第二章一元二次函數、方程和不等式2.3二次函數與一元二次方程、不等式2.3.1二次函數與一元二次方程、不等式(1)內容索引學習目標活動方案檢測反饋學習目標1.經歷從實際情景中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的實際意義．2.能借助一元二次函數求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．3.借助一元二次函數的圖象，了解一元二次不等式與相應函數、方程的聯系．活動方案在初中，我們從一次函數的角度看一元一次方程、一元一次不等式，發現了三者之間的內在聯系，利用這種聯系可以更好地解決相關問題．對于二次函數、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有這樣的聯系呢？先來看一個問題．活動一一元二次不等式問題園藝師打算在綠地上用柵欄圍成一個矩形區域種植花卉．若柵欄的長度是24m，圍成的矩形區域的面積要大于20m2，則這個矩形的邊長為多少米？【解析】

設這個矩形的一條邊長為xm，則另一條邊長為(12－x)m.根據題意，得(12－x)x>20，其中x∈{x|0＜x＜12}．整理，得x2－12x＋20＜0，x∈{x|0＜x＜12}．求解不等式的解集，就得到該問題的答案．一般地，我們把只含有一個未知數，并且未知數最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式為ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均為常數，a≠0.思考1???在初中，我們學習了從一次函數的觀點看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法．類似地，能否從二次函數的觀點看一元二次不等式，進而得到一元二次不等式的求解方法呢？【解析】

能．可以從2個角度來看．①函數的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函數y＝ax2＋bx＋c的函數值大于0，圖象在x軸的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函數圖象在x軸上方部分的自變量的取值范圍．②方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端點值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．思考2???

怎樣從函數觀點進一步解決一元二次方程

x2－12x＋20＝0根的問題？活動二探究二次函數的零點【解析】

從函數觀點看，方程x2－12x＋20＝0的兩個根x1＝2，x2＝10就是二次函數y＝x2－12x＋20中，當函數值取零時自變量x的值，即二次函數y＝x2－12x＋20的圖象與x軸交點的橫坐標．這時，我們稱二次函數y＝x2－12x＋20的兩個零點是x1＝2，x2＝10.思考3???你能歸納二次函數零點的概念嗎？【解析】

一般地，對于二次函數y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數x叫作二次函數y＝ax2＋bx＋c的零點．思考4???二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零點是點嗎？為什么？【解析】

不是．函數的零點的本質是對應方程y＝0的實數根，因此，函數的零點不是點，而是一個實數，當函數的自變量取這個實數時，函數值為零．活動三掌握二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系探究二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系：當a＞0時，我們有：思考5???對于活動一中不等式的解集是什么呢？【解析】

方程x2－12x＋20＝0的解為x1＝2，x2＝10.根據函數y＝x2－12x＋20的圖象，可得原不等式的解集為{x|2＜x＜10}．思考6???若a＜0，則對應不等式的解集是什么呢？如何求解？【解析】

當a＜0時，通過不等式兩邊同乘以－1，將問題轉化為二次項系數為正的情形，利用上表解決.例

1解下列不等式．(1)x2－7x＋12＞0；活動四掌握解一元二次不等式的方法【解析】{x|x＜3或x＞4}(2)－x2－2x＋3≥0；【解析】{x|－3≤x≤1}(3)x2－2x＋1＜0；(4)x2－2x＋2＞0.【解析】

R解下列不等式．(1)2x2－3x－2＞0；(2)x2－3x＋5＞0；【解析】

因為Δ＝(－3)2－4×5＝9－20＜0，所以不等式x2－3x＋5＞0的解集為R.(3)－6x2－x＋2≥0；(4)－4x2≥1－4x；(5)2x2－4x＋7＜0；【解析】

因為原不等式可化為(x－3)2＞0，所以原不等式的解集是{x|x∈R，且x≠3}．(6)x2－6x＋9＞0.用圖象法解一元二次不等式的步驟：求根，畫圖，找解．一元二次不等式的解集一定要寫成集合的形式，尤其要注意“>”與“≥”，“<”與“≤”符號的區分．例

2解下列不等式．(1)(x＋1)2＋3(x＋1)－4＞0；【解析】{x|x＜－5或x＞0}(2)x(x－2)＞8；【解析】{x|x＜－2或x＞4}(3)1－3x＜x2.活動五掌握解分式不等式的方法【解析】{x|x＜－4或x＞1}【解析】{x|x＞－7}分式不等式轉化為整式不等式時，要注意等價轉化，必要時要對分母進行限制，轉化為不等式組．簡單的分式不等式的解法檢測反饋24513【答案】B24513【答案】C24533.(多選)(2022·承德第一中學高一期末)已知不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是{x|－1≤x≤2}，則下列結論中正確的是(

)A.b<0 B.a＋b＋c>0C.c>0 D.a＋b＝01【答案】BCD24534.(2023·武威民勤縣第一中學高一開學考試)不等式x2－2x＋c<0的解集為{x|m<x<m＋6}，則c的值為________.1【解析】

已知不等式x2－2x＋c<0的解集為{x|m<x<m＋6}，所以x2－2x＋