人教版九年級上冊數學解答題專題訓練50題含答案

一、解答題

1.解方程：X2+6A--3=O.

【答案】司=—3+26，々=—3—26

【分析】利用公式法解一元二次方程即可.

【詳解】解：x2+6x-3=0

由題意得，a=\,b=6,c=-3,

VA=/j2-4ac=62-4xlx(-3)=48,

?-b±\lb2-4ac生巫=_3±25

??x=------------

2a2

=-3+2A/3)赴=—3—

【點睛】此題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握公式法是解題的關鍵.

2.如圖所示，正方形網格中，ABC為格點三角形（即三角形的頂點都在格點上）.

（1）把JU3C沿54方向平移后，點A移到點A，在網格中畫出平移后得到的△ABCi；

（2）把△A]?繞點A按逆時針方向旋轉90。，在網格中畫出旋轉后的△ABK?.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

【分析】（1）利用平移的性質畫圖，即對應點都移動相同的距離;

（2）利用旋轉的性質畫圖，對應點都旋轉相同的角度.

【詳解】（1）解：如圖所示：△Agq即為所求;

（2）如圖所示：△ABiG即為所求.

【點睛】本題主要考查了平移變換、旋轉變換作圖，做這類題時，理解平移、旋轉的

性質是關鍵.

3.如圖，杠桿繞支點轉動撬起重物，杠桿的旋轉中心在哪里？旋轉角是哪個角？

【答案】杠桿的旋轉中心是點0，旋轉角是（或/ACW）

【分析】根據旋轉的定義即可得到杠桿繞支點轉動撬起重物的旋轉中心，旋轉角.

【詳解】解：杠桿繞支點轉動撬起重物，杠桿繞點。旋轉，所以杠桿的旋轉中心是點

0,旋轉角是N30夕（或NA04）.

【點睛】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連

線段的夾角等于旋轉角.

4.已知，如圖，直線AB經過點3（0,6）,點A（4,0）,與拋物線），=加+2在第一象限

內相交于點P，又知的面積為6.

（1）求a的值；

（2）若將拋物線y=+2沿y軸向下平移，則平移多少個單位才能使得平移后的拋

物線經過點A.

【分析】(1)首先求得直線48的解析式，然后根據面積求得P點的縱坐標，然后代入

求得其橫坐標，代入二次函數即可求解；

(2)根據題意得平移后的拋物線為丫=4爐+2-帆，把A(4,0)代入y='/+2-機即

44

可得到結論.

【詳解】解：設點P(x,y),直線AS的解析式為y="+"

將44,0)、8(0,6)分別代入丁=依+0,

3

得左二-],b=6,

乂3/

故y=_QX+6,

AAOP的面積=gx4xy=6

..y=3,

再把y=3代入y=—■|x+6,得x=2,

所以P(2,3),

把尸(2,3)代入至1」丫=方2+2中得：a=L.

4

(2)設向下平移〃?個單位才能使得平移后的拋物線經過點A,

則平移后的拋物線為y=~x2+2-m,

4

把4(4,0)代入丫='/+2_加得機=6,

4

，向下平移6個單位才能使得平移后的拋物線經過點A.

【點睛】本題考查了一次函數和二次函數與圖象相結合的應用，難度中等.解題關鍵

是利用三角形面積求出點P的坐標.

5.某商店購進一批小玩具，每個成本價為20元，經調查發現售價為32元時，每天可

售出20個，若售價每增加5元，每天銷售量減少2個；售價每減少5元，每天銷售量

增加2個，商店同一天內售價保持不變.

(1)若售價增加x元，則銷售量是()個(用含x的代數式表示)；

(2)某日商店銷售該玩具的利潤為384元，求當天的售價是多少元？(利潤=售價-進

價)

【答案】(1)20-0.4X；(2)當天的售價為52元.

【分析】(1)每增加5元，銷售量減少2個，則售價增加x元，銷售量減少2x芯,則

可得出售價增加x元，銷售量是20-0.4X；

(2)用“單個玩具的利潤x銷售玩具的數量=銷售玩具的利潤”這一等量關系，列出方程

然后求解即可.

【詳解】（1）由題意可知：每增加5元，銷售量減少2個，則售價增加x元，銷售量

減少2x云，則可得出售價增加x元，銷售量是20-0.4x；

（2）（32-20+x）（20-0.4x）=384

化簡得x2-38x+360=0

x,=20x,=18

當x?=18時，20—0.4X=20—0.4x18=12.8（不符合實際，舍去）,

當％=20時，售價為：32+20=52（元）.

答：當天的售價為52元.

【點睛】一元二次方程在實際生活中的應用是本題的考點，根據題意找出等量關系列

出方程是解題的關鍵.

6.2022年3月，舉世矚目的北京冬奧會、冬殘奧會勝利閉幕.以下是2022年北京冬

奧運會會徽一冬夢、冬殘奧會會徽一飛躍、冬奧會吉祥物一冰墩墩及冬殘奧會吉祥物

—雪容融的卡片，四張卡片分別用編號A,B,C,。來表示，這4張卡片背面完全相

同，現將這四張卡片背面朝上，洗勻放好.

BEIJINGR江

PARALYMPICGAMES毋

BEIJING202^g

CX^)G

冬夢飛躍冰墩墩雪容融

ABCD

（1）從中任意抽取一個張卡片，恰好是“冬夢”的概率為;

（2）將4冬夢和C冰墩墩的組合或B飛躍和。雪容融的組合稱為“一套“，小明和小紅依

次從中隨機抽取一張卡片（不放回），請你用列表或畫樹狀圖的方法求他們抽到的兩張

卡片恰好一套的概率.

【答案】⑴，；

4

（2）-.

,3

【分析】（1）直接由概率公式求解即可:

（2）畫樹狀圖，共有12種等可能的結果，小明和小紅她們抽到的兩張卡片恰好配套

的結果有4種，再由概率公式求解即可.

【詳解.】解：從中任意抽取一個張卡片’恰好是“冬夢"的概率為I

故答案為：:

(2)解:畫樹狀圖如下：

開始

D

/N

/N小

BCDACDABDABC

共有12種等可能的結果，其中兩張卡片恰好配套的結果有4種，分別是：（A,C）、

（8,。）、（C,A）、（D,E所以她們抽到的兩張卡片恰好配套的概率為

【點睛】此題考查了樹狀圖法求概率，樹狀圖法可以不重不漏的表示出所有等可能的

結果.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.解題的關鍵是熟練掌握畫

樹狀圖.

7.今年是中國共產黨建黨100周年，中華人民共和國成立72周年！在國慶前夕，社

區便民超市調查了某種水果的銷售情況獲得如下信息：

信息一：進價是每千克12元；

信息二：當銷售價為每千克27元時，每天可售出120千克；

若每千克售價每降低2元，則每天的銷售量將增加80千克.根據以上信息解答問題：

該超市每天想要獲得3080元的銷售利潤，又要盡可能讓顧客得到實惠，求這種水果的

銷售單價應為多少元.

【答案】這種水果的銷售單價為19元

【分析】設這種水果的銷售單價為x元，則有銷售量為（1200-40X）千克，然后根據利

潤=銷售量x單個利潤即可求解.

【詳解】解：設這種水果的銷售單價為x元，由題意得：

(x-12)120+8。(2；-x)=3080,

解得：辦=19,電=23,

：要盡可能讓顧客得到實惠，

x=19,

答：這種水果的銷售單價為19元.

【點睛】本題主要考查一元二次方程的應用，熟練掌握一元二次方程的應用是解題的

關鍵.

8.已知拋物線丫=加+法+3經過點A(3,0)和點8(4,3).

(1)求這條拋物線所對應的二次函數的關系式；

(2)直接寫出它的開口方向、對稱軸、頂點坐標和最大值(或最小值).

【答案】⑴y=f-4x+3

(2)開口向上，對稱軸為直線x=2,頂點坐標為(2,-1),最小值為-I

【分析】(1)由條件可知點A和點B的坐標，代入解析式可得到關于。和b的二元一

次方程組，解得“和b,可寫出二次函數解析式；

(2)根據。的值可確定開口方向，并將拋物線的解析式配方后可得對稱軸、頂點坐標

和二次函數的最值.

【詳解】(1)解：將點A(3,0)和點8(4,3)代入產加+法+3中，

,[967+36+3=0

得'([么，公公，

[16。+4A8+3=3

[4=1

解得：,)，

[h=-4

，y=f-4x+3

⑵解：???y=》2_4x+3=(x-2)2-1,a=\>0,

開口向上，對稱軸為直線x=2,頂點坐標為(2,-1),最小值為T.

【點睛】本題考查二次函數的性質、待定系數法等知識，解題的關鍵是靈活運用所學

知識解決問題，學會利用配方法確定二次函數的頂點坐標和對稱軸.

9.在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共30只，這些球除顏色外其余完

全相同.攪勻后，小明做摸球實驗，他從盒子里隨機摸出一只球記下顏色后，再把球

放回盒子中，不斷重復上述過程，下表是實驗中的一組統計數據.

摸球的次數n10020030050080010003000

摸到白球的次數m521381783024815991803

摸到白球的頻率0.520.690.5930.6040.600.5990.601

(1)若從盒子里隨機摸出一只球，則摸到白球的概率的估計值為(精確到

0.1)

(2)盒子里白色的球有只；

(3)若將m個完全一樣的白球放入這個盒子里并搖勻，隨機摸出1個球是白球的概

率是0.8,求m的值.

【答案】(1)0.6；(2)18；(3)30

【分析】(1)根據頻率估算出概率即可；

(2)用總數乘以其頻率即可得出答案；

(3)利用概率公式求解即可.

【詳解】解：(1):?根據表格可知摸到白球的頻率約為0.6,

.?.當n很大時，摸到白球的概率將會接近0.6；故答案為0.6；

(2)???摸到白球的頻率為0.6,共有30只球,

則白球的個數為30x0.6=18只，故答案為18；

(3)根據題意可知：9~-0.8,解得m=30,故答案為30.

30+w

【點睛】本題考查的是概率的知識，能夠根據表格確定頻率是解題的關鍵.

10.(1)(1)2=4；(2)X2-4X+3=O；

(3)x2-2y/3x+3=0；(4)x(x-6)=6.

【答案】(1)4=3,々=-1；(2)為=3,%=1；(3)%=4=小；(4)

大=3+J15,x>=3-J15.

【詳解】試題分析：(1)、利用直接開平方法求出方程的解；(2)、利用十字相乘法進行

因式分解，然后求出方程的解：(2)、利用配方法將原方程配成完全平方式，然后利用

直接開平方法求出答案；(4)、首先進行配方，然后利用直接開平方法求出答案.

試題解析：(1)、直接開方可得：x-l=12,解得：占=3,x2=-l；

(2)^因式分解得：(x-l)(x-3)=0,解得：%=3，々=1;

(3)、配方得：(x—0)=0,解得：玉=々=6；

(4)、X2-6X=6,X2-6X+9=15,(X-3)2=15,則X-3=±E

解得：與=3+岳，^=3-715.

11.解方程：(用適當的方法解方程)

(1)X2-4A-3=0

(2)2X(X-1)-(X-1)=0

(3)5x2=4-2x

(4)(x-2)(3%-5)=1

【答案】（1）±=2+正，馬=2-/

7a、—1+>/211+—21

(3)&=----々=-------

]1+岳11-^

(4)玉-----------，X-)=------------

6-6

【分析】(1)用公式法解一元二次方程即可

(2)用因式分解法解一元二次方程即可

(3)用公式法解一元二次方程即可

(4)用公式法解一元二次方程即可

2

【詳解】(1)VX-4X-3=O,

.』也西1=2土不，

2

:?x,=2+V7,=2—V7

(2)V2x(x-l)-(x-l)=0,

A(x-l)(2x-l)=0,

1-1=0或2工-1=0,

x=1,=一

~2

(3)5x2=4—2x,

:.5X2+2X-4=0,

.-2±j4+100-1±A/2T

??x=--------------------------------f

105

,-1+V2T1+V21

.?1".---------------，---------------

55

(4)V(x—2)(3x-5)=1,

3X2-11X+9=0,

.11±V121-1O811±V13

??x=------------=-------，

66

.11+V1311-V13

f=~

【點睛】本題考查了解一元二次方程，恰當應用解方程的方法是解決問題的關鍵

12.我國快遞行業迅速發展，經調查，某快遞公司今年2月份投遞快遞總件數為20萬

件，4月份投遞快遞總件數33.8萬件，假設該公司每月投遞快遞總件數的增長率相

同.

(1)求該公司投遞快遞總件數的月增長率；

(2)若該公司每月投遞快遞總件數的增長率保持不變，那么5月份投遞快遞總件數是否

達到45萬件？

【答案】(1)該公司投遞快遞總件數的月增長率為30%；

(2)若該公司每月投遞快遞總件數的增長率保持不變，那么5月份投遞快遞總件數不能

達到45萬件.

【分析】(1)設該公司投遞快遞總件數的月增長率為x,利用4月快遞總件數=2月快

遞總件數(l+x『，即可得出一元二次方程，解方程取正值即可得出結論；

(2)已求得每月的增長率，利用5月快遞總件數=4月快遞總件數(1+幻，求解出具體

數值并與45萬件比較得出結論.

【詳解】(1)設該公司投遞快遞總件數的月增長率為X,

依題意得：20Q+x>=33.8,

z,、233.8

(l+x)-=---=1.69

20

l+x=1.3或l+x=—1.3

二.士=0.3,%,=-2.3(不符合題意，舍去)

即增長率為30%,

答：該公司投遞快遞總件數的月增長率為30%

(2)4月份投遞快遞總件數33.8萬件，月增長率為30%,則5月份投遞快遞總件數

為：

33.8x(l+30%)=33.8x1.3=43.94,

因為43.94<45，即5月份投遞快遞總件數不能達到45萬件，

答：若該公司每月投遞快遞總件數的增長率保持不變，那么5月份投遞快遞總件數不

能達到45萬件.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程應用題中的平均增長率問題，如何正確根據題

意列出一元二次方程是解題的關鍵.

13.已知關于x的一元二次方程依2+fec+c=0(，E0)的一個根為

-2+j2-x1x(-4)則4如廿一

2x1'4a

【答案】-5

【分析】由題意知，〃=1,b=2,c=-4,再代入計算即可.

【詳解】解：由題意知，a—1,b—2,c--4,

.4ac-b2_4xlx(-4)-22

4。4x1

-16-4匚

-------=—3

4

故答案為：-5.

【點睛】本題考查的是一元二次方程的求根公式的理解，掌握“求根公式：

是解本題的關鍵.

14.列方程解應用題：口罩是一種衛生用品，正確佩戴口罩能阻擋有害氣體、飛沫、

病毒等物質，對進入肺部的空氣有一定的過濾作用.據調查，2021年I月份某廠家口

罩產量為80萬只，2月份比1月份增加了25%,4月份口罩產量為196萬只.

(1)該廠家2月份的口罩產量為萬只；

(2)該廠家2月份到4月份口罩產量的月平均增長率是多少？

【答案】(1)100

(2)40%

【分析】(1)用1月份的產量乘以(1+25%)即可求解；

(2)設月平均增長率為x,根據題意列出一元二次方程，解方程即可求解.

(1)2月份的產量為：80x(l+25%)=100(萬只)，故答案為：100；

(2)設月平均增長率為x,根據題意有：100X(1+X)2=196,解得：x=40%,(負值舍

去)，故2月份到4月份的平均增長率為40%.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據題意列出一元二次方程是解答本題的

關鍵.

15.“2019淮安清江浦國際半程馬拉松賽”的賽事共有三項：A.“半程馬拉松2019”、

B.“紀念2019”、C.“愛跑2019”.小明和小麗參與了該項賽事的志愿者服務工作，組

委會隨機將志愿者分配到三個項目組.

⑴小明被分配至『'愛跑2019”項目組的概率為；

（2）用樹狀圖或列表法求小明和小麗被分配到不同項目組的概率.

19

【答案】（1）-;（2）-

【分析】（1）總共有3個項目，所以小明被分配到“愛跑2019”項目組的概率為g；

（2）先用樹狀圖或列表法列出所有的情況，然后從中找到小明和小麗被分配到不同項

目組的情況數，再利用概率的計算方法計算即可.

【詳解】（1）,??總共有3個項目組，

小明被分配至「愛跑2019”項目組的概率為g；

（2）設三種賽事分別為1、2、3,列表得

123

1(1,1)(2,1)(3.1)

2。，2）(2,2)(3,2)

3(1,3)(2,3)(3,3)

所有可能的情況有9種，不同的情況6種，

2

P（小明和小麗被分配到不同項目組）=§.

【點睛】本題主要考查用樹狀圖或列表法求隨機事件的概率，正確的畫出樹狀圖或表

格是解題的關鍵.

16.如圖，△A8C三個頂點的坐標分別為A（0,1）,B（4,2）,C（1,3）.

（1）將AABC向右、向下分別平移1個單位長度和5個單位長度得到△A/B/G,請畫

出△A/B/C/,并寫出點A/,G的坐標；

（2）請畫出△A8C關于原點0成中心對稱的△A2B2C2.

【答案】（1）見解析，點A/的坐標為（1,-4）,點C/的坐標為（2,-2）；（2）見

解析.

【分析】（1）利用點平移的坐標變換規律得出對應點的坐標，描點畫出圖形即可；

（2）根據關于原點對稱的點的坐標特征得出對應點的坐標，描點畫出圖形即可.

【詳解】（1）如圖，△48/。為所作，點A/的坐標為（1,-4）,點G的坐標為

（2,-2）；

（2）如圖，△A282c2為所作.

【點睛】本題考查坐標與圖形變換-平移、坐標與圖形變換-旋轉，熟練掌握坐標與圖形

變換的規律，正確得出對應點的坐標是解答的關鍵.

17.解方程

(1)X2-4X+3=0

(2)(X-3)2=2(X-3)

【答案】（1）占=1,1=3.

(2)=3,x,=5.

【分析】（1）先把方程左邊分解因式化為（x-l）（x-3）=0,再化為兩個一次方程，再

解一次方程即可；

（2）先移項，把方程左邊分解因式化為（》-3）（犬-5）=0,再化為兩個一次方程，再解

一次方程即可.

【詳解】(1)解：X2-4X+3=0,

(x-l)(x-3)=0,

，工一1=0或》一3=0,

解得：％=1,x2=3.

(2)(x—3)2=2(x—3),

移項得：(X-3)2-2(X-3)=0,

(x-3)(x-5)=0,

x—3=0,x—5=0,

解得：玉=3,々=5.

【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用因式分解的方法解一元二次方

程”是解本題的關鍵.

18.某校團委決定從4名學生會干部(小明、小華、小麗和小穎)中抽簽確定2名同

學去進行宣傳活動，抽簽規則：將4名同學姓名分別寫在4張完全相同的卡片正面，

把四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，既然從中隨機抽取一張卡片，記下姓名，

再從剩余的3張卡片中隨機抽取第二張，記下姓名.試用畫樹狀圖或列表的方法表示

這次抽簽所有可能的結果，并求出小明被抽中的概率.

【答案】：

【分析】列舉出所有情況，看所求的情況占總情況的多少即可.

【詳解】解：記小明、小華、小麗和小穎這四位同學分別為A、B、C、D,

列表如下：

ABCD

A---(B,A)(C,A)(D,A)

B(A,B)---(C,B)(D,B)

C(A,C)(B,C)---(D,C)

D(A,D)(B,D)(C,D)---

由表可知，共有12種等可能結果，其中小明被抽中的有6種結果,

所以小明被抽中的概率為：芻

122

【點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.注意列表法或畫樹狀圖法可以

不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合

兩步或兩步以上完成的事件.注意概率=所求情況數與總情況數之比.

19.如圖1所示，是一塊邊長為2的正方形瓷碗，其中瓷磚的陰影部分是半徑為1的

扇形.請你用這種瓷磚拼出兩種不同的圖案，使拼成的圖案即是軸對稱圖形又是中心對

稱圖形，并把它們分別畫在下面邊長為4的正方形中(要求用圓規畫圖).

圖1

【答案】通過對軸對稱圖形分析作圖

【詳解】試題分析：圖形(1)既軸對稱(對稱軸為正方形對角線所在的直線)，又中

心對稱(對稱中心為正方形的中心)，根據小正方形的對稱性，將小正方形換動不同方

向，得出既軸對稱圖形又中心對稱的圖形

既軸對稱圖形又中心對稱的圖形如圖所示

(1)(2)(3)(4)

考點：旋轉作圖

點評：本題考查了運用旋轉，軸對稱方法設計圖案的問題.關鍵是熟悉有關圖形的對

稱性，利用中心對稱性拼圖

20.如圖，AABC三個頂點的坐標分別為A(l,1)、B(4,2)、C(3,4)

L-J--J---l--L5L.-J---l--L.J--J

（1）請畫出將AABC向左平移4個單位長度后得到的圖形AA￡G，直接寫出點A的

坐標；

⑵請畫出△ABC繞原點O順時針旋轉90。的圖形A4222c2,直接寫出點兒的坐標；

（3）在x軸上找一點P,使PA+PB的值最小，請直接寫出點P的坐標.

【答案】（1）A（-3,l）,作圖見解析，（2）4（1,-1）,作圖見解析，（3）尸（2,0）,作圖

見解析.

【分析】（1）根據網格結構找出點A、B、C平移后的對應點的位置，然后順次連接即

可；

（2）找出點A、B、C繞原點O順時針旋轉90。的對稱點的位置，然后順次連接即

可；

（3）找出A的對稱點A，，連接BA，，與x軸交點即為P.

【詳解】解：（1）如圖所示：點4的坐標（-3,1）；

（2）如圖所示：點4的坐標（1,-1）；

（3）找出A的對稱點A，（1,-1）,連接BA，，與x軸交點即為P；

則尸A=FA,（A,4重合），

PA+PB=PA+PB=BA,

則P即為所求作的點，

如圖所示：點P坐標為（2,0）.

【點睛】本題考查了利用平移，旋轉變換作圖、軸對稱-最短路線問題；熟練掌握網格

結構準確找出對應點的位置是解題的關鍵.

21.已知關于x的方程d-3x-%+9=0的兩個實根為毛，巧.且滿足玉=-2々，試求

這個方程的兩個實根及k的值.

【答案】%=6/2=-3,%=27

【分析】根據根與系數的關系進行解答即可.

【詳解】??口,電是一元二次方程x2-3xd+9=0的兩個根，

.,b__3_a

a1

VXj=-2X2,

/.x}=6,x2=—3,

.c-k+9

..Xj-%2=—=--------=-18,

a1

???9—Z=-18,

：.k=Tl.

【點睛】本題考查了根與系數的關系，掌握兩根之和為％+x,=-2,兩根之積

a

“％=￡是解題的關鍵.

a

22.嘉淇同學用配方法推導一元二次方程"2+公+C=0(WO)的求根公式時，對于尼

-4ac>0的情況，她是這樣做的：(下頁)

解：由于a翔，方程ax2+/)x+c=o變形為：

bc

N+2X=-￡,…第一步

aa

x2+—x+(—)2="-+(—)2,…第二步

a2aa2a

(x+?)2=:半,…第三步

2a4a2

.hyJh2-4ac

X'—―--------

2a4a

(〃-4ac20),…第四步

x尸3"”如,…第五步

2a

(1)嘉淇的解法從第一步開始出現錯誤；事實上，當〃-4“吟0時，方程以2+bx+c=0

(存0)的求根公式是.

(2)用配方法解方程：2N-4x+l=0.

【答案】⑴第四步，尸一"""4叱

2a

(2)X1=1+—,X2=1..-

22

【分析】(1)根據一元二次方程的解法即可求出答案:

(2)用配方法解方程即可.

(1)

解：嘉淇的解法從第四步開始出現錯誤，求根公式為：產生四三竺.

2a

(2)

解：2x2-4x+l=0,

2(x2-2r)+1=0,

2(x2-2x+1-1)=-1,

2(x-1)2=1,

X-1=±——，

2

I：五,x/2

22

【點睛】本題考查一元二次方程的解法，解題的關鍵是熟練運用一元二次方程的解

法，本題屬于基礎題型.

23.如圖，AB是。0的直徑，點D在。O上，ZDAB=45°,BC/7AD,CD/7AB.

（1）判斷直線CD與。。的位置關系，并說明理由；

（2）若。O的半徑為1,求圖中陰影部分的面積（結果保留兀）.

【答案】（1）直線CD與。0相切，理由見解析

⑵14

【詳解】解：（1）直線CD與（DO相切.如圖，連接0D.

VOA=OD,ZDAB=45°,

，ZODA=45°,

???ZAOD=90°.

VCD//AB,

.,.ZODC=ZAOD=90°,

即OD_LCD.

又二點D在。O上,

J直線CD與。O相切.

（2）?「BC〃AD,CD/ZAB,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

ACD=AB=2.

（OB+CD）1OD（l+2）xl3

??S梯形OBCD=-------------------------==-，

二.圖中陰影部分的面積為S梯形OBCD-S域形OBD==~~~.

2424

24.如圖，。。是AABC的外接圓，AB是。。的直徑，延長AB到點E,連接EC,使得

ZBCE=ZBAC

（1）求證：EC是。O的切線；

（2）過點A作ADLEC的延長線于點D,若AD=5,DE=12,求。O的半徑.

ED

C

【答案】（1）證明見解析；（2）臺.

O1

【詳解】分析：（1）連結0C,根據圓周角定理由AB是。0的直徑得Nl+N2=90。，

而N1=NA,NA=NBCE,所以NBCE=N1,即NBCE+N2=90。，然后根據切線的判

定定理即可得到EC是。0的切線；

（2）設。O的半徑為r,在RtAADE中利用勾股定理計算出AE=13,則0E=13-r,

OC=r,證明△EOCsaEAD,利用相似比得到好=會，即；="，然后解方程

ADEA513

即可得到圓的半徑.

詳解：（1）證明：連結OC,如圖，

TAB是。O的直徑

AZACB=90°,即NBCO+NACO=90。,

VOC=OA,

AZOCA=ZBAC,

XVZBCE=ZBAC,

???NBCE=NOCA,

AZBCE+ZBCO=90°,

AOC1EC,

???EC是（DO的切線；

（2）解：設。。的半徑為r,

在Rt^ADE中，AD=5,ED=12,AE=>JAD2+DE2=13,

AOE=13-r,OC=r

VOC±EC,

VAD1EC,

???OC〃AD,

AAEOC^AEAD,

.OCEOr13-r

??------=------，即Hn—=------

ADEA513

即。0的半徑為

18

點睛：本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的

切線.也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質.

25.如圖；。是△回￡)的外接圓，A8為直徑，點C是A。的中點，連結OC,BC分別

交A3于點F,E.

(1)求證：ZABD=2NC.

(2)若48=10,8C=8,求BO的長.

【答案】(1)見解析；(2)2.8

【分析】(1)由圓周角定理得出NA8C=NQ3。，由等腰三角形的性質得出

ZABC=NC,則可得出結論；

(2)連接AC,由勾股定理求出AC=6,得出父-O尸=62-(5-0行，求出。F=1.4,

則可得出答案.

【詳解】解：(1)證明：.C是的中點,

AC=DC<

ZABC=NCBD,

OB=OC,

ZABC=NC,

:.ZABC=NCBD=NC,

ZABD=ZABC+CBD=2ZC；

(2)連接AC,

AB為。的直徑,

:.ZACB=90P,

AC=y]AB2-BC2=6>

C是AO的中點，

;.OCLAD,尸是AD的中點，

(142-OF2=AF2=AC2-CF-,

:.52-OF2=62-(5-OF)2,

.-.OF=1.4,

又?。是AB的中點，尸是的中點，

:.BD=2OF=2.8.

【點睛】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關系定理，勾股定

理，以及三角形的外接圓與圓心，熟練掌握性質及定理是解決本題的關鍵.

26.用公式法解方程：x2-x-1=0.

【答案]工=生叵.

2

【詳解】a=l,b=-l,c=-l,

bMac=(-l)2-4x1x(-l)=5>0,

_-b±yjb2-4ac_\±\/5

x----------------------，

2a2

.\+小l->/5

..Xl=-----------，X2=-----------.

22

27.疫情期間，學校按照防疫要求，學生在進校時必須排隊接受體溫檢測.某校統計

了學生早晨到校情況，發現學生到校的累計人數》(單位：人)隨時間x(單位：分

鐘)的變化情況如圖所示，當04x410時，y可看作是x的二次函數，其圖象經過原

點，且頂點坐標為(10,500)；當10<x412時，累計人數保持不變.

(1)求)與x之間的函數表達式；

(2)如果學生一進校就開始測量體溫，校門口有2個體溫檢測棚，每個檢測點每分鐘

可檢測20人.校門口排隊等待體溫檢測的學生人數最多時有多少人？全部學生都完成

體溫檢測需要多少時間？

(3)在(2)的條件下，如果要在8分鐘內讓全部學生完成體溫檢測，從一開始就應

該至少增加幾個檢測點？

【答案】(1)y=-5x2+100x(0<x<10),y=500(10<x<12)；(2)排隊人數最多時有

180人，全部考生都完成體溫檢測需要12.5分鐘；(3)2個

【分析】(1)當04x410時，>可看作是x的二次函數，由于拋物線的頂點為(10,

500),設y與x之間的函數解析式為：)，=。(x-10)2+500,把O點的坐標(0,0)代入

即可求得心當10<x412時;累計人數保持不變，問題即可解決；

(2)設第x分鐘時的排隊人數為w人，到校人數減去檢測人生，即可得到w與x的函

數解析式，根據二次函數解析式可求得其最大值=180；要全部學生都完成體溫檢測，

根據題意得500-40x=0,求解即可：

(3)設從一開始就應該增加，"個檢測點，由“在8分鐘內讓全部考生完成體溫檢測”，

列出不等式，可求解.

【詳解】解：(1)當04x410時，設y與x之間的函數關系式為：

y=a(x-10)2+500,

把(0,0)代入上式得：0=4(0-10)2+500,

解得：a——5,

故函數關系式為：y=-5(x-10)2+500(0<x<10)

當10<x412時，累計人數保持不變，即)-=500.

y=-5x2+100x(0<x<10),y=500(10<x<12)

(2)設第x分鐘時的排隊等待人數為w-人，由題意可得：w=y-40x

①04x410時，w=-5x2+100%-40x=-5x2+60x=-5(x-6)2+180,

.,.當x=6時，w的最大值=180,

②當10cxW12時，vv=500-40x,卬隨x的增大而減小，

.-.20<w<100,

排隊人數最多時是180人，

要全部學生都完成體溫檢測，根據題意得：500-40x=0

解得：x=12.5

答：排隊人數最多時有180人，全部考生都完成體溫檢測需要12.5分鐘；

(3)設從一開始就應該增加m個檢測點，

由題意得：8x20(/n+2)>500,

9

解得

8

的最小整數是2,

二一開始就應該至少增加2個檢測點.

【點睛】本題考查了二次函數的應用，二次函數的性質，一次函數的性質，一元一次

不等式的應用，理解題意，求出y與x之間的函數關系式是本題的關鍵.

28.已知：如圖.△ABC和必DEC都是等邊角形.。是BC延長線上一點，A。與BE

相交于點P.AC、BE相交于點M,A。、CE相交于點M

圖①圖②

⑴在圖①中，求證：AD=BE；

(2)當^CDE繞點、C沿逆時針方向旋轉到圖②時，ZAPB^

【答案】(1)見解析

(2)60°

【分析】(I)根據等邊三角形性質得出AC=BC,CE=CD,/ACB=NECD=60。，

求出NBCE=NAC￡>,根據SAS推出兩三角形全等即可；

(2)證明△AC。絲△BCE(SAS),得到AO=2E,ZDAC=ZEBC,根據三角形的內

角和定理，即可解答.

【詳解】(1)證明：???△ABC和ACDE為等邊三角形，

，AC=BC,CD=CE,ZBCA=ZDCE=60°,

：.ZACD=ZBCE,

在△48和4BCE中，

AC^BC,NACD=NBCE,CD=CE,

.?.△ACO絲△BCE(SAS),

J.AD^BE-,

(2)解：:△ABC和△COE都是等邊三角形,

，4C=BC,CD=CE,NACB=N￡)CE=60。，

ZACB+NBCD=ZDCE+ZBCD,

即NAC￡>=/8CE,

在△4。￡>和4BCE中，

AC=BC

"NACD=NBCE,

CD=CE

:?△ACD^XBCE(SAS),

/O4C=NEBC,

,/NAMP=NBMC,

：.ZAPB=ZACB=60°.

故答案為：60°.

【點睛】本題考查了旋轉的性質、等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質；熟

練掌握等邊三角形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵.

29.圖1,圖2是小明家廚房的效果圖和裝修平面圖(長方形)，設計師將廚房按使用

功能分為三個區域，區域I擺放冰箱，區域H為活動區，區域H1為臺面區，其中區域

I、區域n為長方形.現測得FG與墻面BC之間的距離等于HG與墻面CD之間的距

離，比EF與墻面AB之間的距離少0.1m.設AE為x(m),回答下列問題：

(1)用含x的代數式表示FG,則FG=m.

⑵當AE為何值時，區域II的面積能達到2.34m2?

(3)測得JF=0.35m,在(2)的條件下，在下列幾款冰箱中選擇安裝，要求機身左右和

背面與墻面之間的距離至少預留20mm的散熱空間，則選擇購買.款冰箱更合

適.

【答案】(l)3.2-2x

(2)0.7

(3)B

【分析】(1)用含x的代數式表示出。”的長，根據FG=AZ>AE-DH,代入化簡，可表

示出FG的長.

(2)用含x的代數式表示出G”的長，再根據長方形的面積=長乂寬，可得到關于x的

方程，解方程求出x的值.

(3)將x的值代入計算求出ER即的長，根據要求機身左右和背面與墻面之間的距

離至少預留20a〃1的散熱空間，利用A,B,C三款冰箱的尺寸，可得答案.

【詳解】(1)3100?izn=3.1m,1900mm=1.9m

AE=xm,DH=(x-0.1)m,

：.FG^AD-AE-DH=3.\-x-(x-0.1)=3.2-2%

故答案為：3.2-2r

(2)解：GH=1.9-(x-0.1)=(2-x)m,

：.(3.2-2x)(2-x)=2.34

解之：xi=0.1,X2=2.9(舍去)

，x=0.7,

當AE=0.7時，區域II的面積能達到2.34m2.

(3)由(2)得

EF=GH=2-x=2-0.1=1.3m

尸=1.3-0.35=0.95m，

EJ=950mm,AE=0.J=100mm,

950-2x20=910〃?"?，

V910>908且700-20>677,

.?.應該選擇B冰箱更合適.

故答案為：B.

【點睛】一元二次方程的實際應用-幾何問題，解題的關鍵是讀懂題意，看清圖形，根

據題意設未知數，根據等量關系列一元二次方程.

30.我們把能二等分多邊形面積的直線稱為多邊形的“好線”.請用無刻度的直尺畫出

圖(1)、圖(2)的“好線”.其中圖(1)是一個平行四邊形，圖(2)由一個平行四邊形和一個矩

形組成(保留畫圖痕跡，不寫畫法)

⑴（2）

【答案】見解析

【分析】圖（1）過平行四邊形的中心0畫直線MN即可，圖（2）過平行四邊形和矩

形的中心O,CT畫直線MN即可.

【詳解】解：如圖（1）,直線MN即為所求（答案不唯一）.

如圖（2）,直線MN即為所求.

【點睛】本題考查了利用中心對稱圖形的性質進行作圖及平行四邊形和矩形的性質,

掌握中心對稱圖形的性質是解題的關鍵.

31.幻方是一種將數字排在正方形格子中，使每行、每列和每條對角線上的數字和都

相等的模型.數學課上，老師在黑板上畫出一個幻方如圖所示，并設計游戲：一人將

一顆能粘在黑板上的磁鐵豆隨機投入幻方內，另一人猜數，若所猜數字與投出的數字

相符，則猜數的人獲勝，否則投磁鐵豆的人獲勝.猜想的方法從以下兩種中選一種：

816

357

492

（1）猜”是大于5的數”或“不是大于5的數”；

（2）猜“是3的倍數”或“不是3的倍數”；

如果輪到你猜想，那么為了盡可能獲勝，你將選擇哪一種猜數方法？怎么猜？為什么？

【答案】為了盡可能獲勝，我會選猜法（2）,猜“不是3的倍數”，理由見解析.

【分析】根據概率公式，分別求出：投中”是大于5的數”的概率，投中“不是大于5的

數”的概率，投中“是3的倍數”的概率，投中“不是3的倍數”的概率，進而即可得到結

論.

【詳解】為了盡可能獲勝，我會選猜法（2）,猜“不是3的倍數”，理由如下:

①“是大于5的數”有6,7,8,9,

共4種結果，所有的結果共9種，

投中“是大于5的數”的概率R:4

②“不是大于5的數”有1,2,3,4,5,

共5種結果，所有的結果共9種，

投中“不是大于5的數”的概率￡1.

③“是3的倍數”的數有3,6,9,

共3種結果，所有的結果共9種，

投中“是3的倍數”的概率6=g.

④“不是3的倍數”的數有124,5,7,8,

共6種結果，所有的結果共9種，

2

.?投中“不是3的倍數”的概率P苦.

2541

3993

，為了盡可能獲勝，我會選猜法(2),猜“不是3的倍數力

【點睛】本題主要考查等可能事件的概率，掌握概率公式，是解題的關鍵.

32.已知關于x的一元二次方程2x2-3g-3=0(m為常數).

(1)求證：無論〃2為何值，方程總有兩個不相等的實數根：

(2)若x=2是方程的根，則根的值為.

【答案】(1)見解析

5+>J55—y/5

(2)m=-----或———

22

【分析】(1)先計算判別式的值得到4=(%2)2+8>0,然后根據判別式的意義得到結

論；

(2)將42代入方程，解方程即可.

【詳解】(1)解：***A=9m2-4x2(m2+ni-3)-(m-2)2+8>0,

???無論相為何值，方程總有兩個不相等的實數根；

(2)將x-2代入方程，得S-6m+m2+m-3=0,

整理得，加2.5m+5=0,

解得機=止叵或三叵，

22

故答案為：帆=如叵或三立.

22

【點睛】本題考查了一元二次方程分2+〃x+c=0(存0)的根的判別式A?2-4ac：當A>

0,方程有兩個不相等的實數根；當A=0,方程有兩個相等的實數根；當A<0,方程沒

有實數根.也考查了解一元二次方程.

33.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線>=-*2+2〃a_療+,〃_2(加是常數).

八y

3-

2-

1-

-3-2-1012345x

-1-

-2-

-3-

-4-

-5-

(1)求該拋物線的頂點坐標(用含，"代數式表示)；

(2)如果該拋物線上有且只有兩個點到直線y=l的距離為1,直接寫出機的取值范圍；

(3)如果點4。,y),8(a+2,%)都在該拋物線上，當它的頂點在第四象限運動時，總有

M>%,求。的取值范圍.

【答案】(1)拋物線的頂點坐標(機，，"-2)；

(2)2<m<4；

(3)a>l.

【分析】(1)將二次函數解析式化為頂點式求解.

(2)由拋物線上有且只有兩個點到直線y=l的距離為1,及拋物線開口向下可得頂點

在直線產0和直線產2之間，進而求解.

(3)由頂點在第四象限可得團的取值范圍，由可得點8到對稱軸距離大于點A

到對稱軸距離，進而求解.

(1)

y=—x2+2mx-m1+m—2=—(x—m)2+m—2,

二拋物線的頂點坐標(m,w-2)；

(2)

:拋物線開口向下，頂點坐標為(加，機-2),

：.0<m-2<2,

解得2〈機<4；

(3)

???拋物線頂點在第四