光明區實驗學校2023-2024學年第二學期九年級模擬考試數學試卷（三模）一．選擇題（每題3分，共30分）1.﹣3的相反數是（）A. B. C. D.2.下列計算正確是（）A. B. C. D.3.2024年春節檔電影《熱辣滾燙》引發熱議，其中的臺詞“一切來得及，記得愛自己”“如果沒有特別幸運，那就請特別努力”鼓舞著每一位心中有夢想的人勇敢逐夢．據統計，截至2024年3月14日，電影《熱辣滾燙》票房高達34.45億元．數據34.45億用科學記數法表示為（）A B. C. D.4.某個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體是（）A. B. C. D.5.如圖，與是位似圖形，點O為位似中心，且，若的周長為8，則的周長為（）A.4 B. C.16 D.326.一元一次不等式組解集為（）A. B.C. D.7.圖1是一個地鐵站入口的雙翼閘機，如圖2，它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點與之間的距離為，雙翼的邊緣，且與閘機側立面夾角，當雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為（）A. B. C. D.8.數學家斐波那契編寫的《算經》中有如下分錢問題：第一次由一組人平分10元錢，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元錢，則第二次每人分得的錢與第一次相同，設第一次分錢的人數為x人，則可列方程為（）A. B. C. D.9.如圖，在菱形中，過頂點作，，垂足分別為，，連接，若，的面積為，則菱形的面積為（）A. B. C. D.10.如圖，在中，，，，點和點分別是和的中點，點和點分別從點和點出發，沿著方向運動，運動速度都是1個單位秒，當點到達點時，兩點間時停止運動．設的面積為，運動時間為，則與之間的函數圖象大致為（）

A. B.C. D.二．填空題（每題3分，共15分）11.因式分解：_________.12.若分式有意義，則的取值范圍是______．13.如圖，為測量平地上一塊不規則區域（圖中的陰影部分）的面積，畫一個邊長為的正方形，使不規則區域落在正方形內，現向正方形內隨機投擲小石子（假設小石子落在正方形內每一點都是等可能的），經過大量重復投擲試驗，發現小石子落在不規則區域的頻率穩定在常數附近，由此可估計不規則區域的面積是_________．14.如圖，、兩點在反比例函數的圖象上，過點作軸于點，交于點，若，的面積為1，則的值為__．15.如圖，將菱形紙片沿過點的直線折疊，使點落在射線上的點處，折痕交于點．若，，則的長等于__________．

三．解答題（共55分）16.計算：17.為增強同學們的環保意識，某校八年級舉辦“垃圾分類知識競賽”活動，分為筆試和展演兩個階段．已知年級所有學生都參加了兩個階段的活動．首先將成績分為以下六組（滿分分，實際得分用表示）：，，，，，隨機抽取名學生，將他們兩個階段的成績均按以上六組進行整理，相關信息如下：已知筆試成績中，組的數據如下：，，，，，，，，．請根據以上信息，完成下列問題：（1）在扇形統計圖中，“組”所對應的扇形的圓心角是；（2），并補全圖中的頻數分布直方圖；（3）在筆試階段中，名學生成績的中位數是分；（4）已知筆試和展演兩個階段的成績是按照的權重計入總成績，總成績在分以上的將獲得“環保之星”稱號，以下為甲、乙兩位同學的成績，最終誰能獲得“環保之星”稱號？請通過計算說明理由．18.如圖，已知，點M是上的一個定點．（1）尺規作圖：請在圖1中作，使得與射線相切于點M，同時與相切，切點記為N；（2）在（1）的條件下，若，則所作的的劣弧與所圍成圖形的面積是_________．19.如圖，是的直徑，是上一點，過點作的切線交的延長線于點，過點作于點，延長交于點，連接．

（1）求證：平分；（2）若，求的值．20.“直播帶貨”已經成為信息社會中商家的一種新型促銷手段，2024年是中國農歷甲辰龍年，某主播用3000元購進了一批“小金龍”布偶玩具在直播間銷售，由于銷售火爆，又用9900元購進了第二批這種玩具，所購數量是第一批購進數量的3倍，但每件的進價貴了3元．（1）求商場購進第一批“小金龍”每件的進價；（2）直播間在第二批“小金龍”布偶銷售過程中發現，“小金龍”布偶每分鐘的銷量（件）與銷售單價（元）滿足一次函數關系，設每分鐘的銷售利潤為元，求與之間的函數關系式，并求最大值．21綜合與實踐如圖1，某興趣小組計劃開墾一個面積為的矩形地塊種植農作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長為．【問題提出】小組同學提出這樣一個問題：若，能否圍出矩形地塊？【問題探究】小穎嘗試從“函數圖象”的角度解決這個問題：設為，為．由矩形地塊面積為，得到，滿足條件的可看成是反比例函數的圖象在第一象限內點的坐標；木欄總長為，得到，滿足條件的可看成一次函數的圖象在第一象限內點的坐標，同時滿足這兩個條件的就可以看成兩個函數圖象交點的坐標．如圖2，反比例函數的圖象與直線：的交點坐標為和_________，因此，木欄總長為時，能圍出矩形地塊，分別為：，；或___________m，__________m．（1）根據小穎的分析思路，完成上面的填空．【類比探究】（2）若，能否圍出矩形地塊？請仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數圖象并說明理由．問題延伸】當木欄總長為時，小穎建立了一次函數．發現直線可以看成是直線通過平移得到的，在平移過程中，當過點時，直線與反比例函數的圖象有唯一交點．（3）請在圖2中畫出直線過點時的圖象，并求出的值．拓展應用】小穎從以上探究中發現“能否圍成矩形地塊問題”可以轉化為“與圖象在第一象限內交點的存在問題”．（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且和的長均不小于，請直接寫出的取值范圍．22.（1）觀察猜想：如圖1，在中，，點D，E分別在邊，上，，，將繞點A逆時針旋轉到如圖2所示的位置，連接，交于點G，連接交于點F，則值為______，的度數為_____．（2）類比探究：如圖3，當，時，請求出的值及的度數．（3）拓展應用：如圖4，在四邊形中，，，．若，，請直接寫出A，D兩點之間的距離．

光明區實驗學校2023-2024學年第二學期九年級模擬考試數學試卷（三模）一．選擇題（每題3分，共30分）1.﹣3的相反數是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】相反數的定義是：如果兩個數只有符號不同，我們稱其中一個數為另一個數的相反數，特別地，0的相反數還是0．【詳解】根據相反數的定義可得：－3的相反數是3，故選D．【點睛】本題考查相反數，題目簡單，熟記定義是關鍵．2.下列計算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查了冪的乘方、積的乘方、同底數冪相乘和合并同類項等方面的計算能力，運用相關運算方法進行逐一計算、辨別．關鍵是能準確理解并運用以上知識進行正確地計算．【詳解】解：，選項A不符合題意；，選項B不符合題意；，選項C符合題意；，選項D不符合題意，故選：C．3.2024年春節檔電影《熱辣滾燙》引發熱議，其中的臺詞“一切來得及，記得愛自己”“如果沒有特別幸運，那就請特別努力”鼓舞著每一位心中有夢想的人勇敢逐夢．據統計，截至2024年3月14日，電影《熱辣滾燙》票房高達34.45億元．數據34.45億用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查科學記數法的表示．絕對值大于等于10的數用科學記數法可表示為的形式，其中，為正整數．【詳解】解：34.45億．故選：B．4.某個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由三視圖可知：該幾何體為上下兩部分組成，上面是一個圓柱，下面是一個長方體．【詳解】解：由三視圖可知：該幾何體為上下兩部分組成，上面是一個圓柱，下面是一個長方體且圓柱的高度和長方體的高度相當．故選：．【點睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體的知識，解題的關鍵是具有較強的空間想象能力，難度不大．5.如圖，與是位似圖形，點O為位似中心，且，若的周長為8，則的周長為（）A.4 B. C.16 D.32【答案】C【解析】【分析】本題考查位似圖形的性質，相似三角形的性質，根據位似比等于相似比，相似三角形的周長比等于相似比進行求解即可．【詳解】解：∵與是位似圖形，點O為位似中心，且，∴，且相似比為，∴與的周長比為：，∵的周長為8，∴的周長為16．故選：C．6.一元一次不等式組解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先解每個不等式的解集，再求兩個不等式的解集的公共部分即可．【詳解】解：解不等式得：，解不等式得：，∴不等式組的解集為，在數軸上表示為：，故選：B．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，熟練掌握解一元一次不等式組的步驟是解題的關鍵．7.圖1是一個地鐵站入口的雙翼閘機，如圖2，它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點與之間的距離為，雙翼的邊緣，且與閘機側立面夾角，當雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】過作于，過作于，則可得和的長，依據端點與之間的距離為，即可得到可以通過閘機的物體的最大寬度．【詳解】解：如圖，過點作于點，過點作于點，在中，，，同理可得，，又雙翼邊緣的端點與之間的距離為，，當雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為．故選：A．【點睛】本題主要考查了含角的直角三角形的性質，在直角三角形中，角所對的直角邊等于斜邊的一半．8.數學家斐波那契編寫的《算經》中有如下分錢問題：第一次由一組人平分10元錢，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元錢，則第二次每人分得的錢與第一次相同，設第一次分錢的人數為x人，則可列方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了分式方程的應用．設第一次分錢的人數為x人，根據“第一次由一組人平分10元錢，每人分得若干，第二次比第一次增加6人，平分40元錢，則第二次每人分得的錢與第一次相同”，列出方程，即可求解．【詳解】解：設第一次分錢的人數為x人，根據題意得：．故選：C9.如圖，在菱形中，過頂點作，，垂足分別為，，連接，若，的面積為，則菱形的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】過點作，交的延長線于點，證明，得到，推出，設，由可得，進而根據銳角三角函數得到，則，根據三角形的面積公式求出，再根據勾股定理求出，即可求解．【詳解】解：如圖，過點作，交的延長線于點，，，，四邊形是菱形，，，，在和中，，，，，即，設，，，，，，，，，，，，，，故選：D．【點睛】本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質，銳角三角函數，勾股定理等知識，靈活運用相關知識是解題的關鍵．10.如圖，在中，，，，點和點分別是和的中點，點和點分別從點和點出發，沿著方向運動，運動速度都是1個單位秒，當點到達點時，兩點間時停止運動．設的面積為，運動時間為，則與之間的函數圖象大致為（）

A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查動點問題，依托三角形面積考查二次函數的圖象和分類討論思想，取的中點F,連接根據題意得到和，分三種情況討論三角形的面積：（1）當時，得，結合三角形面積公式求解即可；（2）當時，得，，和，結合；（3）當時，點、都在上，結合和求面積即可．【詳解】解：如圖，取的中點F，連接，

，點、是中點，∴，，∵，∴四邊形為矩形，當時，點在上，點在上，，；如圖，當時，點在上，點在上，

，，，，；如圖，當時，點、都在上，

，綜上判斷選項A的圖象符合題意．故選：A．二．填空題（每題3分，共15分）11.因式分解：_________.【答案】【解析】【分析】先提取公因式，再按照平方差公式進行分解即可得到答案；【詳解】解：，故答案為：；【點睛】本題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，掌握平方差公式是解題的關鍵；12.若分式有意義，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】本題考查了分式有意義的條件，要使分式有意義，則，即可求解，掌握分式有意義的條件是解題的關鍵．【詳解】解：要使分式有意義，則，∴，故答案為：．13.如圖，為測量平地上一塊不規則區域（圖中的陰影部分）的面積，畫一個邊長為的正方形，使不規則區域落在正方形內，現向正方形內隨機投擲小石子（假設小石子落在正方形內每一點都是等可能的），經過大量重復投擲試驗，發現小石子落在不規則區域的頻率穩定在常數附近，由此可估計不規則區域的面積是_________．【答案】【解析】【分析】首先確定小石子落在不規則區域的概率，然后利用概率公式求得其面積即可．【詳解】解：∵經過大量重復投擲試驗，發現小石子落在不規則區域的頻率穩定在常數附近，∴小石子落在不規則區域的概率為，∵正方形的邊長為，∴面積為，設不規則部分面積為，則，解得：，故答案為：．【點睛】考查了利用頻率估計概率的知識，解題的關鍵是了解大量重復試驗中事件發生的頻率可以估計概率．14.如圖，、兩點在反比例函數的圖象上，過點作軸于點，交于點，若，的面積為1，則的值為__．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數的圖象，反比例函數圖象上的點的坐標，相似三角形點的判定和性質，過點B作軸于點E，設，則點，進而得，由得，證得，則，，可得點，進而得，則，，再根據的面積為1，得，即，由此解出k即可．【詳解】解：過點作軸于點，如圖所示：設，點在反比例函數的圖象上，且軸于點，點的坐標為，，，，軸，軸，，，，，，點在反比例函數的圖象上，且軸于點，點的坐標為，，，，的面積為1，，即，解得：．故答案為：．15.如圖，將菱形紙片沿過點的直線折疊，使點落在射線上的點處，折痕交于點．若，，則的長等于__________．

【答案】【解析】【分析】過點A作于點Q，根據菱形性質可得，根據折疊所得，結合三角形的外角定理得出，最后根據，即可求解．【詳解】解：過點A作于點Q，∵四邊形為菱形，，∴，，∴，∵由沿折疊所得，∴，∴，∵，，∴，則，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了菱形的性質，折疊的性質，解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握菱形和折疊的性質，正確畫出輔助線，構造直角三角形求解．三．解答題（共55分）16.計算：【答案】【解析】【分析】根據絕對值的性質、零指數冪、負整指數冪的性質及45°角的正切值計算解題即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查實數的混合運算，涉及絕對值、零指數冪、負整指數冪、正切等知識，是基礎考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．17.為增強同學們的環保意識，某校八年級舉辦“垃圾分類知識競賽”活動，分為筆試和展演兩個階段．已知年級所有學生都參加了兩個階段的活動．首先將成績分為以下六組（滿分分，實際得分用表示）：，，，，，隨機抽取名學生，將他們兩個階段的成績均按以上六組進行整理，相關信息如下：已知筆試成績中，組的數據如下：，，，，，，，，．請根據以上信息，完成下列問題：（1）在扇形統計圖中，“組”所對應的扇形的圓心角是；（2），并補全圖中的頻數分布直方圖；（3）在筆試階段中，名學生成績的中位數是分；（4）已知筆試和展演兩個階段的成績是按照的權重計入總成績，總成績在分以上的將獲得“環保之星”稱號，以下為甲、乙兩位同學的成績，最終誰能獲得“環保之星”稱號？請通過計算說明理由．【答案】（1）（2），補全如圖所示（3）（4）乙將獲得“環保之星”稱號【解析】【分析】（）直接即可；（）根據“”組即可；（）根據中位數的概念即可；（）根據的權重分別計算即可；本題考查頻數分布直方圖、扇形統計圖、中位數和加權平均數，解題的關鍵是準確找出相關數據，利用數形結合的思想解答．【小問1詳解】“組”所對應的扇形的圓心角是:，故答案為：；【小問2詳解】，并補全頻數分布直方圖如圖，故答案為：；【小問3詳解】由（）得：，即抽取名學生，即中位數排在第，位的平均數，為，故答案為：；【小問4詳解】甲：，乙：，∵，∴乙將獲得“環保之星”稱號．18.如圖，已知，點M是上的一個定點．（1）尺規作圖：請在圖1中作，使得與射線相切于點M，同時與相切，切點記為N；（2）在（1）的條件下，若，則所作的的劣弧與所圍成圖形的面積是_________．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）先作的平分線，再過M點作的垂線交于點O，接著過O點作于N點，然后以O點為圓心，為半徑作圓，則滿足條件；（2）先利用切線的性質得到，，根據切線長定理得到，則，再利用含30度角的直角三角形三邊的關系計算出，然后根據扇形的面積公式，利用的劣弧與所圍成圖形的面積進行計算．【小問1詳解】解：如圖，為所作；；【小問2詳解】解：∵和為的切線，∴，，，∴，∴，在中，，∴，∴的劣弧與所圍成圖形的面積．故答案為：．【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了切線的判定與性質、扇形的面積計算．19.如圖，是的直徑，是上一點，過點作的切線交的延長線于點，過點作于點，延長交于點，連接．

（1）求證：平分；（2）若，求的值．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，如圖，根據切線的性質得到，則根據平行線的判定方法得到，再利用平行線的性質得到，加上，從而得到；（2）根據圓周角定理得，再證明，利用相似三角形的性質得到，則，接著利用正弦的定義得到，然后根據特殊角的三角函數值求解．本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑．也考查了圓周角定理和解直角三角形．小問1詳解】證明：連接，如圖，為的切線，，，，，，，，平分；【小問2詳解】解：是的直徑，，，，，，，在中，，，．20.“直播帶貨”已經成為信息社會中商家的一種新型促銷手段，2024年是中國農歷甲辰龍年，某主播用3000元購進了一批“小金龍”布偶玩具在直播間銷售，由于銷售火爆，又用9900元購進了第二批這種玩具，所購數量是第一批購進數量的3倍，但每件的進價貴了3元．（1）求商場購進第一批“小金龍”每件的進價；（2）直播間在第二批“小金龍”布偶銷售過程中發現，“小金龍”布偶每分鐘的銷量（件）與銷售單價（元）滿足一次函數關系，設每分鐘的銷售利潤為元，求與之間的函數關系式，并求最大值．【答案】（1）30元（2）；最大值160元【解析】【分析】本題考查了分式方程的應用、二次函數的應用，正確列出分式方程，熟練掌握二次函數的性質是解此題的關鍵．（1）設購進第一批“小金龍”每件進價為元，則購進第二批“小金龍”每件進價為元，根據“第二批所購數量是第一批購進數量3倍”列出分式方程，解方程即可得出答案；（2）由題意得得出與之間的函數關系式，利用二次函數的性質求解即可．【小問1詳解】解：設購進第一批“小金龍”每件進價為元，則購進第二批“小金龍”每件進價為元，由題意得：，解得：，經檢驗，是原分式方程的根，且符合題意，商場購進第一批“小金龍”每件的進價為30元．【小問2詳解】解：由題意得：，當時，有最大值160元，答：最大值為160元．21.綜合與實踐如圖1，某興趣小組計劃開墾一個面積為的矩形地塊種植農作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用木欄圍住，木欄總長為．【問題提出】小組同學提出這樣一個問題：若，能否圍出矩形地塊？【問題探究】小穎嘗試從“函數圖象”的角度解決這個問題：設為，為．由矩形地塊面積為，得到，滿足條件的可看成是反比例函數的圖象在第一象限內點的坐標；木欄總長為，得到，滿足條件的可看成一次函數的圖象在第一象限內點的坐標，同時滿足這兩個條件的就可以看成兩個函數圖象交點的坐標．如圖2，反比例函數的圖象與直線：的交點坐標為和_________，因此，木欄總長為時，能圍出矩形地塊，分別為：，；或___________m，__________m．（1）根據小穎的分析思路，完成上面的填空．【類比探究】（2）若，能否圍出矩形地塊？請仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數圖象并說明理由．【問題延伸】當木欄總長為時，小穎建立了一次函數．發現直線可以看成是直線通過平移得到的，在平移過程中，當過點時，直線與反比例函數的圖象有唯一交點．（3）請在圖2中畫出直線過點時的圖象，并求出的值．【拓展應用】小穎從以上探究中發現“能否圍成矩形地塊問題”可以轉化為“與圖象在第一象限內交點的存在問題”．（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且和的長均不小于，請直接寫出的取值范圍．【答案】（1）；4；2；（2）不能圍出，理由見解析；（3）圖見解析，；（4）【解析】【分析】（1）聯立反比例函數和一次函數表達式，求出交點坐標，即可解答；（2）根據得出，，在圖中畫出的圖象，觀察是否與反比例函數圖像有交點，若有交點，則能圍成，否則，不能圍成；（3）過點作的平行線，即可作出直線的圖象，將點代入，即可求出a的值；（4）根據存在交點，得出方程有實數根，根據根的判別式得出，再得出反比例函數圖象經過點，，則當與圖象在點左邊，點右邊存在交點時，滿足題意；根據圖象，即可寫出取值范圍．【詳解】解：（1）∵反比例函數，直線：，∴聯立得：，解得：，，∴反比例函與直線：的交點坐標為和，當木欄總長為時，能圍出矩形地塊，分別為：，；或，．故答案為：4；2．（2）不能圍出．∵木欄總長為，∴，則，畫出直線的圖象，如圖中所示：∵與函數圖象沒有交點，∴不能圍出面積為的矩形；（3）如圖中直線所示，即為圖象，將點代入，得：，解得；（4）根據題意可得∶若要圍出滿足條件的矩形地塊，與圖象在第一象限內交點的存在問題，即方程有實數根，整理得：，∴，解得：，把代入得：，∴反比例函數圖象經過點，把代入得：，解得：，∴反比例函數圖象經過點，令，，過點，分別作直線平行線，由圖可知，當與圖象在點A右邊，點B左邊存在交點時，滿足題意；把代入得：，解得：，∴．【點睛】本題主要考查了反比例函數和一次函數綜合，解題的關鍵是正確理解題意，根據題意得出等量關系，掌握待定系數法，會根據函數圖形獲取數據．22.（1）觀察猜想：如圖1，在中，，點D，E分別在邊，上，，，將繞點A逆時針旋轉到如圖2所示的位置，連接