1.4充分條件與必要條件為什么學(xué)習(xí)邏輯用語學(xué)習(xí)一些常用邏輯用語，可以使我們正確理解數(shù)學(xué)概念、合理論證數(shù)學(xué)結(jié)論、準(zhǔn)確表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容。正確使用邏輯用語是每一位公民應(yīng)具備的基本素養(yǎng)。問題1這些語句有什么特點(diǎn)？(1)12>5(2)3是12的約數(shù)(3)0.5是整數(shù)(4)這是一棵大樹(5)x<2一般地，我們把用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題。判斷為真的語句是真命題，判斷為假的語句是假命題。練習(xí)1下列語句是不是命題？你能判斷真假嗎？(1)若整數(shù)a能被2整除，則a為偶數(shù)(2)若四邊形是菱形，則它的對角線互相垂直平分(3)若整數(shù)a是素?cái)?shù)，則a是奇數(shù)(4)空集是任何集合的子集(5)請你上來一下(6)長江很長問題2：命題(1)~(3)的表述形式有什么特點(diǎn)？都是“若p，則q“的形式練習(xí)2你可以將以下命題改為”若p，則q“的形式嗎？(1)等腰三角形兩腰的中線相等(2)負(fù)數(shù)的立方是負(fù)數(shù)(3)對頂角相等(1)若一個三角形是等腰三角形，則它的兩腰的中線相等(2)若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的立方是負(fù)數(shù)(3)若兩個角是對頂角，則它們相等條件、結(jié)論互換變成什么？練習(xí)3下列“若P，則q”形式的命題中，哪些是真命題？哪些是假命題？你能進(jìn)一步分析條件p與結(jié)論q的關(guān)系嗎？(1)若平行四邊形的對角線互相垂直，則這個平行四邊形是菱形；(2)若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等；(3)若(4)若平面內(nèi)兩條直線均垂直于直線l,則a//b。真假假真概念充分條件與必要條件：一般地,“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q.這時，我們就說，由p可以推出q，記作p

q，并且說，p是q的充分條件，q是p的必要條件.如果“若p，則q”為假命題，那么由條件p不能推出結(jié)論q，記作p≠>q，此時，我們就說p不是q的充分條件，q不是p的必要條件.下列“若P，則q”形式的命題中，p是q的什么條件？(1)若平行四邊形的對角線互相垂直，則這個平行四邊形是菱形；(2)若兩個三角形的周長相等，則這兩個三角形全等；(3)若(4)若平面內(nèi)兩條直線均垂直于直線l,則a//b。練習(xí)3解:(1)這是一條平行四邊形的判定定理，所以p是q的充分條件。（2）這是一條相似三角形的判定定理,所以p是q的充分條件。

(3)這是一條菱形的性質(zhì)定理，所以p是q的充分條件。練習(xí)3解:(4)由于所以p不是q的充分條件。(5)由等式的性質(zhì)知，，所以p是q的充分條件。(6)為無理數(shù)，但為有理數(shù)，,所以p不是的充分條件。思考1(1)中給出了“四邊形是平行四邊形”的一個充分條件，即“四邊形的兩組對角分別相等”.這樣的充分條件唯一嗎？如果不唯一，那么你能再給出幾個不同的充分條件嗎？一般地，數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個充分條件.四邊形的兩組對邊分別相等；四邊形的一組對邊平行且相等；四邊形的兩條對角線互相平分。解:(1)這是平行四邊形的一條性質(zhì)定理，p=>q，所以，q是p的必要條件；(2)這是三角形相似的一條性質(zhì)定理，p=>q，所以，q是p的必要條件；(3)如圖，四邊形ABCD的對角線互相垂直，但它不是菱形，p≠>q，所以q不是p的必要條件.解:(4)顯然，p=>q，所以，q是p的必要條件；(5)由于(-1)×0=1×0，但-1≠1，p≠>q，所以，q不是p的必要條件(6)由于1×=為無理數(shù)，但1，不全是無理數(shù)，p≠>q，所以，q不是p的必要條件.思考1(1)中給出了“四邊形是平行四邊形”的一個必要條件，即“四邊形的兩組對角分別相等”.這樣的充分條件唯一嗎？如果不唯一，那么你能再給出幾個不同的必要條件嗎？一般地，數(shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個必要條件.四邊形的兩組對邊分別相等；四邊形的一組對邊平行且相等；四邊形的兩條對角線互相平分。充要條件命題“若p，則q”為真命題p=>qp是q的充分條件q是p的必要條件”p=>q“與“若p，則q”一樣嗎？不一樣，只有當(dāng)“若p，則q”為真命題時，才能表示為”p=>q“思考1：下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題與它們的逆命題都是真命題？(1)若兩個三角形的兩角和其中一角所對的邊分別相等，則這兩個三角形全等；(2)若兩個三角形全等，則這兩個三角形的周長相等；(3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則ac<0;(4)若A∪B為空集，則A與B均為空集.命題(1)、（4）與它們的逆命題都是真命題。一般地,如果既有p=>q

，又有q=>p

就記作

p<=>q.此時,我們說,p是q的充分必要條件,簡稱充要條件.

顯然,如果p是q的充要條件,那么q也是p的充要條件.(p等價(jià)于q)即：如果p<=>q,那么p與q互為充要條件.一般地，(1)若p=>q,但q≠>p，則稱p是q的(2)若p≠>q，但q=>p，則稱p是q的；(3)若p≠>q，且q≠>p，則稱p是q的充分不必要條件必要不充分條件既不充分也不必要條件例3下列各題中，哪些p是q的充要條件？(1)p:四邊形是正方形，q:四邊形的對角線互相垂直且平分；(2)P:兩個三角形相似，q:兩個三角形三邊成比例；(3)p:xy>0,q:x>0,y>0;(4)p:x=1是一元二次方程解:(1)因?yàn)閷蔷€互相垂直平分的四邊形不一定是正方形，所以，所以p不是q的充要條件。（2）因?yàn)椤叭魀，則q”是相似三角形的性質(zhì)定理，“若q，則p”是相似三角形的判定定理，所以它們均是真命題，即，所以P是q的充要條件。例3下列各題中，哪些p是q的充要條件？(1)p:四邊形是正方形，q:四邊形的對角線互相垂直且平分；(2)P:兩個三角形相似，q:兩個三角形三邊成比例；(3)p:xy>0,q:x>0,y>0;(4)p:x=1是一元二次方程（3）因?yàn)閤y>0時，x>0,y>0不一定成立，所以，所以p不是q的充要條件。（4）因?yàn)椤叭魀，則q”與“若q，則p”均為真命題，即所以P是q的充要條件。探究：通過上面的學(xué)習(xí)，你能給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎？四邊形的兩組對角分別相等、四邊形的兩組對邊分別相等、四邊形的一組對邊平行且相等、四邊形的對角線互相平分、四邊形的兩組對邊分別平行都是它的充要條件。例4：已知：⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．求證：d＝r是直線l與⊙O相切的充要條件．分析：設(shè)p:d=r,q:

l與⊙O相切.證明：如圖所示.（1）充分性（pq）：作OP⊥l于點(diǎn)P,則OP=d，若d=r，則點(diǎn)P在⊙O上，在直線l上任取一點(diǎn)Q(異于點(diǎn)P)，連接OQ.在Rt△OPQ中，OQ>OP=r.所以，除點(diǎn)P外直線l上的點(diǎn)都在⊙O

的外部，即直線l與⊙O僅有一個公共點(diǎn)P.所以直線l與⊙O相切.PQlO（2）必要性（）：若直線l與相切，不妨設(shè)切點(diǎn)為P，則，因此，d=OP=r.由（1）（2）可得，d=r是直線l與相切的充要條件。作業(yè)：課本P22練習(xí)T3，P23綜合運(yùn)用T5求證：關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0有一根為1的充要條件是a+b+c=0。證明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，則a+b+c=0”．∵x=1是方程的根，將x=1代入方程，得a×12+b×1+c=0，即a+b+c=0．（2）充分性，即“若a+b+c=0，則x=1是方程ax2+bx+c=0的根”．把x=1代入方程的左邊，得a×12+b×1+c=a+b+c．∵a+b+c=0，∴x=1是方程的根．綜合（1）（2）知命題成立

練習(xí)在下列各題中，判斷p是q的什么條件.(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等邊三角形；(2)p:一元二次方程ax2+bx+c=0有實(shí)數(shù)根,q:b2-4ac≥0；(3)p:a∈P∩Q,q:a∈P；(4)p:a∈P∪Q,q:a∈P；(5)p:x>y,q:x2>y2必要不充分條件充要條件充分不必要條件必要不充分條件既不充分也不必要條件思考1.“a>2"是"a>1"的什么條件？2."a∈{x|x>2}"是"a∈{x|x>1}"的什么條件？3.如果AB,則"a∈A"是"a∈B"的什么條件？充分條件充分條件充分條件P234.已知A={x|x滿足條件p},B={x|x滿足條件q}(1)若A?B,則p是q的什么條件？(2)若B?A,則p是q的什么條件？(3)若A=B,則p是q的什么條件？充分條件必要條件充要條件若A?B,則p是q的充分條件,若A

B,則p是q的充分不必要條件

若B?A,則p是q的必要條件,若B

A,則p是q的必要不充分條件

若A=B,則p,q互為充要條件

若A

?B且B

?A,則p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件

由于{我，愛，你，們}?{你，們，愛，我}且{我，愛，你，們}?{你，們，不，愛，我}所以，無論是{你，們，愛，我}還是{你，們，不，愛，我}，{我，愛，你，們}都是充分的！但是{你，們，愛，我}?{我，愛，你，們}{你，們，不，愛，我}?{我，愛，你，們