1.3.2空間向量運算的坐標表示一、教學內容1.本小節探討空間向量運算的坐標表示，并用向量運算的坐標表示探討空間平行、垂直、夾角、距離；2.空間向量的模夾角以及兩點間距離公式，空間向量垂直與平行的條件及其應用等.二、教學目標1.駕馭空間向量的坐標運算；2.會依據向量的坐標，推斷兩個向量共線或垂直；3.駕馭向量長度公式、兩向量夾角公式、空間兩點間距離公式；4.會應用這些學問解決簡潔的立體幾何問題.三、教學重點與難點重點利用空間向量的運算證明解決空間中直線、平面的平行與垂直問題；利用空間向量的運算求兩點間的距離.難點1.利用空間向量的坐標運算求兩條異面直線所成的角2.運用空間向量的坐標運算解決簡潔的立體幾何問題四、教學過程設計1.3.2空間向量運算的坐標表示環節一：創設情境，引入課題探究問題1：有了空間向量的坐標表示，你能類比平面對量的坐標運算，得出空間向量運算的坐標表示并給出證明嗎？學問點1空間向量及其運算的坐標表示設，，與平面對量運算的坐標表示一樣，我們有：，，，，．點評:空間向量運算的坐標表示與平面對量運算的坐標表示完全一樣環節二：視察分析，感知概念下面我們證明空間向量數量積運算的坐標表示．其他運算的坐標表示可以類似證明，請同學們自己完成．設為空間的一個單位正交基底，則，，所以．利用向量數量積的支配律以及，，得．點評:通過“探究”中的問題，引導學生進行自主探討.教學中應放手讓學生綻開探究活動，得出結論并給出證明.環節三：抽象概括，形成概念由上述結論可知，空間向量運算的坐標表示與平面對量運算的坐標表示是完全一樣的．例如，我們有：一個空間向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標．類似平面對量運算的坐標表示，我們還可以得到：學問點2：空間向量共線或平行的判定當時，，，（）；；學問點3.空間向量的模；學問點4.空間向量的夾角公式．點評:空間兩向量平行與平面兩向量平行的坐標表達式不一樣，但實質一樣，即對應坐標成比例.空間兩向量垂直的坐標表達式同平面兩向量垂直的坐標表達式類似.環節四：辨析理解，深化概念學問點5.空間兩點之間的距離公式探究問題2：你能利用空間向量運算的坐標表示推導空間兩點間的距離公式嗎？如圖1.3-7建立空間直角坐標系，設，是空間中隨意兩點，則．于是所以．這就是空間兩點間的距離公式．將空間向量的運算與向量的坐標表示結合起來，不僅可以解決夾角和距離的計算問題，而且可以使一些問題的解決變得簡潔．:點評:空間向量長度公式的形式與平面對量長度公式一樣，教學時可用類比的方法進行.它的幾何意義是長方體對角線的長度.環節五：課堂練習，鞏固運用例2如圖1.3-8，在正方體中，，分別是，的中點．求證．分析：要證明，只要證明，即證．我們只要用坐標表示，，并進行數量積即可．證明垂直和利用空間向量的坐標運算求夾角的問題，并通過向量及其坐標的運算求解問題.證明：不妨設正方體的棱長為1，建立如圖1.3-8所示的空間直角坐標系，則，，所以．又，，所以．所以．所以，即．問題3：你能從本題的解答中體會到依據問題的特點，建立適當的空間直角坐標系，用向量表示相關元素，并通過向量及其坐標的運算求解問題的基本思路嗎？點評:目的是使學生體會“依據問題特點建立適當的空間直角坐標系，用向量表示相關元素，并通過向量及其坐標的運算求解問題”的基本思路.本題中，正方體的特征很明顯，以此為背景建立空間直角坐標系難度不大.教學中，還可以讓學生嘗試建立不同的坐標系解決問題，使學生體會“適當”的含義.例3如圖1.3-9，在棱長為1的正方體中，為的中點，，分別在棱，上，，．（1）求的長．（2）求與所成角的余弦值．分析：（1）利用條件建立適當的空間直角坐標系，寫出點，的坐標，利用空間兩點間的距離公式求出的長．（2）與所成的角就是，所成的角或它的補角．因此，可以通過，的坐標運算得到結果．依據條件建立適當的空間直角坐標系,用向量表示相關元素，并通過向量及其坐標的運算求解問題.解：（1）建立如圖1.3-9所示的空間直角坐標系，則點的坐標為，點的坐標為．于是．（2）由已知，得，，，，所以，，，．所以，所以．所以，與所成角的余弦值為．點評:目的是使學生進一步體會例2中求解問題的基本思路.對于問題(1),在建立空間直角坐標系后，要留意引導學生利用空間兩點間的距離公式求解.對于問題(2),要留意引導學生用坐標表示向量的數量積運算中涉及的向量.教學時，還可以提示學生用綜合法解決本題目，進而與教科書中的方法進行比較.環節六歸納總結，反思提升基本學問:空間向量運算的坐標表示空間向量的長度公式與空間兩點間的距離公式;求兩個向量的夾角或角的余弦值的關鍵是在合適的空間直角坐標系中找到兩個向量的坐標,然后用公式計算思想方法用向量計算或證明幾何問題時,可以先建立空間直角坐標系,然后把向量點坐標化,借助空間向量運算的坐標表示進行計算或證明.環節七：目標檢測，作業布置教材第21-22頁,練習第1-5題,習題1.3第3-5題練習（第21頁）1．已知，，求：（1）； （2）； （3）； （4）．1．解析：（1）；（2）；（3）；（4）．2．已知，，且．求的值．2．解析：因為，所以，解得．3．在軸上求一點，使點到點與點的距離相等．3．解析：由點在軸上，可設，又因為，，，所以，解得，所以．4．如圖，正方體的棱長為，點，分別在，上，，，求的長．4．解析：因為正方體的棱長為，所以，，，，設，，因為，所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以，所以．所以的長為．5．如圖，在正方體中，是的中點，求與所成角的余弦值．5．解：如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系．設正方體棱長為2，則，．為的中點，．，，，，．．與所成角的余弦值為．習題1.3（第22頁）1．在空間直角坐標系中，三個非零向量，，分別平行于軸、軸、軸，它們的坐標各有什么特點？1．解析：平行于軸的向量，和面垂直，其縱坐標和豎坐標為0．平行于軸的向量，和面垂直，其橫坐標和豎坐標為0．平行于軸的向量，和面垂直，其橫坐標和縱坐標為0．2．是空間直角坐標系中的一點，寫出滿意下列條件的點的坐標：（1）與點關于軸對稱的點；（2）與點關于軸對稱的點；（3）與點關于軸對稱的點；（4）與點關于原點對稱的點．2．解析：（1）點關于軸的對稱點坐標為，（2）點關于軸的對稱點坐標為，（3）點關于軸的對稱點坐標為，（4）點關于原點的對稱點坐標為．3．如圖，正方體的棱長為，，，，，，分別是棱，，，，，的中點，寫出正六邊形各頂點的坐標．3．解：，，，，，．4．先在空間直角坐標系中標出，兩點，再求它們之間的距離：（1），；（2），．4．解：作圖略．=1\*GB3①，，；=2\*GB3②，，．5．已知，，．求：（1）； （2）．5．解：（1），，．又，．（2）．6．求證：以，，為頂點的三角形是等腰直角三角形．6．證明：，，，，．，．，．，．又，為等腰直角三角形．7．已知，，求，，線段的中點坐標及線段的長．7．解：，，，．設中點為，其坐標為，則中點的坐標