要方法有分組求和，并項求和，裂項相消求和，乘公比

錯位相減，倒序相加，方法的選擇要根據通項公式的形式，學生需要在合作探究中發現里面

的本質，牢固的掌握。

《數列求和》效果分析

一、學生明確了高考的考試方向。數列求和是高中數學的難點，有可能和函數相結合，

綜合性的題目要分解難點解決，目標明確，重點突出，學生要做到既會又對。

二、學生是課堂的主體，通過學生表情的變化、思維的速度，回答問題、練習、測

試、動手操作的準確性等信息反饋，準確把握學生新知識新技能的掌握情況。不僅關注尖

子生的接受情況，更要及時關注弱科生，邊緣生的接受情況，根據課堂問題及時調整教學

方式，一切以學生接受為教學的根本。

三、及時糾正學生的思維誤區。學生對方法有認識，但是應用不熟練，理解不透徹，

如何選擇存在疑慮。課堂教學中充分體現師生平等、教學民主的思想，信息交流暢通，

情感交流融洽，合作和諧，配合默契，教與學的氣氛達到最優化，課堂教學效果達到最大

化。教師教得輕松，學生學得愉快。

《數列求和》教材分析

數列作為一種特殊的函數，是反映自然規律的基本數學模型。在本模塊中，學生通過等

差數列和等比數列這兩種數列模型，探索并掌握它們的一些基本數量關系，感受這兩種數列

模型的廣泛應用，并利用它們解決一些實際問題。

數列在整個中學數學教學內容中，處于一個知識匯合點的地位，很多知識都與數列有

著密切聯系，過去學過的數、式、方程、函數、簡易邏輯等知識在這一章均得到了較為充分

的應用，學習這一章便于對學生進行綜合訓練，從而有助于培養學生綜合運用知識解決問題

的能力。

本章內容中，涉及多種數學思想方法,如函數思想、方程思想、遞歸思想、合理猜想等,

教學中要突出思想方法在解題中的作用，技巧的熟練掌握應建立在學生體會理解的基礎上,

不要以特殊的技巧沖淡通性通法的領悟.

數列求和

一、選擇題

1.在等差數列｛%｝中，%=1,%=5,則｛。“｝的前5項和55=()

A.7B.15C.20D.25

2.若數歹H｝的通項公式是為=(-2),則a+色H--Faio=().

A.15B.12C.-12D.-15

i9niQ

3.在數列｛&｝中，&=-上一，若｛&｝的前〃項和為宗需，則項數〃為().

n〃十1/014

A.2011B.2012C.2013D.2014

4.數列｛a｝滿足a+］+(—1)”為=2〃-1,則｛4｝的前60項和為().

A.3690B.3660C.1845D.1830

5.已知數列｛a.｝的通項公式為a.=2〃+l,令4=,(國+a+…+a.),則數列｛4｝的前10

n

項和/io=()

A.70B.75C.80D.85

6.數列｛&｝滿足4+&+尸：(力@心，且a=1，S是數列｛&｝的前〃項和，則5=().

A.^B.6C.10D.11

二、填空題

7.在等比數列｛a｝中，若24=—4,則公比q=；|311+|aH----H&l=

8.等比數列｛a〃｝的前A項和S=2"—1,則4+■+…+4=.

9.已知等比數列｛aj中，&=3,a=81,若數歹!］伉｝滿足瓦=log3a”，則數歹”念;］的前〃

項和Sn=.

三、解答題

10.等差數列｛a.｝的各項均為正數，a=3,前A項和為S,｛4｝為等比數列，瓦=1,且質S

=64,左W=960.(1)求品與4；(2)求----

Ol02)

11.已知數列｛a｝的前〃項和為S,且a=La+i=［s(〃=l,2,3,…).

(1)求數列｛&｝的通項公式；

⑵設4=log1(3&+i)時，求數列kA］的前〃項和Tn.

Z\DnUn+\\

12、設等差數列｛&｝的前刀項和為S,且W=2S+4,a=36,數列｛4｝是各項均為正數的

等比數列，且A?慶=2,瓜?&=32.⑴求數列｛&｝,｛4｝的通項公式；(2)求數列｛&+〃｝

的前n項和；(3)設1(〃￡N*),北=4+4+4+…+［，求森

D\thDiOn

評測練習答案

BACDBB-2|(4"-1)n

n+1

10.

解(1)設｛4｝的公差為“｛4｝的公比為S則d為正數，&=3+(〃-l)d,bn=(f\

[&&=6+(/g=64,

依題意有…

&h=9+3dq2=960,

r,6

陽2,仁飛'

解得O或〈S(舍去)

(q=840

故4=3+2(〃—1)=2〃+Lbn=8〃T.

⑵S=3+5+…+(2〃+1)=刀(〃+2),

所以工----F—=—^―+^—+-^—

切以SS&1X32X43X5n+2

圭一旬

_3_2〃+3

42〃+1〃+2'

11.

r一乂

a+i-26，

解(1)由已知得1]

&=尹-1

3

得到an+i=-aX^2).

3

二數列｛&｝是以選為首項，以￡為公比的等比數列.

pill

又為=5$=5&=5,

...&=檢x2（62）.

《數列求和》課后反思

學習新課程標準理念要求教師從片面注重知識的傳授轉變到注重學生學習能力的培養，

教師不僅要關注學生學習的結果，更重要的是要關注學生的學習過程，促進學生學會自主學