第十二講四點共圓

一、基礎知識

1、四點共圓的判定方法

（1）利用圓的定義，即：各點與一定點等距離（R）,則各點在

以定點為圓心，半徑為R的圓上；

（2）若一線段（AB）同側的兩個點C和D,對這條線段的兩點

（A和B）的張角相等，則這四點A、B、C、D共圓；

A'、一—JB

（3）若一線段（AB）異側的兩個點C和D,對這條線段的兩點D

A、B的張角互補，則A、B、C、D四點共圓；

C

（4）兩線段AB、CD交于E點，若滿足AEEB=CEED,則A、0.

B、C、D四點共圓；A\

C

二、例題

例1通過兩個相交圓得公共弦上的任一點P,引第一個圓的弦KM和第二個圓的弦LN,證明：KLMN

可內接于一圓.

例2圓5,。2相交于AB,P是BA延長線上一點，割線PCD交圓5于C、D,害!|線PEF交圓Ch于E、

F,求證：C、D、E、F四點共圓.

例3AB為圓直徑，過A在AB同側作弦AP、AQ,交B處的切線于點R、S,求證：P、Q、S、R四點

共圓；

例4A為。O外一點，AB,AC和。O分別切于B、C兩點，APQ為。O的一條割線，過B作BR〃AQ

交。O于點R,連結CR交AQ于點M,試證：A、B、C^O、M五點共圓；

例5/ABC中，AB=AC,ZA=90°,AM為底邊BC上的中線，過M、C兩點的圓交AC于E,交BE

于F,求證：AF_LBE；

例6過已知。。的中心作OA垂直于圓外的直線MN,自垂足A作圓的割線交圓于B、C,過B、C分別

作圓的切線交MN于D、E,求證：AD=AE；

例7AB、AC切（DO于B、C,任作割線AEF交圓周于E、F,弦BD平分弦EF交EF于M,求證：CD

〃EF；

例8已知，。0與。O,外切于P,過P點作直線交。O與。O5于A、B,AC是。O的弦，過B點作。O,

的切線交AC的延長線于D,求證：APAB=ADAC；

例9圓O”O2相交于A、B,從圓Oi上一點P引直線PA、PB,交圓。2于C、D,過P作PHLCD于H,

求證：PH過圓O］的圓心；

例10如圖，AD是圓的直徑，直線1是過D的切線，割線AB、AC交I于點B、C,交圓于點E、F；(1)

求證：AEAB=AFAC；(2)如果使直線1向上平行移動成為圓的割線，而AB、AC仍與1交于點B、C,

與圓仍交于點E、F,那么等式AE-AB=AFAC是否仍成立，為什么？

例11PA、PB為。O的切線，A、B為切點，連結AB與PO交于M,QR是過M的任意一條弦，求證:

OP平分NQPR；

例12如圖,P為。O上任一點,AB為任意弦,過AB作。O的兩條切線相交于Q,PD±QA于D,PE1QB

于E,PCJ_AB于C,求證：PC2=PDPE；

例13如圖，。。內接/ABC,AQ_LBC于D點，交。。于Q,AD是。O,的直徑，。0,交AB于M,

交AC于N,AQ交MN于P,求證：AD2=APAQ；

例14在/ABC中邊AB=AC,有一個圓Oj內切于/ABC的外接圓O并且與AB、AC分別相切于P、

Q,求證：P、Q連線的中點O是/ABC的內切圓的圓心;

三、練習題

1.銳角/ABC的三條高AD、BE、CF交于H,在A、B、C、D、E、F、H七個點中，能組成四點共圓

的組數為（）

A.4組B.5組C.6組D.7組

2.在/ABC中，AB=AC,D為BC邊中點，且BE_LAC于E,交AD于P,已知BP=3,PE=1,則

PA的值為（）

A.S'B.2A/3C.72D.A/6

3.直線AB和AC與。O分別相切于B、C兩點，P為圓上一點，如圖，P到AB、AC的距離分別為6

厘米，4厘米，則P到BC的距離為；

4.正方形ABCD的中心為O,面積為1989cm2,P為正方形內一點，且/OPB=45°,PA：PB=5：14,

貝！1PB=；

AB

5.已知PA是/ABC的外接圓的切線，PD〃AC且與AB、BC分別交于點E、D,求證：EAEB=EDEP；

6.如圖，OOi和。Ch相交于A、B兩點，過A作一條直線分別交。Oi和。Ch于C、D,過C、D分別

作。Oi和。。2的切線，它們相交于E,連結BC、BD和BE,求證：NBCD=/BED.

7.已知NACE=NCDE=90。，點B在CE上，CA=CB=CD,過A、C、D三點的圓交AB于點F,求

證：F為/CDE的內心；

8.已知：BE>CF是/ABC的兩條高，M是