【例1】如圖14-1,在矩形ABCD中,E為邊AB的中點,將△ADE沿直線DE翻轉成△A1DE,若M為線段A1C的中點,則在△ADE的翻轉過程中,正確的命題是.(2)點M在球面上運動;(3)一定存在某個位置,使DElA1C;(4)一定存在某個位置,使MB∥平面△A1DE.f(m),則對任意的m>0,f(m)的最大值為.【例3】如圖14-7,在四棱錐P-ABCD中,E為AD上一點,PEl平面ABCD,ADⅡBC,ADlCD,BC=ED=2AE,F為PC上一點,且CF=2FP(I)求證:PAⅡ平面BEF;(證明略)若PE=3AE,求二面角F-BE-C的平面角的大小.【例4】已知a,b是異面直線,A,B∈a,C,D∈b,AClb,BDlb,且AB=2,CD=1,則異面直線a,b所成的角等于.【例5】已知三棱錐P-ABC滿足7APB=7BPC=7CPA=60。,三個側面APB,BPC,CPA的面積分別為3,2,1,則這個三棱錐【例6】已知在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側棱AA1T底面ABCD,AA1=2,底面ABCD的邊長均大于2,且7DAB=45。,點P在底面ABCD內運動且在AB,AD上的射影分別為IPAM,NIPA=2,則三棱錐P-D1MN體積的最大值為.強化訓練1.在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,M,N分別是SA,BD上的點.有下列命題：若,則MN∥平面SCD;若,則MN∥平面SCB;其中正確命題的序號為.2.如圖14-26,在四棱錐P-ABCD中,E為AD上一點,PE丄平面(I)求證:PA//平面BEF;(II)若二面角F-BE-C的平面角的大小為60。,求直線PB與平面ABCD所成角的大小.的中點,則異面直線CM,AB所成角的大小為.4.已知三棱錐P-ABC的體積為16,點D,E分別在側棱PB,PC上,且PD=2DB,PE=3EC,則三棱錐P-ADE的體積為.5.過凸四邊形ABCD的對角線交點O作該四邊形所在平面的垂線段SO,使SO=3,若VS-AOD=a2,VS-BOC=b2,當VS-ABCD最小時,ABCD的形狀為.【例1】如圖141,在矩形ABCD中,E為邊AB的中點,將△ADE沿直線DE翻轉成△A1DE,若M為線段A1C的中點,則在△ADE的翻轉過程中,正確的命題是.(2)點M在球面上運動;(4)一定存在某個位置,使MBⅡ平面△A1DE.【解析】【解法1】設CD中點為S,則MSⅡA1D,MS=A1D,且MS為定值,又因為DSⅡBE,DS=BE,,所以四邊形DSBE是平行四邊形,所以BSⅡDE且BS為定值.由余弦定理可得MB是定值,(1)正確.因為B是定點,所以點M是在以B為圓心,MB為半徑的球面上,所以(2)正確.因為SBⅡDE,MSⅡA1D,又因為SB∩SM=S,DE∩A1D=D,所以平面MSBⅡ平面A1ED,所以MBⅡ平面A1ED,(4)正確.【點撥】利用向量數量積判定線線的垂直關系.又因為A1C在平面ABCD的射影在AC上,所以DE丄AC.由題意知AC與DE不垂直,所(4)正確,取DC中點F,則FBⅡDE,MFⅡA1D,FB∩MF=F,A1D∩DE=D,所以平面MFB//平面A1ED,所以MBⅡ平面A1ED.【點撥】先利用假設反證法證明不垂直再利用面面平行證明線段平行.【解法3】如圖144,(1)正確,延長DE交CB的延長線于點N,連結AN,△DAN繞著DN旋轉,因為A1N為定值,所以MB為定值;(2)正確,點M在以B為圓心,MB為半徑的球面上運動;(4)正確,取EC中點P,可以類似【解法2】證明平面MPBⅡ平面A1ND,所以MBⅡ平面A【點撥】從不同角度構造輔助線.【賞析】本題涉及立體幾何的考點比較多,如線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直.熟練掌握線面、面面平行及垂直的判定和性質定理、線面角、二面角的定義及求法是解立體幾何題的關鍵.f(m),則對任意的m>0,f(m)的最大值為.【解析】【解法1】設P(a,0),Q(0,b),以A為坐標原點,AB,AC所在直線分別為x軸,y軸建立如圖146所示的平面直角坐標系.所以所以,所以直線PQ過點N結合向量模長的幾何意義可知可等價視為點與直線PQ上點連線的距離,所以最大值f(m)就是點M到直線PQ的距離的最大值,當MN丄PQ時,M到直線PQ距離最大.【點撥】依據題意建立平面直角坐標系,使向量坐標化,從而實現數量化運算.由,可知,取點N使得,所以P,Q,N三點共線,下同,可知fmax=【點撥】利用向量運算,添加必要的輔助線實現向量的轉化.【賞析】本題考查向量坐標形式的運算及點到直線距離公式,【解法1】利用向量坐標運算,【解法2】添加必要的輔助線實現向量的轉化,【解法1】是常用的基本方法,易上手好操作.【解法2】巧妙構造,要求對重要結論熟練掌握并能靈活運用.ABCD,ADⅡBC,AD丄CD,BC=ED=2AE,F為PC上一點,且CF=2FP(I)求證:PAⅡ平面BEF;(證明略)若PE=3AE,求二面角FBEC的平面角的大小.【解析】【解法1】連結CE,在平面PCE內,過點F作FHTCE于點H.因為FH∥PE,所以FHT平面ABCD.過點H作HMTBE于點M,連結FM.由三垂線定理得FMTBE,所以7FMH為二面角F-BE-C的平面角.因為FHT平面ABCD,PET平面ABCD,所以FH∥PE,所以,所以在Rt△FHM中,tan7FMH=所以7FMH=即二面角F-BE-C的平面角為.【點撥】在平面內的一條直線如果和這個平面的一條斜線的射影垂直,那么它就和這條斜線垂直,當點F在一個半平面上時,通常用三垂線定理法求二面角的大小.【解法2】排除多余信息,若我們只考慮二面角F一BE一C,我們很快發現,直四棱錐PEBCD可以補成長方體,如圖149所示.連結EC,在平面PEC內,過點F作FO丄EC于點O,過點O作OM丄BE于點M,連結所以平面PEC丄平面EBCD,且平面PEC∩平面EBCD=EC.所以PEⅡFO,所以所以,又因為OMⅡBC,所以,得OM=,【點撥】利用圖形的特征,采用補形方法解決問題.【解法3】如圖1411,連結CE,在平面PCE內過點F作FH丄CE于點H.所以FHⅡPE,所以二面角F—BEC的平面角為.【點撥】利用射影面積法求解.因為PE丄平面ABCD,所以MOⅡPE,所以MO與PE共面,因為M∈平面PAD,所以所以上MEO是所求二面角的平面角.由可知ME//PA,所以又因為MOⅡPE,所以 π所以二面角F—BEC的平面角為.3【點撥】延展平面BEF為平面BEMF,將過點F作平面EBCD垂線的間題轉化為過點M作平面EBCD垂線的問題.如圖1414,延長CB至點M,使得2MB=BC,所以,AEⅡMB,AE=MB,所以AEMB是平行四邊形.因為AMⅡEB,AM丈平面EFB,EBC平面EFB,所以AMⅡ平面EFB.由(I)得PAⅡ平面EFB,AM∩PA=A,所以平面PAMⅡ平面FEB,則二面角P—AMC的平面角即為二面角FEBC的平面角,即二面角F一EBC的平面角是.【點撥】尋找二面角的平面角較困難,根據平面平移不改變與另一個平面構成的角的大小的原理,如果能把二面角中的一個平面平移,找出輔助平面與另一個平面的交線,就可以作出二面角的平面角.【解法6】以E為坐標原點,分別以EA,EB,EP所在直線為x軸、y軸、z軸,建立如圖14-15所示的空間直角坐標系.不妨設設平面ABCD的法向量n1=(x1,y1,z1),可得平面EBF的一個法向量設二面角F一BEC的平面角為θ,所以cosθ=cosn1,n2所以.所以二面角F一BEC的平面角為.【點撥】設n1,n2分別是二面角α一l一β的面α,β的法向量,則向量n1,n2的夾角,即為α一l一β的平面角或其補角（需要根據具體情況判斷相等或互補).【賞析】本題主要考查與二面角有關的立體幾何綜合知識.推薦【解法5】為最佳解答.求二面角的平面角的常用方法有定義法、三垂線定理法、射影面積法、平移平面法、補形法、空間向量的坐標法等,以下對各個解法進行分析.【解法1】應用三垂線定理法解題.聯系到PET平面ABCD,有的同學大膽猜想(像一個魔術師,下子從帽子里變出一只兔子),得出了正確的結論;相應地,還有很大一部分同學被復雜的空間圖形嚇退,找不到二面角的確切位置,無從下手.【解法2】應用構造補形法解題,聯系到長方體,比【解法1】更易得出FOT平面EBCD.【解法3】應用射影面積法解題,聯系到點F在底面EBCD的射影,依據射影公式求二面角.【解法4】應用垂線平移法解題,聯系【解法3】,過F點作垂線,那么垂足落在哪里?有很多同學是含糊不清、模棱兩可的,那么我們為什么不換一個點呢?將過點F作平面EBCD垂線的問題轉化為過點M作平面EBCD垂線的問題.【解法5】應用平面平移法解題,將求二面角F一BE一C的平面角的問題轉化為求二面角PAMC的平面角的問題.【解法6】應用空間向量求解法,是一種十分簡捷且傳統的解法.當題目條件中垂直關系明顯時,利用空間坐標系不失為一種更有效的方法.面直線a,b所成的角等于.【解析】【解法1】如圖1416,在長方體中,因為BE//CD,所以7ABE就是異面直線a,b所成的角,所以CETb,ACTb,ACUCE=C,所以bT平面ACE,所以bTAE,所以BETAE,所以△ABE是直角三角形.又因為AB=2,CD=1,所以BE=1,所以cos7ABE=所以7ABE=60。.【點撥】構造長方體求解.【解法2】如圖14-17所示,過點A作AE∥CD,AE=CD,連結BE,則7EAB是異面直線a,b所成的角,由題意知口ACDE是矩形,所以AETDE,AETBD,所以△ABE是直角三角形,又因為AB=2,CD=1,所以cos7EAB=,所以7EAB=60。.【點撥】利用平移法把異面直線平移為相交直線.【解法3】以A為坐標原點,分別以AC,AE,CD方向為x軸,y軸,z軸正方向,建立如圖1418所示的空間直角坐標系,則D,所以所以cosθ=所以異面直線a,b所成的角為60o.【點撥】在構造長方體的基礎上建立空間直角坐標系解決問題.【賞析】本題是一道典型的異面直線成角間題,與常見問題不同的是,本題中的異面直線不是直接出現在立體幾何圖形中.【解法1】和【解法3】都是將兩條異面直線放置在長方體中求解.【解法1】將直線CD平移到BE處,從而易解.【解法3】則借助空間向量的方法求解.【解法2】利用異面直線所成角的概念,將CD平移至AE處后,在Rt△BAE中求解.在求兩條異面直線所成角的大小時,要注意異面直線所成角的范圍是利用中位線或平行四邊形來添加輔助線的方法,有時也可對空間圖形使用.【例5】已知三棱錐P一ABC滿足7APB=7BPC=7CPA=60。,三APB,BPC,CPA的面積分別為3,2,1,則這個三棱錐【解析】【解法1】由各側面的面積可得S△APB=PA.PB.sin60。=【點撥】由三角形面積公式求得三棱錐的側棱長,構造一個特殊的三棱錐,利用體積關系解決問題.所以在Rt△PDE中,易得PD=所以VPABC【點撥】求出三條棱長,過某一頂點作高,直接法求解體積.【解法3】設PA,PB,PC的長度分別為a,b,c,同【解法2】,如圖1421,設點A在平面BPC上的射影為點O,所以點A到平面PBC的距離AO=PA.sinθ=【點撥】作出點A在平面PBC上的投影,利用三余弦定理解題.注:三余弦定理證明:結AE,易得BCT平面AOE,所以BETAE.在Rt△AOB中,cos7ABO=在Rt△ABE中,cos7ABE=在Rt△BOE中,cos7OBE=所以cos7ABE=cos7OBE.cos7ABO.【賞析】【解法1】巧妙地補形成一個特殊的三棱錐,利用一個平面p截三棱錐P一ABC,分別交三棱錐的棱PA,PB,PC于點D,E,F,則解法2、3實質相同,都是求底面和高,【解法3】利用三余弦定理求出三棱錐的高.的邊長均大于2,且7DAB=45。,點P在底面ABCD內運動且在AB,AD上的射影分別為IPAM,NIPA=2,則三棱錐PD1MN體積的最大值為.【解析】PAsinθ=2sinθ,PM=PA【點撥】引入角度為變量﹐建立體積的三角函數式,利用三角函數法求最值.【解法2】因為PA=2,知點P在以點A為圓心,半徑為2的圓弧上,所以A,M,P,N四點在以AP為直徑的圓F上,如圖14-24,所以在△PMN中,2=MN|2=PM|2+|PN|2—2PM.PNcos135。因為PM|2+PN|22PM.PN,當且僅當時取等號, 所以2·2PMPN2PM.PN 所以VD1PMN的最大值為.【點撥】利用平面幾何法求得MN的值,進而可利用均值不等式法求得PMN面積的最大值,最后求得體積的最大值.V=.S△PMN.2=S△PMN如圖1425所示,設上BAP=Q,上DAP=β,當且僅當α=β=22.5。時取等號,所以VPD1MN的最大值為.【點撥】引入兩個角度,建立體積的代數表達式，結合積化和差公式可由兩角和與差的余弦公式解決問題.【賞析】本題依托立體幾何背景﹐涉及線面垂直﹑線線垂直和棱錐體積的求法.如何求解△PMN的面積的最大值是本題的關鍵.【解法1】從角度出發,將各邊長轉為為三角函數形式,利用三角函數值的有界性解答.【解法2】從平面幾何的角度出發,利用基本不等式取得最值.這兩種方法都是處理解三角形問題的基本方法.【解法3】從兩角的關系出發,使用積化和差公式,實質是利用角的變換,和【解法1】有異曲同工之妙.強化訓練1.在四棱錐SABCD中,底面ABCD是平行四邊形,M,N分別是SA,BD上的點.有下列命題：若,則MNⅡ平面SCD;若,則MNⅡ平面SCB;其中正確命題的序號為.【解析】答案：①③2.如圖14-26,在四棱錐P-ABCD中,E為AD上一點,PE丄平面(I)求證:PA//平面BEF;(II)若二面角F-BE-C的平面角的大小為60。,求直線PB與平面ABCD所成角的大小.【解析】(Ⅰ)證明：連結AC交BE于點M，連結FM.因為