專題04相似三角形的基本模型（A字型）【模型說明】“A”字模型圖形（通常只有一個公共頂點）的兩個三角形有一個“公共角”（是對應角），再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應成比例，就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖31）“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC).2）反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC).3）同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?【例題精講】例1．（基本模型1）如圖，已知D是BC的中點，M是AD的中點．求的值．例2．（基本模型2）（1）如圖，在中，點、、分別在、、上，且，交于點，求證：．（2）如圖，中，，正方形的四個頂點在的邊上，連結，分別交于，兩點．①如圖，若，直接寫出的長；②如圖，求證：．例3．（培優綜合）如圖，在中，點是邊上的一點，且，連接并取的中點，連接，若，且，則的長為．例4．（與函數綜合）如圖，函數（為常數，）的圖象與過原點O的直線相交于A、B兩點，點M是第一象限內雙曲線上的動點（點M在點A的左側），直線AM分別交x軸、y軸于C、D兩點，連接BM分別交x軸、y軸于點E、F．若，則．例5．（最值問題）如圖，矩形ABCD中，，，AC為對角線，E、F分別為邊AB、CD上的動點，且于點M，連接AF、CE，求的最小值是．【變式訓練1】．如圖，P為的邊上的一點，E，F分別為，的中點，，，的面積分別為S，S1，S2．若，則的值是（）

A．24 B．12 C．6 D．10【變式訓練2】．如圖，在中，，D是上一點，點E在上，連接交于點F，若，則＝．【變式訓練3】．如圖，∠MPN=90°，邊長為6的正方形ABCD的頂點A、B分別在邊PM、PN上移動，連接PC，Q為PC上一點，且PQ=2QC，則線段BQ長度的最小值為．【變式訓練4】．如圖，△ABO的頂點A在函數y＝（x>0）的圖象上，∠ABO＝90°，過AO邊的三等分點M、N分別作x軸的平行線交AB于點P、Q．若△ANQ的面積為1，則k的值為（）

A．9 B．12 C．15 D．18【變式訓練5】．如圖，把邊長為，且的平行四邊形對折，使點和重合，求折痕的長．課后訓練1．如圖，，，分別交于點G，H，則下列結論中錯誤的是（

）A． B． C． D．2．在矩形ABCD中，，，點E是AD上一動點，過點E作EF∥BD交AB于F，將△AEF沿EF折疊，點A的對應點落在△BCD的邊上時，AE的長為．3．如圖，在三角形中，點D為邊的中點，連接，將三角形沿直線翻折至三角形平面內，使得B點與E點重合，連接、，分別與邊交于點H，與交于點O，若，，，則點A到線段的距離為．4．在平面直角坐標系中，已知，，點是軸正半軸上一動點，以為直角邊構造直角，另一直角邊交軸負半軸于點，為線段的中點，則的最小值為．5．已知，平行四邊形中，點是的中點，在直線上截取，連接，交于，則．6．如圖，正方形邊長為，點是上一點，且，連接，過作，垂足為，交對角線于，將沿翻折得到，交對角線于，則．7．一塊直角三角形木板的面積為，一條直角邊為，怎樣才能把它加工成一個面積最大的正方形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請你用學過的知識說明哪位木匠的方法符合要求（加工損耗忽略不計，計算結果中的分數可保留）．8．如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，點E為射線BA上一動點，且AE＜AB，連接DE，將線段DE所在直線繞點D順時針旋轉α交BA延長線于點H，DE所在直線與射線CA交于點G．（1）如圖1，當α＝60°時，求證：△ADH≌△CDG；（2）當α≠60°時，①如圖2，連接HG，求證：△ADC∽△HDG；②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，請直接寫出EG的長．9．在等腰三角形中，，作交AB于點M，交AC于點N．

（1）在圖1中，求證：；（2）在圖2中的線段CB上取一動點P，過P作交CM于點E，作交BN于點F，求證：①；②．10．在矩形中，，，點是邊上一點，交于點，點在射線上，且是和的比例中項．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，當點在線段之間，聯結，且與互相垂直，求的長