章末綜合測(cè)評(píng)（二）

（時(shí)間120分鐘，滿分150分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)

選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.下列四個(gè)數(shù)列中，既是無(wú)窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是（）

111

△1———

廣、?▲,2,3，4，???

B4-1,2,-3,4,...

111

C-■1z~2'~8""

D.1,y/2,事，…,

【解析】A為遞減數(shù)列，B為擺動(dòng)數(shù)列，D為有窮數(shù)列.

【答案】C

2.已知數(shù)列｛的｝是首項(xiàng)為=4,公比#1的等比數(shù)列，且4為，比，-2為成

等差數(shù)列，則公比9等于（）

1

A-B.-1C.-2D.2

【解析】由已知，2a=4仇-2由，即2為^=4仇-2仇0，所以r+T-

2=0,解得e=1,因?yàn)間Kl,所以g=-1.

【答案】B

3.某種細(xì)胞開(kāi)始有2個(gè)，1小時(shí)后分裂成4個(gè)并死去1個(gè)，2小時(shí)后分裂成

6個(gè)并死去1個(gè)，3小時(shí)后分裂成10個(gè)并死去1個(gè)，…，按此規(guī)律進(jìn)行下去，6

小時(shí)后細(xì)胞存活的個(gè)數(shù)是()

A.33個(gè)B.65個(gè)C.66個(gè)D.129個(gè)

【解析】設(shè)開(kāi)始的細(xì)胞數(shù)和每小時(shí)后的細(xì)胞數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為｛為｝.

的=2,3/7+1-1

貝」Ir.即------=2.

3n+1=2dn~1,己="，

n1

:.an-,an-2-+l,力=65.

【答案】B

4.等比數(shù)列｛*的通項(xiàng)為^=2-3^-1,現(xiàn)把每相鄰兩項(xiàng)之間都插入兩個(gè)數(shù)，

構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列｛6｝,那么162是新數(shù)列｛6〃｝的()

A.第5項(xiàng)B.第12項(xiàng)

C.第13項(xiàng)D.第6項(xiàng)

【解析】162是數(shù)列｛莉的第5項(xiàng)，則它是新數(shù)列｛d｝的第5+(5-1)x2=

13項(xiàng).

【答案】C

5.已知數(shù)列｛*的前〃項(xiàng)和Sn=an-l(a/O),則｛a〃｝()

A.一定是等差數(shù)列

B.一定是等比數(shù)列

C.或者是等差數(shù)列，或者是等比數(shù)列

D.既不可能是等差數(shù)列，也不可能是等比數(shù)列

【解析】?.5=/-1(左0),

Si,n=l,

-,-an=\

Sn~Sn-1,/7>2,

a-1,n-1,

即3n—'

a-1an-1,r)>2,

當(dāng)a=1時(shí)，a〃=0,數(shù)列｛而是一個(gè)常數(shù)列，也是等差數(shù)列；當(dāng)衣1時(shí)，數(shù)

列｛④｝是一個(gè)等比數(shù)列.

【答案】C

6.等差數(shù)列｛a〃｝的公差不為零，首項(xiàng)為=1,力是抗和力的等比中項(xiàng)，則數(shù)

列的前10項(xiàng)之和是()

A.90B.100C.145D.190

【解析】設(shè)公差為修

.,.(1+d)2=1x(1+4o),

,：d^0,

-d-2,從而Sio=100.

【答案】B

7.記等差數(shù)列｛a/的前〃項(xiàng)和為S",若S=4,￡=20,則該數(shù)列的公差d

=()

A.2B.3C.6D.7

【解析】54-52=53+54=20-4=16,

.,.<93+函-S=(<?3-為)+(創(chuàng)-32)

=44=16-4=12,

.'.cf=3.

【答案】B

力

8.已知數(shù)歹如為｝滿足&=5,a〃a〃+i=2〃，貝！］一=()

S3

5

A.2B.4C.5D-

a〃+l<3"+22"+l3n+2

【解析】依題意得=-^~=2，即=2，數(shù)歹U為，(33,比，力，…

an3n+i2nan

21

是一個(gè)以5為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，因此一二4.

【答案】B

9.在數(shù)列｛的｝中，&=2,2/+1-2而=1,貝！J為01的值為()

A.49B.50C.51D.52

【解析】,.-25/7+1-2(3n=1,

1

「.為+1-<^/7=2/

1

.?數(shù)列｛*是首項(xiàng)為=2,公差d=5的等差數(shù)列，

1

.?-5101=2+-(101-1)=52.

【答案】D

10.我們把1,3,6,10,15，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以排

成一個(gè)正三角形，如圖1所示：

△

61015

圖1

則第七個(gè)三角形數(shù)是（）

A.27B.28C.29D.30

【解析】法—；仇=1,力=3,詼=6,加=10,35=15,力-為=2,力

-32=3,54-<33=4,<35-^4=5,

「06~35=6,況=21,力-況=7,力=28.

nn+1

法二由圖可知第〃個(gè)三角形數(shù)為---------,

7x8

：a-—-=28.

【答案】B

（3"+方

11數(shù)歹|」｛的｝滿足遞推公式a〃=3/一1+3"-1（〃？2）又出=5，則使得與一■

為等差數(shù)列的實(shí)數(shù)才=（）

11

A.2B.5C.D-

22

an+A5+才23+A

【解析】5i=5,52=23,<33=95，令b-，則bi-——,bi-—~~,

n3〃3y

95+才

6=27，

■:bi+仇=2A,

【答案】C

12.在等差數(shù)列｛a力中,出o<O,仇1>0,且仇1>|抗o|,則｛a〃｝的前〃項(xiàng)和Sn

中最大的負(fù)數(shù)為()

A.SDB.SisC.S19D.So

【解析】??-aio<O,an>0,且an>|aio|,

「01+的o>O.

20ai+<320

So=--10-(aii+aw)>0.

19<31+<31919

Sig=-----------=~-2aio<0.

【答案】C

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫

線上)

13.在等差數(shù)列｛而和｛d｝中，出=25,慶=75,由oo+d)o=100,則數(shù)列｛為

+包｝的前100項(xiàng)的和為.

【解析】由已知得｛為+d｝為等差數(shù)列，故其前100項(xiàng)的和為SLOO=

100[+bi+&oo+Z?ioo]

2

=50x(25+75+100)=10000.

【答案】10000

14.數(shù)列｛為｝滿足力=1,an=an-i+n｛n>2),則g=.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：

05920082]

【解析】由an=an-i+n[n>2），得-=則宓-的=2,右-力=

3,前-為=4,右-國(guó)=5,把各式卞目力口，彳導(dǎo)力-仇=2+3+4+5=14,

.'.3s=14+<3i=14+1=15.

【答案】15

15.首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列從第10項(xiàng)起開(kāi)始為正數(shù)，則公差4的取值范圍

是_______?

【解析】設(shè)的=-24,公差為乙a0=-24+9Q0且為=-24+8/0,

8

（8-

【答案】7,3

16.已知公差不為零的正項(xiàng)等差數(shù)列｛為｝中，S為其前〃項(xiàng)和，1g仇，1g力，

1g砌也成等差數(shù)列，若g=10,則￡=.

【解析】設(shè)｛褊的公差為d,則*0.

由1g為，1g力，lg也成等差數(shù)列，

得21g力=1g為+1g畫，:晟=抗詡,

即（仇+22=仇（出+3動(dòng),cP--aid.

又dr。，故d=&，3s=5ai=10,d-3I=2,

5x4

S=5出+2xd=30.

【答案】30

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或

演算步驟）

17.(本小題滿分10分)在等差數(shù)列｛3〃｝中，&+33=8，且國(guó)為力和為的等

比中項(xiàng)，求數(shù)列伯"｝的首項(xiàng)、公差及前〃項(xiàng)和.

【解】設(shè)該數(shù)列的公差為d,前〃項(xiàng)和為S".由已知可得

2的+2d-8,(&+362=(出+5(仇+8o),

所以為+4=4,d｛d-3ai)=0,

解得仇=4,d=0或仇=1,G3,即數(shù)列｛莉的首項(xiàng)為4,公差為0,或首

項(xiàng)為1,公差為3.

3a2-n

所以數(shù)列的前〃項(xiàng)和S=4〃或S"=

18.(本小題滿分12分)(2016?唐山模擬)設(shè)數(shù)列｛劣｝的前〃項(xiàng)和為S〃，已知的

+2力+3a3+...+nan=｛n-1)S+2/T(〃￡N*).

⑴求82,CH的值;

(2)求證：數(shù)列｛S+2｝是等比數(shù)列.

【解】(l)-.ai+252+353+...+nan-｛n-1>￡+2/X〃￡N*),

.??當(dāng)〃=1時(shí)，出=2x1=2;

當(dāng)〃=2時(shí)，51+252=(51+52)+4,:.ai=4;

當(dāng)〃=3時(shí)，的+2為+3品=2(仇+力+力)+6,「4=8.

(2)證明：,:西+2力+3由+...+〃a〃=(〃-1)5,+2/7(/7￡N*),①

...當(dāng)n>2時(shí)，51+2a2+353+...+(77-1)a/7-1=(〃-2)Sn-i+2(/7-1),②

①■②得n3n-(〃-1)S-(n-2)Sn-I+2=nan-S〃+2Sn-1+2,

-Sn+2Sn-1+2=0,即Sn=2Sn-1+2.

,

:Sn+2=2(Sn-i+2).,.Si+2=4/0.

S+2

-'-Sn-1+2聲0-X-i+2=2-

即｛S〃+2｝是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

19.體小題滿分12分)(2015?北京高考)已知等差數(shù)列｛褊滿足ai+a2=10,

34-<?3=2.

(1)求｛沏｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)等比數(shù)列｛仇｝滿足在=由，笈=力，問(wèn)：戊與數(shù)列｛為｝的第幾項(xiàng)相等?

【解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛/｝的公差為d.

因?yàn)橐?為=2,所以d=2.

又因?yàn)?1+32=10,所以2為+d=10,故貝=4.

所以為=4+2(〃-1)=2〃+2(〃=1,2,...).

(2)設(shè)等比數(shù)列｛6｝的公比為q.

因?yàn)閎i-ai-2>,=a7=16,

所以g=2,仇=4.

所以仇=4X267=128.

由128=2〃+2得〃=63,

所以戊與數(shù)列｛力｝的第63項(xiàng)相等.

20.(本小題滿分12分)已知首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列｛/｝，也/也胖。,〃￡N*),

滿足anbn+1-an+ibn+2bn+ibn=G.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：05920083】

Q)令金琮，求數(shù)列。｝的通項(xiàng)公式；

⑵若仇=3〃-1,求數(shù)列｛3〃｝的前〃項(xiàng)和Sn.

【解】⑴因?yàn)?a〃+i6〃+26〃+i6"=0,

dH0(/7￡N*),

3o+13n

所以7---=2,gpci-c=2.

bn+1bnn+n

所以數(shù)列｛a｝是以首項(xiàng)Cl=1,公差a=2的等差數(shù)歹I」，故勃=2〃-1.

(2)由d=3〃-1知3〃=的仇=(2〃-1)3"1,

于是數(shù)歹|」｛的｝的前〃項(xiàng)和5=1*3°+3、31+5、32+...+(2〃-1?3"-1,

3S^=1X31+3X32+...+(2/7-3)X3〃」+(2〃-1)X3".

相減得-2S=1+2x(31+32++-(2〃-1)x3"=-2-(2/7-2)3%

所以S"=(〃-l)3〃+L

21.(本小題滿分12分)(2015?四川高考)設(shè)數(shù)列｛a〃｝(〃:1,2,3，…)的前〃項(xiàng)和

S滿足S=2/-抗，且為，為+1,電成等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛褊的通項(xiàng)公式;

'll1

(2)記數(shù)列二的前〃項(xiàng)和為Tn,求使得ITn-1|＜丁而成立的〃的最小值.

an\1000

【解】⑴由已知$=2a〃-力，有

3n—Sn--1=2＜3/7-23〃-,

即a〃=2d"-1(〃22),所以q=2.

從而力=2的，＜33=252=4的.

又因?yàn)闉椋?1,為成等差數(shù)歹U,即仇+33=2(力+1),

所以仇+4的=2(2的+1),解得的=2.

所以數(shù)列｛3力是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.

故為=2”.

11

⑵由⑴得六方

1F⑴

111

所以Tn=~+-+...

2n'

111

由I小