概率

一.選擇題

1.（2016?浙江省湖州市?3分）有一枚均勻的正方體骰子，骰子各個面上的點數分別為1,2,

3,4,5,6,若任意拋擲一次骰子，朝上的面的點數記為x,計算|x-4],則其結果恰為2

的概率是（）

A.B.C.D.

【考點】列表法與樹狀圖法；絕對值；概率的意義.

【分析】先求出絕對值方程|x-4|=2的解，即可解決問題.

【解答】解：；|x-4|=2,

x=2或6.

???其結果恰為2的概率==.

故選C.

2.（2016?內蒙古包頭?3分）同時拋擲三枚質地均勻的硬幣，至少有兩枚硬幣正面向上的概

率是（）

A.B.C.D.

【考點】列表法與樹狀圖法.

【分析】根據題意，通過列樹狀圖的方法可以寫出所有可能性，從而可以得到至少有兩枚硬

幣正面向上的概率.

【解答】解：由題意可得，所有的可能性為:

至少有兩枚硬幣正面向上的概率是：=,

故選D.

3.（2016?湖北武漢?3分）不透明的袋子中裝有性狀、大小、質地完全相同的6個球，其中4

個黑球、2個白球，從袋子中一次摸出3個球，下列事件是不可能事件的是（）

A.摸出的是3個白球B.摸出的是3個黑球

C.摸出的是2個白球、1個黑球D.摸出的是2個黑球、1個白球

【考點】不可能事件的概率

【答案】A

【解析】?.?袋子中有4個黑球，2個白球，...摸出的黑球個數不能大于4個，摸出白球的個

數不能大于2個。

A選項摸出的白球的個數是3個，超過2個，是不可能事件。

故答案為：A

4.（2016?四川攀枝花）下列說法中正確的是（）

A.“打開電視，正在播放《新聞聯播》”是必然事件

B.41X2<0（x是實數）”是隨機事件

C.擲一枚質地均勻的硬幣10次，可能有5次正面向上

D.為了了解夏季冷飲市場上冰淇淋的質量情況，宜采用普查方式調查

【考點】概率的意義；全面調查與抽樣調查；隨機事件.

【專題】探究型.

【分析】根據選項中的事件可以分別判斷是否正確，從而可以解答本題.

【解答】解：選項A中的事件是隨機事件，故選項A錯誤；

選項B中的事件是不可能事件，故選項B錯誤；

選項C中的事件是隨機事件，故選項C正確；

選項D中的事件應采取抽樣調查，普查不合理，故選D錯誤；

故選C.

【點評】本題考查概率的意義、全面調查與抽樣調查、隨機事件，解題的關鍵是明確概率的

意義，根據實際情況選擇合適的調查方式.

5.（2016?四川瀘州）在一個布口袋里裝有白、紅、黑三種顏色的小球，它們

除顏色外沒有任何區別，其中白球2只，紅球6只，黑球4只，將袋中的球

攪勻，閉上眼睛隨機從袋中取出1只球，則取出黑球的概率是（）

A.B.C.D.

【考點】概率公式.

【分析】根據隨機事件概率大小的求法，找準兩點：①符合條件的情況數目；

②全部情況的總數.二者的比值就是其發生的概率的大小.

【解答】解：根據題意可得：口袋里共有12只球，其中白球2只，紅球6只，

黑球4只,

故從袋中取出一個球是黑球的概率：P（黑球）

故選：C.

6.（2016?黑龍江齊齊哈爾?3分）下列算式

①=±3；②=9；③26—23=4；（4）=2016；⑤a+a=a?.

運算結果正確的概率是（）

A.B.C.D.

【考點】概率公式.

【分析】分別利用二次根式的性質以及負整數指數哥的性質、同底數暴的除法運算法則、合

并同類項法則進行判斷，再利用概率公式求出答案.

【解答】解：①=3,故此選項錯誤；

②==9,正確；

@26-23=23=8,故此選項錯誤；

④=2016,正確；

⑤a+a=2a,故此選項錯誤，

故運算結果正確的概率是：.

故選：B.

7.（2016?山東省東營市?3分）東營市某學校組織知識競賽，共設有20道試題，其中有關中

國優秀傳統文化試題10道，實踐應用試題6道，創新能力試題4道.小捷從中任選一道

試題作答，他選中創新能力試題的概率是（）

A-5B-ToC-5D,2

【知識點】簡單事件的概率——概率的計算公式

【答案】A.

【解析】共設有20道試題，其中創新能力試題4道，所以從中任選一道試題，選中創新能

41

力試題的概率是去=點故選擇A.

【點撥】本題考查的是概率公式，熟知隨機事件A的概率尸（A）=湍可能溫

8.（2016?山東省濟寧市?3分）如圖，在4x4正方形網格中，黑色部分的圖形構成一個軸對

稱圖形，現在任意選取一個白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的圖形仍然構成一個軸對稱

圖形的概率是（）

A.B.C.D.

【考點】概率公式；利用軸對稱設計圖案.

【分析】由在4x4正方形網格中，任選取一個白色的小正方形并涂黑，共有13種等可能的

結果，使圖中黑色部分的圖形構成一個軸對稱圖形的有5種情況，直接利用概率公式求解即

可求得答案.

【解答】解：：根據軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合，白色的

小正方形有13個，而能構成一個軸對稱圖形的有4個情況，

使圖中黑色部分的圖形仍然構成一個軸對稱圖形的概率是:

故選B.

9.（2016?浙江省紹興市?4分）一枚質地均勻的骰子，其六個面上分別標有數字1,2,3,4,

5,6,投擲一次，朝上一面的數字是偶數的概率為（）

A.B.C.D.

【考點】概率公式.

【分析】直接得出偶數的個數，再利用概率公式求出答案.

【解答】解：,??一枚質地均勻的骰子，其六個面上分別標有數字1,2,3,4,5,6,投擲

一次，

朝上一面的數字是偶數的概率為：=.

故選：C.

10.（2016?廣西百色?3分）在不透明口袋內有形狀、大小、質地完全一樣的5個小球，其中

紅球3個，白球2個，隨機抽取一個小球是紅球的概率是（）

A.B.C.D.

【考點】概率公式.

【分析】用紅球的個數除以所有球的個數即可求得抽到紅球的概率.

【解答】解：：共有5個球，其中紅球有3個,

:.p（摸到紅球）

故選c.

11.（2016海南3分）三張外觀相同的卡片分別標有數字1、2、3,從中隨機一次抽出兩張,

這兩張卡片上的數字恰好都小于3的概率是（）

1211

A.3B.3C.6D.9

【考點】列表法與樹狀圖法.

【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩張卡片上的數

字恰好都小于3的情況，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：畫樹狀圖得：

231312

:共有6種等可能的結果，而兩張卡片上的數字恰好都小于3有2種情況，

2_1

...兩張卡片上的數字恰好都小于3概率=石=可.

故選A.

【點評】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.解題的關鍵是要注意是放回實驗還是不

放回實驗.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

二、填空題

1.（2016?黑龍江龍東-3分）在一個不透明的袋子中裝有除顏色外其他均相同的4個紅球，3

個白球，2個綠球，則摸出綠球的概率是—.

【考點】概率公式.

【分析】由在一個不透明的袋子中裝有除顏色外其他均相同的4個紅球，3個白■球，2個綠

球，直接利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：：在一個不透明的袋子中裝有除顏色外其他均相同的4個紅球，3個白球，2

個綠球，

，摸出綠球的概率是：=.

故答案為:

2.（2016?湖北黃石-3分）如圖所示，一只螞蟻從A點出發到D,E,F處尋覓食物.假定

螞蟻在每個岔路口都可能的隨機選擇一條向左下或右下的路徑（比如A岔路口可以向左下

到達B處，也可以向右下到達C處，其中A,B,C都是岔路口）.那么，螞蟻從A出發到

達E處的概率是1

一2一

【分析】首先根據題意可得共有4種等可能的結果，螞，蟻從A出發到達E處的2種情況,

然后直接利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：畫樹狀圖得:

?.?共有4種等可能的結果，螞蟻從A出發到達E處的2種情況,

螞蟻從A出發到達E處的概率是：2=1.

42

故答案為：1.

2

【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情

況數之比.

3.（2016.湖北荊門.3分）荊楚學校為了了解九年級學生“一分鐘內跳繩次數”的情況，隨機

選取了3名女生和2名男生，則從這5名學生中，選取2名同時跳繩，恰好選中一男一女的

概率是______.

【考點】列表法與樹狀圖法.

【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與剛好抽到一男一

女的情況，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：畫樹狀圖如下：

由樹狀圖可知共有20種等可能性結果，其中抽到一男一女的情況有12種，

所以抽到一男一女的概率為P（一男一女）=,

故答案為：.

4.（2016?湖北武漢?3分）一個質地均勻的小正方體，6個面分別標有數字1、1、2、4、5.若

隨機投擲一次小正方體，則朝上一面的數字是5的概率為.

【考點】概率公式

【答案】-

3

【解析】???一個質地均勻的小正方體有6個面，其中標有數字5的有2個，.?.隨機投擲一次

71

小正方體，則朝上一面數字是5的概率為&=

63

6.（2016?遼寧丹東?3分）一個袋中裝有兩個紅球、三個白球，每個球除顏色外都相同.從

中任意摸出一個球，摸到紅球的概率是\frac{2}{5}.

【考點】概率公式.

【分析】先求出球的總數，再根據概率公式求，解即可.

【解答】解：：一個袋中裝有兩個紅球、三個白球，

.?.球的總數=2+3=5,

.,?從中任意摸出一個球，摸到紅球的概率=.

故答案為：.

7.（2016?四川內江）任取不等式組廠一3/°，的一個整數解，則能使關于尤的方程：2x+k

12左+5>0

=-1的解為非.負數的概率為.

［答案］:

［考點］解不等式組，概率。

々一3<0v

［解析］不等式組鼠+5>0的解集為一廣仁3,其整數解為人=-2,-1,0,1,2,3.

其中，當％=—2,—1時，方程2x+左=-1的解為非負數.

所以所求概率尸=1■=[

63

故答案為：y.

8.（2016?山東省濱州市4分）有5張看上去無差別的卡片，上面分別寫著0,兀，，，

1.333.隨機抽取1張，則取出的數是無理數的概率是_____.

【考點】概率公式；無理數.

【分析】讓是無理數的數的個數除以數的總數即為所求的概率.

【解答】解：所有的數有5個，無理數有兀，共2個，

抽到寫有無理數的卡片的概率是"5=.

故答案為：.

【點評】考查概率公式的應用；判斷出無理數的個數是解決本題的易錯點.

9.（2016?重慶市A卷.4分）從數-2,-,0,4中任取一個數記為m,再從余下的三個

數中，任取一個數記為n,若1<=1?!,則正比例函數y=kx的圖象經過第三、第一象限的概率

是一^

【分析】根據題意先畫出圖形，求出總的情況數，再求出符合條件的情況數，最后根據概率

公式進行計算即可.

【解答】解：根據題意畫圖如下:

共有12種情況,

??,正比例函數y=kx的圖象經過第三、第一象限，

.\k>0,

k=mn,

.*.mn>0,

符合條件的情況數有2種，

...正比例函數丫=1爾的圖象經過第三、第一象限的概率是=；

故答案為：.

【點評】本題考查了概率的知識.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

10.(2016?重慶市B卷.4分)點P的坐標是(a,b),從-2,-1,0,1,2這五個數中

任取一個數作為a的值，再從余下的四個數中任取一個數作為b的值，則點P(a,b)在平

面直角坐標系中第二象限內的概率是_____.

【考點】列表法與樹狀圖法；坐標確定位置.

【專題】計算題.

【分析】先畫樹狀圖展示所有20種等可能的結果數，再根據第二象限點的坐標特征找出點

P(a,b)在平面直角坐標系中第二象限內的結果數，然后根據概率公式求解.

【解答】解：畫樹狀圖為：

共有20種等可能的結果數，其中點P(a,b)在平面直角坐標系中第二象限內的結果數為4,

所以點P(a,b)在平面直角坐標系中第二象限內的概率=

故答案為.

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果求出

n,再從中選出符合事件A或B的結果數目m,然后根據概率公式求出事件A或B的概率.也

考查了坐標確定位置.

11.(2016?廣西桂林-3分)把一副普通撲克牌中的數字2,3,4,5,6,7,8,9,10的9

張牌洗均勻后正面向下放在桌面上，從中隨機抽取一張，抽出的牌上的數恰為3的倍數的概

率是______?

【考點】概率公式.

【分析】先確定9張撲克牌上的數字為3的倍數的張數，再根據隨機事件A的概率P(A)

=,求解即可.

【解答】解：：數字為3的倍數的撲克牌一共有3張，且共有9張撲克牌，

；.P==.

故答案為：.

12.(2016?黑龍江哈爾濱?3分)一個不透明的袋子中裝有黑、白小球各兩個，這些小球除顏

色外無其他差別，從袋子中隨機摸出一個小球后，放回并搖勻，再隨機摸出一個小球，則兩

次摸出的小球都是白球的概率為_____.

【考點】列表法與樹狀圖法.

【分析】依據題意先用列表法或畫樹狀圖法分析所有等可能的出現結果，然后根據概率公式

求出該事件的概率即可.

【解答】解：列表得,

黑1黑2白1白2

黑1里1里1里八、、1里八、、—2T黑1白1黑1白2

黑2里八、、j2里八、、1*黑2黑2黑2白1黑2白2

白1白1黑1白1黑2白1白1白1白2

白2白2黑1白2黑2白2白1白2白2

..?由表格可知，不放回的摸取2次共有16種等可能結果，其中兩次摸出的小球都是白球有

4種結果，

...兩次摸出的小球都是白球的概率為：=,

故答案為：.

13.（2016貴州畢節5分）擲兩枚質地均勻的骰子，其點數之和大于10的概率為______.

【考點】列表法與樹狀圖法.

【分析】首先根?據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與其點數之和大

于10的情況，再利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：列表如下：

123456

1234567

2345678

3456789

45678910

567891011

6789101112

?.?兩次拋擲骰子總共有36種情況,而和大于10的只有：（56),(6,5),(6,6)三種情

況，

，點數之和大于10的概率為：

故答案為：.

14.（2016河南）在“陽光體育”活動期間，班主任將全班同學隨機分成了4組進行活動,

該班小明和小亮同學被分在一組的概率是_____.

【考點】列表法與樹狀圖法.

【分析】利用畫樹狀圖法列出所有等可能結果，然后根據概率公式進行計算即可求解.

【解答】解：設四個小組分別記作A、B、C、D,

畫樹狀圖如圖：

由樹狀圖可知，共有16種等可能結果，其中小明、小亮被分到同一個小組的結果由4種,

...小明和小亮同學被分在一組的概率是

故答案為：.

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖，解題的關鍵在于用列表法或畫樹狀圖法列出所有等可

能結果，根據：概率=所求情況數與總情況數之比計算是基礎.

三.解答題

1.（2016?福建龍巖分）某中學需在短跑、長跑、跳遠、跳高四類體育項目中各選拔一名

同學參加市中學生運動會.根據平時成績，把各項目進入復選的學生情況繪制成如下不完整

的統計圖：

（1）參加復選的學生總人數為25人,扇形統計圖中短跑項目所對應圓心角的度數為—

72°；

（2）補全條形統計圖，并標明數據；

（3）求在跳高項目中男生被選中的概率.

【考點】概率公式；扇形統計圖；條形統計圖.

【分析】（10利用條形統計圖以及扇形統計圖得出跳遠項目的人數和所占比例，即可得出

參加復選的學生總人數；用短跑項目的人數除以總人數得到短跑項目所占百分比，再乘以

360。即可求出短跑項目所對應圓心角的度數；

（2）先求出長跑項目的人數，減去女生人數，得出長跑項目的男生人數，根據總人數為25

求出跳高項目的女生人數，進而補全條形統計圖；

（3）用跳高項目中的男生人數除以跳高總人數即可.

【解答】解：（1）由扇形統計圖和條形統計圖可得：

參加復選的學生總人數為：（5+3）+32%=25（人）；

扇形統計圖中短跑項目所對應圓心角的度數為：x360°=72°.

故答案為：25,72；

（2）長跑項目的男生人數為：25x12%-2=1,

跳高項目的女生人數為：25-3-2-1-2-5-3-4=5.

如下圖：

（3）.??復選中的跳高總人數為9人，

跳高項目中的男生共有4人，

???跳高項目中男生被選中的概率=.

2.（2016?廣西百色?8分）某校在踐行“社會主義核心價值觀”演講比賽中，對名列前20名的

選手的綜合分數m進行分組統計，結果如表所示：

組號分組頻數

一6<m<72

二7<m<87

三8<m<9a

四9<m<102

（1）求a的值；

（2）若用扇形圖來描述，求分數在80n<9內所對應的扇形圖的圓心角大小；

（3）將在第一組內的兩名選手記為：Ai、A2,在第四組內的兩名選手記為：Bi、B2,從第

一組和第四組中隨機選取2名選手進行調研座談，求第一組至少有1名選手被選中的概率（用

樹狀圖或列表法列出所有可能結果）.

【考點】列表法與樹狀圖法；頻數（率）分布表；扇形統計圖.

【分析】（1）根基被調查人數為20和表格中的數據可以求得a的值；

（2）根據表格中的數據可以得到分數在8Wm<9內所對應的扇形圖的圓心角大；

（3）根據題意可以寫出所有的可能性，從而可以得到第一組至少有1名選手被選中的概率.

【解答】解：（1）由題意可得,

a=20-2-7-2=9,

即a的值是9；

（2）由題意可得，

分數在8sm<9內所對應的扇形圖的圓心角為：360°x=36°；

（3）由題意可得，所有的可能性如下圖所示，

故第一組至少有1名選手被選中的概率是：=,

即第一組至少有1名選手被選中的概率是.

3.（2016?貴州安順?12分）某校開展了“互助、平等、感恩、和諧、進取”主題班會活動，活

動后，就活動的5個主題進行了抽樣調查（每位同學只選最關注的一個），根據調查結果繪

制了兩幅不完整的統計圖.根據圖中提供的信息，解答下列問題：

（1）這次調查的學生共有多少名？

（2）請將條形統計圖補充完整，并在扇形統計圖中計算出“進取”所對應的圓心角的度數.

（3）如果要在這5個主題中任選兩個進行調查，根據（2）中調查結果，用樹狀圖或列表法,

求恰好選到學生關注最多的兩個主題的概率（將互助、平等、感恩、和諧、進取依次記為A、

B、C、D、E）.

【分析】（1）根據“平等”的人數除以占的百分比得到調查的學生總數即可；

（2）求出“互助”與“進取”的學生數，補全條形統計圖，求出“進取”占的圓心角度數即可；

（3）列表或畫樹狀圖得出所有等可能的情況數，找出恰好選到“C”與“E”的情況數，即可求

出所求的概率.

【解答】解：（1）56-20%=280（名），

答：這次調查的學生共有280名；

（2）280xl5%=42（名），280-42-56-28-70=84（名），

補全條形統計圖，如圖所示，

根據題意得：84+280=30%,360°x30%=108°,

答：“，進取”所對應的圓心角是108°；

（3）由（2）中調查結果知：學生關注最多的兩個主題為“進取”和“感恩”用列表法為：

ABCDE

A(A,B)(A,C)(A,D)(A,E)

B(B,A)(B,C)(B,D)(B,E)

C(C,A)(C,B)(C,D)(C,E)

D(D,A)(D,B)(D,C)(D,E)

E(E,A)(E,B)(E,C)(E,D)

用樹狀圖為:

共20種情況，恰好選到“C”和“E”有2種,

.?.恰好選到“進取”和“感恩”兩個主題的概率是

【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法，扇形統計圖，以及條形統計圖，熟練掌握運算法則

是解本題的關鍵.

4.（2016河北）（本小題滿分9分）

如圖1,一枚質地均勻的正四面體骰子，它有四個面并分別標有數字1,2,3,4.

D3

圖1圖2

第23題圖

如圖2,正方形ABCD頂點處各有一個圈.跳圈游戲的規則為：游戲者每擲一次骰子，骰子

著地一面上的數字是幾，就沿正方形的邊順時針方向連續跳幾個邊長.

如：若從圖A起跳，第一次擲得3,就順時針連續跳3個邊長，落到圈。若第二次擲得

2,就從。開始順時針連續跳2個邊長，落到圈&

設游戲者從圈A起跳.

（1）嘉嘉隨機擲一次骰子，求落回到圈A的概率尸1；

（2）淇淇隨機擲兩次骰子，用到棗法求最后落回到圈A的概率外，并指出她與嘉嘉落回到

圈A的可能性一樣嗎？

23.解：（1）V擲一次骰子有4種等可能結果，只有擲得4時，才會落回到圈/,

AP=~.................................................3分

.4

（2）列表如下:

1234

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)

4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)

.........................................................6分

所有等可能的情況共有16種，當兩次擲得的數字和為4的倍數，

即（1,3）,（2,2）,（3,1）.（4,4）時，才可落回到圈共有4種.

而4=一,:.一樣..........................................9分

解析：這道題是到簡單題，第一問，每種可能性相同，IX就可以了。第二問列表就簡單了,

就是回到A,可能是2圈，千萬不要忘了。

知識點：概率

5.（2016?云南省昆明市）甲、乙兩個不透明的口袋，甲口袋中裝有3個分別標有數字1,2,

3的小球，乙口袋中裝有2個分別標有數字4,5的小球，它們的形狀、大小完全相同，現

隨機從甲口袋中摸出一個小球記下數字，再從乙口袋中摸出一個小球記下數字.

（1）請用列表或樹狀圖的方法（只選其中一種），表示出兩次所得數字可能出現的所有結果;

（2）求出兩個數字之和能被3整除的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式.

【分析】先根據題意畫樹狀圖，再根據所得結果計算兩個數字之和能被3整除的概率.

【解答】解：（1）樹狀圖如下:

（2）?共6種情況，兩個數字之和能被3整除的情況數有2種，

???兩個數字之和能被3整除的概率為，

即P（兩個數字之和能被3整除）=.

6.（2016?山東省德州市?4分）在甲、乙兩名同學中選拔一人參加“中華好詩詞”大賽，在相

同的測試條件下，兩人5次測試成績（單位：分）如下：

甲：79,86,82,85,83

乙：88,79,90,81,72.

回答下列問題：

（1）甲成績的平均數是83,乙成績的平均數是82；

（2）經計算知S甲2=6,S乙2=42.你認為選拔誰參加比賽更合適，說明理由；

（3）如果從甲、乙兩人5次的成績中各隨機抽取一次成績進行分析，求抽到的兩個人的成

績都大于80分的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法；算術平均數；方差.

【分析】（1）根據平均數的定義可列式計算；

（2）由平均數所表示的平均水平及方差所衡量的成績穩定性判斷可知;

(3)列表表示出所有等可能的結果，找到能使該事件發生的結果數，根據概率公式計算可

得.

【解答】解：(1)==83(分),

==82(分)；

(2)選拔甲參加比賽更合適，理由如下：

,/>,且S甲2Vs乙2,

???甲的平均成績高于乙，且甲的成績更穩定,

故選拔甲參加比賽更合適.

(3)列表如下:

7986828583

8888,7988,8688,8288,8588,83

7979,7979,8679,8279,8579,83

9090,7990,8690,8290,8590,83

8181,7981,8681,8281,8581,83

7272,7972,8672,8272,8572,83

由表格可知，所有等可能結果共有25種，其中兩個人的成績都大于80分有12種,

抽到的兩個人的成績都大于80分的概率為

故答案為：(1)83,82.

【點評】本題主要考查平均數、方差即列表或畫樹狀圖求概率，根據題意列出所有等可能結

果及由表格確定使事件發生的結果數是解題的關鍵.

7.(2016?山東省東營市?8分)“校園安全”受到全社會的廣泛關注，東營市某中學對部分學

生就校園安全知識的了解程度，采用隨機抽樣調查的方式，并根據收集到的信息進行統

計，繪制了下面兩幅尚不完整的統.計圖.請你根據統計圖中所提供的信息解答下列問題:

扇形統計圖條形統計圖

(第20題圖)

(1)接受問卷調查的學生共有人,扇形統計圖中“基本了解”部分所對應扇形的圓心

角為<

(2)請補全條形統計圖;

(3)若該中學共有學生900人，請根據上述調查結果，估計該中學學生中對校園安全知識

達到“了解”和“基本了解”程度的總人數；

(4)若從對校園安全知識達到“了解”程度的3個女生和2個男生中隨機抽取2人參加校園

安全知識競賽，請用樹狀圖或列表法求出恰好抽到1個男生和1個女生的概率.

【知識點】統計圖一扇形統計圖、條形統計圖；數據的收集與處理一用樣本估計總體；

概率——求概率的方法

【思路分析】(1)在扇形圖中找到“了解很少''所占的百分比，在條形圖中找出“了解很少”

所對應的人數，據此即可求出接受問卷調查的學生總人數；在條形圖中找出“基本了解”部分

的人數，用這個人數除以接受調查的總人數所得的商再乘以360。,即可求出扇形統計圖中“基

本了解”部分所對應扇形的圓心角的度數.

（2）先用接受調查總人數■基本了解”的人數-“基本了解”的人數-“不了解”的人數，算出“了

解”的人數，再根據“了解”的人數補全條形統計圖.

（3）利用總人數900乘以“了解”和“基本了解”所對應的百分比即可求解.

（4）首先根據題意列出表格，然后由表格求得所有等可能的結果以及一男一女參加比賽的

情況，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】⑴60,90。；

（2）補全條形統計圖如圖所示：

條形統計圖

（第20題答案圖）

（3）根據題意得：900x-^-=300（人），

則估計該中學學生中對校園安全知識達到“了解”和“基本了解”程度的總人數為300人.

（4）列表法如圖所示：

第2個

女1女2女3男,男2

第1

女?（女］，女2）（女1,女?）（女一男1）（女，，男2）

女2（女2,女I）（女2.女a）（女2,男1）（女2,男2）

女3（女3?女1）（女3.女2）（女3,男（女3.男2）

男1（男「女（男1，女2）（男1，女3）（男1，男2）

男2（男”女2）（男2,女（男2,男1

則所有等可能的情況有20種，其中選中1個男生和1個女生的情況有12種，所以恰好抽到

1個男生，和1個女生的概率：尸=1而2=3]

【方法總結】本題（1）?（3）考查的是條形統計圖和扇形統計圖的綜合運用，讀懂統計圖，從

不同的統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵.條形統計圖能清楚地表示出每個項目的

數據；扇形統計圖直接反映部分占總體的百分比大小.本題（4）考查的是用列表法或樹狀圖

法求概率.注意樹狀圖法與列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于

兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解此類題時要注意題目是放回

實驗還是不放回實驗，概率=所求情況數與總情況數之比.

8.（2016?山東省苗澤市?3分）銳銳參加我市電視臺組織的“牡丹杯”智力競答節目，答對最

后兩道單選題就順利通關，第一道單選題有3個選項，第二道單選題有4個選項，這兩道題

銳銳都不會，不過銳銳還有兩個“求助”可以用（使用“求助”一次可以讓主持人去掉其中一題

的一個錯誤選項）.

（1）如果銳銳兩次“求助”都在第一道題中使用，那么銳銳通關的概率是_____.

（2）如果銳銳兩次“求助”都在第二道題中使用，那么銳銳通關的概率是_____.

（3）如果銳銳將每道題各用一次“求助”，請用樹狀圖或者列表來分析他順序通關的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法.

【專題】應用題.

【分析】（1）銳銳兩次“求助”都在第一道題中使用，第一道肯定能對，第二道對的概率為，

即可得出結果；

（2）由題意得出第一道題對的概率為，第二道題對的概率為，即可得出結果；

（3）用樹狀圖得出共有6種等可能的結果，銳銳順利通關的只有1種情況，即可得出結果.

【解答】解：（1）第一道肯定能對，第二道對的概率為

所以銳銳通關的概率為；

故答案為：；

（2）銳銳兩次“求助”都在第二道題中使用，

則第一道題對的概率為，第二道題對的概率為，

所以銳銳能通關的概率為x=；

故答案為：；

（3）銳銳將每道題各用一次“求助”，分別用A,B表示剩下的第一道單選題的2個選項，a,

b,c表示剩下的第二道單選題的3個選項，

樹狀圖如圖所示：

共有6種等可能的結果，銳銳順利通關的只有1種情況，

銳銳順利通關的概率為：.

【點評】此題考查了列表法或樹狀圖法求概率.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情

況數之比.

9.（2016?湖北隨州?8分）國務院辦公廳2015年3月16日發布了《中國足球改革的總體方

案》，這是中國足球歷史上的重大改革.為了進一步普及足球知識，傳播足球文化，我市舉

行了“足球進校園”知識競賽活動，為了解足球知識的普及情況，隨機抽取了部分獲獎情況進

行整理，得到下列不完整的統計圖表：

獲獎等次頻數頻率

一等獎100.05

二等獎200.10

三等獎30b

優勝獎a0.30

鼓勵獎800.40

請根據所給信息，解答下列問題：

(1)a=60,b=0.15,且補全頻數分布直方圖；

(2)若用扇形統計圖來描述獲獎分布情況，問獲得優勝獎對應的扇形圓心角的度數是多少？

(3)在這次競賽中，甲、乙、丙、丁四位同學都獲得一等獎，若從這四位同學中隨機選取

兩位同學代表我市參加上一級競賽，請用樹狀圖或列表的方法，計算恰好選中甲、乙二人的

概率.

【考點】列表法與樹狀圖法；頻數(率)分布表；頻數(率)分布直方圖；扇形統計圖.

【分析】(1)根據公式頻率=頻數+樣本總數，求得樣本總數，再根據公式得出a,b的值即

可；

(2)根據公式優勝獎對應的扇形圓心角的度數=優勝獎的頻率X360。計算即可;

(3)畫樹狀圖或列表將所有等可能的結果列舉出來，利用概率公式求解即可.

【解答】解：⑴樣本總數為10X）.05=200人,

a=200-10-20-30-80=60人,

b=30-200=0.15,

故答案為200,0.15；

(2)優勝獎所在扇形的圓心角為0.30x36(r=108。；

(2)列表：甲乙丙丁分別用ABCD表示,

恰好選中A、B的有2種,

畫樹狀圖如下:

AP（選中A、B）

10.（2016?吉林?5分）在一個不透明的口袋中裝有1個紅球，1個綠球和1個白球，這3個

球除顏色不同外，其它都相同，從口袋中隨機摸出1個球，記錄其顏色.然后放回口袋并搖

勻，再從口袋中隨機摸出1個球，記錄其顏色，請利用畫樹狀圖或列表的方法，求兩次摸到

的球都是紅球的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法.

【分析】首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩次摸到的球都

是紅球的情況，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：畫樹狀圖得：

:共有9種等可能的結果，摸到的兩個球都是紅球的有1種情況，

.,?兩次摸到的球都是紅球的概率=.

11.（2016?江西?8分）甲、乙兩人利用撲克牌玩“10點”游戲，游戲規則如下：

①將牌面數字作為“點數”，如紅桃6的“點數”就是6（牌面點數與牌的花色無關）；

②兩人摸牌結束時，將所摸牌的“點數”相加，若“點數”之和小于或等于10,止匕時“點數”之和

就是“最終點數”；若“點數”之和大于10,則“最終點數”是0；

③游戲結束前雙方均不知道對方“點數”；

④判定游戲結果的依據是：“最終點數”大的一方獲勝，“最終點數”相等時不分勝負.

現甲、乙均各自摸了兩張牌，數字之和都是5,這時桌上還有四張背面朝上的撲克牌，牌面

數字分別是4,5,6,7.

（1）若甲從桌上繼續摸一張撲克牌，乙不再摸牌，則甲獲勝的概率為\frac{l}{2}

（2）若甲先從桌上繼續摸一張撲克牌，接著乙從剩下的撲克牌中摸出一張牌，然后雙方不

再摸牌.請用樹狀圖或表格表示出這次摸牌后所有可能的結果，再列表呈現甲、乙的“最終

點數”，并求乙獲勝的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法.

【分析】（1）由現甲、乙均各自摸了兩張牌，數字之和都是5,甲從桌上繼續摸一張撲克牌,

乙不再摸牌，甲摸牌數字是4與5則獲勝，直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根據題意畫出樹狀圖，然后根據樹狀圖列出甲、乙的“最終點數”，繼而求得答案.

【解答】解：（1）°??現甲、乙均各自摸了兩張牌，數字之和都是5,甲從桌上繼續摸一張撲

克牌，乙不再摸牌，

.??甲摸牌數字是4與5則獲勝，

.??甲獲勝的概率為：=;

故答案為：；

（2）畫樹狀圖得：

則共有12種等可能的結果;

列表得:

，乙獲勝的概率為：.

12.（2016?遼寧丹東?10分）甲、乙兩人進行摸牌游戲.現有三張形狀大小完全相同的牌，

正面分別標有數字2,3,5.將三張牌背面朝上，洗勻后放在桌子上.

（1）甲從中隨機抽取一張牌，記錄數字后放回洗勻，乙再隨機抽取一張.請用列表法或畫

樹狀圖的方法，求兩人抽取相同數字的概率；

（2）若兩人抽取的數字和為2的倍數，則甲獲勝；若抽取的數字和為5的倍數，則乙獲勝.這

個游戲公平嗎？請用概率的知識加以解釋.

【考點】游戲公平性；列表法與樹狀圖法.

【分析】（1）利用列表法得到所有可能出現的結果，根據概率公式計算即可；

（2）分別求出甲、乙獲勝的概率，比較即可.

【解答】解：（1）所有可能出現的結果如圖：

從表格可以看出，總共有9種結果，每種結果出現的可能性相同，其中兩人抽取相同數字的

結果有3種，所以兩人抽取相同數字的概率為：；

（2）不公平.

從表格可以看出，兩人抽取數字和為2的倍數有5種，兩人抽取數字和為5的倍數有3種,

所以甲獲勝的概率為：，乙獲勝的概率為:

?/>，

???甲獲勝的概率大，游戲不公平.

13.（2016?四川南充）在校園文化藝術節中，九年級一班有1名男生和2名女生獲得美術

獎，另有2名男生和2名女生獲得音樂獎.

（1）從獲得美術獎和音樂獎的7名學生中選取1名參加頒獎大會，求剛好是男生的概率；

（2）分別從獲得美術獎、音樂獎的學生中各選取1名參加頒獎大會，用列表或樹狀圖求剛

好是一男生一女生的概率.

【分析】（1）直接根據概率公式求解；

（2）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果數，再找出剛好是一男生一女生的結果數，然后

根據概率公式求解.

【解答】解：（1）從獲得美術獎和音樂獎的7名學生中選取1名參加頒獎大會，剛好是男生

的概率==;

（2）畫樹狀圖為:

共有12種等可能的結果數，其中剛好是一男生一女生的結果數為6,

所以剛好是一男生一女生的概率==.

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法和樹狀圖法展示所有可能的結果求出n,

再從中選出符合事件A或B的結果數目m,求出概率.

14.(2016?四川內江)(9分)某學校為了增強學生體質，決定開放以下體育課外活動項目：

A.籃球、B.乒乓球、C.跳繩、D.踢保子.為了解學生最喜歡哪一種活動項目，隨機抽

取了部分學生進行調查，并將調查結果繪制成了兩幅不完整的統計圖(如圖7(1),圖7(2)),

請回答下列問題：

(1)這次被調查的學生共有人；

(2)請你將條形統計圖補充完整；

(3)在平時的乒乓球項目訓練中，甲、乙、丙、丁四人表現優秀，現決定從這四名同學任選

兩名參加乒乓球比賽，求恰好選中甲、乙兩位同學的概率(用樹狀圖或列表法解答).

［考點］統計圖、概率。

解：(1)由扇形統計圖可知：扇形4的圓心角是36。，

所以喜歡A項目的人數占被調查人數的百分比=羔乂100%=10%.............................1分

由條形圖可知：喜歡A類項目的人數有20人,

所以被調查的學生共有20月0%=200(人)......................................2分

(2)喜歡C項目的人數=200—(20+80+40)=60(人)，.............................3分

因此在條形圖中補畫高度為60的長方條，如圖所示.

......................................................................................................4分

(3)畫樹狀圖如下：

或者列表如下:

甲乙丙丁

甲甲乙甲丙甲丁

乙乙甲乙丙乙丁

丙丙甲丙乙丙丁

T丁甲丁乙丁丙

分..............................................................................7

從樹狀圖或表格中可知，從四名同學中任選兩名共有12種結果，每種結果出現的可能性相

等，其中選中甲乙兩位同學(記為事件A)有2種結果，所以

15.（2016?四川攀枝花）中秋佳節我國有賞月和吃月餅的傳統，某校數學興趣小組為了了

解本校學生喜愛月餅的情況，隨機抽取了60名同學進行問卷調查，經過統計后繪制了兩幅

尚不完整的統計圖.

（注：參與問卷調查的每一位同學在任何一種分類統計中只有一種選擇）

請根據統計圖完成下列問題：

（1）扇形統計圖中，“很喜歡”的部分所對應的圓心角為126。度;

條形統計圖中，喜歡“豆沙”月餅的學生有人；

（2）若該校共有學生900人，請根據上述調查結果，估計該校學生中“很喜歡”和“比較喜歡”

月餅的共有675人.

（3）甲同學最愛吃云腿月餅，乙同學最愛吃豆沙月餅，現有重量、包裝完全一樣的云腿、

豆沙、蓮蓉、蛋黃四種月餅各一個，讓甲、乙每人各選一個，請用畫樹狀圖法或列表法，求

出甲、乙兩人中有且只有一人選中自己最愛吃的月餅的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法；用樣本估計總體；扇形統計圖；條形統計圖.

【分析】（1）根據“很喜歡”的部分占的百分比，計算所對應的圓心角；

（2）用樣本估計總體的思想即可解決問題.

（3）畫出樹狀圖，根據概率的定義即可解決.

【解答】解：⑴???“很喜歡’的部分占的百分比為：1-25%-40%=35%,

???扇形統計圖中，“很喜歡”的部分所對應的圓心角為：360耿35%=126。；

:“很喜歡”月餅的同學數：60x35%=21,

...條形統計圖中，喜歡“豆沙”月餅的學生數：21-6-3-8=4,

故答案分別為126。，4.

（2）900名學生中“很喜歡”的有900x35%=315人,

900名學生中“比較喜歡”的有900x40%=360人,

估計該校學生中“很喜歡”和“比較喜歡”月餅的共有675人.

故答案為675.

（3）無聊表示方便，記云腿、豆沙、蓮蓉、蛋黃四種月餅分別為A