拋物線的焦半徑與焦點弦拋物線的焦點弦是拋物線中的高頻考點，特殊是對于考生而言，本節的結論既要留意把握推導過程，更應當留意對結論的熟識程度，因為許多涉及到焦點弦的題目都會以選填的形式出現，如此，你便可以用相關結論快速做到，避開小題大做！一．重要結論拋物線的焦點弦具有豐富的性質，它是對拋物線定義的進一步考察，也是拋物線這節中最重要的考點之一，下面排列出常見的拋物線焦點弦性質:假設拋物線方程為.過拋物線焦點的直線與拋物線交于兩點，其坐標分別為

.性質1.,.證明：性質1的證明很簡潔，由拋物線的定義即可證得.如上圖，過向準線引垂線，垂足分別為.由定義可知：.代入坐標即可證得相關結論.性質2.拋物線的焦點為F，是過的直線與拋物線的兩個交點，求證：.證明：，則的方程為，整理可得：，即可得的方程為：.最終，由于直線過焦點，代入焦點坐標可得.再代入拋物線方程.一般地，假如直線恒過定點與拋物線交于兩點，那么.于是，若恒過定點.性質3.已知傾斜角為直線的經過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點，則（1）.（2）.證明：設準線交軸于點，過點作軸于，作于，由拋物線定義可知：．其中，.所以，，故．同理，所以．性質4.拋物線的通徑(1).通徑長為.(2).焦點弦中，通徑最短.(3).通徑越長，拋物線開口越大.由性質3易得，略.性質5.已知直線經過拋物線的焦點，且與拋物線交于兩點，若弦中點的坐標為，則.證明：設坐標為，由拋物線定義：，故.性質6.以焦點弦為直徑的圓與準線相切.證明：設焦點弦的中點為，則到準線的距離為，由性質5可證得.性質7.如圖，過拋物線的焦點的直線與拋物線相交于兩點，自向準線作垂線，垂足分別為，則（1）；（2）記的面積分別為,,，.注:此題為2009湖北卷文科試題，證明過程可參見該題解答.二．典例分析例1.（2017年全國1卷）.已知為拋物線的焦點，過作兩條相互垂直的直線，直線與交于兩點，直線與交于兩點，則的最小值為()A．16 B．14 C．12 D．10解析：法1:設,,直線方程為取方程,得∴同理直線與拋物線的交點滿意由拋物線定義可知當且僅當(或)時,取得等號．法2:設的傾斜角為,則直線的傾斜角為，依據焦點弦長公式有:．故選A．法4:設點,則設直線的方程為聯立直線與拋物線方程消去可得所以,所以同理，所以(當且僅當時等號成立)法5：可設直線，由拋物線焦點弦的性質3可得：，故，當且僅當時取到最小值，故選A.上述例2，在知曉背景的狀況下解答是很簡潔的，這再次說明記住一些重要的二級結論可以優化運算，提升解題速度.下例中，我們將看到有關面積的定值問題，從而為前面的重要結論做一個補充.例2．（2024新高考2卷）已知為坐標原點，過拋物線的焦點的直線與交于，兩點，點在第一象限，點，若，則直線的斜率為A．直線AB的斜率為2 B．C． D．解析：選項A：設中點為，則所以所以故選項B：所以所以選項C：選項D：由選項A,B知所以所以為鈍角；又所以為鈍角；所以.故選ACD.例3.拋物線的焦點為，，是拋物線上兩動點，若，則的最大值為A． B． C． D．解析：.在中,由余弦定理得：，又.所以的最大值為.本題選擇A選項.例4．（2024·廣東·一模）已知拋物線的焦點為F，拋物線C上存在n個點，，，（且）滿意，則下列結論中正確的是（

）A．時，B．時，的最小值為9C．時，D．時，的最小值為8解析：當時，，此時不妨取過焦點垂直于x軸，不妨取，則，故A錯誤；當時，，此時不妨設在拋物線上逆時針排列，設,，，令，則，令，則，當時，，遞增，當時，，遞減，故，故當，即時，取到最小值9，故B正確；當時，，此時不妨設在拋物線上逆時針排列，設,，即，故，，所以，故C正確；由C的分析可知：，當時，取到最小值16，即最小值為16，故D錯誤；故選：BC例5.（2024年全國2卷）設拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，．（1）求的方程；（2）求過點，且與的準線相切的圓的方程．解析：（1）設直線的方程為，且坐標為，聯立方程可得：得．，故．所以．由題設知，解得：解得：，故的方程為.（2）由（1）可得中點坐標為，所以的垂直平分線方程為，設所求圓的圓心坐標為，則解得或因此所求圓的方程為或．注：此題以焦點弦性質6為背景綻開.例6．已知拋物線C：，過點且斜率為k的直線與拋物線C相交于P，Q兩點.（1）設點B在x軸上，分別記直線PB，QB的斜率為.若，求點B的坐標；（2）過拋物線C的焦點F作直線PQ的平行線與拋物線C相交于M，N兩點，求的值.解析：由題意，直線的方程為，其中.設，聯立，消去得..，，即.，即.，，∴點的坐標為.（2）由題意，直線的方程為，其中，為傾斜角，則，設.聯立，消去得...例7．已知拋物線的焦點為為上一點，的最小值為1.（1）求拋物線的標準方程；（）過焦點作相互垂直的兩條直線與拋物線相交于兩點，與拋物線相交于兩點.若分別是線段的中點，求的最小值.解析：（1）拋物線的標準方程為.（2）由（1）得，點，明顯直線，的斜率都存在且不為0，設直線斜率為，則的斜率為，直線的方程為，由消去并整理得，，設，，則，所以線段中點，，同理，所以，令，當且僅當，即時等號成立.所以，且，所以，當且僅當時取等號，所以的最小值為16.例8．已知拋物線C：，F為拋物線C的焦點，是拋物線C上點，且；（1）求拋物線C的方程；（2）過平面上一動點作拋物線C的兩條切線PA，PB（其中A，B為切點），求的最大值.解析：（1）拋物線的方程為；（2）拋物線的