壓軸熱點考點03含參方程組及其應用一、單選題1．隨著科研的投入，某種藥品的價格連續兩次降價，價格由原來每盒元下降到元．設平均下降率為，則，，滿足的關系式為（

）A． B． C． D．2．a、b為兩個不等實數，，則的值等于（）A． B．1 C． D．23．在開啟全面建設社會主義現代化國家新征程中，人民的生活水平不斷提高，家庭轎車的擁有量逐年增加．據統計，某市年月底機動車保有量為萬輛，年月底機動車保有量為萬輛，如果該市機動車保有量年平均增長率為，符合題意的方程是（）A． B．C． D．4．“，兩地相距7500米，甲、乙兩個小組同時從地出發勻速步行到地……”．若設乙組的速度為米/分，則可列方程．由此判斷原題中缺少的部分可能是（）A．甲組的步行速度是乙組的倍，甲組比乙組用時多15分鐘B．甲組的步行速度是乙組的倍，甲組比乙組用時少15分鐘C．乙組的步行速度是甲組的倍，甲組比乙組用時多15分鐘D．乙組的步行速度是甲組的倍，甲組比乙組用時少15分鐘5．已知a，b，c均為非負整數，且，．當時，則這三個數字組成的最大三位數可能是（

）A．340 B．430 C．520 D．6106．某科考隊分成兩支小隊進入沙漠采集環境信息，第一小隊于早晨進入沙漠，并于在一顆枯樹旁做了標記，此時第二小隊進入沙漠，走到時正好經過枯樹看到了標記，已知兩支小隊在距離出發點的位置相遇，設第一小隊的平均速度是，則符合題意的方程是（

）A． B．C． D．7．甲、乙兩個工程隊共同承擔了全長5100米的公路改造任務，乙隊每天的工作效率是甲隊的倍，甲隊先單獨工作2天后，再與乙隊共同完成剩余的工作，其中乙隊一共完成了2400米的公路改造任務．設甲隊每天能改造米公路，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．8．已知二次函數和一次函數（，為常數）．若．當函數的圖象經過點時，與之間的數量關系為（）A．或 B．或 C． D．二、填空題9．為了喜迎元旦，某區籌備了精彩的文藝演出，籌辦組在一塊正方形的廣場空地上搭建舞臺，并設計了如圖所示的方案，其中陰影部分為舞臺．舞臺區域的寬均為6米，中間空白的面積為216平方米，若設正方形空地的邊長為x米，則可列方程．

10．列方程組解題：“今有馬二、牛一，直金七兩；馬三、牛二，直金十二兩．馬、牛各直金幾何？”其大意是：2匹馬，1頭牛，一共價值7兩；3匹馬，2頭牛，一共價值12兩，問每匹馬、每頭牛各價值多少兩？設每匹馬兩，每頭牛兩．根據題意，可列方程組為．11．設拋物線，其中a，b均為實數．（1）若拋物線與x軸只有一個交點，則的值為；（2）若拋物線經過點，則代數式的最小值為．12．若一個函數的圖像上存在橫、縱坐標之和等于0的點，則稱該點為這個函數圖像的“零點”．在平面直角坐標系中，已知點、，若一次函數圖像上的“零點”為點C，則當為等腰三角形時，k的值為．13．“分田地”是《九章算術》中一個問題：“分田地，三人分之二，留三畝，問田地幾何？”意思為：一塊田地，三個人分了總面積的，剩下了畝，問這塊田有多少畝？設這塊田為畝，則的值為．14．有下列命題，其中正確命題的序號．①若，則；②在一個不透明的箱子里放有1個白球和2個紅球，它們除顏色外其余都相同，從箱子里任意摸出1個球，摸到白球的概率是；③已知的周長等于，則該圓內接正六邊形的邊心距OG為；④點，都在二次函數的圖象上．若，則m的取值范圍為：；⑤若關于x的一元二次方程有兩個實數根，，且，則或6⑥求代數式的最值，可通過“換元法”求解：設，則代數式可化為，利用二次函數的性質可求得最大值為．15．函數（b為常數）有下列結論：①圖像具有對稱性，對稱軸是直線；②當時，函數有最小值；③若，點，在該函數圖像上，則當時，；④若關于x的方程有四個實數根，則這四個根之和一定為．其中正確的結論是（填寫序號）16．我們學習了一元二次方程和二次函數，綜合利用它們的性質解決問題，閱讀下列材料，回答問題：例：已知關于x的方程有實數根，求t的最大值？解：由題意可知，當t=0時，方程有實數解當時，即∴設函數當時，綜上(1)已知關于x的方程有實數根，則m的最大值為；(2)已知方程有實數根，則x-2y的最大值為．三、解答題17．如圖，在平面直角坐標系內，為坐標原點，點在軸負半軸上，點在軸正半軸上，且．設點，，線段、的長是關于的一元二次方程的兩個根．(1)求過A、B、C三點的拋物線的解析式；(2)設上述拋物線的頂點為，求直線的解析式．18．已知點在開口向上的拋物線上，若點也在此拋物線上，將拋物線在點之間的部分記為圖象（含點）．(1)求拋物線的頂點坐標；(2)若圖象上任意兩點縱坐標差的最大值為2，求整數的值．19．【課本再現】材料一：解方程：．解：把常數項移到方程的右邊，得．兩邊都加，得，即．兩邊開方，得，即或，所以，．在上例中，我們通過配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，這種解一元二次方程的方法稱為配方法．材料二：對于某些二次三項式也可以通過配方，利用完全平方式的非負性解決其最值問題．例如：．∵，∴，即有最小值1．【嘗試運用】（1）解一元二次方程，配方后可變形為（

）A．

B．

C．

D．（2）利用配方法求的最值．【拓展應用】（3）已知方程，求的值．20．如圖，某中學把五育并舉與減負延時服務相結合，勞動課準備在校園里利用校圍墻的一段再圍三面籬笆，形成一個矩形茶園，讓學生在茶園里體驗種茶活動．現已知校圍墻長25米，籬笆40米長（籬笆用完），設長米，矩形茶園的面積為平方米．

(1)求與之間的函數關系式，并直接寫出自變量的取值范圍；(2)當矩形茶園的面積為200平方米時，求的長．壓軸熱點考點03含參方程組及其應用一、單選題1．隨著科研的投入，某種藥品的價格連續兩次降價，價格由原來每盒元下降到元．設平均下降率為，則，，滿足的關系式為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查了一元二次方程的應用，設平均下降率為，根據題意列出一元二次方程，解方程即可求解，根據題意列出方程是解題的關鍵．【詳解】設平均下降率為，依題意得：，故選：．2．a、b為兩個不等實數，，則的值等于（）A． B．1 C． D．2【答案】A【分析】本題考查根與系數的關系，解題的關鍵是根據題意得：，是方程的兩個根，即：，根據根與系數的關系得到，，代入代數式求值即可．【詳解】解：根據題意得：，是方程的兩個根，即：，，，原式．故選：A．3．在開啟全面建設社會主義現代化國家新征程中，人民的生活水平不斷提高，家庭轎車的擁有量逐年增加．據統計，某市年月底機動車保有量為萬輛，年月底機動車保有量為萬輛，如果該市機動車保有量年平均增長率為，符合題意的方程是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用年月底機動車保有量年月底機動車保有量(該市機動車保有量年平均增長率為)，即可得出關于的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：依題意得：，故選：．【點睛】此題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．4．“，兩地相距7500米，甲、乙兩個小組同時從地出發勻速步行到地……”．若設乙組的速度為米/分，則可列方程．由此判斷原題中缺少的部分可能是（）A．甲組的步行速度是乙組的倍，甲組比乙組用時多15分鐘B．甲組的步行速度是乙組的倍，甲組比乙組用時少15分鐘C．乙組的步行速度是甲組的倍，甲組比乙組用時多15分鐘D．乙組的步行速度是甲組的倍，甲組比乙組用時少15分鐘【答案】B【分析】根據題意，分析和表示的意義，即可解答．【詳解】解：根據題意可得：表示乙組速度的倍，表示乙組所用時間，∴表示甲組比乙組用時少15分鐘，∴原題中缺少的部分可能是“甲組的步行速度是乙組的倍，甲組比乙組用時少15分鐘”，故選：B．【點睛】本題主要考查了分式方程的實際應用，解題的關鍵是正確理解題意，分析出和表示的意義．5．已知a，b，c均為非負整數，且，．當時，則這三個數字組成的最大三位數可能是（

）A．340 B．430 C．520 D．610【答案】C【分析】根據進行分類討論即可求解．【詳解】解：，且均為非負整數，①當時，，，，，會組成四位數，不滿足題意；②當時，，，，，故組成最大的三位數為：；③時，，，，解得：，組成最大的三位數為：綜上所述，它們最大三位數是，故選：C．【點睛】本題主要考查了三元一次方程組，掌握三元一次方程組的解法是解題的關鍵，同時要運用了分類討論的數學思想．6．某科考隊分成兩支小隊進入沙漠采集環境信息，第一小隊于早晨進入沙漠，并于在一顆枯樹旁做了標記，此時第二小隊進入沙漠，走到時正好經過枯樹看到了標記，已知兩支小隊在距離出發點的位置相遇，設第一小隊的平均速度是，則符合題意的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據題意可求第二小隊的速度為，再根據兩隊的時間差為即列分式方程即可．【詳解】解；設第一小隊的平均速度是，則第二小隊的速度為，由題意可得：，故選：A．【點睛】本題考查分式方程的實際應用，明確題意，找出數量關系是解題的關鍵．7．甲、乙兩個工程隊共同承擔了全長5100米的公路改造任務，乙隊每天的工作效率是甲隊的倍，甲隊先單獨工作2天后，再與乙隊共同完成剩余的工作，其中乙隊一共完成了2400米的公路改造任務．設甲隊每天能改造米公路，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據題意列出分式方程求解即可．【詳解】解：根據題意，得：，變形：．故選：B．【點睛】此題考查了分式方程的應用，解題的關鍵是找準題目中的等量關系．8．已知二次函數和一次函數（，為常數）．若．當函數的圖象經過點時，與之間的數量關系為（）A．或 B．或 C． D．【答案】A【分析】首先根據條件求出，然后將代入，得出關于、等式即可求解．【詳解】解：，，，，，，函數的圖象經過點，，或，或．故選：A．【點睛】本題主要考查二次函數的性質，解一元二次方程，正確并且靈活地應用二次函數的性質是解題的關鍵．二、填空題9．為了喜迎元旦，某區籌備了精彩的文藝演出，籌辦組在一塊正方形的廣場空地上搭建舞臺，并設計了如圖所示的方案，其中陰影部分為舞臺．舞臺區域的寬均為6米，中間空白的面積為216平方米，若設正方形空地的邊長為x米，則可列方程．

【答案】【分析】本題考查一元二次方程的應用．若設正方形空地的邊長為x米，則中間空白的長為米，寬為米，根據長方形面積公式即可列出方程．【詳解】解：根據題意，得，故答案為：．10．列方程組解題：“今有馬二、牛一，直金七兩；馬三、牛二，直金十二兩．馬、牛各直金幾何？”其大意是：2匹馬，1頭牛，一共價值7兩；3匹馬，2頭牛，一共價值12兩，問每匹馬、每頭牛各價值多少兩？設每匹馬兩，每頭牛兩．根據題意，可列方程組為．【答案】【分析】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，根據2匹馬，1頭牛，一共價值7兩；3匹馬，2頭牛，一共價值12兩，列出二元一次方程組即可．【詳解】解：由題意得：，故答案為：．11．設拋物線，其中a，b均為實數．（1）若拋物線與x軸只有一個交點，則的值為；（2）若拋物線經過點，則代數式的最小值為．【答案】【分析】（1）對于來說，當，由拋物線與x軸只有一個交點得到，即可得到答案；（2）拋物線經過點，得，則，則，即可得到答案．【詳解】解：（1）對于來說，當，∵拋物線與x軸只有一個交點，∴，解得．故答案為：（2）由題意得，即，∴，∴代數式的最小值為，故答案為：【點睛】此題考查了配方法的應用、拋物線與x軸的交點問題等知識，熟練掌握二次函數的性質和配方法是解題的關鍵．12．若一個函數的圖像上存在橫、縱坐標之和等于0的點，則稱該點為這個函數圖像的“零點”．在平面直角坐標系中，已知點、，若一次函數圖像上的“零點”為點C，則當為等腰三角形時，k的值為．【答案】或或【分析】設，分，，三種情況，根據兩點間距離公式、等腰三角形的性質分別列式求解即可．【詳解】解：、，，一次函數圖像上的“零點”為點C，設，為等腰三角形時有下列三種情況：當為腰，且點A為頂點時，，，，，解得，，當時，點C的坐標為，，解得，當時，點C的坐標為，，解得；當為腰，且點B為頂點時，，，，，解得，，當時，點C的坐標為，不在一次函數圖像上，故不合題意，舍去；當時，點C的坐標為，此時點A與點C重合，故不合題意，舍去；當為底邊，點C為頂點時，，此時點C在線段的垂直平分線上，點C的橫坐標為，點C的坐標為，，解得，綜上可知，k的值為或或．故答案為：或或．【點睛】本題考查坐標與圖形，等腰三角形的性質，一次函數的圖象和性質，解一元二次方程等，解題的關鍵是掌握等腰三角形的性質，注意分情況討論，避免漏解．13．“分田地”是《九章算術》中一個問題：“分田地，三人分之二，留三畝，問田地幾何？”意思為：一塊田地，三個人分了總面積的，剩下了畝，問這塊田有多少畝？設這塊田為畝，則的值為．【答案】【分析】根據題意的等量關系列出方程，解方程即可．【詳解】由題意得：，解得：，故答案為：．【點睛】此題考查了古代數學問題列一元一次方程，審清題意，明確等量關系是解題的關鍵．14．有下列命題，其中正確命題的序號．①若，則；②在一個不透明的箱子里放有1個白球和2個紅球，它們除顏色外其余都相同，從箱子里任意摸出1個球，摸到白球的概率是；③已知的周長等于，則該圓內接正六邊形的邊心距OG為；④點，都在二次函數的圖象上．若，則m的取值范圍為：；⑤若關于x的一元二次方程有兩個實數根，，且，則或6⑥求代數式的最值，可通過“換元法”求解：設，則代數式可化為，利用二次函數的性質可求得最大值為．【答案】②③④⑤⑥【分析】當時，①的結論是錯誤的；由概率公式可得摸到白球的概率是，故可判斷②是正確的；由的周長可計算出半徑，可進一步求出該圓內接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為，故可判斷③是正確的；根據二次函數的圖象與性質結合可判斷④是正確的；根據根與系數的關系可得，把變形，再整體代入得到方程求解即可得或6；根據二次函數的性質即可求解．【詳解】解：①若，當時，則，故結論①錯誤；②一共有3個球，有1個白球，從箱子里任意摸出1個球，摸到白球的概率是，故結論②正確；③連接，如圖，∵正六邊形是圓的內接多邊形，∴，∵，∴，∵的周長等于，∴，∴，故③正確；④∵點都在二次函數的圖象上，∴∵，∴∴，即，∴，故④正確．⑤∵關于x的一元二次方程有兩個實數根，∴，即，且，∵，∴，即，∴，即，解得：或．故⑤正確；⑥設，所以，=∵,∴代數式有最大值，當，最大值為，故⑥正確；綜上，正確的結論為②③④⑤⑥，故答案為：②③④⑤⑥．【點睛】本題主要考查了不等式的性質，概率公式，正多邊形與圓，二次函數的圖象與性質以及最值，熟練掌握相關知識是解答本題的關鍵15．函數（b為常數）有下列結論：①圖像具有對稱性，對稱軸是直線；②當時，函數有最小值；③若，點，在該函數圖像上，則當時，；④若關于x的方程有四個實數根，則這四個根之和一定為．其中正確的結論是（填寫序號）【答案】①④/④①【分析】根據二次函數的圖象與性質及解一元二次方程的方法進行判斷即可．【詳解】解；∵b為常數，對一次函數的對稱性不具有影響，如圖，函數具有對稱性，對稱軸是直線，故①正確，

∵函數，∴函數有最小值0，此時，故②錯誤；當時，函數，如圖所示，當時，y隨x的增大而減小，當時，y隨x的增大而減小，∴則當時，和的大小不確定，故③錯誤；

∵若關于x的方程有四個實數根，∴當時，解得，，當時，解得，，∴，故④正確，故答案為：①④．【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質及解一元二次方程，熟練掌握相關知識是解題的關鍵．16．我們學習了一元二次方程和二次函數，綜合利用它們的性質解決問題，閱讀下列材料，回答問題：例：已知關于x的方程有實數根，求t的最大值？解：由題意可知，當t=0時，方程有實數解當時，即∴設函數當時，綜上(1)已知關于x的方程有實數根，則m的最大值為；(2)已知方程有實數根，則x-2y的最大值為．【答案】【分析】（1）仿照例題得出，進而根據二次函數的性質即可求解．（2）令，則，將代入，得，根據題意得出，進而根據二次函數的性質即可求解．【詳解】解：（1）∵關于x的方程，即有實數根，∴，，，即∴設函數當時，綜上，故答案為：5．（2）令，則，將代入，整理得，該方程有實數根，∴∴有最大值即的最大值為，故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．三、解答題17．如圖，在平面直角坐標系內，為坐標原點，點在軸負半軸上，點在軸正半軸上，且．設點，，線段、的長是關于的一元二次方程的兩個根．(1)求過A、B、C三點的拋物線的解析式；(2)設上述拋物線的頂點為，求直線的解析式．【答案】(1)(2)．【分析】本題是二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有待定系數法求拋物線的公式和解一元二次方程等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數形結合數學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．（1）根據題意分別求出、、三點坐標，再將、、三點坐標代入即可求得拋物線的解析式；（2）先拋物線的解析式求出頂點的坐標，進而便可求出直線的解析式．【詳解】（1）、是方程的兩個根．，，，，，，，，（舍去），當時，，．，，，，按題意得，，將，，代入，可得，解得，拋物線的解析式為；（2），點，設直線的解析式為，則，解得，即．18．已知點在開口向上的拋物線上，若點也在此拋物線上，將拋物線在點之間的部分記為圖象（含點）．(1)求拋物線的頂點坐標；(2)若圖象上任意兩點縱坐標差的最大值為2，求整數的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了二次函數的圖像及性質及解一元二次方程，熟練掌握二次函數的圖像及性質是解題的關鍵．（1）由點在開口向上的拋物線上，得拋物線的對稱軸為直線，從而得，進而即可求解；（2）由（1）知拋物線的對稱軸為直線，且開口向上及得，從而得．進而得，于是有，解得（舍去），進而即可得解．【詳解】（1）解：點在開口向上的拋物線上，拋物線的對稱軸為直線，，．