第三章Mathematica繪圖3.1二維繪圖3.2三維繪圖3.3動畫Mathematica軟件具有強大的繪圖功能，甚至被用來制作電影特效。針對科學計算的結果展示而言，其二維繪圖和三維繪圖功能十分完備。本章將介紹Mathematica最常用的二維繪圖函數和三維繪圖函數，并結合科技論文中插圖的要求，闡述這些繪圖函數的常用參數和典型用法。3.4圖像處理基礎3.1二維繪圖3.1.1Plot函數Mathematica軟件集成了大量的二維繪圖函數，這里重點討論常用的12種函數，即Plot、DiscretePlot、ListPlot、ListLinePlot、Graphics、PolarPlot、ParametricPlot、ContourPlot、BarChart、PieChart、Show和Graphics函數，并主要討論這些函數常用的參數配置和典型用法。Plot函數的基本語法為：Plot[函數,{變量,初值,終值}]，其典型實例如圖所示在圖3-1中，使用Plot函數繪制了正弦函數在0至2間的圖像，Plot函數在默認參數下將繪制坐標軸和曲線，這里的函數為Sin[x]，變量為x，初值為0，終值為2。下面給圖3-1添加一些繪圖選項，使得圖3-1更加美觀，這些選項包括：（1）Axes選項，默認為True，即顯示坐標軸，如果設為False，則不顯示坐標軸；（2）Frame選項，默認為False，即不顯示邊框，如果設為True，則顯示邊框；（3）FrameLabel選項，用于設置邊框的標簽，格式為“{{左標簽,右標簽},{下標簽,上標簽}}”，如果某個標簽不顯示，則設為None；（4）LabelStyle選項，用于設置標簽的顯示樣式，如標簽字體等；（5）PlotStyle選項，用于設置繪圖的樣式，如線的粗細和顏色等；（6）ImageSize選項，用于設置顯示圖像的大小。在設置標簽樣式時，常用于Style[表達式，樣式]函數，該函數用于設置“表達式”的顯示“標式”。在圖3-1的基礎上，添加一些選項設置，得到如圖3-2所示的圖形。Plot函數可以同時繪制多個函數，要求這些函數的定義域相同。如圖3-3所示，Plot函數同時繪制了正弦函數和余弦函數在第一個正周期內的圖形。Plot函數常用的選項參數還有AxesOrigin、PlotRange和Epilog等。其中，AxesOrigin指定坐標軸的“原點”放置的位置，即指定坐標軸的交叉點位置，僅用于顯示美觀。PlotRange用于指定顯示的范圍，如果為Full，則顯示全部數據的范圍；如果為Automatic，則為了顯示美觀，可能有些異常數據不顯示。Epilog選項非常重要，用于在圖形中插入圖形對象，典型實例如圖3-4所示。Epilog在繪制分段函數時尤其有用，如圖3-5所示。在繪制圓盤時，如果不使用Offset函數設置絕對半徑，而是使用語法Disk[{x,y},r]繪制半徑為r的圓盤，此時，r可以設為0.03，這時，應使用如下的語句：3.1二維繪圖3.1.2DiscretePlot函數DiscretePlot函數用于繪制散離（時間）序列的圖形，其基本語法為“DiscretePlot[序列,{n,最小值,最大值,步長}]”，其中，“最小值”為1可省略，步長為1可省略；“序列”可以為多個序列，當有多個序列時，使用花括號“{}”括起來。DiscretePlot函數的典型實例如圖3-6所示。在圖3-6中，“In[25]”使用Table函數生成了一個正弦函數序列x，使用了分號“;”結尾，表示這一行代碼的輸出不顯示在Notebook中。然后，“In[26]”調用DiscretePlot函數繪制離散序列圖，其中，各個參數或選項的作用如下：3.1.2DiscretePlot函數在圖3-7中，繪制的曲線為{x[[n]],x[[n]]+1}。DiscretePlot函數可用于繪制離散時間信號，多用于《信號與系統》等課程中。DiscretePlot函數可用于同時繪制多個離散序列，如圖3-7所示3.1.2DiscretePlot函數3.1二維繪圖3.1.3ListPlot函數ListPlot函數用于列表的繪制，典型語法為“ListPlot[列表或多個列表]”，如果為“多個列表”，需使用花括號“{}”將“多個列表”括起來，即以嵌套列表的形式。ListPlot函數最常用的選項為Filling和PlotMarkers。ListPlot函數的典型應用實例如圖3-8所示。Epilog在繪制分段函數時尤其有用，如圖3-5所示。3.1.3ListPlot函數Filling選項用于指定點列的“填充”，如圖3-9所示Epilog在繪制分段函數時尤其有用，如圖3-5所示。3.1.3ListPlot函數ListPlot函數的參數為{{x1,y1},{x2,y2},{x3,y3},……}時，將以{xi,yi}為點的橫縱坐標繪點，如圖3-10所示。3.1二維繪圖3.1.4ListLinePlot函數ListLinePlot函數與ListPlot函數的輸入參數相同，其各個參數的含義也相同，但是ListPlot繪制列表中的各個點，而ListLinePlot函數繪制列表中各個點的連線（不標記各個點）。將圖3-10中“In[70]”的ListPlot函數更換為ListLinePlot函數，此時將不繪制各個點，而是繪制連通各個點的連線，其結果如圖3-11所示。3.1二維繪圖3.1.4ListLinePlot函數在圖3-11中，為了使得圓的顯示效果更佳，這里在Table循環中，使用了步長0.01（在圖3-10中，步長為0.1）。（1）圓Circle[{x,y},r]生成圓心在坐標{x,y}處半徑為r的圓。（3）文本Text[字符串,{x,y}]在坐標{x,y}處顯示“字符串”。（2）圓盤Disk[{x,y},r]生成圓心在坐標{x,y}處半徑為r的填充圓盤。（4）點Point[{x,y}]生成坐標{x,y}處的點。Graphics函數用于將二維圖形數據轉化為可視圖形，其基本語法為：Graphics[二維圖形數據,參數]，這里最常用的“參數”為“Frame->True,FrameLabel->{{左邊框,右邊框},{下邊框,上邊框}}”，表示繪制邊框，并為邊框添加標簽；而常用的“二維圖形數據”由如下的函數生成：3.1二維繪圖3.1.5Graphics函數（5）線段Line[{{x1,y1},{x2,y2},…}]生成連接{x1,y1}、{x2,y2}等點的線段。（7）三角形Triangle[{{x1,y1},{x2,y2},{x3,y3}}]生成以點{x1,y1}、{x2,y2}和{x3,y3}為頂點的實心三角形。6）矩形Rectangle[{x1,y1},{x2,y2}]以{x1,y1}為左下角、以{x2,y2}為右上角生成實心矩形。（8）多邊形Polygon[{{x1,y1},{x2,y2},…}]生成以點{x1,y1}和{x2,y2}等為頂點的實心多邊形。Graphics函數用于將二維圖形數據轉化為可視圖形，其基本語法為：Graphics[二維圖形數據,參數]，這里最常用的“參數”為“Frame->True,FrameLabel->{{左邊框,右邊框},{下邊框,上邊框}}”，表示繪制邊框，并為邊框添加標簽；而常用的“二維圖形數據”由如下的函數生成：3.1二維繪圖3.1.5Graphics函數3.1.5Graphics函數上述介紹的函數均用于生成圖形數據。圖形往往具有多種屬性，例如線型和顏色等，這里需要借助于Directive函數將它們包括起來，例如，Directive[Blue,Thick,Dashed]，指定屬性為藍色粗虛線。此外，常用EdgeForm和FaceForm指定圖形的邊和圖面的屬性。其他常用的屬性通過Thickness、RGBColor、Opacity、GrayLevel、Dashing和PointSize等函數指定，分別表示粗細、顏色、透明度、灰度、虛線和點的大小等。Graphics函數的功能十分強大；而Plot等函數由于本身已生成了Graphics對象，而無需使用Graphics進行處理，例如：和是相同的功能。這里重點介紹上述8種“二維圖形數據”生成函數借助于Graphics函數生成二維圖形的實例，如圖3-12所示。3.1.5Graphics函數在圖3-12中，Framed函數用于給整個圖形添加一個邊框；Graphics函數中共繪制了四個圖形和一個文本，依次為：使用藍色粗虛線作的圓（半徑為1.5，圓心坐標為{0,0}）、紅色的內接正四邊形、綠色的圓盤（作為正四邊形的內切圓）、藍色的正三角形（圓盤的內接正三角形）和一個黑色的文本“Graphs”。圖3-12中，圖形的坐標均使有了絕對坐標。3.1二維繪圖3.1.6PolarPlot函數ParametricPlot函數是Plot函數的參數方程版本，其基本語法為：3.1二維繪圖3.1.7ParametricPlot函數ParametricPlot[{x(u,v),y(u,v)},{u,初值,終值},{v,初值,終值}]ParametricPlot[{x(t),y(t)},{t,初值,終值}]其中，x(t)表示曲線在x軸上的取值為t的函數，y(t)表示曲線在y軸上的取值為t的函數。當繪制多條曲線時，使用{{x1(t),y1(t)},{x2(t),y2(t)},…}替換{x(t),y(t)}已知長軸為5、短軸為3的橢圓曲線的參數方程為下面在圖3-14中繪制了上述參數方程的圖形ContourPlot函數用于繪制等高線，例如，繪制平面上函數f的等高線圖，使用“ContourPlot[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]”；同時，ContourPlot函數也可用于繪制隱函數的曲線，即“ContourPlot[f==g,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]”。ContourPlot函數的典型應用實例如圖3-15所示。3.1二維繪圖3.1.8ContourPlot函數圖3-15中，繪制了兩個隱函數的圖形，其中，x2+y2=2為圓，而xSin(y)=0.1為關于原點的中心對稱曲線。BarChart函數用于繪制序列的條形圖，基本用法為“BarChart[列表,選項]”，常用的選項有ChartLabels和ChartElements，分別用于指定每個柱形元素的標簽和形狀，典型應用實例如圖3-16所示。3.1二維繪圖3.1.9BarChart函數在圖3-16中，“In[3]”輸入一個嵌套列表dat；“In[4]”使用BarChart函數繪制列表dat的柱狀圖，選項ChartLabels用于標注每個柱狀圖的標簽；“In[8]”在“In[4]”的基礎上，添加了一個選項ChartElements，用于指定繪制柱狀圖的圖形元素，這里使用黃色、綠色和藍綠色的圓盤繪制柱狀圖。PieChart函數用于制作餅狀圖，其基本語法為“PieChart[列表,選項]”，常用的選項有ChartLabels和SectorSpacing，用于確定各部分的標簽和距離。PieChart函數的典型應用實例如圖3-17所示。圖3-17中，“In[21]”輸入一個列表dat1；“In[22]”調用PieChart函數繪制列表dat1的餅狀圖，這里，ChartLabels用于為各個部分指定標簽名；“In[23]”生成一個二維列表dat2；“In[26]”調用PieChart繪制dat2的餅狀圖，選項SectorSpacing用于指定各個扇形的間距（這里是0.1）和同心的不同餅圖的間距（這里為0.3）。3.1二維繪圖3.1.10PieChart函數3.1二維繪圖3.1.11Show函數Show函數有兩個作用，其一用作為已有的圖像填加新的選項，使之具有所需要的顯示效果；其二為將多個圖像疊加顯示。Show函數的典型應用實例如圖3-18所示。3.1二維繪圖3.1.11Show函數在圖3-18中，“In[29]”使用PolarPlot函數繪制了圖形g1；“In[32]”使用Graphics輸出了紅色的圓圈g2；“In[33]”調用Show函數將兩者疊加在一幅圖像中。3.1二維繪圖3.1.12GraphicsGrid函數GraphicsGrid函數將多個圖形按矩陣組合進行顯示，其語法為：“GraphicsGrid[{{g11,g12,…},{g21,g22,…},…}]”，其中的參數為二維嵌套列表，每個子列表對應著一行圖形對象，子列表的個數為組合圖像的行數。GraphicsGrid函數的典型用法實例如圖3-19所示。3.1二維繪圖3.1.12GraphicsGrid函數在圖3-19中，“In[39]”繪制了正弦信號Sin(x)的圖形g1，這里使用了分號“;”表示圖形g1不顯示；同理，“In[40]”至“In[42]”依次繪制了正弦信號Sin(2x)、Sin(3x)和Sin(4x)的圖形g2、g3和g4。“In[43]”調用GraphicsGrid函數生成兩行兩列的圖像顯示陣列，第一行顯示g1和g2；第二行顯示g3和g4，如圖3-19中的“Out[43]”所示。這里的GraphicsGrid函數和Show函數可以用于三維圖形的顯示。3.2.1Plot3D函數3.2三維繪圖Mathematica軟件具有強大的三維繪圖功能，這里重點討論常用的10種函數，即Plot3D、DiscretePlot3D、ParametricPlot3D、RevolutionPlot3D、SphericalPlot3D、ListPlot3D、ContourPlot3D、ListContourPlot3D、ListSurfacePlot3D和Graphics3D函數，并主要討論這些函數常用的參數配置和典型用法。在三維直角坐標系中繪制函數z=f(x,y)的圖形（空間曲面）使用函數Plot3D，其基本語法為Plot3D[{f1(x,y),f2(x,y),…},{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},選項]Plot3D[f(x,y),{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},選項]后者用于繪制多個圖形。這里常用的選項有Mesh和BoxRatios，分別用于設置曲面上的網絡線和三個坐標軸的比例（默認為1:1:0.4）Plot3D函數的典型用法實例如圖3-20所示在圖3-20中，繪制了兩個關于x-y平面對稱的曲面，其中選項BoxRatios設為Automatic，表示三個坐標軸的尺度比例相同；Mesh設為None，表示在曲面上不繪制網格線；RegionFunction用于設定函數的取值區域，借助于Function函數（純函數）指定范圍，這里的設定表示繪制z軸上z=4和z=9兩個平面間的曲面。3.2.2DiscretePlot3D函數3.2三維繪圖DiscretePlot3D函數繪制在平面上離散取值的函數值圖形，典型用法為：DiscretePlot3D[f(i,j),{i,{i1,i2,…}},{j,{j1,j2,…}}]DiscretePlot3D[f(i,j),{i,imin,imax,di},{j,jmin,jmax,dj}]其中，“{i,imin,imax,di}”表示i從imin按步長di增至imax，當步長di為1時可以省略。同理，“{j,jmin,jmax,dj}”表示j從jmin按步長dj增至jmax，當步長dj為1時可以省略。“{i,{i1,i2,…}}”表示i從列表{i1,i2,…}中取值；“{j,{j1,j2,…}}”表示j從列表{j1,j2,…}中取值。DiscretePlot3D函數的典型用法實例如圖3-21所示3.2.3ParametricPlot3D函數3.2三維繪圖ParametricPlot3D函數基于參數方程繪制三維曲線或曲面，典型語法為：ParametricPlot3D[{fx,fy,fz},{u,umin,umax},{v,vmin,vmax}]ParametricPlot3D[{fx,fy,fz},{u,umin,umax}]這里的fx、fy和fz分別為x、y和z方向上的函數。ParametricPlot3D函數的典型實例如圖3-22所示在圖3-22中，“In[76]”調用ParametricPlot3D函數繪制了一個三維曲線；而“In[93]”調用ParametricPlot3D函數繪制了一個球面3.2.4RevolutionPlot3D函數3.2三維繪圖RevolutionPlot3D函數用繪制繞z軸旋轉的曲面，其常用語法如下：（2）RevolutionPlot3D[{fx,fz},{t,tmin,tmax}]這里fx和fz為t的參數方程（1）RevolutionPlot3D[fz,{x,xmin,xmax}]這里fz為x的函數（3）RevolutionPlot3D[{fx,fz},{t,tmin,tmax},{?,?min,?max}]這里的?為繞z軸轉動的角度在圖3-23中，“In[106]”繪制了z=x2繞z軸旋轉的曲面；而“In[110]”繪制了(x-2)2+z2=1（以參數方程形式）繞z軸旋轉180度形成的曲面。3.2.5SphericalPlot3D函數3.2三維繪圖基于球坐標繪制曲面使用函數SphericalPlot3D，其基本語法為：SphericalPlot3D[r,{?,?min,?max},{Φ,Φmin,Φmax}]其中，?為緯度方向上從z軸正方向開始的角度，而Φ為徑度方向上從x軸正方向開始的角度。SphericalPlot3D函數典型實例如圖3-24所示。在圖3-24中，Φ的輸入方法為“Esc鍵+f+Esc鍵”。“In[1]”繪制了一個半徑為1的單位球；“In[7]”繪制了r=2+2Sin(3)的曲面3.2.6ListPlot3D函數3.2三維繪圖ListPlot3D函數在三維空間中根據點列繪制曲面圖，其基本語法為：ListPlot3D[{{x1,y1,z1},{x2,y2,z2},…}]即繪制點列(x1,y1,z1)、(x2,y2,z2)等等ListPlot3D函數的典型用法實例如圖3-25所示在圖3-25中，“In[35]”生成一個嵌套列表dat1，“In[36]”將dat1的第一層壓平，得到列表dat2，此時dat2具有形式{{x1,y1,z1},{x2,y2,z2},…}。“In[37]”調用ListPlot3D函數基于dat2繪制曲面，如“Out[37]”所示。“In[40]”使用Plot3D繪制的z=1/(1+x2+y2)的圖形，如“Out[40]”所示。比較“Out[37]”和“Out[40]”可知，兩者相似（由于采樣間隔1較大，故Out[37]在曲面突變處更陡峭）。3.2.7ContourPlot3D函數3.2三維繪圖ContourPlot3D函數有兩種功能：其一，繪制三維空間的等高面圖，即“ContourPlot3D[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},{z,zmin,zmax}]”；其二，繪制等值面圖，即“ContourPlot3D[f==g,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax},{z,zmin,zmax}]”。ContourPlot3D函數典型用法實例如圖3-26所示3.2.7ContourPlot3D函數3.2三維繪圖在圖3-26中，“In[46]”繪制了f(x,y,z)=x2/2+y2/4-z2/6的等高面圖；而“In[47]”繪制了x2/2+y2/4=z2/6的等值面圖。3.2.8ListContourPlot3D函數3.2三維繪圖ListContourPlot3D函數基于表示離散序列的列表繪制等高面圖，其典型語法為：“ListContourPlot3D[{{x1,y1,z1,f1},{x2,y2,z2,f2},….}]”，這里，fn表示fn(xn,yn,zn)。ListContourPlot3D函數典型用法實例如圖3-27所示3.2.8ListContourPlot3D函數3.2三維繪圖圖3-27中“Out[56]”顯示的圖形與圖3-26中“Out[46]”中的圖形相似，由于在“In[54]”中使用了步長0.1，使得“Out[56]”中的圖形不夠平滑。在圖3-27中，“In[54]”生成離散的三維點列dat1；“In[55]”將dat1壓平為兩層的嵌套列表dat2，使其具有形式{{x1,y1,z1,f1},{x2,y2,z2,f2},….}；“In[56]”調用ListContourPlot3D函數繪制列表dat2的等高面圖3.2.9ListSurfacePlot3D函數3.2三維繪圖ListSurfacePlot3D函數根據三維空間的點列擬合得到其曲面圖，其典型語法為“ListSurfacePlot3D[{{x1,y1,z1},{x2,y2,z2},{x3,y3,z3},….}]”，典型實例如圖3-28所示。3.2.9ListSurfacePlot3D函數3.2三維繪圖在圖3-28中，“In[100]”生成了半徑為2的球面列表數據dat1，“In[101]”將壓平dat1的第一層得到列表dat2，使dat2具有形式{{x1,y1,z1},{x2,y2,z2},{x3,y3,z3},….}。“In[102]”調用ListSurfacePlot3D函數繪制dat2的擬合曲面。3.2.10Graphics3D函數3.2三維繪圖（1）點Point[{x,y,z}]生成在坐標(x,y,z)處的點。（2）線Line[{{x1,y1,z1},{x2,y2,z2},…}]生成連接各個點的線段。（3）實心三角形Triangle[{{x1,y1,z1},{x2,y2,z2},{x3,y3,z3}}]生成連接三個點的填充三角形。（4）填充多邊形Polygon[{{x1,y1,z1},{x2,y2,z2},{x3,y3,z3},…}]生成連接多個點的填充多邊形。（5）文本Text[表達式,{x,y,z}]在(x,y,z)坐標處以文本形式顯示表達式。Graphics3D函數將一些函數產生的圖形數據轉化為圖形顯示出來，其中常用的三維圖形數據生成函數包括：3.2.10Graphics3D函數3.2三維繪圖（6）填充球Ball[{x,y,z},r]生成球心在(x,y,z)半徑為r的球。（7）填充立方體Cube[{x,y,z},a]生成中心在(x,y,z)邊長為a的立方體。（8）填充四面體Tetrahedron[{{x1,y1,z1},{x2,y2,z2},{x3,y3,z3},{x4,y4,z4}]生成以四個點為頂點的實心四面體；Tetrahedron[{x,y,z},a]生成以(x,y,z)為中心、邊長為a的四面體。（9）圓錐體Cone[{{x1,y1,z1},{x2,y2,z2}},r]生成一個圓錐體，底面圓半徑為r，中心為(x1,y1,z1)，頂點為(x2,y2,z2)。（10）圓柱體Cylinder[{{x1,y1,z1},{x2,y2,z2}},r]生成一個圓柱體，頂面和底面圓的圓心坐標分別為(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)，半徑為r。Graphics3D函數將一些函數產生的圖形數據轉化為圖形顯示出來，其中常用的三維圖形數據生成函數包括：上述函數生成的圖形數據，需要借助于Graphics3D函數展示出來。Graphics3D函數典型用法實例如圖3-29所示。在圖3-29中，使用Graphics3D函數和Cylinder函數繪制一個圓柱體3.2.10Graphics3D函數3.3.1Animate函數3.3動畫Mathematica軟件可以創建具有復雜物理學動力特征的動畫。本節重點借助于常用的Animate函數和Manipulate函數，通過改變繪圖函數的參數實現動畫效果。Animate函數用于播放動畫，其語法為“Animate[繪圖表達式,{u,umin,umax,step}]”或“Animate[繪圖表達式,{u,{u1,u2,…,un}}]”。其中，“{u,umin,umax,step}”表示控制參數u從umin依步長step增加到umax，當步長step為1時可省略；“{u,{u1,u2,…,un}}”表示u在列表“{u1,u2,…,un}”中取值。同時，Animate函數還可以有多個控制參量。Animate函數的典型用法實例如圖3-30所示。3.3.1Animate函數Animate函數可以實現多個圖形疊加的動畫。下面繪制一個小圓球沿圓形軌道運行的動畫，如圖3-31所示。3.3.1Animate函數在圖3-31中，“In[20]”繪制了一個圓心在原點、半徑為2的圓g1；“In[30]”為自定義函數（參數第7.1.3節）g2，表示繪制圓心在(x,y)、半徑為0.1的圓盤；在“In[22]”中通過Show函數，將g1和g2疊加顯示，Animate函數通過控制參數t實現g2的動態變化，從而達到小圓盤g1沿著g2旋轉的動畫目的。3.3.2Manipulate函數3.3動畫Manipulate函數是可以控制參數變化的函數，它與Animate函數的區別在于：Animate函數中控制參數是自動變化的；而Manipulate函數中控制參數是可以手動調節的（也能以播放的方式自動變化）。在Manipulate函數中可以查看控制參數在各個取值下的圖形形狀，因此，Manipulate函數的輸出中帶有控件，它的常用語法為“Manipulate[繪圖表達式,{u,umin,umax,step}]”或“Manipulate[繪圖表達式,{u,{u1,u2,…,un}}]”，其中，“{u,um