Page102025屆高三湖北十一校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每一小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則的虛部為（）A. B. C. D.3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.某地投資億元進(jìn)行基礎(chǔ)建設(shè)，年后產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益為億元，若該地投資基礎(chǔ)建設(shè)4年后產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的2倍，且再過(guò)年，該項(xiàng)投資產(chǎn)生的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益是投資額的8倍，則（）A.4 B.8 C.12 D.165.如圖，是邊長(zhǎng)2的正方形，為半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)）則的取值范圍為（）A. B. C. D.6.已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B. C. D.7.從集合中任取3個(gè)不同的數(shù)，它們的和能被3整除的概率為（）A. B. C. D.8.的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.國(guó)際跳水競(jìng)賽一共有八個(gè)評(píng)委現(xiàn)場(chǎng)打分，若八位評(píng)委給某個(gè)選手的打分分別為，記這組數(shù)據(jù)的平均分，中位數(shù)，方差，極差分別為、、、，去掉這組數(shù)據(jù)的一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，其平均數(shù)，中位數(shù)，方差，極差分別為、、、，則下列推斷中確定正確的是（）A. B. C. D.10.在平面直角坐標(biāo)系中，已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.是的一條對(duì)稱軸C.將函數(shù)圖象上的全部點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的函數(shù)解析式為D.在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)11.如圖，已知二面角的棱上有，兩點(diǎn)，，，，，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.當(dāng)二面角的大小為60°時(shí)，與平面所成的角為30°C.若，則四面體的體積為D.若，則二面角的余弦值為12.如圖，雙曲線的左右頂點(diǎn)為，，為右支上一點(diǎn)（不包含頂點(diǎn)），，，，直線與的漸近線交于、，為線段的中點(diǎn)，則（）A.雙曲線的離心率為 B.到兩條漸近線的距離之積為C. D.若直線與的斜率分別為，，則三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.綻開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)是______.14.已知，，，則的最小值為_(kāi)_____.15.已知是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)拋物線上一點(diǎn)作其準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)_____.16.對(duì)，，當(dāng)時(shí)，則的范圍為_(kāi)_____.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.（10分）已知，，分別是三角形三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，已知，，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的周長(zhǎng).18.（12分）已知為等差數(shù)列，公差，中的部分項(xiàng)恰為等比數(shù)列，且公比為，若，，（Ⅰ）求；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)之和.19.（12分）如圖，平面平面，點(diǎn)為半圓弧上異于，的點(diǎn)，在矩形中，，設(shè)平面與平面的交線為.（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）當(dāng)與半圓弧相切時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值.20.（12分）如圖，某人設(shè)計(jì)了一個(gè)類似于高爾頓板的嬉戲：將一個(gè)半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的中間入口處，小球?qū)⒆杂上侣洌∏蛟谙侣涞倪^(guò)程中，將3次遇到黑色障礙物，已知小球每次遇到黑色障礙物時(shí)，向左、右兩邊下落的概率都是，最終落入袋或袋中.一次嬉戲中小球落入袋記1分，落入袋記2分，嬉戲可以重復(fù)進(jìn)行.嬉戲過(guò)程中累計(jì)得分的概率為.（Ⅰ）求，，.（Ⅱ）寫(xiě)出與之間的遞推關(guān)系，并求出的通項(xiàng)公式.21.（12分）設(shè)動(dòng)圓與圓外切，與圓內(nèi)切.（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)且不與軸垂直的直線交軌跡于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，為的外心，摸索究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.22.（12分）已知函數(shù)，是大于0的常數(shù).記曲線在點(diǎn)處的切線為，在軸上的截距為，（Ⅰ）當(dāng)，時(shí)求切線的方程；（Ⅱ）證明：.2025屆高三湖北十一校第一次聯(lián)考參考答案一、選擇題題號(hào)123456789101112答案ACABCCDDBCDABADACD1.A【解析】，∴2.C【解析】∴虛部為3.A【解析】，或，前面可以推導(dǎo)后面，后面不能推導(dǎo)前面4.B【解析】時(shí)，∴，再過(guò)年，5.C【解析】，由投影的定義知∴6.C【解析】，∴為奇函數(shù)，，，∴∴為減函數(shù)，或7.D【解析】將按3同余分類得到：，，，∴.8.D【解析】由得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，且，剛好，的圖像如圖，得到有3個(gè)解.9.BCD10.AB【解析】由三角函數(shù)的定義的，取，∴，∴A正確.B：時(shí)，正確，C：平移后應(yīng)為所以C錯(cuò).D：由得，僅，1符合，恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以D錯(cuò).11.AD【解析】A：，故A正確；B：如圖，過(guò)作，且，連接，，則為正方形，為二面角的平面角，當(dāng)時(shí)，易得為正三角形，過(guò)作，則平面，故即為與平面所成的角.在中，，故B錯(cuò)誤；C：時(shí)，到面的距離為1，所以四面體的體積為，所以C錯(cuò)D：由可得如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，則二面角的平面角為，，，所以.12.ACD【解析】等軸雙曲線的離心率為所以A正確，B：設(shè)，所以B錯(cuò).C：，所以，C正確.D：方法1：設(shè)與雙曲線及其漸近線依次交于，，，由得中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為由得中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以和的中點(diǎn)重合，即為雙曲線弦的中點(diǎn)，由點(diǎn)差法得，所以D正確.方法2：設(shè)，，由∴，所以D正確.三.填空題：13.14.2515.616.13.【解析】14.25【解析】，15.6【解析】由拋物線的定義知，所以，，，，所以.16.【解析】?jī)蛇吶?duì)數(shù)所以在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，解出四.解答題：17.解：（1）由得：……2分∴∵，故為銳角，∴……4分∴……6分（2）由（1）知：，由正弦定理得：……10分∴故的周長(zhǎng)為14.……12分18.解：（1）由，，成等比數(shù)列，故，即即，又故，……2分故等比數(shù)列的公比……4分（2）在等差數(shù)列中，……6分在等比數(shù)列中，故，即……9分……12分19.解：（1）證明：∵四邊形為矩形，∴，∵平面，平面，∴平面……2分又平面，平面平面，∴，……4分∵平面，∴平面.……6分（2）取，的中點(diǎn)分別為，，連接，，則，∵平面平面，且交線為，∴平面，又平面，，當(dāng)與半圓弧相切時(shí)，，即，以，，所在的直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，……7分不妨設(shè)，易得，，，，則，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，∴，令，則……9分設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即令，則……11分∴，所以兩平面的夾角的余弦值為.……12分20.解：（1）小球三次碰撞全部向左偏或者全部向右偏落入袋，故概率小球落入袋中的概率……2分故，，……5分（2）法1：嬉戲過(guò)程中累計(jì)得不到分，只可能在得到分后的一次嬉戲中小球落入袋（分）故即……8分法2：嬉戲過(guò)程中累計(jì)得分可以分為兩種狀況：得到分后的一次嬉戲小球落入袋中（分），或得到分后的一次嬉戲中小球落入袋中（）分，故故為常數(shù)數(shù)列且，故即……8分由……10分故為等比數(shù)列且首項(xiàng)為，公比為故，故……12分21.解：（1）設(shè)動(dòng)圓半徑為，由圓與圓外切得：，由圓與圓內(nèi)切得：故，……2分故點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，且，，故∴點(diǎn)的軌跡的方程為：……4分（2）設(shè)，，由……6分故，，的中點(diǎn)故的中垂線的方程為：……8分因