競賽專題10排列組合、二項式定理

（50題競賽真題強化訓(xùn)練）

一、填空題

1.（2018?廣東?高三競賽）袋中裝有m個紅球和n個白球，m>n24.現(xiàn)從中任取兩球，

若取出的兩個球是同色的概率等于取出的兩個球是異色的概率，則滿足關(guān)系加+”440

的數(shù)組（m,n）的個數(shù)為.

2.（2018?湖南?高三競賽）已知AuB={a1,%，4}，當(dāng)AwB時,（48）與（8,4）視為不

同的對，則這樣的（A8）對的個數(shù)有個.

3.（2018?湖南?高三競賽）從-3、-2、-1、0、1、2、3、4八個數(shù)字中，任取三個不同

的數(shù)字作為二次函數(shù)〃"=依2+云+c（a=0）的系數(shù).若二次函數(shù)的圖象過原點，且其

頂點在第一象限或第三象限，這樣的二次函數(shù)有個.

4.（2018?湖南?高三競賽）1|x|+三-2）的展開式中常數(shù)項為.

5.（2018?四川?高三競賽）設(shè)集合/={1,2,3,4,5,6,7,8},若/的非空子集48滿足

A[\B=<Z,就稱有序集合對（A,B）為/的“隔離集合對“，則集合/的“隔離集合對”的個

數(shù)為.（用具體數(shù)字作答）

6.（2020?浙江?高三競賽）已知十進(jìn)制九位數(shù)（4%則所有滿足

q>電>…>%=4,a5<a6<-?-<?,,的九位數(shù)的個數(shù)為.

7.（2018?山東?高三競賽）集合A、B滿足AU8={1，2,3,L,10},AAB=0,若A中

的元素個數(shù)不是A中的元素，3中的元素個數(shù)不是B中的元素，則滿足條件的所有不

同的集合A的個數(shù)為.

8.（2020.遼寧錦州.高二期末）482⑼被7除后的余數(shù)為.

9.（2021?江西?鉛山縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知多項式

31029

x+x=a0+t7,（x+l）+a2（x+l）-i--i-t79（x+1）+a10（x+l）1°,貝a2-.

10.（2021?全國?高三競賽）若（20》+11?=奴3+法、+。孫右）則

a-2h+4c-Sd=.

11.（2020?江蘇?高三競賽）用三個數(shù)字“3,1,4”構(gòu)成一個四位密碼，共有

___________種不同結(jié)果.

12.（2020.江蘇.高三競賽）已知集合。={1,2,3,4,5,6},則滿足/（〃/（x）））=x的函數(shù)

/：AfA共有個.

13.（2018?河北?高三競賽）欲登上7階樓梯，某人可以每步跨上兩階樓梯，也可以每

步跨上一階樓梯，則共有種上樓梯的方法.

222n

14.（2018?河南?高三競賽）^（2x+4）"=a0+a}x+a2x+L+a2nx（?eN*）,貝ij

/+4+…+%“被3除的余數(shù)是.

15.（2018?湖北?高三競賽）一枚骰子連貫投擲四次，從笫二次起每次出現(xiàn)的點數(shù)都不

小于前一次出現(xiàn)的點數(shù)的概率為.

16.（2019?河南?高二競賽）稱{1,2,3,4,5,6,7,8,9}的某非空子集為奇子集：如果其中所有

數(shù)之和為奇數(shù)，則奇子集的個數(shù)為.

17.（2019?貴州?高三競賽）已知山G{11,13,15,17,19},?e{2000,2001,....

2019）,則，的個位數(shù)是1的概率為.

18.（2020?全國?高三競賽）在1,2,3,…，10中隨機選出一個數(shù)。在一1,-2,一

3,一10中隨機選出一個數(shù)從則/+方被3整除的概率為.

19.（2021?全國?高三競賽）把數(shù)字0?9進(jìn)行排列，使得2在3的左邊，3在5的左

邊，5在7的左邊的排法種數(shù)為.

20.（2021?全國高三競賽）若多項式l-x+f———+/可以表示成

%+/，+???+%999+a20y2”,這里），=X+1,貝！］/=.

21.（2021?全國?高三競賽）有甲乙兩個盒子，甲盒中有5個球，乙盒中有6個球（所

有球都是一樣的）.每次隨機選擇一個盒子，并從中取出一個球，直到某個盒子中不再

有球時結(jié)束.則結(jié)束時是甲盒中沒有球的概率為.

22.（2021?全國?高三競賽）一次聚會有8個人參加，每個人都恰好和除他之外的兩個

人各握手一次.聚會結(jié)束后，將所有握手的情況記錄下來，得到一張記錄單.若記錄

單上的每條握手記錄不計先后順序（即對某兩張記錄單，可以分別對其各條記錄進(jìn)行

重新排列后成為兩張完全相同的，則這兩張被認(rèn)為是同一種），則所有可能的記錄單種

數(shù)為.

23.（2021?全國?高三競賽）先后三次擲一顆骰子，則其中某兩次的點數(shù)和為10的概率

為.

24.（2021.浙江.高二競賽）對于正整數(shù)〃，若（孫-5x+3），-15）"展開式經(jīng)同類項合

并，x'y，a,/=0,1,…合并后至少有2021項，則〃的最小值為.

25.（2021?浙江?高三競賽）已知整數(shù)數(shù)列片,能，…，/，滿足4o=2q,

%+4=2%，且=1（4=1，2....9）,則這樣的數(shù)列個數(shù)共有個.

26.（2021?全國?高三競賽）將2枚白棋和2枚黑棋放入一個4x4的棋盤中，使得棋盤

的每個方格內(nèi)至多放入一枚棋子，且相同顏色的棋子既不在同一行，也不在同一列，

如果我們只區(qū)分顏色而不區(qū)分同種顏色的棋子，則不同放法的種數(shù)為.

27.（2021?全國?高三競賽）用平行于各邊的直線將一個邊長為10的正三角形分成邊長

為1的正三角形表格，則三個頂點均為格點且各邊平行于分割線或與分割線重合的正

三角形的個數(shù)是.

4038

28.（2021?全國?高三競賽）設(shè)（1+x+x）20|9=￡a苫,其中q（i=0,1,…,4038）為常

*=0

1346

數(shù)，則za3k=.

k=0

29.（2021?全國?高三競賽）設(shè)《，生工，田是1，2,9的一個排列,如果它們滿足

a}<a2<%>%>%>%>%<4<4>，則稱之為一個“波浪形排列'’.則所有的“波浪形

排列”的個數(shù)為.

30.（2021?全國?高三競賽）從正方形的四個頂點及四條邊的中點中隨機選取三個點，

則“這三個點能夠組成等腰三角形”發(fā)生的概率為.

31.（2021.全國?高三競賽）圓周上有20個等分點，從中任取4個點，是某個梯形4個

頂點的概率是.

32.（2021?全國?高三競賽）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點集

K={（%y）|xe{l,2},yw{l,2,3,4}}.從K中隨機取出五個點，則其中有四點共線或四點

共圓的概率為.

33.（2021.全國?高三競賽）在0、1、2、3、4、5、6中取5個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的

五位數(shù)，其中是27倍數(shù)的最小數(shù)是.

34.（2019?山東?高三競賽）6個相同的紅色球，3個相同的白色球，3個相同的黃色球

排在一條直線上，那么同色球不相鄰的概率是.

35.（2019?貴州?高三競賽）若（a+b）〃的展開式中有連續(xù)三項的二項式系數(shù)成等差數(shù)

列，則最大的三位正整數(shù)片.

36.（2019?廣西?高三競賽）從1,2,20中任取3個不同的數(shù)，這3個數(shù)構(gòu)成等差

數(shù)列的概率為.

37.（2019?浙江?高三競賽）在復(fù)平面上，任取方程3°°_1=0的三個不同的根為頂點組

成三角形，則不同的銳角三角形的數(shù)目為.

38.（2019?新疆?高三競賽）隨機取一個由0和1構(gòu)成的8位數(shù)，它的偶數(shù)位數(shù)字之和

與奇數(shù)位數(shù)字之和相等的概率為.

39.（2019?新疆?高三競賽）記國為不超過實數(shù)x的最大整數(shù).若A=，］+「+.?.+

■J20191rJ2020-

—+—，則A除以50的余數(shù)為.

40.（2020.全國?高三競賽）現(xiàn)有10張卡片，每張卡片上寫有1,2,3,4,5中兩個不

同的數(shù)，且任意兩張卡片上的數(shù)不完全相同.將這10張卡片放入標(biāo)號為1,2,3,

4,5的五個盒子中，規(guī)定寫有i,j的卡片只能放在，?號或」號盒子中.一種放法稱為

“好的”，如果1號盒子中的卡片數(shù)多于其他每個盒子中的卡片數(shù).則“好的”放法共有

________種.

41.（2021.浙江.高三競賽）一條直線上有三個數(shù)字q,a2,a},數(shù)字々位于q,%之

間，稱數(shù)值|4-%|+|“2-闖為該直線的鄰差值.現(xiàn)將數(shù)字卜9填入3x3的格子中，每個

數(shù)字均出現(xiàn)，過橫向三個格子、豎向三個格子及對角線三個格子共形成8條直線.則這8

條直線的鄰差值之和的最小值為,最大值為.

42.（2021?全國?高三競賽）劉老師為學(xué)生購買紀(jì)念品，商店中有四種不同類型紀(jì)念品

各10件（每種類型紀(jì)念品完全相同），劉老師計劃購買24件紀(jì)念品，且每種紀(jì)念品至

少購買一件.則共有種不同的購買方案.

43.（2021?全國?高三競賽）從集合{L2,…,2020}的非空子集中隨機取出一個，其元素

之和恰為奇數(shù)的概率為.

44.（2021?全國?高三競賽）將圓周2〃+1等分于點A，…向，在以其中每三點為頂

點的三角形中，含有圓心的三角形個數(shù)為.

二、解答題

45.（2021?全國?高二課時練習(xí)）已知集合A/={1,2,3,4,5,6},N={6,1,8,

9）,從M中選3個元素，N中選2個元素組成一個含5個元素的新集合C,則這樣的

集合C共有多少個？

46.（2018?廣東?高三競賽）已知正整數(shù)n都可以唯一表示為

"=4+4.9+%-92+…①的形式，其中m為非負(fù)整數(shù)，為w{0,l,…,8}

（j=0,a,?6{I,---,8}.試求①中的數(shù)列4,4,%，…，4嚴(yán)格單調(diào)遞增或嚴(yán)

格單調(diào)遞減的所有正整數(shù)n的和.

47.（2019?江蘇?高三競賽）平面直角坐標(biāo)系中有16個格點（i,力，其中0雜3,0</<3.

若在這16個點中任取"個點，這”個點中總存在4個點，這4個點是一個正方形的頂

點，求〃的最小值.

48.（2019?上海?高三競賽）設(shè)〃為正整數(shù)，稱〃X”的方格表7〃的網(wǎng)格線的交點（共

（〃+1）2個交點）為格點.現(xiàn)將數(shù)1,2......（〃+1）2分配給7〃的所有格點，使不同的格

點分到不同的數(shù).稱Tn的一個1x1格子S為“好方格”，如果從2s的某個頂點起按逆時

針方向讀出的4個頂點上的數(shù)依次遞增（如圖是將數(shù)1,2，…，9分配給乃的格點的一

種方式，其中8、C是好方格，而小。不是好方格）設(shè)7〃中好方格個數(shù)的最大值為

/（?）.

（1）求心）的值;

（2）求火〃）關(guān)于正整數(shù)〃的表達(dá)式.

49.（2021?全國?高三競賽）平面上有八個點，其中無三點共線，將這〃個點兩兩相

連，用紅、黃、綠三種顏色染這些線段，且任意三點所成的三角形的三條邊均恰好有

兩種顏色，證明：〃<13.

50.（2021.全國?高三競賽）求方程|"-°'|=1的整數(shù)解，其中p、q是質(zhì)數(shù)，八s是大于

1的正整數(shù)，并證明所得到的解是全部解.

競賽專題10排列組合、二項式定理

（50題競賽真題強化訓(xùn)練）

一、填空題

1.（2018?廣東?高三競賽）袋中裝有m個紅球和n個白球，m>n24.現(xiàn)從中任取兩球，

若取出的兩個球是同色的概率等于取出的兩個球是異色的概率，則滿足關(guān)系加+”440

的數(shù)組（m,n）的個數(shù)為.

【答案】3

【解析】

【詳解】

記''取出兩個紅球”為事件A,“取出兩個白球”為事件B,“取出-紅一白兩個球”為事件

c2c2c'C1

C,則尸（4）=聲，P（8）=#,P（C）=-J^.

依題意得P（A）+P（B）=P（C）,即C；+C；=C1C：.所以初+〃=（初一”）2,從而機+〃為

完全平方數(shù).又由加>〃N4及〃?+〃W40,得9W"V40.

m+n=9,m+n=16,m+n=25,m+n=36,

所以或或或

m-n=3,m-n=4,m-n=5,m-n=6,

解之得（m,n）=（6,3）（舍去），或（10,6）,或（15,10）,或（21,15）.

故符合題意的數(shù)組（m,n）有3個.

故答案為3

2.（2018?湖南?高三競賽）已知AuB={a1,02M3}，當(dāng)AHB時,（48）與（氏4）視為不

同的對，則這樣的（48）對的個數(shù)有個.

【答案】26

【解析】

【詳解】

由集合A、B都是4U8的子集，AxB且4=8=（4,4，%）.

當(dāng)力=0時，B有1種取法：

當(dāng)A為一元集時，B有2種取法；

當(dāng)A為二元集時，B有4種取法；

當(dāng)A為三元集時，B有7種取法.

故不同的（A,B）對有1+3x2+3x4+7=26（個）.

故答案為26

3.（2018?湖南?高三競賽）從-3、-2、-1、0、1、2、3、4八個數(shù)字中，任取三個不同

的數(shù)字作為二次函數(shù)+云的系數(shù).若二次函數(shù)的圖象過原點，且其

頂點在第一象限或第三象限，這樣的二次函數(shù)有個.

【答案】24

【解析】

【詳解】

可將二次函數(shù)分為兩大類：一類頂點在第一象限；另一類頂點在第三象限，然后由頂

點坐標(biāo)的符號分別考查.

因為圖象過坐標(biāo)原點，所以c=0.故二次函數(shù)可寫成/（x）="+bx的形式.

X/（x）=afx+—Y--,所以其頂點坐標(biāo)是，二，馬.

v7I,2a）4aI,2a4a）

h卜?

若頂點在第一象限，則有9>0,-2>0.故。<0,b>0.

2a4ci

因此，這樣的二次函數(shù)有A?A：=12個.

若頂點在第三象限，則有-2-<0，-生<0.故。>0，6>0.這樣的二次函數(shù)有

2a4a

尺=12個.

由加法原理知，滿足條件的二次函數(shù)共有??4+&=24個.

故答案為24

4.（2018?湖南?高三競賽）“x|+上一2）的展開式中常數(shù)項為

【答案】-20

【解析】

【詳解】

6

、3、3

因為百

（W+.所以7>（-1）七：（川）3

-2=胴-=-20.

)桐)

故答案為?20

5.（2018?四川?高三競賽）設(shè)集合/={1,2,3,4,5,6,7,8},若/的非空子集48滿足

=就稱有序集合對（A3）為/的“隔離集合對“，則集合/的“隔離集合對”的個

數(shù)為.（用具體數(shù)字作答）

【答案】6050

【解析】

【詳解】

設(shè)A為/的人（1（左47）元子集，則B為/的補集的非空子集.所以，“隔離集合對”的個

數(shù)為

777

（28-*-1）=2域2'"-ZC=（1+2）-C2'+C；2"）-Q8-C；-C；）=3*-2。+1=6050

k=\k=\Jl=l

故答案為6050.

6.（2020?浙江?高三競賽）已知十進(jìn)制九位數(shù)（4生…%，，則所有滿足

4>%…=4,%<4<…<的的九位數(shù)的個數(shù)為.

【答案】25

【解析】

【詳解】

由題意得：q（i=L2,3,4,6,7,8,9）w{5,6,7,8,9},且有順序.于是滿足題意的有

N=C；?C；=25.

故答案為：25.

7.（2018?山東.高三競賽）集合A、B滿足A|JB={1,2,3,L,10},7n3=0,若A中

的元素個數(shù)不是A中的元素，5中的元素個數(shù)不是B中的元素，則滿足條件的所有不

同的集合A的個數(shù)為.

【答案】186

【解析】

【詳解】

設(shè)A中元素個數(shù)為2化=1,2,…,9）,則8中元素個數(shù)為10-Z，

依題;意女eA,(m—g)</<("?+1)-

10-kiB,10-keA,此時滿足題設(shè)要求的A的個數(shù)為金3.

其中，當(dāng)％=5時，不滿足題意，故&H5.

所以A的個數(shù)為C；+C；+…+C：-C；=28-C；=186.

8.(2020?遼寧錦州?高二期末)48?以被7除后的余數(shù)為.

【答案】6

【解析】

【分析】

將問題轉(zhuǎn)化為二項式定理即可求解.

【詳解】

48202,=(49-1)2021的通項公式為配產(chǎn)C'x49202fx(—1)',當(dāng)re{0,l,2,…,2020}時,

都能整除7,當(dāng)r=2021時，該項為-1,所以余數(shù)為6.

故答案為：6

【點睛】

本題主要考查二項式定理，屬于基礎(chǔ)題.

9.(2021?江西?鉛山縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)(理))已知多項式

9

x，+=4+q(x+1)+a,(x+1)~+,?,+dt9(x+1)+ul0(x+1),則％"

【答案】42

【解析】

【分析】

根據(jù)題意把V+產(chǎn)變形為[-1+(x+1)[+[-1+(x+1)『，然后利用二項式定理來求.

【詳解】

因為*3+/=[-1+(工+1)了+[-1+(工+1)["

=%+4(x+1)+a,(x+1)-+…+%(x+1)，+即,(x+1)>

所以％=Y+Gi=42.

故答案為：42.

10.(2021?全國?高三競賽)若(20犬+11?=奴3+加/+°孫2+小3,則

a-2b+4c-8d=.

【答案】-8

【解析】

【分析】

【詳解】

令x=l,y=-2,條件式立即化為(-2)3=a-2b+4c-8d,即a-?+4c-8d=—8.

故答案為：-8.

11.(2020?江蘇?高三競賽)用三個數(shù)字“3,1,4”構(gòu)成一個四位密碼，共有

___________種不同結(jié)果.

【答案】81

【解析】

【詳解】

解析：只有一個數(shù)時，3種；

兩個數(shù)時，C(C：+2xC)=42種；

三個數(shù)時,3x3x4=36種，共81種.

故答案為：81.

12.(2020.江蘇.高三競賽)已知集合A={1,2,3,4,5,6},則滿足/(f(/(x)))=x的函數(shù)

/：AfA共有個.

【答案】47

【解析】

【詳解】

解析,值域中元素的個數(shù)為1或6,

若值域中元素的個數(shù)為1,則/。)=機(機為常數(shù))，共6種；

若值域中元素的個數(shù)6,

當(dāng)/(》)=》時，1種；

當(dāng)xf/(x)->/(/(x))f/(/(/(X)))->x,則3個一組,有2C：=40.

因此題述所求為1+6+40=47個.

故答案為：47.

13.(2018?河北?高三競賽)欲登上7階樓梯，某人可以每步跨上兩階樓梯，也可以每

步跨上一階樓梯，則共有種上樓梯的方法.

【答案】21

【解析】

【詳解】

本題采用分步計數(shù)原理.

第一類：0次一步跨上2階樓梯，即每步跨上一階樓梯，跨7次樓梯，只有1種上樓

梯的方法；

第二類，1次一步跨上2階樓梯，5次每步跨上一階樓梯，跨6次樓梯，有煤=6種方

法；

第三類：2次一步跨上2階樓梯，3次每步跨上一階樓梯，跨5次樓梯，有0=10種

方法；

第四類：3次一步跨上2階樓梯，1次每步跨上一階樓梯，跨4次樓梯，有C；=4種方

法；共計21種上樓梯的方法.

2n22n

14.(2018?河南?高三競賽)(2x+4)=a0+x+a2x+L+a2?x(?eN*),則

七+%+…+%,被3除的余數(shù)是.

【答案】1

【解析】

【詳解】

令x=0,得小=42".

分別令x=l和x=—l,將得到的兩式相加，得%+/+%+…+%,=g(62"+22").

所以。2+%+…+”2“=!(6?”+22")-42n=22"702"+1)_42”

s(-l)2''xl-l2n=-2sl(mod3).

15.(2018?湖北?高三競賽)一枚骰子連貫投擲四次，從笫二次起每次出現(xiàn)的點數(shù)都不

小于前一次出現(xiàn)的點數(shù)的概率為.

【答案】三7

72

【解析】

【詳解】

設(shè)外心、%、氏分別是四次投擲骰子得到的點數(shù)，那么(4,%，%，%)共有64種不同的

情況.

如果從第二次起每次出現(xiàn)的點數(shù)都不小于前一次出現(xiàn)的點數(shù)，則

ax<a2<a3<a4.

若4、出、由、。4的值都相等，貝M4%,4,%)有C；種不同的情況；

若外紜%、%恰好取兩個不同的值，則(%外,%，%)有3C；種不同的情況；

若外的、%、4恰好取3個不同的值，則(4，。2，％，能)有3亡種不同的情況；

若4、出、生、4恰好取4個不同的值，則（4,%，/，。4）有C：種不同的情況.

因此，滿足qMa2Ma3M%的情況共有C：+3C：+3C；+C：=126（種）.

故所求的概率為1蒙26=看7.

16.（2019?河南?高二競賽）稱｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝的某非空子集為奇子集：如果其中所有

數(shù)之和為奇數(shù)，則奇子集的個數(shù)為.

【答案】256

【解析】

【詳解】

全集｛1,2,3.........9｝中含有5個奇數(shù)、4個偶數(shù).根據(jù)奇子集的定義知，奇子集中只

能含有1個奇數(shù)、3個奇數(shù)、5個奇數(shù)，而偶數(shù)的個數(shù)為0、1、2、3、4都有可能.

所以，奇子集共有：

C；（C：+C：+…+C：）+（C：+C：+…+C：）+（1+C：+…+C：）

=（C；+C；+C；）C+C：+...+C；）=（5+10+l）x24=256個.

故答案為：256.

17.（2019?貴州?高三競賽）已知"G｛11,13,15,17,19）,”G｛2000,2001........

2019｝,則mn的個位數(shù)是1的概率為.

2

【答案】j

【解析】

【詳解】

當(dāng)加=11,｛2000,2001,2019｝時，mn的個位數(shù)都是1,此時有20種選法;

當(dāng)m=13,〃G｛2000,2004,2008,2012,2016｝時,mn的個位數(shù)都是1,此時有5種

選法；

當(dāng)機=15時，”7”的個位數(shù)不可能為I,此時有0種選法;

當(dāng).=17,ne｛2000,2004,2008,2012,2016｝時，的個位數(shù)都是1,此時有5種

選法；

當(dāng)，”=19,〃丘｛2000,2002,2004,2018｝時，m的個位數(shù)都是1,此時有10種選

20+5+0+5+102

綜上，所求概率為

5x205

2

故答案為：y

18.（2020?全國?高三競賽）在1,2,3,…，10中隨機選出一個數(shù)。在一1,一2,一

3,…，-10中隨機選出一個數(shù)6則/+人被3整除的概率為.

37

【答案】而

【解析】

【分析】

題中條件/+6是3的倍數(shù)，考慮被3除的余數(shù)分情況討論.另外注意有/和b被3除

的余數(shù)相加是3的倍數(shù).

【詳解】

數(shù)組（。,。）共有IO?=100種等可能性的選法.

考慮其中使小+匕被3整除的選法數(shù)N.

若。被3整除，則b也被3整除.此時a,6各有3種選法，這樣的（。力）有32=9種.若。不

被3整除，則。=（3后±1）2=%2±64+1=3（3二±2左）+1,于是/被3除余1，那么b被

3除余2.此時。有7種選法，b有4種選法，這樣的（。力）有7x4=28種.

37

因此N=9+28=37.于是所求概率為麗.

【點睛】

此題考查計數(shù)原理和概率的知識，屬于中檔題.

19.（2021?全國?高三競賽）把數(shù)字0-9進(jìn)行排列，使得2在3的左邊，3在5的左

邊，5在7的左邊的排法種數(shù)為.

【答案】151200

【解析】

【分析】

【詳解】

考慮全排列，有種虢排法；

將數(shù)字2、3、5、7從隊列中拿出來，保留原隊列順序，有A：種排法；

使得2在3的左邊，3在5的左邊，5在7的左邊，只能按照2、3、5、7的順序排

列，有1種排法：

故滿足題意的排法數(shù)是j-Ao=151200.

故答案為：151200.

20.（2021?全國?高三競賽）若多項式l-x+V——”+產(chǎn)可以表示成

920

an+aty+---+atgy'+a2ny,這里)'=x+l,貝！j生=__.

【答案】1330

【解析】

【分析】

【詳解】

因為：

j(l-x+x2-------xl9+x20)=(l+x)(l-x+x2-------xl9+x20)=l+x21=l+(y-l)21,

又因為：

1919=]

y(l~x+x~-------x+》-0)=y(a()+axy-\----Fi?19y+^20^-°)%y+“iy-+—bnl9y°+a^y~

所以叼=（4=1330.

故答案為：1330.

21.（2021.全國?高三競賽）有甲乙兩個盒子，甲盒中有5個球，乙盒中有6個球（所

有球都是一樣的）.每次隨機選擇一個盒子，并從中取出一個球，直到某個盒子中不再

有球時結(jié)束.則結(jié)束時是甲盒中沒有球的概率為

319

【答案】元

【解析】

【分析】

【詳解】

相當(dāng)于前十次中至少有五次選擇了甲盒的概率,

10

即自。_1+4一319?

p一3「方+訶-五

319

故答案為：引耳,

22.（2021.全國.高三競賽）一次聚會有8個人參加，每個人都恰好和除他之外的兩個

人各握手一次.聚會結(jié)束后，將所有握手的情況記錄下來，得到一張記錄單.若記錄

單上的每條握手記錄不計先后順序（即對某兩張記錄單，可以分別對其各條記錄進(jìn)行

重新排列后成為兩張完全相同的，則這兩張被認(rèn)為是同一種），則所有可能的記錄單種

數(shù)為

【答案】3507

【解析】

【分析】

【詳解】

根據(jù)已知，將這8個人進(jìn)行分組，每組的所有人排成一個圓圈，每個人和與其相鄰的

兩個人握手.

問題轉(zhuǎn)化為這樣的分組、以及分完組之后的項鏈排列（因為要求握手記錄無序）方法

有幾種.

注意到最多分成兩組，則：

當(dāng)分成一組時，有;種；

2

,4'2'

當(dāng)分成兩組時，若兩組人數(shù)分別為3和5,則有利1

若兩組人數(shù)都是4,則有盤.工.工種.

2!22

7!4!2!3!

-=3507種.

222!22

故答案為：3507.

23.（2021.全國?高三競賽）先后三次擲一顆骰子，則其中某兩次的點數(shù)和為10的概率

為.

23

【答案】礪

【解析】

【分析】

【詳解】

有兩次為5的概率為RG=—,

63216

有兩次為6和4的概率為=生,

6216

匚匚加了廿4，163023

所以概率為——十——=—.

216216108

23

故答案為：—T.

108

24.（2021.浙江.高二競賽）對于正整數(shù)〃，若（孫-5x+3y-15）"展開式經(jīng)同類項合

并，=0,1,???,〃）合并后至少有少21項,則〃的最小值為,

【答案】44

【解析】

【分析】

【詳解】

由(孫一5x+3y_15)"=(x+3)”(y-5)",共有(〃+1/項，

所以5+1)222021,Wn>V2021-1,則〃?*=44.

故答案為：44.

25.(2021.浙江.高三競賽)已知整數(shù)數(shù)列4,生，…，/，滿足%=2q,

4+4=24,且|4+「q|=1(k=\,2,9),則這樣的數(shù)列個數(shù)共有個.

【答案】192

【解析】

【分析】

【詳解】

分情況討論：

①先考慮對，延，4,設(shè)q=r,則：

(1)q=匕處=廣+1，％=廣+2,%=廠+3,4=廠+4；

(2)%=r,q=r+1，6=八%=「+1，4=廣；

(3)a4=r,a5=r+l,a6=/-,(77=r-l,as=r；

(4)a4=r,a5=r-l,ab=r-2,a7=r-3,a8=r-4；

(5)4=r,as=r-\,ab=r-2,a1=r+3,a8=r；

(6)q=r,a5=r-\,af>=r,a-,=r-l,as=r；

②再考慮出，4o,同理共有4種，且%()=r+s,其中s=6,4,2,0,—2,-4,—6：

③最后考?慮4,見,田共有8種，艮4=r+f淇中￡=土1,±3,所以。產(chǎn)%,故%=2%一定有

解，

綜上共有8x6x4=192個；

故答案為：192.

26.(2021.全國?高三競賽)將2枚白棋和2枚黑棋放入一個4x4的棋盤中，使得棋盤

的每個方格內(nèi)至多放入一枚棋子，且相同顏色的棋子既不在同一行，也不在同一列，

如果我們只區(qū)分顏色而不區(qū)分同種顏色的棋子，則不同放法的種數(shù)為.

【答案】3960

【解析】

【分析】

利用去雜法可求不同方法的種數(shù).

【詳解】

解析：將兩枚白棋放入方格中的方法數(shù)為受=72種，兩枚黑棋放入方格中使得它

們既不在同一行，也不在同一列的方法數(shù)為皆上=72,其中至少有1枚黑棋與白棋

放入同一方格的方法數(shù)為2x9=18種，兩枚黑棋均放入兩枚白棋所在的方格中的方法

數(shù)為1種，故由容斥原理可知不同的方法數(shù)為72x（72-2x9+1）=3960種.

故答案為：3960.

【點睛】

思路點睛：對于較為復(fù)雜的組合計數(shù)問題，我們可以采用去雜法從反面考慮，但要注

意防止重復(fù)計算，如本題中同色的棋子不做區(qū)分.

27.（2021.全國?高三競賽）用平行于各邊的直線將一個邊長為10的正三角形分成邊長

為1的正三角形表格，則三個頂點均為格點且各邊平行于分割線或與分割線重合的正

三角形的個數(shù)是.

【答案】315

【解析】

【詳解】

解析：設(shè)邊長為〃的正三角形中由格點構(gòu)成各邊平行于分割線或與分割線重合的正一

角形的個數(shù)為則4=1,々=5嗎=13,

當(dāng)"為偶數(shù)時，則4=an.,++2（1+2+3+等）+3，

其中C3為增加的一條邊上的〃+1分點中的任意兩個不同的構(gòu)成的正三角形的個數(shù)；

2（1+2+3+彳）+］為以增加的一條邊上的〃+1分點中的任意一個點為頂點的正三角

形的個數(shù)，

同理，當(dāng)“為奇數(shù)時，則=4i+C；+1+2（l+2+3+yl）,

其中C3為增加的一條邊上的〃+1分點中的任意兩個不同的構(gòu)成的正三角形的個數(shù)；

21+2+3+?）為以增加的一條邊上的”+1分點中的任意一個點為頂點的正三角形

的個數(shù)，

故即）=1++c；——卜G：

+[(2x0+l)+2xl+(2xl+2)+2x(l+2)+…+2x(l+2+3+4)+2x(l+2+3+4)+5]=

《+《+…+品+（1+2+3+4+5）+40+3+6+10）=品+15+80=315

答案為：315.

20194038

28.（2021.全國?高三競賽）設(shè)（1+x+xJ=Z4x"，其中4（，=0」,…,4038）為常

k=Q

1346

數(shù)，則Z".

1=0

【答案】3劉8

【解析】

【詳解】

4036

設(shè)（1+x+f=b0+4x+b/2+...+b^x,

則（1+X+X?）刈9=（1+X+、乂d+偽X+…+%36*6）.

可見％=%，4=偽+仇+&，4=4+4+4,…，因此％038=4036.

,%+%+…+。4038=4>+4+…+°4036=3""'.

故答案為：32fm.

29.（2021.全國.高三競賽）設(shè)是1,2,....9的一個排列，如果它們滿足

q<生<%>4>%>%>%<4<“9，則稱之為一個“波浪形排列則所有的“波浪形

排列”的個數(shù)為.

【答案】379

【解析】

【詳解】

解析：的只能取7、8、9,按照的取值依次分成三類，

若色=9,有量以=280種排列;

若為=8,有C；C；=84種排列；

若%=7,有C：=15種排列：

可得總數(shù)為379.

故答案為：379.

30.（2021?全國?高三競賽）從正方形的四個頂點及四條邊的中點中隨機選取三個點，

貝『‘這三個點能夠組成等腰三角形”發(fā)生的概率為.

【答案】得

【解析】

【詳解】

解析：按照選取點中正方形頂點的個數(shù)進(jìn)行分類，依次可以為3、2、1、0個，

,,205

相應(yīng)的等腰三角形個數(shù)為C：+4xl+4x2+C：=20,因此所求概率為至=而.

故答案為：.

14

31.（2021?全國?高三競賽）圓周上有20個等分點，從中任取4個點，是某個梯形4個

頂點的概率是.

【答案】三48

323

【解析】

【詳解】

解析：梯形共有兩種：從10組平行于直徑的9條平行直線中選2條，或從10組不平

行打工役的1（）條門1線中選2條.第-種去掉短形m（）x?-4）=320個，第：種

去掉矩形有10x（C：。-5）=400個，共有720個，故概率是7^=京.

48

故答案為：——?.

323

32.（2021?全國?高三競賽）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點集

K={（x,y）|x￡{l,2},y￡{l,2,3,4}}.從K中隨機取出五個點，則其中有四點共線或四點

共圓的概率為.

【答案】I

【解析】

【詳解】

考慮任四點不共線、任四點不共圓的情形.

由無四點共線知福列至少有一個點不取.

不妨設(shè)左邊一列有兩個點不取，分六種情況知方法數(shù)為2+2+0+0+2+2=8.

故原概率為

故答案為：~■

33.（2021?全國?高三競賽）在0、I、2、3、4、5、6中取5個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的

五位數(shù)，其中是27倍數(shù)的最小數(shù)是.

【答案】14256

【解析】

【詳解】

解析：首先這個數(shù)是9的倍數(shù)，故這5個數(shù)字只能是0、3、4、5、6或1、2、4、5、

6,五位數(shù)字之和為18.設(shè)五位數(shù)是北蘇，則

l（XXX）a+l（XX為+l（X）c+10d+em104+Z?—8c+l（）d+e（mod27）,

為了使數(shù)最小，考慮。=1，故可取各數(shù)字為1、2、4、5、6,

先考慮12456,止匕時10a+b—8c+10d+e=12—32+50+6=28,不合要求；

再考慮14256,此時10a+b—8c+l（W+e=14—16+50+6=54,符合要求.

故所求的最小的數(shù)是14256.

故答案為：14256.

34.（2019?山東?高三競賽）6個相同的紅色球，3個相同的白色球，3個相同的黃色球

排在一條直線上，那么同色球不相鄰的概率是.

【答案】/

【解析】

【詳解】

由題意可知，所有的排列方法種數(shù)為：N=

6!x3!x3!

滿足題意的排列方法數(shù)量為：〃=-；x2x5,

3!x2!

5!?「

-------x2x5§

故同色球不相鄰的概率為P=&務(wù)一=—.

⑵924

6!x3!x3!

故答案為：費.

35.（2019?貴州?高三競賽）若（。+份〃的展開式中有連續(xù)三項的二項式系數(shù)成等差數(shù)

列，則最大的三位正整數(shù)n=.

【答案】959

【解析】

【詳解】

設(shè)（“+力〃的展開式中連續(xù)三項的二項式系數(shù)為C：T,C：,CZ（啜*?-1）.

因為2C：=CL+C”，所以/-（4Z+1）〃+4二-2=0,

得到〃=++1±由①

2

由〃為正整數(shù)，則8k+9應(yīng)為奇完全平方數(shù)，故設(shè)8*+9=（2"計1）2,即兼=布+%-2,

代入①式得"=（"7+1）2—2或n-m2-2.

所以，三位正整數(shù)〃的最大值為959.

故答案為：959.

36.（2019?廣西?高三競賽）從1,2,…，20中任取3個不同的數(shù)，這3個數(shù)構(gòu)成等差

數(shù)列的概率為.

【答案】弓3

38

【解析】

【詳解】

設(shè)取出的3個不同的數(shù)分別為a、6、c.不同的取法共有C；o種，

若這3個數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，則有。+。=24故、c同為奇數(shù)或同為偶數(shù)，且。與c確定

后，b隨之而定.

從而所求概率為「=與手=亮.

do

3

故答案為：—.

37.（2019?浙江?高三競賽）在復(fù)平面上，任取方程z"x>-l=O的三個不同的根為頂點組

成三角形，則不同的銳角三角形的數(shù)目為.

【答案】39200

【解析】

【詳解】

易知的根在單位圓上，且相鄰兩根之間弧長相等，都為需，即將單位圓均

勻分成100段小弧.

首先選取任意一點A為三角形的頂點，共有W0種取法.按順時針方向依次取頂點B和

頂點C,設(shè)AB弧有x段小弧，CB弧有y段小弧，AC弧有z段小弧，則AABC為銳角

三角形的等價條件為：

jx+y+z=100卜+y+z=97

［掇心y,z49=［健上y,z48

計算方程組①的整數(shù)解個數(shù)，記

[={x|x+y+z=97,x..49},g={y|x+y+z=97,y..49},

P3={z[x+y+z=97,z..49},S={(x,y,z)|x+y+z=97,x,y,z..O},

則］c月c劇=圖

=C9-1|用+區(qū)|+|圖制+Wc4c即）=「-3/=1176.

由于重復(fù)計算3次，所以所求銳角三角形個數(shù)為竺殍砂=39200.

故答案為：39200.

38.（2019?新疆?高三競賽）隨機取一個由0和1構(gòu)成的8位數(shù)，它的偶數(shù)位數(shù)字之和

與奇數(shù)位數(shù)字之和相等的概率為.

【答案噴

【解析】

【分析】

該8位數(shù)首位數(shù)字必須為1,分別計算出奇數(shù)位上和偶數(shù)位上1的個數(shù)，結(jié)合組合知

識求出基本事件總數(shù)和偶數(shù)位數(shù)字之和與奇數(shù)位數(shù)字之和相等包含的基本事件個數(shù)即

可得解.

【詳解】

設(shè)”是滿足題意的8位數(shù)，故知其偶數(shù)位上1的個數(shù)和在奇數(shù)位上1的個數(shù)相同，從

而在奇數(shù)位上與偶數(shù)位上1的個數(shù)可能為1、2,3或4.注意到首位為1,下面分情況

討論：

（1）奇數(shù)位上與偶數(shù)位上有1個1,3個0共有C；C=4種可能;

（2）奇數(shù)位上與偶數(shù)位上有2個1,2個0,共有C〉C：=18種可能;

（3）奇數(shù)位上與偶數(shù)位上有3個1,1個0,有C〉C：=12種可能；

（4）奇數(shù)位上與偶數(shù)位上有4個1,共有C>C：=1種可能.

合計共有4+18+12+1=35個滿足條件的自然數(shù)".又因為0和1構(gòu)成的8位數(shù)共有

2'=128個，從而概率為三33.

12o

35

故答案為：石w

【點睛】

此題考查求古典概型，關(guān)鍵在于熟練掌握計數(shù)原理，根據(jù)分類計數(shù)原理結(jié)合組合知識

求解概率.

39.（2019.新疆?高三競賽）記區(qū)為不超過實數(shù)x的最大整數(shù).若A+??.+

,則A除以50的余數(shù)為

【答案】40

【解析】

【分析】

根據(jù)『子均不是整數(shù)，利用放縮法分析"—<[?卜圖<7”,結(jié)合

二項式定理得A除以50的余數(shù).

【詳解】

注意到71，二均不是整數(shù).

88

所以對任意正整數(shù)%均有

=72*-1-!=7.72t-2-l=7-(49/-'-1

88

r

=7.(50-1>T_1=7.(C3x50"T+…+C；Tx50?--x(-l)+..-+C*：］'x(-l廣)-1

=7-(-I/-1-I(mod50).

從而Aw7J010?（l-l）-1010=40（m