1.3算法案例課標分析

通過閱讀中國古代數學中的算法案例，體會中國古代數學對世界

數學發展的貢獻。

三維目標

1.理解算法案例的算法步驟和程序框圖.

2.引導學生得出自己設計的算法程序.

3.體會算法的基本思想，提高邏輯思維能力，發展有條理地思考與

數學表達能力.

重點難點

教學重點：引導學生得出自己設計的算法步驟、程序框圖和算法程序.

教學難點：體會算法的基本思想，提高邏輯思維能力，發展有條理地

思考與數學表達能力.

在教學中貫徹算法思想

對于算法而言，一步一步的程序化步驟，即“算則”固然重要，但

這些步驟的依據，即“算理”有著更基本的作用。“算理”是“算

則”的基礎，“算則”是“算理”的表現。算法思想可以貫穿于整

個中學數學教學內容之中。

對于算法內容，應著重強調使學生體會算法思想、提高邏輯思維能

力，而不應將算法內容單純處理成程序語言的學習和程序設計。算

法的課程設計應該結合數學知識教學，通過案例的分析、模仿、探索、

設計、操作，把算法思想滲透和貫穿于高中數學課程之中，鼓勵學生

盡可能地運用算法解決相關問題，提倡讓學生體驗解決問題策略的多

樣性和解決問題的多樣化。因此，算法必須圍繞具體案例進行教學,

在數學問題的情景設計中，融入程序框圖、程序語言，使之成為系統

有效的算法課程。

算法案例學情分析

通過前面章節的學習，教學對象已具備一定的邏輯思維和分析問

題、解決問題、信息處理加工等能力，為本節課的學習提供了良好的

基礎.但由于算法這快內容比較難學，學生在這一方面也是初次接觸,

加之學生對計算機語言幾乎不了解,學起來就更顯吃力.因此,從激發

學生興趣入手，以領悟算法思想為突破口，逐步實現由自然語言向計

算機語言過度.

在學生學習了算法的初步知識，理解了表示算法的算法步驟、程

序框圖和程序三種不同方式以后，再結合典型算法案例，讓學生經歷

設計算法解決問題的全過程，體驗算法在解決問題中的重要作用，體

會算法的基本思想，提高邏輯思維能力，發展有條理地思考與數學表

達能力.

1.3算法案例評測練習

1.利用秦九韶算法求P(x)=〃,H'+④-似--\-a\x+a(),當x=xo時P(xo)的值，需做加法

和乘法的次數分別為()

〃但+1)

A.n,nB.n,——

..n(7i+1)

C.77,2/z+lD.2H+1,2

2.兩個二進制數101⑵與110⑵的和用十進制數表示為().

A.12B.11C.10D.9

3.4830與3289的最大公約數為).

A.23B.35D.13

4.用更相減損術求36與134的最大公約數，第一步應為.

5.將八進制數127⑻化成二進制數為（2）.

6.用秦九韶算法求多項式外）=77+6/+5好+4/+3/+2^+》當x=3時的值.

7.用秦九韶算法求多項式兀0=7/+6必+3爐+2,當x=4時的值時，先算的是（）.

A.4X4=16B.7X4=28

C.4X4X4=64D.7X4+6=34

8.下列各數中最小的數是

A.101010⑵B.210(8)

C.1001(16)

9.用更相減損術求459和357的最大公約數，需要減法的次數為.

10.用秦九韶算法求函數段）=1+公+/—3/+2^,當x=7的值時,。2的結果是

11.把“三進制”數2101211⑶轉化為“八進制”的數.

12.用秦九韶算法計算多項式4x）=/-—192x+64當x=2時的

值.

1.3算法案例評測練習答案

1.答案A

解析由秦九韶算法知P（xo）=（…（3的+a,Li）xo+a"-2）xo+…+ai）xo+ao,上式共進行了n

次乘法運算和〃次加法運算.

2.答案B

解析1O1（2）=22+OX21+1X2°=5,110（2）=1X22+1X2'+OX2O=6.

3.答案A

解析4830=1X3289+I541；

3289=2X1541+207；

1541=7X207+92；

207=2X92+23；92=4X23；

：.23是4830與3289的最大公約數.

4.答案先除以2,得到18與67

解析；36與134都是偶數，...第一步應為：先除以2,得到18與67.

5.答案1010111

解析將127⑻化為十進制：127⑻=1X82+2X8+7=64+16+7=87,再將十進制數87化

為二進制數為：

2|87余數

2431

2211

2|101

疸0

2[21

2后0

01

.?.87=1010111(2),

6.解，/(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+l)x,

所以vo=7

5=7X3+6=27

02=27X3+5=86

03=86X3+4=262

04=262X3+3=789

05=789X3+2=2369

06=2369X3+1=7108

S=7108X3=21324,

故x=3時，多項式_AX)=7X7+6/+5X5+4X4+3X3+2X2+X的值為21324.

7.答案D

1,n

解析因為fi,x)=a,lx+anix^'-\---F<7ix+ao=(…((a,)x+a"-i)x+a"-2)xH---Fai)x+ao,

所以用秦九韶算法求多項式,/)=7/+6必+3/+2當x=4時的值時，先算的是7X4+6=

34.

8.答案A

解析101010⑵=1X25+0X24+1X23+0X22+1X2i+0X2°=42.

210(8)=2X82+lX81+0X80=136,

1001(i6)=IX163+0X162+0X16+1X160=4097,故選A.

9.答案5

解析使用更相減損術有：459-357=102；

357-102=255；255-102=153；153-102=51；

102-51=51,共作了5次減法.

10.答案6

解析此題的〃=4,(74=2,的=-3,42=1,0=2,00=1,

Vo=%,

由秦九韶算法的遞推關系式彳(2=1,2,…，〃)，得0]=oox+?3=2X(―1)—3

3=”一|工+加2

=-5.。2=。a+。2=-5X(—1)+1=6.

11.解先將三進制化為十進制，再將十進制化為八進制.

65321

2101211(3)=2X3+1X3+1X3+2X3+1X3+1X30=1458+243+27+18+3+1=1

75O(]o),

8|1750余數

82186

8272

3

8LJ_

03

所以2101211⑶=3326(8).

12.解將?r)改寫為式x)=(((((x-12)x+60)x-160)x+240)x-192)x+64

由內向外依次計算一次多項式當x=2時的值，

如=1,

5=1X2—12=—10,

V2=-10X2+60=40,

03=40X2-160=-80,

。4=-80X2+240=80,

V5=80X2-192=-32,

%=-32X2+64=0.

...K2)=0,即x=2時，原多項式的值為0.

1.3算法案例觀評記錄

評1

數學與人的生活息息相關。數學是對現實世界的一種思考、描

述、刻畫、解釋、理解，其目的是發現現實世界中所蘊藏的一些數與

形的規律，為社會的進步與人類的發展服務。

張老師的教學特點如下：

1、教學設計好，教學流程清楚，環節緊湊、流暢，由易到難，

層次分明，知識梳理清晰，既有對集體備課形成的教學案的使用吸收,

又有個人的創新、獨到之處，注重了基本數學方法的培養與基本數學

思想的滲透，讓學生從整體、系統的角度領悟復習要求，從整體上處

理教材復習內容，從系統上把握復習要求，整個設計把教學過程變成

學生對知識的回顧過程，變成了學生自己探索提升的過程，讓學生的

能力得到了提高。

2、教學定位非常準。上課能與學生的有效溝通，雖說上這節講

評課時間緊，內容和知識點多，上課舍得把時間給學生去交流思考思

路、去講解解決問題過程；不僅自己板書示范，還讓學生板書解題過

程，老師充分放手讓學生自己動手，動口，老師只引導點撥，使學生

主動獲取知識，在潛移默化中領悟知識，使學生完全成為課堂主人,

達到知識學習與能力培養的統一，說明她善于啟發調動學生學習的主

動性，有較強的駕馭課堂的能力。

思考

2、本節課是試卷講評課，應以教材知識梳理、考點知識回顧

為主，以基本題開型和基本方法熟練為抓手，是否可以把橫向綜

合性比較強、能力要求比較高的題目放在下節課，再在本節復習

重點上縱向再深入點、多花點時間呢。

評2

數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識

經驗基礎之上。在教學過程中，教師要轉變思想，更新教育觀念，把

學習的主動權交給學生，鼓勵學生積極參與教學活動。教師要走出演

講者的角色，成為全體學生學習的組織者、激勵者、引導者、協調者

和合作者。

張老師的課：（1）注重了學生動手操作能力的培養，如動手畫

一畫環節讓學生繪畫測量得結論。（2）注重及時總結梳理知識。（3）

注重學生推理能力的培養。（4）注重分層指導和分層作業。（5）缺

憾是缺乏有難度的提高題和學生的板演糾正。

評3

張老師的課：（1）注重學生學習興趣的培養。（2）注重好習

慣的培養，如做筆記的習慣，回答問題過程嚴謹敘述的習慣，一題多

解的習慣。（3）抓住難點和疑點仔細剖析。（4）課堂氣氛輕松愉

快，得益于教師語言風趣幽默，體現出老師駕馭課堂的能力很強。（5）

所選例題習題有梯度。

但應注意照顧大多數學生，特別是中下游學生，練習題的解答

中出現的問題。

評4

本節課的教學有以下閃光點：

一、教學設計合理，教學方法以一中模式為載體，變教為探，環環

相扣，突出數形結合思想。教師教學基本功扎實，教態自然，板

書合理，靈活使用多媒體。

當然，“金無足赤、人無完人”，本節課依然存在一些不足：

1、個別問題提的不明確。

2、由于電腦原因，線段的變化沒有呈現出來。

3、課堂時間分配不太合理，致使學生練的少，缺乏鞏固。

評5

建議：

1、要重視強化高效課堂。本節課教師雖重視了學生的自主性，

但放得過大，收得不及時，顯得松散，不夠緊湊，第一個板塊用掉了

半節課的時間，前面顯得松散，后面的第三個板塊幾乎沒有時間處理,

重點沒有得到體現，所以課堂效率沒有達到預期的效果。

2、練習題的設計要體現出層次性。本節課學生除了探究新知環

節處理了幾個練習題，其它運用新知、鞏固新知環節的練習安排的較

少，學生沒有充足的鞏固新知的過程，同時，練習題的設計層次不明

顯，學優生得不到充分的鍛煉。

1.3算法案例教材分析

算法是此次高中課程改革新增加的教學內容,算法的案例分析是

算法教學的開篇內容.算法思想貫穿于整個中學數學內容之中，有很

豐富的層次遞進的素材:人們的生產活動和日常生活離不開算法，都

在自覺不自覺地使用算法.中國古代數學是以算法為主要特征，并蘊

涵著豐富的算法思想.現代信息技術的發展使算法煥發出新的生機和

活力，并使之成為當代社會必備的基本知識.算法進入高中必修內容

正是反應了時代的需要.因此，算法的學習十分有利于提高學生的邏

輯思維能力，培養學生的理性精神和實踐能力，發展他們有條理的思

考與表達的能力，同時可以讓他們知道如何用現代技術解決問題.本

節課主要通過案例的分析激發學生學習興趣，體會算法的程序化思想,

了解算法概念，掌握用自然語言描述算法.

1.3算法案例

【教學目標】：

1.理解輾轉相除法與更相減損術中蘊含的數學原理，并能根據這些原理進行算法分析。

2.基本能根據算法語句與程序框圖的知識設計完整的程序框圖并寫出算法程序。

【教學重難點】：

重點：理解輾轉相除法與更相減損術求最大公約數的方法。

難點：把輾轉相除法與更相減損術的方法轉換成程序框圖與程序語言。

【教學過程】：

情境導入：

1.教師首先提出問題：在初中，我們已經學過求最大公約數的知識，你能求出18與30的公

約數嗎？

2.接著教師進一步提出問題，我們都是利用找公約數的方法來求最大公約數，如果公約數比

較大而且根據我們的觀察又不能得到一些公約數,我們又應該怎樣求它們的最大公約數？比

如求8251與6105的最大公約數？這就是我們這一堂課所要探討的內容。

新知探究：

1.輾轉相除法

例1求兩個正數8251和6105的最大公約數。

（分析：8251與6105兩數都比較大，而且沒有明顯的公約數，如能把它們都變小一點，根

據已有的知識即可求出最大公約數）

解：8251=6105X1+2146

顯然8251的最大公約數也必是2146的約數，同樣6105與2146的公約數也必是8251的約

數，所以8251與6105的最大公約數也是6105與2146的最大公約數。

6105=2146X2+1813

2146=1813X1+333

1813=333X5+148

333=148X2+37

148=37X4+0

則37為8251與6105的最大公約數。

以上我們求最大公約數的方法就是輾轉相除法。也叫歐幾里德算法，它是由歐幾里德在公元

前300年左右首先提出的。利用輾轉相除法求最大公約數的步驟如下：

第一步：用較大的數m除以較小的數n得到一個商q。和一個余數r0；

第二步：若r0=0,則n為m,n的最大公約數；若r0W0,則用除數n除以余數r。得到一個

商qi和一個余數ri；

第三步：若n=0,則n為m,n的最大公約數；若nWO,則用除數r。除以余數n得到一個

商q2和一個余數r2；

依次計算直至rn=0,此時所得到的rnl即為所求的最大公約數。

練習：利用輾轉相除法求兩數4081與20723的最大公約數（答案：53）

2.更相減損術

我國早期也有解決求最大公約數問題的算法，就是更相減損術。

更相減損術求最大公約數的步驟如下：可半者半之，不可半者，副置分母?子之數，以少減

多，更相減損，求其等也，以等數約之。

翻譯出來為：

第一步：任意給出兩個正數；判斷它們是否都是偶數。若是，用2約簡；若不是，執行第二

步。

第二步：以較大的數減去較小的數，接著把較小的數與所得的差比較，并以大數減小數。繼

續這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數（等數）就是所求的最大公約數。

例2用更相減損術求98與63的最大公約數.

解：由于63不是偶數，把98和63以大數減小數，并輾轉相減，即：98-63=35

63-35=28

35-28=7

28—7=21

21-7=14

14-7=7

所以，98與63的最大公約數是7。

練習：用更相減損術求兩個正數84與72的最大公約數。（答案：12）

比較輾轉相除法與更相減損術的區別：

（1）都是求最大公約數的方法，計算上輾轉相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，

計算次數上輾轉相除法計算次數相對較少，特別當兩個數字大小區別較大時計算次數的區別

較明顯。

(2)從結果體現形式來看，輾轉相除法體現結果是以相除余數為0則得到，而更相減損術

則以減數與差相等而得到

3.秦九韶算法

秦九韶計算多項式的方法

x1

/(x)=axx++a1x*Hi-ayx+a。

=+,-I**。+￡-2--3■1----+<20

=((外/-2+4_1二-3+…+劭泣+的)芯+劭

=(…?X+%-l)X+%-2)X+…+%)+旬

<

令以=(…((怎X+%)X+/_2以+…+)為+%-后，則有［Vk=口-1五+%-此，

其中化=12…叱這樣，我們便可由心依次求出匕，為，…。；

匕口環+―,

丫2=%為+&*-2，

v3=v2x+ax_3,

匕=v*-ix+a。

顯然，用秦九韶算法求n次多項式的值時只需要做n次乘法和n次加法運算

4.進位制

進位制是一種記數方式，用有限的數字在不同的位置表示不同的數值.可使用數字符號

的個數稱為基數，基數為n,即可稱n進位制，簡稱n進制.現在最常用的是十進制，通常

使用10個阿拉伯數字0-9進行記數.

對于任何一個數，我們可以用不同的進位制來表示.比如：十進數57,可以用二進制表

示為111001,也可以用八進制表示為71、用十六進制表示為39,它們所代表的數值都是一

樣的.

表示各種進位制數一般在數字右下腳加注來表示，如111001(2)表示二進制數,34(5)表示5

進制數.

(1).k進制轉換為十進制的方法：

=a*xk*+aJ!_1x■!---\-a2x小2+%x無+/

(2).十進制轉化為k進制數b的步驟為：

第一步，將給定的十進制整數除以基數k,余數便是等值的k進制的最低位；

第二步，將上一步的商再除以基數k,余數便是等值的k進制數的次低位；

第三步，重復第二步，直到最后所得的商等于0為止，各次所得的余數，便是k進制各

位的數，最后一次余數是最高位，即除k取余法.

要點詮釋：

1、在k進制中，具有k個數字符號.如二進制有0,1兩個數字.

2、在k進制中，由低位向高位是按“逢k進一”的規則進行計數.

3、非k進制數之間的轉化一般應先轉化成十進制，再將這個十進制數轉化為另一種進

制的數，有的也可以相互轉化.

【反饋測評】：

1.求324、243、135這三個數的最大公約數。

求三個數的最大公約數可以先求出兩個數的最大公約數，第三個數與前兩個數的最大公約數

的最大公約數即為所求。

2.用更相減損術求98與63的最大公約數

解：由于63不是偶數，把98和63以大數減小數，并輾轉相減

98—63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=21

14-7=7

所以，98和63的最大公約數等于7

3.已知一個五次多項式為/(尤)=5x5+2/+3.5/一2.6/+1.7x-0.8用秦九韶算法求這

個多項式當x=5的值。

解：將多項式變形：/(x)=((((5x+2)x+3.5)x—2.6)x+1.7)x—0.8按由里到外的順序，

依此計算一次多項式當x=5時的值：

%=5,匕=5x5+2=27,嶺=27x5+3.5=138.5,v3=138.5x5-2.6=689.9

v4=689.9x5+1.7=3451.2,%=3451.2*5—0.8=17255.2所以，當x=5時，多項

式的值等于17255.2

4.將二進制數110011⑵化成十進制數

解：根據進位制的定義可知

110011(2)=1X25+1X24+0X23+0X22+1X2'+1X2°

=1x32+1x16+1x2+1

=51

所以，110011⑵=51。

【板書設計】：

1.3算法案例

一、輾轉相除法三、秦九韶算法五、反饋測評：小結

例1

作業

二、更相減損術四、進位制

例2

L3算法案例效果分析

1閱讀學習與算法有關的各種資料

在教學前要認真閱讀新課程標準，領會其基本理念，準備帶著新

理念實施教學。精讀教材和教學用書，深入地掌握教材內容，體會算

法思想。閱讀學生的《信息技術》教材，把其中的算法內容與數學課

程中的算法內容做出比較。閱讀相關的程序語言教程，補充學習編寫

程序所需的計算機語言，并編寫程序解答教材中出現的所有題目。教

師要擁有多種文本的教材，通過對照比較，分析它們的特色，去粗取

精，設計教案。

2靈活處理教材，做好教學設計

在備課時要根據算法的知識結構和學生的實際情況處理教材，結

合新課程理念、教材的要求和學生的接受能力書寫教案，制作課件,

打印講義。目標是幫助學生真正地掌握這一內容，不要迷信教材，生

搬硬套。

3貫徹新課程理念，嘗試新教學方式

教師必須更新觀念，把以往“以學科為本，以教師為中心”的教

學理念，轉變為“以人為本，以學生為主體”的新理念，并且要把新

理念貫徹到教學之中，不妨采用“課前預習——實例引入——講練結

合——討論交流”的教學方法。

首先，教學中要從最簡單的實際問題出發，激發起學生的興趣,

引導學生對趣味性問題和生活實際問題進行思考、討論，探索解決問

題的方法和步驟，然后用流程圖或程序來描述算法。

其次，教師要在教學設計中，根據數學知識的認知需要，在思想

方法上多做引導，為學生設置恰當的任務，用以引導他們的學習活動,

在具體細節上讓學生自己多動手、多閱讀、多思考、多交流，多發表

意見，在關鍵點上讓學生有機會提出自己的見解。在強調學生自主探

究的同時，教師也應適度地給予引導、幫助。教師是學生學習的引導

者、組織者，要在問題情境的設計、教學過程的展開、練習的安排以

及情感激勵的過程中引導學生主動地從事觀察、試驗、比較、概括、

猜想、驗證、推理等數學活動。

最后，教師要在課堂上營造起同學之間相互學習和交流的氛圍。

交流不僅可以提高學生的學習興趣，更主要的是可以拓寬思路，激發

靈感，促進創新，培養學生的創新意識和創新能力。

4重視“算理”，提倡算法多樣化

算法教學之中應該“講算法，重算理”。在講解算理時要十分注

意深入的“度”。從學生實際認知水平，原有知識結構出發，將算法

的訓練與算理的分析有機結合，既能讓學生輕松習得“行之有效”的

算法，又能使學生愉快感受“意味深長”的算理。

由于學生生活背景和思考角度不同，他們設計的算法必然是多樣

的。傳統數學教學習慣于把現成的思維模式和方法強加給學生，使學

生過早地拘泥于思維模式的統一性或規范性，因而學生只學會用一種

解法去解決某一個問題，這樣既省力又“見效”，但從建構主義學習

觀來看，這種學習只是一種被動的、非主動建構的過程。教師應該尊

重學生的想法，提倡算法的多樣化，鼓勵學生開發和使用不同的途徑

來實現算法，選取具有多種算法解答的問題開展教學，不要把注意力

全放在答案上，同時鼓勵學生主動設計、使用和討論所開發的算法,

論證哪種方式最適合解決問題，體驗算法的積極與靈活。對于學生的

各種獨特的算法，甚至不著邊際的想法都不應該加以阻撓，要讓他們

充分發展，充分享有“再創造”的自由。

5滲透數學文化，進行品德教育

在數學發展過程中，一種重要算法的形成往往就標志著數學的重

要進步。教師在數學算法教學過程中，應該注意與數學史的教學結合

起來，從算法的歷史背景到計算機科學中的算法，充分展現算法思想

的歷程，讓學生真正體會算法的科學價值、應用價值、人文價值，感

受數學文化的無窮魅力。實驗表明，學生對教師所舉的古代算法案例、

中國古代數學的輝煌成就和中外數學家的故事等表現出極大的興趣，

他們不僅更深刻地認識了算法，也在無形之中接受了數學文化的熏陶

和愛國主義的教育。

6.盡量安排學生上機操作

教師在算法教學時應盡量創造條件，安排時間以及提供計算機和

相應軟件讓學生上機試驗并給予上機指導。通過上機，學生更能直觀

感受到算法的奇妙。同時，當看到自己寫的程序得以運行，并出現運

算結果時，學生有一種學習上的成就感，可以增強他們對算法的興趣。

1.3算法案例課后反思

課后反思對提高課堂教學質量，加快教師的專業成長有非常重要

的作用。一個優秀的教師，一個充滿智慧的教師，應該是一個善于反

思的教師。那么怎樣才能有效的做好課后反思，讓反思伴隨我一同成

長呢？我認為，除了讓同組老師和領導做硬性的規定和彈性的評估外,

較強的對課后反思能力方面的培養是一大策略。

本來，反思的結果是人通過大腦思維而催生的產物，這其中太多

個性的因素，無法去做到定性和定量的要求。但是思維是可以通過暗

示而變得有序和有向的。為了使我的課后反思水平得到提高，反思的

效果顯著，我自己的每節課都從以下十個方面進行反思。

反思一：本節課的三維目標是什么？達標情況怎樣？

反思二：本節課的重點、難點是什么？突破重、難點的情況如何？

反思三：本節課教法和學法有哪些？你認為合適嗎？

反思四：為了上好本節課你做了那些準備？（查資料、備教具、

備教案、做課件等）

反思五：課上你創設了什么樣的情境？設計了那些精彩的環節？

達到怎樣的效果？

反思六:本節課你注重對學生進行那些習慣、興趣、能力的培養？

反思七：本節課精彩之處在那？

反思八：本節課的不足之處在那？有沒有失誤？

反思九：要是讓你重新上一次本課，你想改進些什么？

反思十：上玩本節課，你和學生輕松嗎？快樂嗎？

就本節課我逐一從以上十個方面進行反思：

反思一：

本節課的三維目標：一、