Page18第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某學校有高一、高二、高三三個年級，已知高一、高二、高三的學生數之比為，現用分層抽樣抽取一個容量為的樣本，從高一學生中用簡潔隨機抽樣抽取樣本時，學生甲被抽到的概率為，則該學校學生的總數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出整個抽樣過程中，每個學生被抽到的概率為，結合樣本容量為可求得該學校學生的總數.【詳解】從高一學生中用簡潔隨機抽樣抽取樣本時，學生甲被抽到的概率為，所以，在整個抽樣過程中，每個學生被抽到的概率為，所以，從該學校中抽取一個容量為的樣本時，則該學校學生的總數為.故選：B.【點睛】本題考查利用分層抽樣計算總容量，考查計算實力，屬于基礎題.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據特稱命題的否定是全稱命題即可求解.【詳解】命題“”的否定是“”.故選：A.3.復數（i為虛數單位）在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】先對復數化簡計算，然后再推斷其在復平面內對應的點所在的位置【詳解】因為，所以復數在復平面內對應的點位于其次象限，故選：B4.用電腦每次可以從區間內自動生成一個實數，且每次生成每個實數都是等可能性的，若用該電腦連續生成3個實數，則這3個實數都大于的概率為A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】由題意可得：每個實數都大于的概率為，則3個實數都大于的概率為.本題選擇C選項.5.如圖，某系統運用，，三種不同的元件連接而成，每個元件是否正常工作互不影響．當元件正常工作且，中至少有一個正常工作時系統即可正常工作．若元件，，正常工作的概率分別為0.7，0.9，0.8，則系統正常工作的概率為（）A.0.196 B.0.504 C.0.686 D.0.994【答案】C【解析】【分析】由題意分析，列舉出系統能正常工作的基本領件，應用概率的加法公式求概率即可.【詳解】由題意知：系統能正常工作的基本領件有{A、B和C正常工作，A、B正常工作而C不正常工作，A、C正常工作而B不正常工作}，∴A、B和C正常工作的概率為：；A、B正常工作而C不正常工作的概率為；A、C正常工作而B不正常工作的概率為；∴系統正常工作的概率.故選：C.6.已知正四棱柱中，，為中點，則異面直線與所形成角的余弦值為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線與所形成角的余弦值．【詳解】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，設，則，，，，，，設異面直線與所形成角為，則.∴異面直線與所形成角的余弦值為.故選A．【點睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎學問，考查運算求解實力，考查數形結合思想，是中檔題．7.通過加強對野生動物的棲息地疼惜和拯教繁育，某瀕危野生動物的數量不斷增長，依據調查探討，該野生動物的數量（t的單位：年），其中K為棲息地所能承受該野生動物的最大數量.當時，該野生動物的瀕危程度降到較為平安的級別，此時約為（）（）A.9 B.10 C.11 D.12【答案】C【解析】【分析】利用列方程，結合對數運算求得.【詳解】解析依據題意，所以，所以，所以，得.故選:C8.已知命題p：點在圓內，則直線與C相離；命題q：直線直線m，//平面，則.下列命題正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分析真假性后推斷選項【詳解】對于命題p，點在圓內，則，故圓心到直線距離，直線與圓相離，為真命題，對于命題q，與位置關系不確定，為假命題，選項中只有為真命題．故選：B9.已知直線l分別與函數和的圖象都相切，且切點的橫坐標分別為，，則（）A.e B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】設l與的切點為，與的切點為，利用斜率相等即可建立方程求出.【詳解】設l與的切點為，與的切點為，公切線的斜率：，可得：，所以，．故選：C.【點睛】本題考查直線與曲線相切問題，利用直線的斜率等于在切點處的導數值可建立等量關系求解，屬于中檔題.10.已知橢圓()的右焦點為，離心率為，過點的直線交橢圓于，兩點，若的中點為，則直線的斜率為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】依據中點坐標公式、橢圓離心率公式，結合點差法進行求解即可.【詳解】解：設，，則的中點坐標為，由題意可得，，將，的坐標的代入橢圓的方程：，作差可得，所以，又因為離心率，，所以，所以，即直線的斜率為，故選：A.11.已知F2，F1是雙曲線的上，下兩個焦點，點F2關于漸近線的對稱點恰好落在以F1為圓心，|OF1|為半徑的圓上，則雙曲線的離心率為A.2 B. C.3 D.【答案】A【解析】【分析】先求出點F2關于漸近線的對稱點坐標，再代入以F1為圓心，|OF1|為半徑的圓方程中，解得離心率.【詳解】設點F2關于漸近線的對稱點為，由已知得，解得，又以F1為圓心，|OF1|為半徑圓的方程為，把點M的坐標代入上式得，又，所以，解得．故選：A12.已知定義在上的函數滿意，當時，．則的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】構造函數，依據題意可得的圖像關于x=1對稱，即得關于x=1對稱，再由，可得在時的單調性，最終化簡題中不等式為，依據單調性與對稱性化簡不等式得，解不等式可得結果.【詳解】令因為函數滿意，所以的圖像關于x=1對稱，關于x=1對稱，又，所以當時，，即在上單調遞減，依據對稱性得，在上單調遞增，因此化簡可得，解得.故選：A【點睛】本題考查函數單調性，對稱性的綜合應用，難點在于構造函數，考查分析理解，計算化簡的實力，屬較難題.第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數的單調減區間為________________.【答案】【解析】【分析】求函數的定義域，然后解不等式，可求得函數的單調遞減區間.【詳解】函數的定義域為，，解不等式，即，解得.因此，函數的單調遞減區間為.故答案為：【點睛】本題考查利用導數求函數單調區間，不要忽視了函數定義域的求解，考查計算實力，屬于基礎題.14.設滿意約束條件，則目標函數的最大值為__________．【答案】3【解析】【分析】作出約束條件所表示的平面區域，結合圖象確定函數的最優解，解求解目標函數的最大值，得到答案．【詳解】由題意，作出約束條件表示的平面區域，如圖所示，目標函數，可化為直線，當直線過點A時，直線在y軸上的截距最大，此時目標函數取得最大值，又由，解得，所以目標函數的最大值為．【點睛】本題主要考查簡潔線性規劃求解目標函數的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數的最優解是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，及推理與計算實力，屬于基礎題．15.已知A、B、C、D為空間不共面的四個點，且，則當三棱錐體積最大時，其外接球的表面積為______．【答案】【解析】【分析】由題可得當BA、BC、BD兩兩垂直時，三棱錐的體積最大，將三棱錐補形為一個長寬高分別為，，的長方體，即得.【詳解】當BA、BC、BD兩兩垂直時，如圖三棱錐的底面的面積和高同時取得最大值，則三棱錐的體積最大，此時將三棱錐補形為一個長寬高分別為，，的長方體，長方體的外接球即為三棱錐的外接球，球的半徑，表面積為．故答案為：.16.過點的直線與拋物線交于，兩點，線段的垂直平分線經過點，為拋物線的焦點，則的值為__________．【答案】6【解析】【詳解】設AB的中點為H，拋物線的焦點為，準線為，設A、B、H在準線上的射影為，則，由拋物線的定義可得，，，過的直線設為，與聯立得：，，計算得出且，又，AB的中點為線段AB的垂直平分線過點方程為過中點，則，，解出或（舍去），則，，則三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據要求作答．（一）必考題：共60分17.我們國家正處于老齡化社會中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有戶籍人口400萬，其中老人（年齡60歲及以上）人數約有66萬，為了了解老人們的健康狀況，政府從老人中隨機抽取600人并托付醫療機構免費為他們進行健康評估，健康狀況共分為不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四個等級，并以80歲為界限分成兩個群體進行統計，樣本分布被制作成如下圖表：（1）若接受分層抽樣的方法再從樣本中的不能自理的老人中抽取16人進一步了解他們的生活狀況，則兩個群體中各應抽取多少人？（2）估算該市80歲及以上長者占全市戶籍人口的百分比；（3）政府支配為80歲及以上長者或生活不能自理的老人每人購買1000元/年的醫療保險，為其余老人每人購買600元/年的醫療保險，不行重復享受，試估計政府執行此支配的年度預算．【答案】（1）抽取人中不能自理的歲及以上長者人數為6人，歲以下長者人數為人；（2）％；（3）約為4.51億元.【解析】【分析】（1）從圖表中求出不能自理的80歲及以上長者占比，由此能求出抽取16人中不能自理的80歲及以上長者人數為．

（2）求出在600人中80歲及以上長者在老人中占比，用樣本估計總體，能求出80歲及以上長者占戶籍人口的百分比．

（3）用樣本估計總體，計算抽樣的600人的預算，進而能估計政府執行此支配的年度預算．【小問1詳解】數據整理如下表：健康狀況健康基本健康不健康尚能自理不能自理80歲及以上2045201580歲以下2002255025從圖表中知不能自理的歲及以上長者比為：，故抽取人中不能自理的歲及以上長者人數為人，歲以下長者人數為人；【小問2詳解】在人中歲及以上長者在老人中占比為：，用樣本估計總體，歲及以上長者共有萬，歲及以上長者占戶籍人口的百分比為％=％；【小問3詳解】先計算抽樣的600人的預算，其中享受1000元/年的人數為人，享受600元/年的人數為人，預算為：元用樣本估計總體，全市老人的總預算為元，所以政府執行此支配的年度預算約為4.51億元.18.已知函數在處取得極值，（1）求的值及的單調區間；（2）若函數在區間上的最大值為，求實數的值.【答案】（1），函數的單調遞增區間是，函數的單調遞減區間是.（2）【解析】【分析】（1）依據是函數的極值點，得到，解得，再依據導數得到函數的單調區間；（2）依據函數的單調性和極值點，得到，解得的值.【詳解】解析：（1）函數所以，因為在處取得極值，可得，即，解得，所以令，解得或，令，解得所以函數的單調遞增區間是，函數單調遞減區間是.（2）由（1）知，為遞增，遞減，所以的最大值取，中的較大者又由于所以，即整理得，解得.【點睛】本題考查依據極值點求參數的值，利用導數探討函數的單調性，依據函數的最值求參數的值，屬于中檔題.19.在如圖所示的空間幾何體中，兩等邊三角形與相互垂直，，和平面所成的角為，且點在平面上的射影落在的平分線上.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點，連接，依據等邊三角形的性質可知平面，作平面，那么，通過計算證明四邊形是平行四邊形，故，由此可得平面；（2）設點B到平面ADE的距離為,由，計算即可得解.【詳解】（1）取中點，連接，由題知，為的平分線，設點是點在平面上的射影，由題知，點在上，連接，則平面.平面平面，平面平面，平面，平面,.和平面所成的角為，即，,又，四邊形為平行四邊形，.平面，平面，平面（2）設點B到平面ADE的距離為由得：解得.20.已知橢圓的離心率，左、右焦點分別為，點，點在線段的中垂線上．（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓交于兩點，直線與的傾斜角分別為，且，求證：直線過定點，并求該定點的坐標．【答案】（1）（2）直線過定點，該定點的坐標為．【解析】【詳解】試題分析：（1）由已知得，，解方程即可得解；（2）設直線MN方程為y=kx+m，與橢圓聯立得．設，，由此利用韋達定理結合已知條件能求出直線MN的方程為y=k（x-2），從而能證明直線MN過定點（2，0）．試題解析：（1）由橢圓的離心率得，其中，∴，∴解得，，，∴橢圓的方程為．（2）由題意，知直線存在斜率，設其方程為．由消去，得．設，，則，即，，.且由已知，得,即．化簡，得∴整理得．∴直線的方程為，因此直線過定點，該定點的坐標為．點睛：定點、定值問題通常是通過設參數或取特別值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角問題，證明該式是恒定的.定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數，運用推理，到最終必定參數統消，定點、定值顯現.21.已知函數.（1）求在點處切線方程；（2）若存在，滿意成立，求實數的取值范圍.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）求導得到，計算，依據切線方程公式得到答案.（2）變換得到，求導得到函數的單調性，計算函數的最大值得到答案.【詳解】（1），所以，，所以在點處的切線方程為：，即；（2）由題意，，即，令，得.因為時，，時，，所以在上減，在上增，又時，所以的最大值在區間端點處取到.而，，，所以，所以在上最大