河南省十所名校2025屆高一數學第二學期期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．點是角終邊上一點，則的值為（）A． B． C． D．2．已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為

A． B． C． D．3．已知點，，則直線的斜率是（）A． B． C．5 D．14．已知集合，則().A． B． C． D．5．曲線與曲線的（）A．長軸長相等 B．短軸長相等C．焦距相等 D．離心率相等6．設，且，則（）A． B． C． D．7．已知數列滿足遞推關系，則（）A． B． C． D．8．在中，，，，則=（）A． B．C． D．9．已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為A． B． C． D．10．某單位共有老、中、青職工430人，其中有青年職工160人，中年職工人數是老年職工人數的2倍．為了解職工身體狀況，現采用分層抽樣方法進行調查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本中的老年職工人數為()A．9 B．18 C．27 D．36二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量a＝(3，2)，b＝(0，－1)，那么向量3b－a的坐標是．12．某學校高一年級舉行選課培訓活動，共有1024名學生、家長、老師參加，其中家長256人．學校按學生、家長、老師分層抽樣，從中抽取64人，進行某問卷調查，則抽到的家長有___人13．已知x，y滿足，則z＝2x+y的最大值為_____.14．已知變量，滿足，則的最小值為________.15．若扇形的周長是，圓心角是度，則扇形的面積（單位）是__________.16．已知斜率為的直線的傾斜角為，則________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數列的前項和，且滿足：，.（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和.18．已知數列是遞增的等比數列，且（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）設為數列的前n項和，，求數列的前n項和．19．某工廠要制造A種電子裝置45臺，B種電子裝置55臺，需用薄鋼板給每臺裝置配一個外殼，已知薄鋼板的面積有兩種規格：甲種薄鋼板每張面積2m2，可做A、B的外殼分別為3個和5個，乙種薄鋼板每張面積3m2，可做A、B的外殼分別為6個和6個，求兩種薄鋼板各用多少張，才能使總的面積最?。?0．某購物中心舉行抽獎活動，顧客從裝有編號分別為0，1，2，3四個球的抽獎箱中，每次取出1個球，記下編號后放回，連續取兩次（假設取到任何一個小球的可能性相同）.若取出的兩個小球號碼相加之和等于5，則中一等獎；若取出的兩個小球號碼相加之和等于4，則中二等獎；若取出的兩個小球號碼相加之和等于3，則中三等獎；其它情況不中獎.（Ⅰ）求顧客中三等獎的概率；（Ⅱ）求顧客未中獎的概率.21．已知數列的前項和為．（Ⅰ）當時，求數列的通項公式；（Ⅱ）當時，令，求數列的前項和．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

利用三角函數的定義求出的值，然后利用誘導公式可求出的值.【詳解】由三角函數的定義可得，由誘導公式可得.故選A.【點睛】本題考查三角函數的定義，同時也考查了利用誘導公式求值，在利用誘導公式求值時，充分理解“奇變偶不變，符號看象限”這個規律，考查計算能力，屬于基礎題.2、B【解析】

根據題意，建立與的關系，即可得到夾角.【詳解】因為，所以，則，則，所以，所以夾角為故選B.【點睛】本題主要考查向量的數量積運算，難度較小.3、D【解析】

根據直線的斜率公式，準確計算，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，根據直線的斜率公式，可得直線的斜率，故選D.【點睛】本題主要考查了直線的斜率公式的應用，其中解答中熟記直線的斜率公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.4、B【解析】

求解一元二次不等式的解集，化簡集合的表示，最后運用集合交集的定義，結合數軸求出.【詳解】因為，所以，故本題選B.【點睛】本題考查了一元二次不等式的解法，考查了集合交集的運算，正確求解一元二次不等式的解集、運用數軸是解題的關鍵.5、D【解析】

首先將后面的曲線化簡為標準形式，分別求兩個曲線的幾何性質，比較后得出選項.【詳解】首先化簡為標準方程，，由方程形式可知，曲線的長軸長是8，短軸長是6，焦距是，離心率，，的長軸長是，短軸長是，焦距是，離心率，所以離心率相等.故選D.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質，屬于基礎題型.6、B【解析】

利用兩角和差正切公式可求得；根據范圍可求得；利用兩角和差公式計算出；利用兩角和差余弦公式計算出結果.【詳解】，又本題正確選項：【點睛】本題考查利用三角恒等變換中的兩角和差的正余弦和正切公式求解三角函數值的問題，涉及到同角三角函數關系的應用；關鍵是能夠熟練應用兩角和差公式進行配湊，求得所需的三角函數值.7、B【解析】

兩邊取倒數，可得新的等差數列，根據等差數列的通項公式，可得結果.【詳解】由，所以則，又，所以所以數列是以2為首項，1為公比的等差數列所以，則所以故選：B【點睛】本題主要考查由遞推公式得到等差數列，難點在于取倒數，學會觀察，屬基礎題.8、C【解析】

根據正弦定理,代入即可求解.【詳解】因為中,,,由正弦定理可知代入可得故選:C【點睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的應用,屬于基礎題.9、B【解析】分析：首先根據正方形的面積求得正方形的邊長，從而進一步確定圓柱的底面圓半徑與圓柱的高，從而利用相關公式求得圓柱的表面積.詳解：根據題意，可得截面是邊長為的正方形，結合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是的圓，且高為，所以其表面積為，故選B.點睛：該題考查的是有關圓柱的表面積的求解問題，在解題的過程中，需要利用題的條件確定圓柱的相關量，即圓柱的底面圓的半徑以及圓柱的高，在求圓柱的表面積的時候，一定要注意是兩個底面圓與側面積的和.10、B【解析】試題分析：根據條件中職工總數和青年職工人數，以及中年和老年職工的關系列出方程，解出老年職工的人數，根據青年職工在樣本中的個數，算出每個個體被抽到的概率，用概率乘以老年職工的個數，得到結果．設老年職工有x人，中年職工人數是老年職工人數的2倍，則中年職工有2x，∵x+2x+160=430，∴x=90，即由比例可得該單位老年職工共有90人，∵在抽取的樣本中有青年職工32人，∴每個個體被抽到的概率是用分層抽樣的比例應抽取×90=18人．故選B．考點：分層抽樣點評：本題是一個分層抽樣問題，容易出錯的是不理解分層抽樣的含義或與其它混淆．抽樣方法是數學中的一個小知識點，但一般不難，故也是一個重要的得分點，不容錯過二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】試題分析：因為,所以.考點：向量坐標運算.12、16【解析】

利用分層抽樣的性質，直接計算，即可求得，得到答案．【詳解】由題意，可知共有1024名學生、家長、老師參加，其中家長256人，通過分層抽樣從中抽取64人，進行某問卷調查，則抽到的家長人數為人．故答案為16【點睛】本題主要考查了分層抽樣的應用，其中解答中熟記分層抽樣的概念和性質，準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．13、1.【解析】

先根據約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，表示直線在軸上的截距，只需求出可行域直線在軸上的截距最大值即可．【詳解】解：，在坐標系中畫出圖象，三條線的交點分別是，，，在中滿足的最大值是點，代入得最大值等于1．故答案為：1．【點睛】本題是考查線性規劃問題，本題主要考查了簡單的線性規劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎題．14、0【解析】

畫出可行域，分析目標函數得，當在y軸上截距最小時，即可求出的最小值.【詳解】作出可行域如圖：聯立得化目標函數為，由圖可知，當直線過點時，在y軸上的截距最小,有最小值為，故填.【點睛】本題主要考查了簡單的線性規劃，屬于中檔題.15、16【解析】

根據已知條件可計算出扇形的半徑，然后根據面積公式即可計算出扇形的面積.【詳解】設扇形的半徑為，圓心角弧度數為，所以即，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查角度與弧度的轉化以及扇形的弧長和面積公式，難度較易.扇形的弧長公式：，扇形的面積公式：.16、【解析】

由直線的斜率公式可得＝，分析可得，由同角三角函數的基本關系式計算可得答案．【詳解】根據題意，直線的傾斜角為，其斜率為，則有＝，則，必有，即，平方有：，得，故，解得或（舍）．故答案為﹣【點睛】本題考查直線的傾斜角，涉及同角三角函數的基本關系式，屬于基礎題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）當時，可求出，當時，利用可求出是以2為首項，2為公比的等比數列，故而可求出其通項公式；（2）由裂項相消可求出其前項和.試題解析：（1）依題意：當時，有：，又，故，由①當時，有②，①－②得：化簡得：，∴是以2為首項，2為公比的等比數列，∴.（2）由（1）得：，∴∴18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】試題分析：（1）設等比數列的公比為q，，根據已知由等比數列的性質可得，聯立解方程再由數列為遞增數列可得則通項公式可得（2）根據等比數列的求和公式，有所以，裂項求和即可試題解析：（1）設等比數列的公比為q，所以有聯立兩式可得或者又因為數列為遞增數列，所以q>1，所以數列的通項公式為（2）根據等比數列的求和公式，有所以所以考點：等比數列的通項公式和性質，數列求和19、甲、乙兩種薄鋼板各5張，能保證制造A、B的兩種外殼的用量，同時又能使用料總面積最?。窘馕觥?/p>

本題可先將甲種薄鋼板設為x張，乙種薄鋼板設為y張，然后根據題意，得出兩個不等式關系，也就是3x+6y≥45、5x+6y≥55以及薄鋼板的總面積是z=2x+3y，然后通過線性規劃畫出圖像并求出總面積z=2x+3y的最小值，最后得出結果．【詳解】設甲種薄鋼板x張，乙種薄鋼板y張，則可做A種產品外殼3x+6y個，B種產品外殼5x+6y個，由題意可得3x+6y≥455x+6y≥55x≥0,y≥0，薄鋼板的總面積是可行域的陰影部分如圖所示，其中l1：3x+6y=45、l2：因目標函數z=2x+3y在可行域上的最小值在區域邊界的A5此時z的最小值為2×5+3×5=25即甲、乙兩種薄鋼板各5張，能保證制造A、【點睛】（1）利用線性規劃求目標函數最值的步驟①作圖：畫出約束條件所確定的平面區域和目標函數所表示的平面直角坐標系中的任意一條直線l；②平移：將l平行移動，以確定最優解所對應的點的位置．有時需要進行目標函數l和可行域邊界的斜率的大小比較；③求值：解有關方程組求出最優解的坐標，再代入目標函數，求出目標函數的最值．（2）用線性規劃解題時要注意z的幾何意義．20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）利用列舉法列出所有可能,設事件為“顧客中三等獎”,的事件.由古典概型概率計算公式即可求解.（Ⅱ）先分別求得中一等獎、二等獎和三等獎的概率,根據對立事件的概率性質即可求得未中獎的概率.【詳解】（Ⅰ）所有基本事件包括共16個設事件為“顧客中三等獎”,事件包含基本事件共4個,所以.（Ⅱ）由題意,中一等獎時“兩個小球號碼相加之和等于5”,這一事件包括基本事件共2個中二等獎時,“兩個小球號碼相加之和等于4”,這一事件包括基本事件共3個由（Ⅰ）可知中三等獎的概