20232024高一數學必修第一冊20232024高一數學必修第一冊專題09函數的奇偶性№考向解讀專題09函數的奇偶性№考向解讀?考點精析?真題精講?題型突破?專題精練第三張章函數的概念及性質專題09函數的奇偶性→?考點精析←1函數奇偶性的概念①一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有?x∈I，且f(?x)=f(x)，那么函數f(x)就叫做偶函數.②一般地，設函數f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有?x∈I，且f(?x)=?f(x)，那么函數f(x)就叫做奇函數.由奇偶函數的概念可知道其定義域I是關于原點對稱的.2性質①偶函數關于y軸對稱；②奇函數關于原點對稱；③若奇函數f(x)定義域內含有0，則f(0)=0；④在公共定義域內，兩個偶函數(或奇函數)的和(或差)仍是偶函數(或奇函數)，兩個偶函數(或奇函數)的積(或商)是偶函數，一個偶函數與一個奇函數的積(或商)是奇函數．3．奇偶函數的圖象與性質（1）如果一個函數是奇函數，則這個函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數是奇函數．（2）如果一個函數為偶函數，則它的圖象關于軸對稱；反之，如果一個函數的圖像關于軸對稱，則這個函數是偶函數．4．用定義判斷函數奇偶性的步驟（1）求函數的定義域，判斷函數的定義域是否關于原點對稱，若不關于原點對稱，則該函數既不是奇函數，也不是偶函數，若關于原點對稱，則進行下一步；（2）結合函數的定義域，化簡函數的解析式；（3）求，可根據與之間的關系，判斷函數的奇偶性．若，則是奇函數；若=，則是偶函數；若，則既不是奇函數，也不是偶函數；若且，則既是奇函數，又是偶函數5判斷函數奇偶性的方法①定義法先判斷定義域是否關于原點對稱，再求f(?x),看下與f(x)的關系：若f?x=f(x)，則y=fx是偶函數；若f②數形結合若函數關于原點對稱，則函數是奇函數；若函數關于y軸對稱，則函數是偶函數.③取特殊值排除法(選擇題)比如：若根據函數得到f(1)≠f(?1)，則排除f(x)是偶函數.④性質法偶函數的和、差、積、商(分母不為0)仍為偶函數；奇函數的和、差(分母不為0)仍為奇函數；奇(偶)數個奇函數的積為奇(偶)函數；兩個奇函數的商(分母不為0)為偶函數；一個奇函數與偶函數的積為奇函數.對于復合函數Fxg(x)f(x)F偶函數偶函數偶函數奇函數奇函數奇函數偶函數奇函數偶函數奇函數偶函數偶函數6關于函數奇偶性的常見結論（1）函數具有奇偶性的必要條件是其定義域關于原點對稱．（2）奇偶函數的圖象特征．函數是偶函數函數的圖象關于軸對稱；函數是奇函數函數的圖象關于原點中心對稱．（3）若奇函數在處有意義，則有；偶函數必滿足．（4）偶函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相反；奇函數在其定義域內關于原點對稱的兩個區間上單調性相同．（5）若函數的定義域關于原點對稱，則函數能表示成一個偶函數與一個奇函數的和的形式．記，，則．（6）運算函數的奇偶性規律：運算函數是指兩個（或多個）函數式通過加、減、乘、除四則運算所得的函數，如．對于運算函數有如下結論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）復合函數的奇偶性原來：內偶則偶，兩奇為奇．→?題型突破←【題型一】對函數奇偶性概念的理解角度1函數奇偶性的概念1．（2023·陜西·榆林市第十中學高一階段練習）下列函數是奇函數的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于A：定義域為，不關于原點對稱，所以為非奇非偶函數，故A錯誤；對于B：定義域為，則，即為偶函數，故B錯誤；對于C：定義域為，則，故為奇函數，故C正確；對于D：定義域為，則，所以為偶函數，故D錯誤；故選：C2.已知f(x)=ax2+bx是定義在[a?1,2a]上的偶函數，那么a+b【解析】依題意得f(?x)=f(x)，∴b=又a?1=?2a(奇偶函數的定義域關于原點對稱)，∴a=13，3.f(x)是定義在R上的奇函數，下列結論中，不正確的是________：13【解析】根據奇函數的定義可知f(?x)=?f(x)，則(1)，(2)正確；對于3，對于(4)，f(x)是定義在R上的奇函數，則f(0)=0,則(4)不正確，故答案為：角度2判斷函數的奇偶性情況1具體函數的奇偶性判斷4.函數f(x)=4?x2|x+3|?3【解析】要使函數有意義，則4?x2≥0|x+3|?3≠0解得?2<x<0或0<x<2，則定義域關于原點對稱．此時x+3=x+3，則函數f∵f?x∴函數f(x)是奇函數，圖象關于原點對稱，【點撥】本題利用定義法判斷函數的奇偶性，首先判斷定義域是否關于原點對稱，這點很重要；5.（2023·湖北·華中師大一附中高一開學考試）已知函數.(1)若，判斷的奇偶性并加以證明.(2)若對任意恒成立，求實數的取值范圍.【解析】（1），當時，，定義域為R，此時，所以為奇函數，當時，定義域為，且，所以為奇函數，綜上：為奇函數.（2）,即，在上恒成立，整理為在上恒成立，令，當時，，所以，故實數的取值范圍為.情況2抽象函數的奇偶性判斷6．（2023·全國·高一課時練習）已知，且是定義在R上的奇函數，，則（

）A．是奇函數 B．是偶函數C．既是奇函數又是偶函數 D．既不是奇函數也不是偶函數【答案】B【解析】由已知的定義域為R，因為是定義在R上的奇函數，所以，所以，所以為偶函數，又，，又，所以，所以不為奇函數，故選：B．8.設f(x)是R上的任意函數，則下列敘述正確的是()A.f(x)f(?x)是奇函數B.f(x)|f(?x)|是奇函數C.f(x)?f(?x)是奇函數D.f(x)+f(?x)是奇函數【解析】方法一定義法A選項：設F(x)=f(x)f(?x)，則F(?x)=F(x)為偶函數．B選項：設G(x)=f(x)|f(?x)|，則G(?x)=f(?x)|f(x)|.∴G(x)與C選項：設MxD選項：設N(x)=f(x)＋故選C.方法二取特殊函數排除法令fx=x，可知Fx=f令fx=x2，可知可知Nx=fx＋【點撥】①判斷函數的奇偶性，一般利用定義法：先判斷定義域是否關于原點對稱，再求f(?x)，看下與②判斷抽象函數的奇偶性時，可以通過“取特殊函數排除法”.③一般情況下，奇函數+奇函數=奇函數，偶函數+偶函數=偶函數，奇函數×奇函數=偶函數，偶函數×偶函數=偶函數.9．（多選題）（2023·全國·高一課時練習）下列判斷正確的是（

）A．是偶函數 B．是奇函數C．是奇函數 D．是非奇非偶函數【答案】BC【解析】對于A，由且，得，則的定義域不關于原點對稱，所以函數為非奇非偶函數，故A錯誤;對于B，函數的定義域關于原點對稱，當x>0時，，，當x<0時，也有，所以為奇函數，故B正確;對于C，由且，得，即，的定義域關于原點對稱，此時，所以既是奇函數又是偶函數，故C正確;對于D，由且，得且x≠0，的定義域關于原點對稱，因為，，所以函數為奇函數，故D錯誤.故選:BC.【題型二】函數奇偶性的運用角度1已知函數奇偶性，求值問題9.設f(x)為定義上R上的奇函數，當x≥0時，f(x)=2x+2x+b【解析】因為f(x)為定義在R上的奇函數，所以f(0)=0?20＋所以當x≥0時，f又因為f(x)為定義在R上的奇函數，所以f(?1)=?f(1)=?(21+2×1?1)=?3【點撥】若奇函數y=f(x)定義域內為I，且0∈I，則有f0=0.10.若函數F(x)=f(x)?2x4是奇函數，則f?1=【解析】∵函數F(x)=f(x)?2x∴F(1)+F(?1)=0，即f(1)?2+f(?1)?2=0，則f(1)+f(?1)=4①，∵G(x)=f(x)+(1∴G(1)=G(?1)，即f(1)+12=f(?1)+2，則f(1)?f(?1)=由①?②解得f(?1)=4?角度2判斷函數的圖像11.函數f(x)=xA． B． C．D．【解析】函數的定義域為{x|x≠0}關于原點對稱，且f(?x)=?(或由y=x3,y=即函數f(x)為偶函數，其圖象關于y軸對稱，可排除CD；又f1=1故選：B．【點撥】選擇題中判斷函數的圖像，可采取排除法，主要是研究函數性質(定義域、值域、奇偶性、單調性等)、取特殊值等手段進行排除選項！其中取特殊值排除法最簡單.12．（2022·山東·臨沂二十四中高一階段練習）函數的圖像大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為，所以，為奇函數，所以C錯誤；當時，，所以A，D錯誤，B正確.故選：B.13．（2023·全國·高一課時練習）函數的圖象不可能為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】若的圖象經過原點，可得，即，，若的圖象關于軸對稱，可得為偶函數，即，可得，即，故C不可能成立；當，即有，，可得為奇函數，其圖象關于原點對稱，且時，為連續函數，故A可能成立；當，，即有，，可得為奇函數，其圖象關于原點對稱，且時，為增函數，時，為增函數，故B可能成立；若，則，當，，即有，，可得為偶函數，其圖象關于軸對稱，且時，為增函數，時，為增函數，故D可能成立．故選：C．14．（2023·全國·高一單元測試）函數的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】的定義域是，關于原點對稱，，所以是偶函數，排除B，C；當時，，易知在上是增函數，排除A．故選：D．角度3已知奇偶性求表達式15．（2023·全國·高三競賽）已知是R上的奇函數，是上的偶函數.若,則（）.A． B．C． D．【答案】A【解析】由是奇函數，有.又是偶函數，有.在中，以代，得,即.故.選A.16．（2022·福建·泉州鯉城北大培文學校高一期中）函數f（x）是R上的偶函數，且當x>0時，函數的解析式為(1)求f（1）的值∶(2)用定義證明f（x）在（0，+∞）上是減函數；(3)求當x<0時，函數的解析式.【解析】(1)；(2)證明：任取，則，所以，即，所以在上是減函數；(3)任取，則，故，即時，函數的解析式為.【題型三】函數的奇偶性與單調性的綜合17.已知奇函數y=f(x)在(?∞,0)為減函數，且f(2)=0，則不等式(x?1)f(x?1)>0的解集為()A．{x|?3<x<?1} B．{x|?3<x<1或C．{x|?3<x<0或x>3}【解析】由題意畫出f(x)的草圖如下，因為(x?1)f(x?1)>0，所以(x?1)與f(x?1)同號，由圖象可得?2<x?1<0或0<x?1<2，解得?1<x<1或1<x<3，故選：D．【點撥】涉及到函數奇偶性和單調性綜合的題目，多利用數形結合的方法進行理解，對每個條件要等價轉化，做到有根有據的，不能“想當然”.18.．（2023·全國·高一課時練習）已知函數是定義在R上的奇函數，且當時，．(1)求當x＞0時，函數的解析式；(2)解不等式．【解析】（1）由為奇函數，得．當x＞0時，，故，故當x＞0時，．（2）由，得，故或．如圖所示，畫出函數的圖象．

由圖易得的解集為（0，2），的解集為，故不等式的解集為．19.設函數f(x)=lg(x2+1)，則使得f(3x?2)>f(x?4)A．13,1B．(?1,32【解析】方法一∵f(x)=lg(∴由f(3x?2)>f(x?4)得lg3x?2則3x?22+1>x?42+1方法二根據題意，函數f(x)=lg(x2+1)，其定義域為有f(?x)=lg(x2+1)=f(x)設t=x2+1在區間[0,+∞)上，t=x2+1為增函數且t≥1，y=lgt則f(x)=lg(x2+1)f(3x?2)>f(x?4)?f(|3x?2|)>f(|x?4|)?|3x?2|>|x?4|，解得x<?1或x>32，故選：【點撥】①若函數y=f(x)是偶函數，則函數在y軸兩側的單調性是相反的，若函數y=f(x)是奇函數，則函數在y軸兩側的單調性是相同的，②若函數y=f(x)是偶函數，在[0,+∞)上遞增，則求解f(x2)>f(③遇到類似f(3x?2)>f(x?4)的函數不等式，一般都是利用函數的單調性處理.【題型四】已知函數的奇偶性求參數20．（2023·全國·高一課時練習）若函數是奇函數，則實數a的值為___________.【答案】1【解析】若是奇函數，則有.當時，，則，又當時，，所以，由，得，解得a=1.故答案為：1.21．（2023·全國·高一課時練習）已知函數是奇函數，則_____．【答案】2【解析】當時，，，又為奇函數，，而當時，，所以．故答案為：222．（2022·全國·高一課時練習）已知函數是定義在上的偶函數，則函數在上的最小值為______．【答案】－6【解析】因為函數是定義在上的偶函數，故，即，則解得，所以，，所以，，則，故答案為：6【題型五】抽象函數的奇偶性問題23．（多選題）（2023·全國·高一專題練習）定義在R上的函數滿足，當時，，則下列說法正確的是（

）A．B．為奇函數C．在區間上有最大值D．的解集為【答案】ABD【解析】對于A選項，在中，令，可得，解得，A選項正確；對于B選項，由于函數的定義域為R，在中，令，可得，所以，則函數為奇函數，B選項正確；對于C選項，任取，x2∈R，且，則，，所以，所以，則函數在R上為減函數，所以在區間上有最小值，C選項錯誤；對于D選項，由可得，又函數在R上為減函數，則，整理得，解得，D選項正確.故選：ABD．24．（2023·全國·高一課時練習）設函數對任意，都有，證明：為奇函數．【解析】證明：函數的定義域為，關于原點對稱，因為函數對任意，都有，令，則，得，令，則，所以，即，所以為奇函數．25．（2022·天津南開·高一期末）已知函數f（x）的定義域為R，且對任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且當x>0時，f（x）<0恒成立.(1)求f（0）；(2)證明：函數y=f（x）是奇函數；(3)證明：函數y=f（x）是R上的減函數.【解析】（1）因為對任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），所以令a=b=0，得f（0）=0.（2）由f（a+b）=f（a）+f（b），得f（xx）=f（x）+f（x）.即f（x）+f（x）=f（0），而f（0）=0，∴f（x）=f（x），即函數y=f（x）是奇函數.（3）設x1>x2，則x1x2>0，f（x1x2）<0而f（a+b）=f（a）+f（b），∴f（x1）=f（x1x2+x2）=f（x1x2）+f（x2）<f（x2），∴函數y=f（x）是R上的減函數.【題型六】奇偶性與單調性的綜合運用26．（2022·全國·高一專題練習）定義在上的偶函數滿足：對任意的有則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為滿足，對任意的有，所以在上單調遞減且為偶函數，則由可得，即故選:A27.（2022·全國·高一單元測試）定義在上的偶函數滿足：對任意的，有，則、、的大小關系為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為對任意的，有，所以當時，，所以在上是減函數，又是偶函數，所以，，因為，所以，即．故選：D．28．（2022·全國·高一單元測試）設是定義在R上的偶函數，且在上單調遞增，若，，且，那么一定有（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以.由函數為偶函數，得，故不等式可化為.又函數在上單調遞增，，，所以，即,故A錯誤，B正確；由于，函數為偶函數，且在上單調遞增，故，故C錯誤；由題意無法確定的正負，即的正負情況不定，故D錯誤，故選：B.另由題意，設，，，且，此時，故排除A；，，此時，，故排除C，D，故選：B.→?專題精練←1．（2022·全國·高一單元測試）已知函數是定義在上的偶函數，當時，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．2．(2023·湖北高一開學考試)已知函數是定義在R上的奇函數，當時，，且，則的值為()A． B．0 C．4 D．23．（2022·天津南開·高一期末）已知函數f（x）是定義域為R的偶函數，且f（x+1）=，若f（x）在[1，0]上是減函數，那么f（x）在[2，3]上是（）A．增函數 B．減函數C．先增后減的函數 D．先減后增的函數4．（2023·全國·高一課時練習）偶函數的定義域為，且對于任意均有成立，若，則正實數a的取值范圍（

）A． B．C． D．5．（2023·浙江·玉環中學高一階段練習）定義在R上的奇函數，滿足當時，．當時的表示式是（

）A． B．C． D．6．(2022·江蘇高一開學考試)(多選)下列函數中，在定義域上既是奇函數，又是減函數的是()A． B．C． D．7．（2023·全國·高一課時練習）已知是定義在R上的偶函數，但不是奇函數，則下列函數中為偶函數的有（

）A． B．C． D．8．（2022·全國·高一課時練習）已知奇函數與偶函數的定義域、值域均為，則（

）A．是奇函數 B．是奇函數C．是偶函數 D．是偶函數9．（2023·全國·高一單元測試）已知函數，下列判斷正確的是（

）A．是偶函數B．若，則當時，取得最小值C．當時，的值域是D．當時，在上單調遞增1