集合的屬性與運算一、集合的屬性確定性：集合中的元素必須是明確的，不能存在模糊不清的元素。互異性：集合中的元素必須是互不相同的，不能有重復的元素。無序性：集合中的元素沒有先后順序，不區分大小、長短等。二、集合的運算并集：將兩個或多個集合中的所有元素合并在一起，形成一個新的集合。記作A∪B，其中A、B為集合。交集：找出兩個或多個集合中都存在的元素，形成一個新的集合。記作A∩B，其中A、B為集合。差集：從一個集合中去除與另一個集合交集的部分，形成一個新的集合。記作A-B，其中A、B為集合。補集：在全集U中，找出不屬于集合A的元素，形成一個新的集合。記作A’，其中A為集合，U為全集。三、集合運算的性質與規律交換律：對于任意兩個集合A、B，有A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。結合律：對于任意三個集合A、B、C，有(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。分配律：對于任意三個集合A、B、C，有(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)，(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)。吸收律：對于任意兩個集合A、B，有A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A。互補律：對于任意集合A和全集U，有A∪A’=U，A∩A’=?。四、集合運算的應用集合的表示方法：列舉法、描述法。集合的元素個數：用card(A)表示集合A的元素個數。空集：不含任何元素的集合，記作?。無窮集合：元素個數無限的集合，如自然數集N。函數的定義：設A、B為非空集合，如果按照某個確定的對應法則f，使對于集合A中任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數。五、集合運算的擴展冪集：集合A的所有子集構成的集合，記作P(A)。集合的劃分：將一個集合分成若干個互不交疊的非空子集，稱為該集合的劃分。最大元素與最小元素：集合A中最大的元素記作max(A)，最小的元素記作min(A)。上界與下界：集合A的上界是指大于或等于A中所有元素的元素，下界是指小于或等于A中所有元素的元素。集合的屬性與運算是數學中的基礎概念，掌握集合的確定性、互異性、無序性以及并集、交集、差集、補集等基本運算對于學習其他數學知識具有重要意義。通過熟練運用集合的運算性質與規律，可以更好地解決實際問題，為后續學習打下堅實基礎。習題及方法：習題：判斷下列集合是否滿足確定性、互異性、無序性。{1,2,3,4,5}{小于等于5的整數}{1,2,3,2,1}答案：a)滿足確定性、互異性、無序性；b)不滿足確定性；c)不滿足互異性。習題：求下列集合的并集、交集、差集、補集。A={1,2,3}，B={3,4,5}答案：并集A∪B={1,2,3,4,5}；交集A∩B={3}；差集A-B={1,2}；補集A’={4,5}。習題：判斷下列集合運算是否滿足交換律、結合律、分配律、吸收律、互補律。A∪B=B∪A（交換律）(A∪B)∪C=A∪(B∪C)（結合律）(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)（分配律）A∪(A∩B)=A（吸收律）A∪A’=U（互補律）答案：a)滿足交換律；b)滿足結合律；c)不滿足分配律；d)滿足吸收律；e)滿足互補律。習題：已知集合A={1,2,3,4,5}，求下列集合的元素個數。答案：a)5；b)5；c)3；d)?。習題：判斷下列函數是否合法，并說明理由。f：N→N，f(n)=n+1f：R→R，f(x)=x2f：A→B，f(x)=x+2答案：a)合法，因為對于任意自然數n，都有唯一的自然數n+1與之對應；b)合法，因為對于任意實數x，都有唯一的實數x2與之對應；c)不合法，因為集合A和B沒有明確給出。習題：已知集合A={1,2,3,4,5}，求下列冪集的元素個數。P(A)={?,{1},{2},{3},{4},{5},{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,3,4,5},{2,3,4,5},{1,2,3,4,5}}答案：元素個數為2^5=32。習題：已知集合A={1,2,3,4,5}，求集合A的上界和下界。答案：上界為大于等于集合A中所有元素的元素，即max(A)=5；下界為小于等于集合A中所有元素的元素，即min(A)=1。習題：已知集合A={x|x是小于等于5的整數}，求集合A的劃分。答案：劃分如下：其他相關知識及習題：一、集合的分類finiteset（有限集）：含有有限個元素的集合。infiniteset（無限集）：含有無限個元素的集合。propersubset（真子集）：集合A是集合B的子集，但A不是B本身。impropersubset（非真子集）：集合A是集合B的子集，且A是B本身。二、集合的表示方法列舉法：直接列出集合中的所有元素。描述法：用描述性語言來表示集合中的元素。三、集合的運算規則DeMorgan’slaws（德摩根定律）否定律：?(A∪B)=?A∩?B否定律：?(A∩B)=?A∪?B分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)四、集合的函數關系函數的定義：設A、B為非空集合，如果按照某個確定的對應法則f，使對于集合A中任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數。函數的性質：一一映射（單射）、滿射、雙射。五、集合的數學性質集合的子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，那么集合A是集合B的子集。集合的冪集：一個集合的所有子集構成的集合稱為該集合的冪集。六、集合的元素個數cardinality（基數）：表示集合中元素的個數。基數運算：對于任意兩個集合A、B，card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)。七、集合的序對與笛卡爾積序對：一個有序的兩個元素的組合。笛卡爾積：對于任意兩個集合A、B，A×B是所有形式為(a,b)的有序對，其中a是A中的元素，b是B中的元素。八、集合的集合——范疇論范疇：集合及其之間的關系構成一個范疇。范疇的例子：集合論范疇、拓撲范疇、代數范疇等。習題及方法：習題：判斷下列集合哪些是有限集，哪些是無限集。{1,2,3,4,5}{x|x是小于等于5的整數}{所有實數}答案：a)有限集；b)有限集；c)無限集。習題：判斷下列集合哪些是真子集，哪些是非真子集。{1,2,3}?{1,2,3,4,5}{所有偶數}?{所有整數}{所有實數}?{所有實數和復數}答案：a)真子集；b)真子集；c)非真子集。習題：根據德摩根定律，完成下列表達式的轉換。?(A∪B)→?A∩?B?(A∩B)→?A∪?B答案：a)?(A∪B)=?A∩?B