高中PAGE1高中2023-2024學年上海嘉定區高三年級第一次質量調研數學試卷(考試時間120分鐘，滿分150分)一．填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，只要求直接填寫結果，前六題每題得4分，后六題每題得5分.1.不等式的解集為.2.已知，，則.3.函數的最小正周期為.4.已知，則.5.雙曲線的離心率為.6.已知事件和獨立，,,則.7.已知實數、滿足，則的最小值為.8.已知的二項展開式中系數最大的項為．9.關于的方程有三個不同的實數解，則實數的值為.10.已知11個大小相同的球，其中個是紅球，個是黑球，個是白球，從中隨機取出個形成一組，其中三種顏色都有的概率為.11.已知復平面上一個動點對應復數,若,其中是虛數單位，則向量掃過的面積為.12.正四棱臺,,,,是的中點，在直線、上各取一個點、，使得、、三點共線，則線段的長度為.二．選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題都給出四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，前兩題每題得4分，后兩題每題得5分.13.直線傾斜角的取值范圍為……（）14.兩位跳水運動員甲和乙，某次比賽中的得分如下表所示，則正確的選項為……（）第一跳第二跳第三跳第四跳第五跳甲85.59686.475.994.4乙79.58095.794.0586.4甲和乙的中位數相等，甲的均分小于乙 甲的均分大于乙，甲的方差大于乙甲的均分大于乙，甲的方差等于乙 甲的均分大于乙，甲的方差小于乙15.已知等差數列，公差為，，則下列命題正確的是……（）函數（）可能是奇函數若函數（）是偶函數，則若，則函數（）是偶函數若，則函數（）的圖像是軸對稱圖形16.已知四面體,,.分別對于下列三個條件:=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③,是的充要條件的共有幾個……（）三．解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟．17.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題6分，第2小題8分．已知三角形，，三角形的面積，（1）求角的值；（2）若，求.18．(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題6分，第2小題8分.已知數列的前項和為，，其中,.（1）求的通項公式；（2）求數列的前項和.19.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題6分，第2小題8分．中國歷史悠久，積累了許多房屋建筑的經驗.房梁為柱體，或取整根樹干而制為圓柱形狀，或作適當裁減而制為長方體形狀，例如下圖所示.（圖片引自梁思成《營造法式.注釋》卷五）材質確定的梁的承重能力取決于截面形狀，現代工程科學常用抗彎截面系數來刻畫梁的承重能力.對于兩個截面積相同的梁，稱較大的梁的截面形狀更好.三種不同截面形狀的梁的抗彎截面系數公式，如下表所列，圓形截面正方形截面矩形截面條件為圓半徑為正方形邊長為矩形的長，為矩形的寬，抗彎截面系數（1）假設上表中的三種梁的截面面積相等，請問哪一種梁的截面形狀最好？并具體說明；（2）宋朝學者李誡在《營造法式》中提出了矩形截面的梁的截面長寬之比應定為的觀點.考慮梁取材于圓柱形的樹木，設矩形截面的外接圓的直徑為常數,如下圖所示,請問為何值時，其抗彎截面系數取得最大值，并據此分析李誡的觀點是否合理.20．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分．拋物線上有一動點，.過點作拋物線的切線，再過點作直線，使得，直線和拋物線的另一個交點為.（1）當時，求切線的直線方程；（2）當直線與拋物線準線的交點在軸上時，求三角形的面積（點是坐標原點）；（3）求出線段關于的表達式，并求的最小值.21．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分．已知，.（1）求函數、的單調區間和極值；（2）請嚴格證明曲線、有唯一交點；（3）對于常數，若直線和曲線、共有三個不同交點、、，其中，求證：、、成等比數列.2023-2024學年第一學期高三年級質量調研數學參考答案一．填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，只要求直接填寫結果，前六題每題得4分，后六題每題得5分.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)二．選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題都給出四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，前兩題每題得4分，后兩題每題得5分.(13)(14)(15)(16)三．解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須寫出必要的步驟．17.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題6分，第2小題8分．解（1），，兩式相除得：，所以.(2)，所以或(舍)，所以所以，由正弦定理得，，,所以,由（1），所以即.18．(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題6分，第2小題8分.解(1)，又，所以.(2)，所以，所以.19.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題6分，第2小題8分．解：(1)假設截面面積均為正常數，，，，所以，又因為，所以，所以，綜上，，于是矩形截面的梁的截面形狀最好.(2),導函數，嚴格單調遞增極大值嚴格單調遞減所以當時，取到最大值，此時，于是，的結論與抗彎系數理論的結論不同，但比較接近，是合理的，應肯定李誡從實踐中總結的經驗的實用價值.20．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分．解（1）因為，所以在曲線上運動，，所以切線的斜率為，所以的直線方程為，將代入，則的直線方程為.(2)設，將代入方程，得，而直線的方程為，將代入，則直線的方程為，聯立，則，由韋達定理得，而，所以，所以三角形的面積.(3)設，聯立方程，得，因為，所以,所以，因為,,所以.對于，，因為，；，；，，所以，，，.21．（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題4分，第2小題6分，第3小題8分．極大值極大值解（1）對于，，對于，，嚴格增區間；嚴格減區間；嚴格增區間；嚴格減區間；極大值為極大值為（2）對于函數，，設，，當時，，嚴格遞減，，存在一個零點；當時，，，，無零點；當時，由（1）得，，所以，所以，所以，無零點；綜上所述，曲線、有唯一交點，且橫坐標.(3)因為在上嚴格單調遞增，值域為,所以