圓與圓的位置關系

一、選擇題

1.（2011浙江省舟山，5,3分）兩個大小不同的球在水平面上靠在一起，組成如圖所示的幾何體，則該

幾何體的左視圖是（）

（A）兩個外離的圓（B）兩個外切的圓

（C）兩個相交的圓（D）兩個內切的圓

主視方向

（第5題）

【答案】D

2.（2011江蘇揚州，4,3分）已知相交兩圓的半徑分別在4和7,則它們的圓心距可能是（）

A.2B.3C.6D.II

【答案】C

3.（2011山東濟寧，5,3分）己知。與。。2相切，。01的半徑為9cm,。。2的半徑為2cm,則0。2

的長是（）

A.1cmB.5cmC.1cm或5cmD.0.5cm或2.5cm

【答案】C

4.（2011浙江臺州，8,4分）如圖，圖2是一個組合煙花（圖1）的橫截面，其中16個圓的半徑相同，

點。卜。2、。3、分布是四個角上的圓的圓心，且四邊形OQ2O3O4正方形。若圓的半徑為r,組合煙花

的高度為h,則組合煙花側面包裝紙的面積至少需要（解縫面積不計）（）

A.26?rhB.24rh+"rhC.12rh—2%rhD.24rh+24rh

圖1圖2

【答案】D

5.（2011浙江溫州，8,4分）已知線段AB=7cm.現以點A為圓心，2cm為半徑畫。4；再以點B為圓

心，3cm為半徑畫。8,則。A和。8的位置關系是（）

A.內含B.相交C.外切D.外離

【答案】D

6.（2011臺灣臺北，25）如圖（九），圓A、圓8的半徑分別為4、2,且而=12。若作一圓C使得三圓

的圓心在同一直在線，且圓C與圓A外切，圓C與圓8相交于兩點，則下列何者可能是圓C

的半徑長？

.（九）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

7.（2011臺灣全區，25）若有兩圓相交于兩點，且圓心距離為13公分，則下列哪一選項中的長度可能

為此兩圓的半徑？

A.25公分、40公分B.20公分、30公分C.1公分、10公分D.5公分、7公分

【答案】B

8.（2011臺灣全區，32）圖（十四）中，CA.而分別切圓01于A、。兩點，CB,而分別切圓。2

于8、E兩點.若Nl=60°,N2=65°,判斷而、CD.近的長度，下列關系何者正確？

A.AB>CE>CDB.AB=CE>CD

C.~AB>CD>CED.~AB=CD=CE

【答案】A

9.（2011福建泉州，5,3分）已知OOi和。Ch的半徑分別為2cm和5cm,兩圓的圓心距是3.5cm,則兩

圓的位置關系是（）.

A.內含B.外離C.內切D.相交

【答案】D

10.（2011廣東茂名，7,3分）如圖，。0、相內切于點A，其半徑分別是8和4,將。％沿直線04

平移至兩圓相外切時，則點內移動的長度是

A.4B.8C.16D.8或16

【答案】D

11.（2011湖北襄陽，9,3分）在AABC中，ZC=90°,AC=3cm,BC=4cm,若。A,。8的半徑分別

為1cm,4cm,則。A,的位置關系是

A.外切B.內切C.相交D.外離

【答案】A

12.（2011江蘇鹽城，5,3分）若。01、。。2的半徑分別為4和6,圓心距002=8，則。。1與。。2的位

置關系是

A.內切B.相交C.外切D.外離

【答案】B

13.（2011重慶市潼南,7,4分）己知。01與。。2外切，的半徑R=5cm,。。2的半徑「=lcm,則

。01與。。2的圓心距是

A.1cmB.4cmC.5cmD.6cm

【答案】D

14.

15.

16.

17.

18.

二、填空題

1.（2011浙江省，16,3分）如圖，圖①中圓與正方形各邊都相切，設這個圓的周長為G;圖②中的四個

圓的半徑相等，并依次外切，且與正方形的邊相切，設這四個圓的周長為C2；圖③中的九個圓的半徑相等,

并依次外切，且與正方形的邊相切，設這九個圓的周長為C3；……,依次規律，當正方形邊長為2時，則

Ci+C2+C3+…G?+Cioo=

【答案】10100〃

2.（2011浙江義烏，13,4分）已知。0|與。。2的半徑分別為3和5,且。O1與。。2相切，則01。2等于

▲.

【答案】2或8

3.（2011四川廣安，14,3分）已知。功與0a的半徑4、弓分別是方程/-6犬+8=0的兩實根，若

與的圓心距d=5.則0a與oa的位置關系是

【答案】相交

4.（2011江蘇南通，18,3分）己知：如圖，三個半圓以此相外切，它們的圓心都在x軸的正半軸上并與

1=1線y=—相切，設半圓C［、半圓C2、半圓C3的半徑分別是a、/2、小，則當a=1時，▲

>'A

x

【答案】9.

5.（2011廣東肇慶，14,3分）已知兩圓的半徑分別為1和3,若兩圓相切，則兩圓的圓心距為A

【答案】4或2

6.（2011山東棗莊，17,4分）如圖，小圓的圓心在原點，半徑為3,大圓的圓心坐標為（a,0）,半徑

為5.如果兩圓內含，那么。的取值范圍是.

【答案】-2<a<2

三、解答題

1.（2011江西，20,8分）有一種用來畫圓的工具板（如圖所示），工具板長21cm,上面依次排列著大小

不等的五個圓（孔），共中最大圓的直徑為3a”，其余圓的直徑從左到右依次遞減0.2cm.最大圓的左側距工

具板左側邊緣1.5cm,最小圓的右側距工具板右側邊緣1.5cm,相鄰兩圓的間距d均相等。

⑴直接寫出其余四個圓的直徑長；

⑵求相鄰兩圓的間距。

【答案】（1）其余四個圓的直徑長分別為2.8a”,2.6a”,2.4cm,2.2a”；

（2）因為工具板長21cm,左、右側邊緣1.5C/W,

所以的五個圓（孔）及相鄰兩圓的間距之和為21-3=18（cm）.

d=[18-（3+2.8+2.6+2.4+2.2）]-4=（cm）.

2.（2011江蘇南京，26,8分）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,P為BC的中點.動

點Q從點P出發，沿射線PC方向以2an/s的速度運動，以P為圓心，PQ長為半徑作圓.設點Q運

動的時間為ts.

⑴當t=1.2時，判斷直線AB與。P的位置關系，并說明理由；

（2）已知。O為aABC的外接圓，若。P與。O相切，求t的值.

（第26題）

【答案】解：⑴直線與（DP相切.

如圖，過點P作PD_LAB,垂足為D.

在Rt^ABC中，ZACB=90°,VAC=6cm,BC=8cm,

:.AB=VAC2+BC2=1Ocm.P為BC的中點，...PB=4cm.

VZPDB=ZACB=90°,ZPBD=ZABC./.△PBD^AABC.

:.經=空,即歿，

:.PD=2.4(cm).

ACAB610

當r=1.2時，PQ=2r=2.4(cm)

PD=PQ,即圓心P到直線AB的距離等于。P的半徑.

直線AB與。P相切.

（2）ZACB=90°,；.AB為△ABC的外切圓的直徑.AOB^-AB^5cm.

2

連接OP.：P為BC的中點，/.OP^-AC^3cm.

2

?.?點P在。O內部，...（DP與。O只能內切.

5-2f=3或27-5=3,f=l或4.

...OP與。。相切時，t的值為1或4.

3.（2011湖北黃石，24,9分）已知。0|與。。2相交于A、B兩點，點。?在。Q上，C為。2上一點（不

與4,B,Oi重合），直線C8與。01交于另一點。。

(1)如圖(8),若AC是。Q的直徑，求證：AC=CD

(2)如圖(9),若C是。0］外一點，求證：0C1AD

(3)如圖(10),若C是。。|內的一點，判斷(2)中的結論是否成立。

【答案】(1)連接COi，AB

是。。2的直徑

：.AB1BD,AD±CO\

：.AD經過點Oi

?.,AOi=OOi

：.AC=CD

(2)連接0|3，A01

'：0\O2-LAB

：.NAOG+NAG。|

：N0iAB=/C

又；ZZ>-ZAO1B=ZAO1O2

2

.,.ZC+ZZ>90°

：.0yC.LAD

(3)成立

直線與圓的位置關系

一、選擇題

1.(2011湖北隨州，13,3分)如圖，AB為。。的直徑，PD切。O于點C,交AB的延長線于D,且

CO=CD,則NPCA=()

A.30°B.45°C.60°D.67.5°

第13題圖

【答案】D

2.（2011廣東深圳，11,3分）下列命題是真命題的個數有（）

①垂直于半徑的直線是圓的切線②平分弦的直徑垂直于弦

r”1

③若】是方程x-or=3的一個解，貝!|a=T

Iy=2

④若反比例函數y=的圖像上有兩點（L,力），（1,丫2）,則》〈），2

x2

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

3.（2011貴州遵義，9,3分）如圖，AB是。。的直徑，BC交。。于點。，DELAC于點E,要使DE

是。0的切線，還需補充一個條件，則補充的條件不本期的是

A.DE=DOB.AB=AC

C.CD=DBD.AC//OD

（9題圖）

【答案】A

4.（2011吉林，15,3分）如圖，兩個等圓。A、。8分別與直線/相切于點C、D,連接A8與直線/相

交于點0,N4OC=30。，連接AC、BD,若AB=4,則圓的半徑為（）

【答案】B

5.（2011山東棗莊，7,3分）如圖，PA是。。的切線，切點為A,PA=2>/3,ZAPO=30°,則。。的半

A.1B.V3C.2D.4

【答案】C

6.（2011四川眉山，11,3分）如圖，PA、PB是00的切線，AC是00的直徑，LP=500,則NB0C的

度數為

A

C.40°D.60°

【答案】A

7.（2011湖北鄂州，13,3分）如圖，AB為。O的直徑，PD切OO于點C,交AB的延長線于D,且

CO=CD,則NPCA=（）

A.30°B.45°C.60°D.67.5°

第13題圖

【答案】D

8.（2011內蒙古包頭，11,3分）已知AB是OO的直徑，點P是AB延長線上的一個動點，過點P作。

O的切線，切點為C,/APC的平分線交AC于點D,則/CDP等于（）

A.30°B.60°C.45°D.50°

【答案】C

【思路分析】如圖所示/CDP=/A+/DPA,ZCED=ZECP+ZCPD,由切線可得NPCE=NA,又NDPA=

NCPD所以NCDP=NCED,又AB為直徑，故NACB=90°所以/CDP=45°

9.（2011福建漳州，8,3分）下列命題中，假命題是（）

A.經過兩點有且只有一條直線B.平行四邊形的對角線相等

C.兩腰相等的梯形叫做等腰梯形D.圓的切線垂直于經過切點的半徑

【答案】B

10.（2011貴州黔南，2,4分）下列命題中，真命題是（）

A.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

B.等腰梯形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

C.圓的切線垂直于經過切點的半徑

D.垂直于同一條直線的兩條直線互相垂直

【答案】C

11.

二、填空題

1.（2011貴州畢節，20,5分）如圖，已知辦、分別切。。于點A、B,點C在。。上，ZBCA=65°,

則/P=。

【答案】50°

2.如圖，CB切00于點、B,C4交00于點。且A8為。O的直徑，點E是財。上異于點A、。的一點.

若/O40。，則NE的度數為.

（第10題）

【答案】40

3.（2010湖南長沙，18,3分）如圖，尸是。。的直徑A8延長線上的一點，PC與＜3。相切于點C,若N

P=20°,貝％=°.

【答案】35°

4.（2011貴州遵義，16,4分）如圖，＜30是邊長為2的等邊△ABC的內切圓，則的半徑為▲

【答案】—

3

5.（2011江蘇徐州，18,3分）已知。O的半徑為5,圓心O到直線AB的距離為2,則。O上有且只有▲

個點到直線AB的距離為3.

【答案】3

6.（2011山東濟南，21,3分）如圖，△A8C為等邊三角形，AB=6,動點。在AABC的邊上從點A出發

沿AfC—B—A的路線勻速運動一周，速度為1個單位長度每秒，以。為圓心、百為半徑的圓在運

動過程中與AABC的邊第二次相切時是出發后第秒.

【答案】4

7.（2011內蒙古赤峰，15,3分）如圖，直線以過半圓的圓心O,交半圓于A、B兩點，PC切半圓于點

C,已知PC=3,PB=1,則該半圓的半徑為。

【答案】4

8.（2011四川自貢，15,4分）在RtZ\ABC中，NA=30°,直角邊AC=6cm,以C為圓心，3cm為半徑作

圓，則。C與AB的位置關系是.

【答案】相切

9.（2011年青海，4,2分）如圖1所示，。。的兩條切線PA和PB相交于點P,與。O相切于A、B兩點,

C是。。上的一點，若NP=70°,則/4CB=。

【答案】55°

10.（2011廣西玉林、防港，18,3分）如圖，AB是半圓。的直徑，以0A為直徑的半圓U與弦AC交于點

D,OB/AC,并交OC于點E,則下列四個結論：①點D為AC的中點；②SAO.OE=』SAAOC；③自C=2^0；

2

④四邊形OREO是菱形，其中正確的結論是.

【答案】①③④

11.（2011廣西貴港，17,2分）如圖所示，在aABC中，AC=BC=4,NC=90°,O是AB的中點，

OO與AC、BC分別相切于點D、E,點F是。O與AB的一個交點，連接DF并延長交CB的延長線

于點G,則BG的長是。

【答案】20-2

三、解答題

1.（2011廣東湛江,27,12分）如圖，在R&BC中，NC=90°,點D是AC的中點，且NA+ZCDB=90°,

過點作口。，使圓心。在AB上，口。與交于點E.

（1）求證：直線8。與口O相切；

（2）若AO:AE=4:5,BC=6,求□O的直徑.

c

【答案】（1）證明：連接0D,在AA。。中，OA=OD,

所以NA=N0D4,

又因為NA+NCO3=90°,

所以NOOA+NCDB=90",所以NB。。=180°-90°=90",即

所以BD與口。相切；

（2）由于AE為直徑，所以NADE=90°,由題意可知。E〃3C,又點D是AC的中點，且

AD:AE=4:5,BC=6,所以可得AE=5,即口。的直徑為5.

2.（2011廣東珠海，21,9分）（本題滿分9分）已知：如圖，銳角三角形ABC內接于。O,ZABC=45°；

點D是R上一點，過點D的切線DE交AC的延長線于點E,且DE〃BC；連結AD、BD、BE,AD的垂

線AF與DC的延長線交于點F.

（1）求證：△ABDsZiADE；

（2）記ADAF、Z\BAE的面積分別為SADAF、SABAE-求證：S&DAF>SABAE.

【答案】證明：（1）連結OD,YDE是。O的切線，.\OD，DE...?DE〃BC

/.OD±BC,/.BD=aD,.?.NBAD=NEAD,VZBDA=ZBCA,DE/7BC,

:.ZBDA=ZDEA.VZBAD=ZEAD,/.AABD^AADE.

AJiAF)

(2)過B作BG，AE于G,由(1)得一=——,BPAD=AB?AE

ADAE

設aABE的AE邊上的高為h,則SAABE=-AE?h,h<AB.由ZABC=45",AD_LAF,

2

2

...△ADF為等腰三角形....SAAD產!AD.,.SADAF〉SABAE,

2

第21題圖

3.(2011黑龍江省哈爾濱市，27,10分)如圖，在平面直角坐標系中，點O是坐標原點，四邊形ABCD

為菱形，AB邊在x軸上，點D在y軸上，點A的坐標是(-6,0),AB=10。

(1)求點C的坐標；

(2)連接BD,點P是線段CD上一動點(點P不與C、D重合)，過點P作PE〃BC交BD于點E,過

點B作BQ1PE交PE的延長線與點Q。設PC的長為X,PQ的長為y,求y與x之間的函數關系式(直接寫

出自變量x的取值范圍)；

4

(3)在(2)的條件下,連接AQ、AE,當x為何值時,SABQE+SAAQE=-SADEP?并判斷此時以點P為

圓心，以5為半徑的。P與直線BC的位置關系，請說明理由。

(第27題圖)

【答案】解：(1)如圖1,過點C作CNLx軸，垂足為N,則四邊形DONC為矩形

.?.ON=CD：四邊形ABCD是菱形AB=10AAB=BC=CD=AD=10/.ON=10

ylAD2-AO2=7102-62=8

VA(-6,0).*.OA=6OD=.*.C(10,8)

(2)如圖1,過點P作PH_LBC,垂足為H,則NPHC=NAOD=90。

四邊形ABCD是菱形ZPCB=ZDAO

CHPH_PC

AAPHC^ADOA：,AO~DO~DA

CHPH_x

-xCH=-x

；.PH=55

3

BH=10——x

，5?.-PE〃BCBQ±PQ

ZPQB=ZQBC=ZPHB=90°

3

8H=10——x

???四邊形PQBH為矩形，PQ=5

3

y=10——x(OYXY10)

5

4

(3)如圖2：過點P作PH5_LBC,垂足為H1則四邊形PQBH，是矩形...BQnPH，—x

5

VPE/7BCAZPED=ZCBDVCD=CB/.ZCBD=ZCDB

AZCDB=ZPED.".PE=PD=10-xQE=PQ-PE=-|x

過點D作DG_LPQ于點G,過點A作AF1PQ交PQ的延長線于點F

AZDGF=ZAFG=90°VPQ//BC；.PQ〃ADAZADG=90°

，四邊形AFGD為矩形,AF=DGPQ//BC

，ZDPG=ZC,/ZDGP=ZPH,C=90°ADGP^APH'C

.DPDG44

.?.AF=DG=-(10-x)=8-—x

??而一而5

111241248

SABQE+SAAQE=_EQ'BQ+—EQ-AF=一?-x,一x+一,—x(8—x)=—x

222552555

1142|SADER

SADEP--PE'DG=—(10-x),(8—x)=—x"—8x+40SABOE+SAAOE=

,2255

842

-x=—(—x2—8x+40)整理得x2-25x+100=0.-.X|=5X2=20

555

V0<x<10.,.X2=20不符合題意舍去/.x=5

44

，x=5時，SABQE+SAAQE=-SADEP.VPH,=yx=4<5，G)P與直線BC相交。

4.(2011湖北十堰，23,8分)如圖，AB是半圓O的直徑，點C為半徑OB上一點，過點C作CDLAB

交半圓O于點D,將4ACD沿AD折疊得到AAED,AE交半圓于點F,連接DF。

(1)求證：DE是半圓的切線；

(2)連接OD,當OC=BC時，判斷四邊形ODFA的形狀，并證明你的結論。

【答案】證明：(1)如圖，連接OD,則OA=OD,.\ZOAD=ZODA,Z\AED由4ACD對折得到，所以

ZCDA=ZEDA,

又CDJ_AB,/.ZCAD+ZCDA=ZODA+ZEDA=90°,D在半圓O上，

ADE是半圓的切線。

(2)四邊形ODFA是菱形。

理由：如圖，連接OF,OC=BC=|OB=1OD,在RtZXOCD中，NODC=30。，AZDOC=60°,

VZDOC=ZOAD+ZODA,?.ZOAD=ZODA=ZFAD=30°<)

.?.OD//AF,ZFAO=60°,又：OF=OA,△FAO是等邊三角形，；.OA=AF,.*.OD=AF,

???四邊形ODFA是平行四邊形，VOA=OD,，四邊形ODFA是菱形.

3

5.(2011江蘇常州27,9分)在平面直角坐標系*0丫中,一次函數^=1犬+3的圖象是直線4，/2與*軸、y軸

分別相交于A、B兩點.直線4過點C(a,0)且與4垂直，其中a>0,點P、Q同時從A點出發，其中點P沿射

線AB運動，速度為每秒4個單位;點Q沿射線AO運動，速度為每秒5個單位.

(1)寫出A點的坐標和AB的長；

(2)當點P、Q運動了t秒時，以點Q為圓心,PQ為半徑的。Q與直線4、y軸都相切,求此時a的值.

【答案】(l)A(-4,0),AB=5.

APAO

(2)由題意得：AP=4t,AQ=5t,—=-=t，又NPAQ=NQAB,；.AAPQ^AAOB.

AZAPQ=ZAOB=90°?

???點P在4上，.?.OQ在運動過程中保持與4相切0

①當。Q在y軸右側與y軸相切時，設/|與。Q相切于F,由△APQs^AOB得

PQ4+PQ

=,；.PQ=6,

連接QF,則QF=PQ,ZXQFCsaAPQsZXAOB得”=如

OAAB

.PQ_QC6_QC1527

??--------,——-----------,*.L/C,d-UQ十---------.

OAAB4522

②當(DQ在y軸左側與y軸相切時，設4與。Q相切于E,由△APQsaAOB得

PQ_^-PQ.po_3

3

連接QE,則QE=PQ,由△QECsaAPQs/^AOB得”=史，，"=如，2=生，

OAABOAAB45

153273

QC=—,a=QC-OQ=-..".a的值為一和一。

8828

6.(2011遼寧大連，22,9分)如圖9,4B是。。的直徑，C。是。。的切線，切點為C,BEA.CD,垂足

為1E,連接AC、BC.

(1)ZXABC的形狀是,理由是

(2)求證：BC平分NABE；

(3)若NA=60°,0A=2,求CE的長.

【答案】(1)直角三角形；直徑所對的圓周角是直角;

(2)證明：連接0C

???c。切。。于C

：.OC±CD

*：BE.LCD

：.OC//BE

：./OCB=/EBC

9：0C=Z0B

：,/OCB=/OBC

：.ZEBC=ZOBC

???8C平分NABE

(3)過A做CF_L4B于尸

???48是。0的直徑

???ZACB=90°

'：NA=60。

???ZABC=30°

：.AC=-AB=OC=2

2

在RtZ\AC/中，NA=60。，

冬2X—

?.?8C平分NABE,CFVAB,'：CE±BE

CE=CF=K

7.(2011陜西，23,8分)如圖，在△ABC中，NB=60°,。。是△ABC的外接圓，過點A作。。的切線,

交CO的延長線于點P,CP交。。于點D.

(1)求證：AP=AC；

(2)若AC=3,求PC的長.

【解】(1)證明：連接A。，則AO_L池.AZAOC=2ZB^\20°.二/人。片60。,

.,.ZP=30°.又：OA=OC,AZACP=30°.：.ZP=ZACP.：.AP=AC.

(2)在RtZ\B4O中，ZP=30°,PA=3,AO=PA?tan30°=百.APO=273.

,/CO=OA=6，六PC=PO+OC=273+V3=3A/3.

8.(2011天津，22,8分)

已知AB與。。相切于點C,OA=OB,OA、0B與。0分別交于點D、E.

（I）如圖①，若。。的直徑為8,AB=10,求0A的長（結果保留根號）；

（II）如圖②，連接CD、CE,若四邊形ODCE為菱形，求竺的值.

圖①圖②

第（22）題

答案：解：（I）如圖①，連接OC,則OC=4,

VAB與。O相切于點C

.\OC±AB

.?.在△OAB中，OA=OB,AB=10

在Rt^COA中，由勾股定理，

得OA=yl0C2+AC2=V42+52=V41

（n）如圖②，連接oc,則OC=OD

圖②

:四邊形ODCE是菱形

.\OD=DC

...△ODC為等邊三角形，有NA0C=60°

由（I）知N0CA=90°

AZA=30°,/.OC=-OA

2

.OD1

.?---=一

OA2

9.（2011北京市，20,5分）如圖，在AABC,AB=AC,以AB為直徑的。。分別交ACBC于點D、

E,點E在AC的延長線上，且NCBF=」NC48.

2

（1）求證：直線3廠是。。的切線；

(2)若A3=5,sinZCBF=—,求BC和3尸的長.

5

【答案】證明：（1）證明：連結AE.

是。0的直徑，

ZAEB=90°.

/.Zl=Z2=90°.

'：AB=AC

/.Z1=|ZCAB.

NCBFqNCAB,

：.N1=NCBF

：.ZCBF+Z2=90°.

即ZABF=90°

是。。的直徑，

直線8尸是。。的切線.

(2)解：過點C作CGLA8于點G.

???s?in/CBF=g,N'1=N"CRBFF,

../I木

..sinZ1=^

VZAEB=90°,A8=5,

BE=ABsinNlM

\"AB=AC,ZAEB=90°,

：.BC=2BE=2下

在RtAAfiE中，由勾股定理AE=V而二7詬=2小

sinZ2=^y5八型

一，CQSA2=^~.

在RtZkCBG中，可求得GC=4,GB=2,

：.AG=3.

'JGC//BF

：./\AGC^AABF.

GCAG

~BF=AB'

.GC-AB20

-'BF~AG-3

10.(2011廣東清遠，22,8分)如圖7,AB是。。的直徑，AC與。O相切，切點為A,力為。。上一點,

A。與OC相交于點E,且NZMB二/C.

(1)求證：OC//BD：

(2)若AO=5,A￡>=8,求線段CE的長.

【答案】解：（1）與。O相切，

：.AC±AB.

"：ZDAB=ZC,

；.NDAB+NCAE=90：

：.ZCEA=90°,

即OCLAD.

又...AB是。。的直徑，

：.BDLAD.

：.OC//BD.

（2）'：ZDAB=ZC,ZCEA=^ADB=90°,

.?.△CE4s△ADB.

.CE_AE

又：AO=5,AD=S,OC//BD,

：.AE=4,AD=8,B￡>=6,

.CE4

??---=一

86

?CF16

3

11.（2011四川達州，21,6分）如圖，在Z\ABC中,ZA=90°,ZB=60°,AB=3,點D從點A以每秒1個

單位長度的速度向點B運動(點D不與B重合)，過點D作DE〃BC交AC于點E.以DE為直徑作。0,

并在。0內作內接矩形ADFE,設點D的運動時間為t秒.

(1)用含f的代數式表示4DEF的面積S：

(2)當f為何值時，。0與直線BC相切？

【答案】解：(1)；DE〃BC,AZADE=ZB=60°

在4ADE中，VZA=90°

：.tanZ.ADE=—

AD

■:AD=1X/=/,AE=V3/

又?.?四邊形ADFE是矩形，

SADEF=S&ADE=5A。xAE——xtx2廠(0<r<3)

V3,

：.S=—t2(0<r<3)

2

(2)過點。作0GJ_BC于G,過點D作DH_LBC于H,

：DE〃BC,.,.0G=DH,ZDHB=90°

DH

在△DBH中，sin8=——

BD

VZB=60°,BD=AB-AD,AD=f,AB=3,

ADH=y-(3-r),.,.0G=^y(3-Z)

當OG=4OE時，。。與BC相切，

2

AD1

在4ADE中，VZA=90°,ZADE=60°，：.cosZADE=——=一，

DE2

VAD=Z,；.DE=2AD=2t,

n

：.2r=y-(3-r)x2,

：.t=6y/3-9

...當r=6百一9時，。0與直線BC相切

12.(2011湖南婁底，25,10分)在等腰梯形4BCD中，AD//BC,且AD=2,以C。為直徑作。。i，交

8c于點E,過點E作EF_LAB于F,建立如圖12所示的平面直角坐標系，已知A,8兩點的坐標分別

為40,2百)，B(-2,0).

(1)求C,。兩點的坐標.

(2)求證：EF為OOi的切線.

(3)探究：如圖13,線段C。上是否存在點尸，使得線段PC的長度與P點到y軸的距離相等？如果

存在，請找出P點的坐標；如果不存在，請說明理由.

【答案】(1)連結。E,???CZ)是。。|的直徑,

.".DE1BC,

：.四邊形ADEO為矩形.

：.OE=AD=2,DE=A0=273.

在等腰梯形A8CZ)中，DC=AB.

：.CE=BO=2,CO=4.

/.C(4,0),0(2,2>/3).

(2)連結O|E,在。Oi中，O|E=O1C,

ZOiEC=ZO1CE,

在等腰梯形ABCD中，ZABC=ZDCB.

：.O\E//AB,

又?：EFU8,

：.O[ELEF.

在48上，

為。。|的切線

（3）解法一：存在滿足條件的點P.

如右圖，過P作PM_Ly軸于M,作尸N_Lx軸于N,依題意得PC=PM,

在矩形OMPN中，ON=PM,

設ON=x,貝i]PM=PC=x,CN=4-x,

tanZASO—=—=>/3.

BO2

ZABO=60°,

，NPCN=NABO=60°.

在RtAPCN中，

cosZPCN=-=-,

PC2

即上」，

x2

:.PN=CN-tanNPCN=（4-g）?G=空.

滿足條件的尸點的坐標為（|,殍）.

解法二：存在滿足條件的點P,

如右圖，在RtAuAOB中，AB=U0z+BO2=7（2>/3）!+22=4.

過P作軸于M,作PNJ_x軸于N,依題意得PC=PM,

在矩形0MPN中，0N=PM,

設ON=x,貝ijPM=PC=x,CN=4-x,

"：ZPCN=ZABO,NPCN=NA0B=9G。.

：.4PNCs4AOB,

.PC=CN刖x4-x

??--------9IA|J-=..

ABBO42

解得

3

又由△/WCs/\A03,得

8

里=上,即段=3,

AOAB2百4

：.PN=

3

.?.滿足條件的P點的坐標為（g,殍）.

13.（2011內蒙古呼和浩特市，24,8分）如圖所示，AC為。。的直徑且PALAC,BC是。0的一條弦，直線

DBDC_2

PB交直線AC于點D,DPDO3.

(1)求證：直線PB是。。的切線;

(2)求cos/BCA的值

【答案】（1）證明：連接OB、0P..................................................................................................................（1分）

DBDC_2

?.?DPDO3且ND二ND

???ABDC^APDO

JZDBC=ZDP0

:.BC/70P

JZBC0=ZP0A

ZCB0=ZB0P

:OB=OC

???Z0CB=ZCB0

???ZB0P=ZP0A

又：OB=OAOP=OP

???ABOP^AAOP

:.ZPBO=ZPAO

又?:PA±AC

???ZPB0=90°

???直線PB是OO的切線..........................（4分）

（2）由（1）知NBCO=NPOA

設PB=〃，則BQ=2a

又：PA=PB=a

/.AD=2A/2?

又；BC/70P

生=2

???CO

DC=CA=—x242a=

：.2

OA=-a

：.2

OP=^-a

/.2

g

：.cosZBCA=cosZPOA=3...................................(8分)

14.(2011福建莆田，21,8分)如圖，在Rt^ABC中，/C=90°,0、D分別為AB、BC上的點，經過

A、D兩點的。O分別交AB、AC于點E、F,且D為比'的中點。

(1)(4分)求證：BC與。O相切

(2)(4分)當AD=2VJ,NCAD=30°時，求的長。

【答案】⑴證明：連接OD,則OD=OA

.*.Z0AD=Z0DAV0>E=Z0AD=ZCAD/.Z0DA=ZCAD

.,.0D//ACXVZC=90°/.Z0DC=90°BPBC±0D

.?.BC與。。相切

(2)解：連接DE,貝！UADE=90°VZ0AD=Z0DA=ZCAD=30°AZA0D=120°

AAD2拒“

在RSADE中，AE=---------------^——=4

cosZEAD<3

T

二。。的半徑r=2

.?.助的長七四注=±乃

1803

15.(2011廣西南寧，25,10分)如圖11,已知CD是。0的直徑，ACJ.CD,垂足為C,弦DE〃OA,

直線AE、CD相交于點B.

(1)求證：直線AB是00的切線；

(2)如果AC=1,BE=2,求tanNOAC的值.

(1)【答案】證明：如圖，連接OE,?.?弦DE〃OA,/.ZCOA=ZODE,ZEOA=ZOED,VOD=OE,

ZODE=ZOED,