PAGE1PAGE專題02幾何填空題--重慶中考壓軸題通用的解題思路：通常考查的形式：翻折問題、求解線段長度通常用到的輔助線及知識點：勾股定理、相似、等面積法1．（中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為BC上一點，連接AD．過點B作BE⊥AD于點E，過點C作CF⊥AD交AD的延長線于點F．若BE＝4，CF＝1，則EF的長度為3．【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BEA＝∠AFC＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAE+∠FAC＝90°，∴∠FAC＝∠ABE，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴AF＝BE，AE＝CF，∵BE＝4，CF＝1，∴AF＝BE＝4，AE＝CF＝1，∴EF＝AF﹣AE＝4﹣1＝3，故答案為：3．1．在?ABCD中，∠BAD的平分線交邊CD于點E，與邊AB的垂直平分線相交于點O，若點O恰好為線段AE的中點，且，EC＝2，則BC的長是．【解答】解：連接BE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，CE＝2，∴CD∥AB，∴∠DEA＝∠BAE，∵∠BAD的平分線交邊CD于點E，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠DEA＝∠DAE，∴ED＝AD＝BC，∴AB＝CD＝ED+2＝BC+2，∵FO垂直平分AB，點O是線段AE的中點，∴∠AFO＝90°，AF＝BF，AO＝EO，∴BE∥FO，∴∠BEC＝∠ABE＝∠AFO＝90°，∴＝tan∠BAE＝tan∠DAE＝，∴BE＝AB＝（BC+2）＝BC+，∵BE2+CE2＝BC2，∴（BC+）2+22＝BC2，整理得5BC2﹣16BC﹣52＝0，解得BC＝或BC＝﹣2（不符合題意，舍去），∴BC的長是，故答案為：．2．如圖，在矩形ABCD中，點E是AD的中點，點F為AB上一點，將△AEF沿EF折疊后，點A恰好落在CF上的點G處，過點F作FH∥AD交EG于點H，若AB＝16，AD＝24，則GH＝．【解答】解：連接CE，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝16，AD＝24，∴CD＝AB＝16，BC＝AD＝24，∠A＝∠B＝∠D＝90°，∵點E是AD的中點，∴AE＝DE＝AB＝×24＝12，由折疊得GE＝AE＝DE＝12，GF＝AF，∠EGF＝∠A＝90°，∠GEF＝∠AEF，∴∠CGE＝180°﹣90°＝90°，在Rt△CGE和Rt△CDE中，，∴Rt△CGE≌Rt△CDE（HL），∴CG＝CD＝16，∵BC2+BF2＝CF2，且BF＝16﹣AF＝16﹣GF，CF＝16+GF，∴242+（16﹣GF）2＝（16+GF）2，解得GF＝9，∵FH∥AD，∴∠HFE＝∠AEF＝∠GEF，∴FH＝EH＝12﹣GH，∵GF2+GH2＝FH2，∴92+GH2＝（12﹣GH）2，解得GH＝，故答案為：．3．如圖，在邊長為5的正方形ABCD中，點E，F分別是AC，AD上的兩點，BE⊥EF，AF＝2，則AE的長為．【解答】解：過E作MN∥AB交AD于M，交BC于N，則四邊形ABNM是矩形，∴AM＝BN，MN＝AB＝5，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠MAE＝45°，∴△AME是等腰直角三角形，∴AM＝ME，∴BN＝ME，∵BE⊥EF，∴∠BEF＝90°，∴∠FEM+∠EFM＝∠FEM+∠BEN＝90°，∴∠EFM＝∠BEN，在△EFM與△BEN中，，∴△EFM≌△BEN（AAS），∴FM＝EN，設FM＝EN＝x，∴MN＝EM+EN＝2+2x＝5，∴x＝，∴AM＝，∴AE＝AM＝．故答案為：．4．如圖，在△ABC中，AB＝CB，D為BC中點，將△ACD沿AD邊翻折，得到△AED，DE與AB相交于點F，若DE⊥AB，，則DF＝．【解答】解：∵D為BC中點，∴S△ABD＝S△ACD，，∵將△ACD沿AD邊翻折得到△AED，∴S△AED＝S△ACD，，，∴S△AED＝S△ABD，∵DE⊥AB，∴，即，∵AB＝CB，∴AF＝2FD，設FD＝a，CD＝BD＝b，則AF＝2a，AB＝2b，∴FB＝AB﹣AF＝2b﹣2a，EF＝ED﹣FD＝b﹣a，在Rt△BDF中，由勾股定理可得BF2+FD2＝BD2，即（2b﹣2a）2+a2＝b2①，在Rt△AEF中，由勾股定理可得EF2+FA2＝AE2，即②，由①得4（b﹣a）2＝b2﹣a2＝（b﹣a）（b+a），則4（b﹣a）＝b+a，即；將代入②得，則2a2＝9，解得（負值舍去）；∴，故答案為：．5．如圖，△ABC中，AD是∠BAC的角平分線，BD⊥AD，垂足為D，過D作DE∥AC交AB于點E，過D作DF⊥DE交AC于點F，連接EF，已知AB＝4，BD＝3，則EF＝．【解答】解：延長AC交BD的延長線與H，如圖所示：∵AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAD＝∠HAD，∵BD⊥AD，∴∠BDA＝∠HDA＝90°，在△ABD和△AHD中，，∴△ABD≌△AHD（AAS），∴BD＝HD，即點D為BH的中點，又∵DE∥AC，∴DE為△ABH的中位線，∴點E為AB的中點，在Rt△ABD中，DE為斜邊AB的中點，AB＝4，∴DE＝AB＝2，在Rt△ABD中，AB＝4，BD＝3，由勾股定理得：AD＝＝，∵DE∥AC，DF⊥DE，∴DF⊥AC，∴∠BDA＝∠DFA＝90°，∵∠BAD＝∠HAD，∴△BDA∽△DFA，∴BD：DF＝AB：AD，即，∴DF＝，在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝，由勾股定理得：EF＝＝．故答案為：．6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線交邊AC于點D，DE⊥AB于點E，點F在邊CB上，若AD＝DF，CF＝2，BF＝5，則線段AB的長是9．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分線交邊AC于點D，DE⊥AB于點E，∴DE＝DC，在Rt△BED與Rt△BCD中，，∴Rt△BED≌Rt△BCD（HL），∴BE＝BC，在Rt△ADE與Rt△FDC中，，∴Rt△ADE≌Rt△FDC（HL），∴AE＝CF，∵CF＝2，BF＝5，∴BE＝BC＝2+5＝7，∴AB＝AE+BE＝2+7＝9，故答案為：9．7．如圖，在矩形ABCD中，點F為AD上一點，連接BF，點E為AB上一點，連接EC交BF于點G．當BC＝，BE＝，EG＝AD時，GB的長度為．【解答】解：過點G作GH⊥BC于H，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD＝BC＝，∵BC＝，BE＝，∴CE＝＝4，∵EG＝AD，∴EG＝，∴CG＝4﹣＝，∵∠CHG＝∠CBE＝90°，∴GH∥BE，∴△CGH∽△CBE，∴，∴＝＝，∴CH＝，HG＝，∴BH＝BC﹣CH＝﹣＝，∴BG＝＝，故答案為：．8．如圖，四邊形ABCD是矩形，AB＝3，，點E，點F分別為邊AB，CD的中點，點M是邊AD上一點．將△ABM沿BM翻折后得到△NBM，點N恰好在線段EF上，則點N與點D之間的距離為．【解答】解：連接AN，DN，∵把△ABM沿BM翻折．當點A的對應點N恰好落在EF上，∴AB＝NB，又∵點E，點F分別為邊AB，CD的中點，AB＝3，，∴EF∥AD∥BC，，∴，∵∠BAD＝90°，∴∠AEN＝90°，即EF⊥AB，∴NB＝AN，∴△ABN為等邊三角形，∴∠ABN＝60°，∴，∴，∴，故答案為：．9．如圖，在四邊形ABEC中，∠BEC和∠BAC都是直角，且AB＝AC．現將△BEC沿BC翻折，點E的對應點為E'，BE'與AC邊相交于D點，恰好BE'是∠ABC的角平分線，若，則BD的長為2．【解答】解：如圖，延長CE′和BA相交于點F，由翻折可知：∠BE′C＝∠E＝90°，CE′＝CE＝，∵BE′是∠ABC的角平分線，∴∠CBE′＝∠FBE′，∵BE′＝BE′，∴△BE′C≌△BE′F（ASA），∴E′F＝CE′＝，∴CF＝2，∵∠FCA+∠F＝90°，∠DBA+∠F＝90°，∴∠FCA＝∠DBA，∵∠FAC＝∠DAB＝90°，AB＝AC，∴△FCA≌△DBA（ASA），∴BD＝CF＝2．故答案為：2．10．如圖，在等腰三角形紙片ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，折疊該紙片，使點A落在點B處，折痕為DE，則∠CBE＝30°．【解答】解：∵AB＝AC，且∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C＝；由題意得：AE＝BE，∴∠A＝∠ABE＝40°，∴∠CBE＝70°﹣40°＝30°，故答案為：30．11．如圖，在正方形ABCD中，AB＝8，E是AB的中點，F是BC延長線上的點，將△BEF沿EF折疊得到△GEF，連接BG并延長分別交EF、AD于O、H兩點，若GO＝3GH，則BF的長度為4．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，AB＝8，E是AB的中點，∴BC＝AB＝8，∠EBF＝∠B＝90°，∴AE＝EB＝AB＝4，∵△BEF沿EF折疊得到△GEF，∴EF垂直平分BG，∴OB＝OG＝3GH，∠BOE＝90°，設GH＝m，則OB＝OG＝3m，NH＝7m，∵∠BOE＝∠A＝90°，∠EBO＝∠HBA，∴△BOE∽△BAH，∴，∴＝，∴m＝，∴OB＝，∴OE＝＝，，∵∠FBE＝∠BOE，∠FEB＝∠BEO，∴△EBF∽△EOB，∴，∴，∴BF＝4．故答案為：4．12．如圖，D，E是△ABC外兩點，連接AD，AE，有AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝40°．連接CD，BE交于點F，則∠DFE的度數為140°．【解答】解：設AB交CD于點G，∵∠BAD＝∠CAE＝40°，∴∠BAE＝∠DAC＝40°+∠BAC，在△BAE和△DAC中，，∴△BAE≌△DAC（SAS），∴∠ABE＝∠D，∴∠BFD＝∠BGD﹣∠ABE＝∠BGD﹣∠D＝∠BAD＝40°，∴∠DFE＝180°﹣∠BFD＝180°﹣40°＝140°，故答案為：140°．13．如圖，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，，點D為斜邊AB的中點，點E為線段BC上一點，連接AE，在AE上取點F，連接BF、DF，若∠BFD＝45°，且，則線段CF的長為﹣1．【解答】解：連接CD，作DM⊥DF于M，作DN⊥BF于N，∴∠MDF＝90°，∵∠MFD＝45°，∴△ADF為等腰直角三角形，∴DF＝DM＝，MF＝＝2，∵DN⊥BF，∴DN＝MN＝FN＝MF＝1，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D為AB中點，∴AD＝CD＝BD＝AB＝＝，∠CDB＝∠MDF＝90°，∴∠BDM＝∠COF＝90°﹣∠MDC，在△DBM和△DCF中，，∴△DBM≌△DCF（SAS），∴BM＝CF，∴BN＝＝，∴BM＝BN﹣MN＝，∴CF＝，故答案為：．14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，，將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉得到△A1B1C，滿足A1B1∥AC，過點B作BE⊥A1C，垂足為E，連接AE，若S△ABE＝4S△ACE，則AB的長為4．【解答】解：設A1C交AB于D，如圖：∵A1B1∥AC，∴∠A1＝∠A1CA，∵將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉得到△A1B1C，∴∠A1＝∠BAC，∴∠A1CA＝∠BAC，∴CD＝AD，∵∠ACB＝90°，∴∠CBD+∠BAC＝90°＝∠A1CA+∠BCD，∴∠CBD＝∠BCD，∴BD＝CD，∴BD＝CD＝AD，∴S△BDE＝S△ADE＝S△ABE，∵S△ABE＝4S△ACE，∴S△BDE＝S△ADE＝2S△ACE，∴＝∴＝，設CE＝x，則DE＝2x，CD＝3x＝BD＝AD，∴BE＝＝x，∴BC＝＝x，∵∠BCE＝∠CBA，∠BEC＝90°＝∠BCA，∴△BCE∽△ABC，∴＝，∵AC＝4，∴，∴AB＝4．故答案為：4．15．如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E為AD中點，F為AB上一點，將△AEF沿EF折疊后，點A恰好落到CF上的點G處，則折痕EF的長是2．【解答】解：如圖，連接EC，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，∵E為AD中點，∴AE＝DE＝AD＝6由翻折知，△AEF≌△GEF，∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，∴GE＝DE，∴EC平分∠DCG，∴∠DCE＝∠GCE，∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，∴∠GEC＝∠DEC，∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，∴∠FEC＝∠D＝90°，又∵∠DCE＝∠GCE，∴△FEC∽△EDC，∴，∵EC＝＝＝3，∴，∴FE＝2，故答案為：2．16．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DCB＝120°，連接AC，BD，點E，F分別是線段AC，BD的中點，若EF＝1，則BD的長為2．【解答】解：連接DE，BE，∵∠ABC＝∠ADC＝90°，點E是線段AC的中點，∴CE＝DE＝BE＝，∵點F是線段BD的中點，∴DF＝BF，∴EF⊥BD，∵CE＝DE＝BE，∴∠CDE＝∠DCE，∠EDB＝∠EBC，∵∠DCB＝120°，∴∠CDE+∠CBE＝∠DCE+∠BCE＝∠DCB＝120°，∴∠DEB＝360°﹣120°﹣120°＝120°，∴∠DEF＝∠BEF＝60°，∵EF＝1，∴DF＝BE＝，∴BD＝2，故答案為：2．17．如圖，矩形紙片ABCD中，E為BC的中點，連接AE，將△ABE沿AE折疊得到△AFE，連接CF．若AB＝4，BC＝6，則CF的長為．【解答】解：連接BF，交AE于點O，由折疊可知：BE＝EF，∠AEB＝∠AEF，AE⊥BF，OB＝OF，∵點E為BC的中點，∴BE＝CE＝EF＝3，∴∠EFC＝∠ECF，∵∠BEF＝∠ECF+∠EFC，∴∠AEB＝∠ECF，∴AE∥CF，∴∠BFC＝∠BOE＝90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝＝5，∴BO＝＝＝，∴BF＝2BO＝，在Rt△BCF中，由勾股定理得：CF＝＝＝，故答案為：．18．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，點D、點E分別為邊AC上兩點，將邊BC沿BD翻折，使得點C落在邊AC上的點F處，再將邊AB沿BE翻折，使得點A落在BF的延長線上的點G處，則△BEG的面積為．【解答】解：∵將邊BC沿BD翻折，使得點C落在邊AC上的點F處，∴BD⊥AC，CD＝DF，∠CBD＝∠FBD，∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝5，∵S△ACB＝＝，∴BD＝＝＝，∴CD＝＝＝，∵將邊AB沿BE翻折，使得點A落在BF的延長線上的點G處，∴∠ABE＝∠FBE，△ABE≌△GBE，∵∠ABC＝90°，∴∠EBF+∠DBF＝，∴△BED是等腰直角三角形，∴DE＝BD＝，∴AE＝5﹣﹣＝，過E作EH⊥AB于H，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ACB，∴，∴，∴EH＝，∴△BEG的面積＝△ABE的面積＝＝＝，故答案為：．19．如圖，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，點D、點E分別為線段AC、AB上的點，連結DE．將△ADE沿DE折疊，使點A落在BC的延長線上的點F處，此時恰好有∠BFE＝30°，則CF的長度為．【解答】解：過點E作EN⊥BC于點N，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝3，設NE＝x，∵∠BFE＝30°，∴EF＝2x，NF＝x，由折疊得：AE＝EF＝2x，∴BE＝AB﹣AE＝5﹣2x，∵NE∥AC，∴△BNE∽△BCA，∴＝＝，∴＝＝，解得：x＝，BN＝，∴NF＝x＝，CN＝BC﹣BN＝3﹣＝，∴CF＝NF﹣CN＝﹣＝．故答案為：．20．如圖，矩形紙片ABCD，AD＝12，AB＝4，點E在線段BC上，將△ECD沿DE向上翻折，點C的對應點C'落在線段AD上，點M，N分別是線段AD與線段BC上的點，將四邊形ABNM沿