第5課時追及相遇問題[重難突破課]1.分析追及相遇問題的五個要素①運動草圖；②速度關系；③位移關系；④時間關系⑤關鍵字眼：如“剛好”“恰好”“最多”“至少”等，由關鍵字眼分析臨界狀態，找出臨界條件，列運動學方程2.解答追及相遇問題的三種技法（1）情境分析法：認真審題，挖掘題目中的隱含條件，建立一幅物體運動關系的情境圖，進而判斷兩物體能否同時到達同一位置。（2）圖像分析法：將兩個物體運動的速度—時間關系或位移—時間關系畫在同一圖像中，然后利用圖像分析求解相關問題。（3）函數分析法：設相遇時間為t，根據條件列方程，得到關于位移x與時間t的函數關系，由此判斷兩物體追及或相遇情況。技法一情境分析法【典例1】汽車A以vA＝4m/s的速度向右做勻速直線運動，發現前方相距x0＝7m處、以vB＝10m/s的速度同向運動的汽車B正開始勻減速剎車直到靜止后保持不動，其剎車的加速度大小a＝2m/s2。從此刻開始計時。求：（1）A追上B前，A、B間的最遠距離是多少；（2）經過多長時間A恰好追上B。解題指導汽車A和B的運動過程如圖所示。答案：（1）16m（2）8s解析：（1）當A、B兩汽車速度相等時，兩車間的距離最遠，即v＝vB－at＝vA，解得t＝3s此時汽車A的位移xA＝vAt＝12m汽車B的位移xB＝vBt－12at2＝故最遠距離Δxmax＝xB＋x0－xA＝16m。（2）汽車B從開始減速直到靜止經歷的時間t1＝vBa運動的位移xB'＝vB2汽車A在t1時間內運動的位移xA'＝vAt1＝20m此時相距Δx＝xB'＋x0－xA'＝12m汽車A需再運動的時間t2＝Δxv故A追上B所用時間t總＝t1＋t2＝8s。（1）若某同學應用關系式vBt－12at2＋x0＝vAt，解得經過t＝7s（另解舍去）時A恰好追上B。這個結果合理嗎？為什么（2）若汽車A以vA＝4m/s的速度向左勻速運動，其后方在同一車道相距x0＝7m處、以vB＝10m/s的速度同方向運動的汽車B正向左開始勻減速剎車直到靜止后保持不動，其剎車的加速度大小為a＝2m/s2，則B車能否追上A車？提示：（1）這個結果不合理，因為汽車B運動的時間最長為t＝vBa＝5s＜7s，說明汽車A追上B時汽車（2）可由位移關系式vBt－12at2＝x0＋vAt，解得t1＝（3－2）s，t2＝（3＋2）s（舍去），t1【解題技法】情境分析法的基本思路技法二圖像分析法【典例2】（多選）假設高速公路上甲、乙兩車在同一車道上同向行駛。甲車在前乙車在后，速度均為v0＝30m/s。甲、乙兩車相距x0＝100m，在t＝0時刻甲車遭遇緊急情況后，甲、乙兩車的加速度隨時間變化的規律分別如圖甲、乙所示。取運動方向為正方向。下列說法正確的是（）A.0～3s內兩車間距逐漸增大B.t＝6s時兩車距離最近，且最近距離為10mC.6～9s內，甲車速度大于乙車速度，兩車間距離越來越大D.兩車在0～9s內會相撞答案：BC解析：由圖可知0～3s內，甲車做勻減速直線運動，乙車做勻速直線運動，初速度相等，則兩車間距逐漸減小，故A錯誤；根據題意作出兩車的速度時間圖像，如圖：由圖可知t＝6s時兩車速度相等，陰影部分面積代表0～6s內兩車的位移差為Δx＝12×30×3m＋12×30×（6－3）m＝90m，所以最近距離為10m，故B正確；由圖可看出6～9s內，甲車速度大于乙車速度，兩車間距離越來越大，由于6s時甲在前距離乙車10m的位置，所以在0～9s內兩車不會相撞，故C正確，【解題技法】利用圖像法分析追及相遇問題的技巧（1）若為x-t圖像，圖像相交即代表兩物體相遇。（2）若為v-t圖像，利用圖像與坐標軸圍成的面積進行分析。（3）若為a-t圖像，可轉化為v-t圖像進行分析。（4）對于其他圖像，可以根據圖像的特點及意義進行具體分析。（多選）兩物體甲、乙在水平面上同時同地由靜止出發，沿同一方向做直線運動，它們的加速度a隨位移x變化的關系如圖所示。則（）A.x＝6m時，兩者相遇B.甲運動6m時，乙在它后面C.乙運動8m的過程中的平均速度小于2m/sD.甲運動8m時的速度為42m/s解析：BCD甲物體做加速度減小的加速運動，乙物體做加速度增大的加速運動，v-t圖像如圖所示。由圖可知甲、乙通過相同位移時，時間不相等，運動6m時不可能相遇，甲在乙前面，A錯誤，B正確；乙運動8m時速度v乙＝2a乙x＝2×12×2×8m/s＝4m/s，運動8m的過程中平均速度小于2m/s，C正確；甲運動8m時的速度v甲＝2技法三函數分析法【典例3】一汽車在直線公路段上以54km/h的速度勻速行駛，突然發現在其正前方14m處有一輛自行車以5m/s的速度同向勻速行駛。經過0.4s的反應時間后，司機開始剎車，則：（1）為了避免相撞，汽車的加速度大小至少為多少？（2）若汽車剎車時的加速度只為4m/s2，在汽車開始剎車的同時自行車開始以一定的加速度勻加速，則自行車的加速度至少為多大才能保證兩車不相撞？答案：（1）5m/s2（2）1m/s2解析：（1）初速度v汽＝54km/h＝15m/s，初始距離d＝14m，設汽車的加速度大小為a，減速時間為t，則自行車的位移為x自＝v自（t＋t0）汽車的位移為x汽＝v汽（t＋t0）－12at假設汽車能追上自行車，此時有x汽＝x自＋d代入數據整理得12at2－10t＋10＝要保證不相撞，即此方程至多只有一個解，即得Δ＝102－20a≤0解得a≥5m/s2所以，為了避免相撞，汽車的加速度大小至少為5m/s2。（2）設自行車加速度為a'，加速時間為t'同理可得v汽（t'＋t0）－12a汽t'2＝v自（t'＋t0）＋12a't'2代入數據整理得12a'+2t'2－10t'要保證不相撞，即此方程至多只有一個解，即得Δ＝102－20a'－80≤0，解得a'≥1m/s2所以，自行車的加速度至少為1m/s2才能保證兩車不相撞。【解題技法】利用函數法分析追及相遇問題的思路設相遇時間為t，根據條件列方程，得到位移x關于時間t的二次函數關系，由此判斷兩物體追及或相遇情況。①若Δ＞0，即有兩個解，說明可以相遇兩次；②若Δ＝0，說明剛好追上或相遇；③若Δ＜0，說明追不上或不能相遇。技法一情境分析法1.如圖所示，甲、乙兩輛玩具小汽車（可以視為質點）并排沿平直路面的相鄰軌道向前行駛，兩車都裝有藍牙設備，這兩個藍牙設備可以在6m以內實現通信。t＝0時刻，甲、乙兩車剛好位于圖示位置，此時甲車的速度為6m/s，乙車的速度為2m/s，從該時刻起甲車以1m/s2的加速度做勻減速運動直至停下，乙車保持原有速度做勻速直線運動。忽略軌道間距和信號傳遞時間，則從t＝0時刻起，兩車能利用藍牙通信的時間為（）A.2s B.6sC.8s D.10s解析：C根據幾何知識可知，當甲車在乙車前方時，有x甲－x乙＝6m，根據運動學公式有x甲＝v甲t－12at2，x乙＝v乙t，解得t1＝2s，t2＝6s，由于v甲＝at，解得t＝v甲a＝61s＝6s，在6s時甲已經靜止，則t＝6s之后，甲車停下，乙車運動，故甲、乙兩車的距離不斷減小，從t＝6s開始到乙車行駛至甲車前方6m的過程中，這段過程經歷的時間為t'＝2sv乙＝2×6mv乙＝6s，所以甲、乙兩車能利用藍牙通信的時間為2.大霧天氣，有甲、乙兩車在同一平直車道上勻速行駛，甲車在后，速度為v1＝14m/s，乙車在前，速度為v2＝10m/s，某時刻甲車車頭與乙車車尾間的距離為L0＝30.5m，此時乙車突然以大小為a0＝1m/s2的加速度剎車，經過時間t0甲車車頭與乙車車尾間的距離減為L＝14m，為了兩車避免相撞，此時甲車也立即剎車做勻減速直線運動，求：（1）t0的值；（2）剎車后，甲車做勻減速直線運動的加速度至少多大？答案：（1）3s（2）2.75m/s2解析：（1）在t0時間內，甲、乙兩車運動位移分別為x1＝v1t0x2＝v2t0－12a0t又x1－x2＝L0－L解得t0＝3s。（2）甲車開始剎車時，乙車速度為v3＝v2－a0t0＝7m/s若甲車剎車后經時間t兩車速度相等（設為v），兩車恰好避免相撞，則v＝v1－atv＝v3－a0t時間t內甲、乙兩車運動位移分別為x3＝v1t－12at2x4＝v3t－12a0t2又x3－x4＝L聯立以上各式解得a＝2.75m/s2即甲車剎車加速度至少為2.75m/s2。技法二圖像分析法3.（多選）如圖所示是做直線運動的甲、乙兩個物體的位移—時間圖像，由圖像可知（）A.乙開始運動時，兩物體相距20mB.在0～10s這段時間內，兩物體間的距離逐漸增大C.在10～30s這段時間內，兩物體間的距離逐漸變小D.兩物體在10s時相距最遠，在30s時相遇解析：BCD由圖可知，乙開始運動時甲離坐標原點大于20m，兩物體相距大于20m，故A錯誤；在0～10s這段時間內，乙保持靜止，甲正向運動，兩物體間的距離逐漸增大，故B正確；位移—時間圖像的斜率等于速度，斜率越大，速度越大，則知在10～30s這段時間內，甲的運動速率小于乙的運動速率，甲在乙的前方，則兩者距離逐漸減小，故C正確；在0～10s這段時間內，甲在前面，兩物體間的距離逐漸增大，在10～30s這段時間內，乙的速度大于甲的速度，兩物體間的距離逐漸變小，所以兩物體在10s時相距最遠，x-t圖像的交點表示相遇，由圖可知，30s時二者相遇，故D正確。4.要想富先修路，為了鄉村振興，農村公路正逐漸優化。甲、乙兩車在雙車道平直公路上同向行駛，其v-t圖像如圖所示。已知兩車在t＝0時，甲車在乙車前7.5m，則（）A.在t＝1s時，甲車在乙車后B.兩車第一次并排行駛的時刻是t＝2sC.在t＝3s前，甲車在乙車前方D.兩車兩次并排行駛的位置之間的距離為40m解析：D速度時間圖像的斜率表示物體運動的加速度，則由圖像可得a甲＝10m/s2，a乙＝5m/s2，另由圖像可知甲車的初速度為0，乙車的初速度為v0＝10m/s，則由運動學公式可得甲乙兩車在t＝1s時的位移分別為x甲＝12a甲t2＝12×10×1m＝5m，x乙＝v0t＋12a乙t2＝10×1m＋12×5×1m＝12.5m，而初始時刻甲車在乙車前7.5m處，則有x甲＋Δx＝12.5m＝x乙，可知在t＝1s時，甲車與乙車相遇，即兩車第一次并排行駛，故A、B錯誤；設兩車再次并排行駛時所用時間為t1，則由位移關系有12a甲t12＋Δx＝v0t1＋12a乙t12，解得t1＝t＝1s（舍去）或t1＝3s，即兩車在t1＝3s時再次相遇，結合圖像可知，t＝1s前甲車在乙車前，t＝1s時兩車第一次相遇，此后乙車在甲車前，直至t1＝3s時兩車再次相遇，t1＝3s時甲車的位移為x甲'＝12a甲t12＝12×10×9m＝45m，由此可知兩車兩次并排行駛的位置之間的距離為x＝x技法三函數分析法5.一輛汽車在十字路口等候綠燈，當綠燈亮時汽車以a＝3m/s2的加速度開始加速行駛，恰在這時一輛自行車以6m/s的速度勻速駛過，從后邊超過汽車。則汽車從路口啟動后，在追上自行車之前兩車相距最遠時經歷的時間及此時兩車的距離分別為（）A.2s2m B.2s4mC.2s6m D.4s6m解析：C設汽車在追上自行車之前經過時間t兩車相距最遠，則Δx＝vt－12at2，代入已知數據得Δx＝6t－32t2，由二次函數求極值的條件知t＝2s時，Δx有最大值6m，所以t＝2s時兩車相距最遠，為Δx＝6m，故選6.（多選）越野車和自動駕駛車沿同一公路上向東行駛，自動駕駛車由靜止開始運動時，越野車剛好以速度v0從旁邊加速駛過，如圖所示分別為越野車和自動駕駛車的v-t圖線，根據這些信息，可以判斷（）A.5s末兩車速度均為9m/sB.0時刻之后，兩車只會相遇一次C.20s末兩車相遇D.加速階段自動駕駛車的加速度是越野車的3倍解析：AD由v-t圖像可以看出，5s末兩車的速度相等，均為v＝18+02m/s＝9m/s，A正確；0至10s，兩圖線與坐標軸圍成圖形的面積相等，由v-t圖像的物理意義可知，10s末兩車相遇，10～20s兩車間距變大，20s之后兩車間距變小，25s后會再相遇一次，B、C錯誤；由v-t圖像可知，5s末兩車的速度均為9m/s，由9m/s增加到18m/s，越野車所花的時間是自動駕駛車的3倍，根據a＝ΔvΔt可知，自動駕駛車的加速度是越野車的37.（多選）甲乙兩質點在同一直線上運動，從t＝0時刻起同時出發，甲做勻加速直線運動，x-t圖像如圖甲所示，已知甲圖像過（0，－2）、（1，0）、（2，6）三個點。乙做勻減速直線運動，整個運動過程的x-v2圖像如圖乙所示，下列說法正確的是（）A.t＝0時刻，甲的速度為2m/sB.甲的加速度大小為4m/s2C.經過292s，D.經過2.5s，甲追上乙解析：BC對甲圖有x＝v0t＋12a1t2＋x0，將（0，－2）、（1，0）、（2，6）三個點代入上式解得v0＝0，a1＝4m/s2，x0＝－2m，A錯誤，B正確；對乙圖有v2－v乙02＝2a2x，變形為x＝12a2v2－v乙022a2，結合圖像可知v乙0＝10m/s，a2＝－4m/s2，由運動學公式有x甲＝x乙＋｜x0｜，12a1t2＝v乙028.在同一平直路面上，從同一地點同向行駛的兩輛汽車的運動圖像如圖所示，則（）A.0～2s內A車的速度大，2s后B車速度大B.t＝2s時，兩車相遇C.t＝4s時，兩車相遇D.A車的初速度是2m/s，加速度是1m/s2解析：B根據公式v＝xt，可知xt表示平均速度，即0～2s內，兩車平均速度相同，因從同一地點同時出發，所以兩車相遇，故B正確，C錯誤；根據位移時間公式x＝v0t＋12at2，變形得xt＝v0＋12at，結合圖像可知A車的初速度為2m/s，斜率為k＝4－22－0＝12a，解得加速度為a＝2m/s2，B車初速度為零，同理可得加速度為a'＝4m/s2，由此可知0～1s內，A車速度大，9.在某次軍事演習中，殲擊機以v0＝220m/s的恒定速度追擊前面同一直線上勻速飛行的無人靶機。當兩者相距x0＝3.2km時；殲擊機發射一枚導彈，導彈脫離殲擊機后沿水平方向做加速度為a＝20m/s2的勻加速直線運動，t0＝20s時擊中無人靶機并將其擊落。已知發射導彈的