黑龍江省孫吳縣第一中學2025屆高一數學第二學期期末學業質量監測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知角是第三象限的角,則角是()A．第一或第二象限的角 B．第二或第三象限的角C．第一或第三象限的角 D．第二或第四象限的角2．等比數列中,,,則公比()A．1 B．2 C．3 D．43．已知，為直線，，為平面，下列命題正確的是（）A．若，，則B．若，，則與為異面直線C．若，，，則D．若，，，則4．若復數（是虛數單位）是純虛數，則實數的值為（）A． B． C． D．5．三角形的三條邊長是連續的三個自然數，且最大角是最小角的2倍，則該三角形的最大邊長為（）A．4 B．5 C．6 D．76．執行如圖所示的程序框圖，若輸入的a，b的值分別為1，1，則輸出的是（）A．29 B．17 C．12 D．57．已知數列，對于任意的正整數，，設表示數列的前項和.下列關于的結論，正確的是（）A． B．C． D．以上結論都不對8．如圖所示，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設，若在大等邊三角形中隨機取一點，則此點取自小等邊三角形的概率是（）A． B． C． D．9．已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且側棱垂直于底面）高為4，體積為16，則這個球的表面積是（）A． B． C． D．10．在非直角中，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在等比數列中，，，則__________．12．已知腰長為的等腰直角△中，為斜邊的中點，點為該平面內一動點，若，則的最小值________．13．若角的終邊過點，則______.14．將十進制數30化為二進制數為________．15．由正整數組成的數列，分別為遞增的等差數列、等比數列，，記，若存在正整數（）滿足，，則__________．16．角的終邊經過點，則___________________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知圓心為的圓過點，且與直線相切于點。（1）求圓的方程；（2）已知點，且對于圓上任一點，線段上存在異于點的一點，使得（為常數），試判斷使的面積等于4的點有幾個，并說明理由。18．已知函數（）．（1）若不等式的解集為，求的取值范圍；（2）當時，解不等式；（3）若不等式的解集為，若，求的取值范圍．19．已知函數是指數函數．(1)求的表達式；(2)判斷的奇偶性，并加以證明(3)解不等式：．20．已知函數.求：（1）函數的最大值、最小值及最小正周期；（2）函數的單調遞增區間.21．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側面⊥底面，若分別為的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面⊥平面．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

可采取特殊化的思路求解，也可將各象限分成兩等份,再從x軸正半軸起,逆時針依次將各區域標上一?二?三?四，則標有三的即為所求區域.【詳解】(方法一)取,則,此時角為第二象限的角;取,則,此時角為第四象限的角.(方法二)如圖,先將各象限分成兩等份,再從x軸正半軸起,逆時針依次將各區域標上一?二?三?四,則標有三的區域即為角的終邊所在的區域,故角為第二或第四象限的角.故選：D【點睛】本題主要考查了根據所在象限求所在象限的方法，屬于中檔題.2、B【解析】

將與用首項和公比表示出來，解方程組即可.【詳解】因為，且，故：，且，解得：，即，故選：B.【點睛】本題考查求解等比數列的基本量，屬基礎題.3、D【解析】

利用空間中線線、線面、面面間的位置關系對選項逐一判斷即可.【詳解】由，為直線，，為平面，知：在A中，若，，則與相交、平行或異面，故A錯誤；在B中，若，，則與相交、平行或異面，故B錯誤；在C中，若，，，則與相交、平行或異面，故C錯誤；在D中，若，，，則由線面垂直、面面平行的性質定理得，故D正確.故選：D.【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，屬于基礎題.4、C【解析】，且是純虛數，，故選C.5、C【解析】

根據三角形滿足的兩個條件，設出三邊長分別為，三個角分別為，利用正弦定理列出關系式，根據二倍角的正弦函數公式化簡后，表示出，然后利用余弦定理得到，將表示出的代入，整理后得到關于的方程，求出方程的解得到的值，【詳解】解：設三角形三邊是連續的三個自然，三個角分別為，

由正弦定理可得：，

，

再由余弦定理可得：，

化簡可得：，解得：或（舍去），

∴，故三角形的三邊長分別為：,故選：C.【點睛】此題考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦函數公式，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的邊角關系，熟練掌握定理是解本題的關鍵，屬于中檔題.6、B【解析】

根據程序框圖依次計算得到答案.【詳解】結束，輸出故答案選B【點睛】本題考查了程序框圖的計算，屬于常考題型.7、B【解析】

根據題意，結合等比數列的求和公式，先得到當時，，再由極限的運算法則，即可得出結果.【詳解】因為數列，對于任意的正整數，，表示數列的前項和，所以，，，...…，所以當時，，因此.故選：B【點睛】本題主要考查數列的極限，熟記等比數列的求和公式，以及極限的運算法則即可，屬于?？碱}型.8、A【解析】

根據題意，分析可得，由三角形面積公式計算可得△DEF和△ACF的面積，進而可得△ABC的面積，由幾何概型公式計算可得答案．【詳解】根據題意，為等邊三角形，則，則，中，，其面積，中，，，其面積，則的面積，故在大等邊三角形中隨機取一點，則此點取自小等邊三角形的概率，故選：A.【點睛】本題主要考查幾何概型中的面積類型，基本方法是：分別求得構成事件A的區域面積和試驗的全部結果所構成的區域面積，兩者求比值，即為概率．9、C【解析】

根據正四棱柱的底面是正方形,高為4,體積為16,求得底面正方形的邊長,再求出其對角線長,然后根據正四棱柱的體對角線是外接球的直徑可得球的半徑,再根據球的表面積公式可求得.【詳解】依題意正四棱柱的體對角線是其外接球的直徑,的中點是球心,如圖:依題意設,則正四棱柱的體積為:,解得,所以外接球的直徑,所以外接球的半徑,則這個球的表面積是.故選C.【點睛】本題考查了球與正四棱柱的組合體,球的表面積公式,正四棱柱的體積公式,屬中檔題.10、C【解析】

由得出，利用切化弦的思想得出其等價條件，再利用充分必要性判斷出兩條件之間的關系.【詳解】若，則，易知，，，，，，，，，.因此，“”是“”的充要條件，故選C.【點睛】本題考查充分必要性的判斷，同時也考查了切化弦思想、兩角和差的正弦公式的應用，在討論三角函數值符號時，要充分考慮角的取值范圍，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、8【解析】

可先計算出公比，從而利用求得結果.【詳解】因為，所以，所以，則.【點睛】本題主要考查等比數列基本量的相關計算，難度很小.12、【解析】

如圖建立平面直角坐標系，∴，當sin時，得到最小值為，故選．13、-2【解析】

由正切函數定義計算.【詳解】根據正切函數定義：.故答案為－2.【點睛】本題考查三角函數的定義，掌握三角函數定義是解題基礎.14、【解析】

利用除取余法可將十進制數化為二進制數.【詳解】利用除取余法得因此，，故答案為.【點睛】本題考查將十進制數轉化為二進制數，將十進制數轉化為進制數，常用除取余法來求解，考查計算能力，屬于基礎題.15、262【解析】

根據條件列出不等式進行分析，確定公比、、的范圍后再綜合判斷.【詳解】設等比數列公比為，等差數列公差為，因為，，所以；又因為，分別為遞增的等差數列、等比數列，所以且；又時顯然不成立，所以，則，即；因為，，所以；因為，所以；由可知：，則，；又，所以，則有根據可解得符合條件的解有：或；當時，，解得不符，當時，解得，符合條件；則.【點睛】本題考查等差等比數列以及數列中項的存在性問題，難度較難.根據存在性將變量的范圍盡量縮小，通過不等式確定參變的取值范圍，然后再去確定符合的解，一定要注意帶回到原題中驗證，看是否滿足.16、【解析】

先求出到原點的距離,再利用正弦函數定義求解.【詳解】因為,所以到原點距離,故.故答案為：.【點睛】設始邊為的非負半軸,終邊經過任意一點,則：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）使的面積等于4的點有2個【解析】

（1）利用條件設圓的標準方程，由圓過點求t，確定圓方程.（2）設，由確定阿波羅尼斯圓方程，與圓C為同一圓，可得，求出N點的坐標，建立ON方程，,再利用面積求點P到直線的距離，判斷與ON平行且距離為的兩條直線與圓C的位置關系可得結論.【詳解】（1）依題意可設圓心坐標為，則半徑為，圓的方程可寫成，因為圓過點，∴，∴，則圓的方程為。（2）由題知，直線的方程為，設滿足題意，設，則，所以，則，因為上式對任意恒成立，所以，且，解得或（舍去，與重合）。所以點，則，直線方程為，點到直線的距離，若存在點使的面積等于4，則，∴。①當點在直線的上方時，點到直線的距離的取值范圍為，∵，∴當點在直線的上方時，使的面積等于4的點有2個；②當點在直線的下方時，點到直線的距離的取值范圍為，∵，∴當點在直線的下方時，使的面積等于4的點有0個，綜上可知，使的面積等于4的點有2個。【點睛】本題考查圓的方程，直線與圓的位置關系，圓的第二定義，考查運算能力，分析問題解決問題的能力，屬于難題.18、（1）；（2）.；（3）.【解析】試題分析：（1）對二項式系數進行討論，可得求出解集即可；（2）分為，，分別解出3種情形對應的不等式即可；（3）將問題轉化為對任意的，不等式恒成立，利用分離參數的思想得恒成立，求出其最大值即可.試題解析：（1）①當即時，，不合題意；②當即時，，即，∴，∴（2）即即①當即時，解集為②當即時，∵，∴解集為③當即時，∵，所以，所以∴解集為（3）不等式的解集為，，即對任意的，不等式恒成立，即恒成立，因為恒成立，所以恒成立，設則，，所以，因為，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，所以當時，，所以點睛：本題主要考查了含有參數的一元二次不等式的解法，考查了分類討論的思想以及轉化與化歸的能力，難度一般；對于含有參數的一元二次不等式常見的討論形式有如下幾種情形：1、對二次項系數進行討論；2、對應方程的根進行討論；3、對應根的大小進行討論等；考查恒成立問題，正確分離參數是關鍵，也是常用的一種手段．通過分離參數可轉化為或恒成立，即或即可，利用導數知識結合單調性求出或即得解.19、（1）（2）見證明；（3）【解析】

(1)根據指數函數定義得到，檢驗得到答案.(2)，判斷關系得到答案.(3)利用函數的單調性得到答案.【詳解】解：（1）∵函數是指數函數，且，∴，可得或（舍去），∴；（2）由（1）得，∴，∴，∴是奇函數；（3）不等式：，以2為底單調遞增，即，∴，解集為．【點睛】本題考查了函數的定義，函數的奇偶性，解不等式，意在考查學生的計算能力.20、（1）最大值，最小值為，最小正周期；（2）【解析】

（1）根據即可求出最值，利用即可求出最小正周期；（2）根據復合函數的單調性，令即可得解.【詳解】（1），函數的最大值為，最小值為；函數的最小正周期為.（2）令，得：，故函數的增區間為.【點睛】本題考查了三角函數的性質以及單調區間的求解，屬于基礎題.21、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（Ⅰ）利用線面平行的判定定理，只需證明EF∥PA，即可；（Ⅱ）先證明