上海市上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附屬中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．圓心為的圓與圓相外切，則圓的方程為（）A． B．C． D．2．如圖是一圓錐的三視圖，正視圖和側(cè)視圖都是頂角為120°的等腰三角形，若過(guò)該圓錐頂點(diǎn)S的截面三角形面積的最大值為2，則該圓錐的側(cè)面積為A． B． C． D．43．過(guò)△ABC的重心任作一直線分別交邊AB，AC于點(diǎn)D、E．若,，，則的最小值為（）A．4 B．3 C．2 D．14．已知向量，，，則（）A． B． C． D．5．若直線經(jīng)過(guò)A(1,0),B(2,3)兩點(diǎn)，則直線A．135° B．120° C．60° D．45°6．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若的面積為，則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，其中為整數(shù)，若在上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，則的最大值為()A． B． C． D．8．已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是，接下來(lái)的兩項(xiàng)是，再接下來(lái)的三項(xiàng)是，依此類推，記此數(shù)列為，則()A．1 B．2 C．4 D．89．正六邊形的邊長(zhǎng)為，以頂點(diǎn)為起點(diǎn)，其他頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為；以頂點(diǎn)為起點(diǎn)，其他頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為．若分別為的最小值、最大值，其中，則下列對(duì)的描述正確的是（）A． B． C． D．10．我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列：，，，，，，，，，，，，，，，，，則__________．12．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____．13．函數(shù)，的遞增區(qū)間為_(kāi)_____.14．如圖，在正方體中，、分別是、的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是______.15．若正四棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，則該棱錐的側(cè)棱與底面所成的角的大小為_(kāi)___.16．已知，若，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖所示，在三棱柱中，側(cè)棱底面，，D為的中點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）求與所成角的余弦值．18．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，為數(shù)列位的前項(xiàng)和，求；（3）在（2）的條件下，是否存在自然數(shù)，使得對(duì)一切恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.19．如圖，以O(shè)x為始邊作角與（），它們終邊分別單位圓相交于點(diǎn)、，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）若，求角的值；（2）若·，求．20．設(shè)函數(shù)f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣）．（1）求f（x）的周期和最大值；（2）已知△ABC中，角A．B．C的對(duì)邊分別為A，B，C，若f（π﹣A）＝，b+c＝2，求a的最小值．21．已知三棱錐的體積為1.在側(cè)棱上取一點(diǎn)，使，然后在上取一點(diǎn)，使，繼續(xù)在上取一點(diǎn)，使，……按上述步驟，依次得到點(diǎn)，記三棱錐的體積依次構(gòu)成數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若不等式對(duì)一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑，利用兩圓相外切關(guān)系，可以求出圓的半徑，求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，最后化為一般式方程.【詳解】設(shè)的圓心為A，半徑為r，圓C的半徑為R,，所以圓心A坐標(biāo)為，半徑r為3，圓心距為，因?yàn)閮蓤A相外切，所以有,故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了圓與圓的相外切的性質(zhì)，考查了已知圓的方程求圓心坐標(biāo)和半徑，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2、B【解析】

過(guò)該圓錐頂點(diǎn)S的截面三角形面積最大是直角三角形，根據(jù)面積為2求出圓錐的母線長(zhǎng)，再根據(jù)正視圖求圓錐底面圓的半徑，最后根據(jù)扇形面積公式求圓錐的側(cè)面積.【詳解】過(guò)該圓錐頂點(diǎn)S的截面三角形面積最直角三角形，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)和底面圓的半徑分別為，則，即，又，所以圓錐的側(cè)面積；故選B.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖及圓錐有關(guān)計(jì)算，此題主要難點(diǎn)在于判斷何時(shí)截面三角形面積最大，要結(jié)合三角形的面積公式，當(dāng)，即截面是等腰直角三角時(shí)面積最大.3、B【解析】

利用重心以及向量的三點(diǎn)共線的結(jié)論得到的關(guān)系式，再利用基本不等式求最小值.【詳解】設(shè)重心為，因?yàn)橹匦姆种芯€的比為，則有，，則，又因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，則，取等號(hào)時(shí).故選B.【點(diǎn)睛】（1）三角形的重心是三條中線的交點(diǎn)，且重心分中線的比例為；（2）運(yùn)用基本不等式時(shí)，注意取等號(hào)時(shí)條件是否成立.4、D【解析】

利用平面向量垂直的坐標(biāo)等價(jià)條件列等式求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】，，，，解得，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示，解題時(shí)將向量垂直轉(zhuǎn)化為兩向量的數(shù)量積為零來(lái)處理，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

利用斜率公式求出直線AB，根據(jù)斜率值求出直線AB的傾斜角.【詳解】直線AB的斜率為kAB=3-02-1【點(diǎn)睛】本題考查直線的傾斜角的求解，考查直線斜率公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。6、C【解析】

由題意可得，化簡(jiǎn)后利用正弦定理將“邊化為角“即可．【詳解】解：的面積為，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用和三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

利用一元二次方程根的分布的充要條件得到關(guān)于的不等式，再由為整數(shù)，可得當(dāng)取最小時(shí)，取最大，從而求得答案.【詳解】∵在上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，∴∵，∴當(dāng)取最小時(shí)，取最大，∵兩個(gè)零點(diǎn)的乘積小于1，∴，∵為整數(shù)，令時(shí)，，滿足.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次函數(shù)的零點(diǎn)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意為整數(shù)的應(yīng)用.8、C【解析】

將數(shù)列分組：第1組為，第2組為，第3組為，，根據(jù)，進(jìn)而得到數(shù)列的2017項(xiàng)為，數(shù)列的第2018項(xiàng)為，數(shù)列的第2019項(xiàng)為，即可求解.【詳解】將所給的數(shù)列分組：第1組為，第2組為，第3組為，，則數(shù)列的前n組共有項(xiàng)，又由，所以數(shù)列的前63組共有2016項(xiàng)，所以數(shù)列的2017項(xiàng)為，數(shù)列的第2018項(xiàng)為，數(shù)列的第2019項(xiàng)為，所以故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)所給數(shù)列合理分組，結(jié)合等差數(shù)列的前n項(xiàng)和求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題.9、A【解析】

利用向量的數(shù)量積公式，可知只有，其余數(shù)量積均小于等于0，從而得到結(jié)論．【詳解】由題意，以頂點(diǎn)A為起點(diǎn)，其他頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為，以頂點(diǎn)D為起點(diǎn)，其他頂點(diǎn)為終點(diǎn)的向量分別為，則利用向量的數(shù)量積公式，可知只有，其余數(shù)量積均小于等于0，又因?yàn)榉謩e為的最小值、最大值，所以，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，其中解答中熟記向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，分析出向量數(shù)量積的正負(fù)是關(guān)鍵，著重考查了分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔試題．10、C【解析】分析：先確定不超過(guò)30的素?cái)?shù)，再確定兩個(gè)不同的數(shù)的和等于30的取法，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.詳解：不超過(guò)30的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有種方法，因?yàn)?，所以隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的有3種方法，故概率為，選C.點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法：(1)列舉法.(2)樹(shù)狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無(wú)序”區(qū)別的題目，常采用樹(shù)狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問(wèn)題，通過(guò)列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)數(shù)列的規(guī)律和可知的取值為，則分母為；又為分母為的項(xiàng)中的第項(xiàng)，則分子為，從而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，的分母為：又的分子為：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的規(guī)律求解數(shù)列中的項(xiàng)，關(guān)鍵是能夠根據(jù)分子的變化特點(diǎn)確定的取值.12、【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)對(duì)于0，再結(jié)合不等式即可解決．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)榈葍r(jià)于對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，恒成立當(dāng)時(shí)成立當(dāng)時(shí)，等價(jià)于綜上可得【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的定義域以及不等式恒成立的問(wèn)題，函數(shù)的定義域常考的由1、，2、，3、．屬于基礎(chǔ)題．13、[0，](開(kāi)區(qū)間也行)【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，以及題中條件，即可求出結(jié)果.【詳解】由得：，又，所以函數(shù)，的遞增區(qū)間為.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，熟記正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可，屬于?？碱}型.14、【解析】

將所求兩條異面直線平移到一起，解三角形求得異面直線所成的角.【詳解】連接，根據(jù)三角形中位線得到，所以是異面直線與所成角.在三角形中，,所以三角形是等邊三角形，故.故填：.【點(diǎn)睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法，考查空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

先作出線面角，再利用三角函數(shù)求解即可．【詳解】如圖，設(shè)正四棱錐的棱長(zhǎng)為1，作在底面的射影，則為與底面所成角，為正方形的中心，，，，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查線面角，考查學(xué)生的計(jì)算能力，作出線面角是關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由條件利用正切函數(shù)的單調(diào)性直接求出的值．【詳解】解：函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，若，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正切函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）連接，設(shè)與相交于點(diǎn)O，連接OD.證明OD為的中位線，得，即可證明；（2）由（1）可知，為與所成的角或其補(bǔ)角，在中，利用余弦定理求解即可【詳解】(1)證明：如圖，連接，設(shè)與相交于點(diǎn)O，連接OD.∵四邊形是平行四邊形．∴點(diǎn)O為的中點(diǎn)．∵D為AC的中點(diǎn)，∴OD為的中位線，平面，平面，平面.（2）由（1）可知，為與所成的角或其補(bǔ)角在中，D為AC的中點(diǎn)，則同理可得，在中，與BD所成角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定，異面直線所成的角，考查空間想象能力與計(jì)算能力是基礎(chǔ)題18、（1）（2）（3）【解析】

（1）根據(jù)題干可推導(dǎo)得到，進(jìn)而得到數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到結(jié)果；（2）由錯(cuò)位相減的方法得到結(jié)果；（3）根據(jù)第二問(wèn)得到：，數(shù)列單調(diào)遞增，由數(shù)列的單調(diào)性得到數(shù)列范圍.【詳解】（1）由，令，則，又，所以.當(dāng)時(shí)，由可得，，即，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是.（2）∴∴從而.（3）由（2）知，∴數(shù)列單調(diào)遞增，∴，又，∴要恒成立，則，解得，又，故.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查的是數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及數(shù)列求和的常用方法；數(shù)列通項(xiàng)的求法中有常見(jiàn)的已知和的關(guān)系，求表達(dá)式，一般是寫(xiě)出做差得通項(xiàng)，但是這種方法需要檢驗(yàn)n=1時(shí)通項(xiàng)公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯(cuò)位相減，裂項(xiàng)求和，分組求和等。19、(1)(2)【解析】

(1)由已知利用三角函數(shù)的定義可求，利用兩角差的正切公式即可計(jì)算得解；(2)由已知可得，進(jìn)而求出，最后利用兩角和的正弦公式即可計(jì)算得解．【詳解】（1）由三角函數(shù)定義得，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?）·，∴∴，所以，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角差的正切公式，兩角和的正弦公式，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）周期為π，最大值為2.（2）【解析】

（1）利用倍角公式降冪，展開(kāi)兩角差的余弦，將函數(shù)的關(guān)系式化簡(jiǎn)余弦型函數(shù)，可求出函數(shù)的周期及最值；（2）由f（π﹣A），求解角A，再利用余弦定理和基本不等式求a的最小值．【詳解】（1）函數(shù)f（x）＝2cos2x﹣cos（2x）＝1+cos2x＝cos（2x）+1，∵﹣1≤cos（2x）≤1，∴T，f（x）的最大值為2；（2）由題意，f（π﹣A）＝f（﹣A）＝cos（﹣2A）+1，即：cos（﹣2A），又∵0＜A＜π，∴2A，∴﹣2A，即A．在△ABC中，b+c＝2，cosA，由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣bc，由于：bc，當(dāng)b＝c＝1時(shí)，等號(hào)成立．∴a2≥4﹣1＝3，即a．則a的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換，余弦形函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，余弦定理和基本不等式的應(yīng)用，是中檔題．21、（1）．；（2）．【解析】

（1）由三棱錐的體積公式可得是等比數(shù)列，從而可求得其通項(xiàng)公式，利用可求得，但要注意；（2）用錯(cuò)位相減法求得，化簡(jiǎn)不等式，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值．【詳解】（1）由題意