專題06圓中的重要模型--圓冪定理模型圓冪定理是一個總結性的定理，是對相交弦定理、切割線定理、割線定理、弦切角定理、托勒密定理以及它們推論的統一與歸納。可能是在19世紀由德國數學家施泰納（Steiner）或者法國數學家普朗克雷（Poncelet）提出的。圓冪定理的用法：可以利用圓冪定理求解與圓有關的線段比例、角度、面積等問題。模型1.相交弦模型條件：在圓O中，弦AB與弦CD交于點E，點E在圓O內。結論：。例1．（2023·廣東廣州·九年級校考期中）如圖，兩個同心圓，大圓的弦與小圓相切于點P，大圓的弦經過點P，且，，兩圓組成的圓環的面積是．

例2．（2023·江西景德鎮·九年級校考期末）如圖，PT是⊙O的切線，T為切點，PA是割線，交⊙O于A、B兩點，與直徑CT交于點D．已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那PB＝．例3．（2023·江蘇·九年級專題練習）相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．

(1)為了說明相交弦定理正確性，需要對其進行證明，如下給出了不完整的“已知”“求證”，請補充完整，并寫出證明過程．已知：如圖①，弦，交于點P，求證：______________．(2)如圖②，已知是的直徑，與弦交于點P，且于點P，過D作的切線，交的延長線于E，D為切點，若，的半徑為5，求的長．模型2.雙割線模型條件：如圖，割線CH與弦CF交圓O于點E和點G。結論：例1．（2023·浙江·九年級假期作業）如圖：、為⊙O的兩條割線，若，，則的長為（）

A．10 B．7 C． D．3例2．（2023·四川成都·九年級校考階段練習）如圖，為的割線，且，交于點C，若，則的半徑的長為．例3．（2022·河南洛陽·統考一模）我們知道，直線與圓有三種位置關系：相交、相切、相離．當直線與圓有兩個公共點（即直線與圓相交）時，這條直線就叫做圓的割線．割線也有一些相關的定理．比如，割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等．下面給出了不完整的定理“證明一”，請補充完整．已知：如圖①，過外一點作的兩條割線，一條交于、點，另一條交于、點．求證：．證明一：連接、，∵和為所對的圓周角，∴______．又∵，∴______，∴______．即．研究后發現，如圖②，如果連接、，即可得到學習過的圓內接四邊形．那么或許割線定理也可以用圓內接四邊形的性質來證明．請根據提示，獨立完成證明二．證明二：連接、，模型3.切割線模型條件：如圖，CB是圓O的切線，CA是圓O的割線。結論：例1．（2023·江蘇鹽城·九年級統考期中）如圖，與切于點，是的割線，如果，那么的長為.例2．（2023·河南鄭州·一模）復習鞏固，切線：直線和圓只有一個公共點，這時這條直線和圓相切，我們把這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點．割線：直線和圓有兩個公共點，這時這條直線和圓相交，我們把這條直線叫做圓的割線．切線長：過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長．閱讀材料：《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得所著的一部數學著作．它是歐洲數學的基礎，總結了平面幾何五大公設，被廣泛地認為是歷史上學習數學幾何部分最成功的教科書．其中第三卷命題36﹣2圓冪定理（切割線定理）內容如下：切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．為了說明材料中定理的正確性，需要對其進行證明，下面已經寫了不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出證明過程．已知：如圖，A是⊙O外一點，．求證：．例3．（2023·山東濰坊·統考一模）如圖，是的直徑，點C、D在上，且平分，過點D作的垂線，與的延長線相交于E，與的延長線相交于點F，G為的下半圓弧的中點，交于H，連接(1)證明：是的切線；(2)若圓的半徑，求的長；(3)求證：．

模型4.弦切角模型條件：如圖，CB是圓O的切線，AB是圓O的直徑。結論：1）；2）；3）。例1．（2023·河南三門峽·統考二模）小銳同學是一個數學學習愛好者，他在一本數學課外讀物上看到一個課本上沒有的與圓相關的角---弦切角（弦切角的定義：把頂點在圓上，一邊與圓相切，另一邊和圓相交的角叫做弦切角），并嘗試用所學的知識研究弦切角的有關性質．（1）如圖，直線與⊙O相切于點，，為⊙O上不同于的兩點，連接，，．請你寫出圖中的兩個弦切角______；（不添加新的字母和線段）（2）小銳目測和可能相等，并通過測量的方法驗證了他的結論，你能幫小銳用幾何推理的方法證明結論的正確性嗎？已知：如圖，直線與⊙O相切于點，，為圓上不同于的兩點，連接，，．求證：．（3）如果我們把上述結論稱為弦切角定理，請你用一句話概括弦切角定理______．例2．（2022·山西大同·九年級校聯考期中）閱讀與思考閱讀下面內容并完成任務：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．如圖1，直線與相切于點，為的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夾的弧，是所對的圓周角，為直徑時，很容易證明．小華同學認為這是一種特殊情況，若不是直徑會如何呢？即在圖2中嗎？她連接并延長，交于點，連接…問題得到了解決．小穎同學利用圖3證明了當弦切角為直角時，弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．小亮積極思考，提出當弦切角為鈍角時，能證明（如圖4）嗎？任務：(1)請按照小華的思路，利用圖2證明；(2)結合小華、小穎的思路或結論，利用圖4解答小亮提出的問題；(3)寫出在上面解決問題的過程中體現的數學思想：______（寫出兩種）；(4)解決問題：如圖5，點為的弦延長線上一點，切于點，連接，，，，則______°模型5.托勒密定理模型條件：如圖，AB、CD是圓O的兩條弦；結論：例1．（2022春·廣東九年級課時練習）閱讀與應用請閱讀下列材料，完成相應的任務：托勒密是“地心說”的集大成者，著名的天文學家、地理學家、占星學家和光學家．后人從托勒密的書中發現一個命題：圓內接四邊形對邊乘積的和等于對角線的乘積．下面是對這個命題的證明過程．如圖1，四邊形ABCD內接于．求證：．證明：如圖2，作交BD于點E．∵，∴．（依據）∴．∴．．…∴．∴．∴．∵，∴．∴．任務：(1)證明過程中的“依據”是______；(2)補全證明過程；(3)如圖3，的內接五邊形ABCDE的邊長都為2，求對角線BD的長．例2．（2023·江蘇鹽城·九年級統考期中）【舊知再現】圓內接四邊形的對角.如圖①，四邊形是的內接四邊形，若，則.【問題創新】圓內接四邊形的邊會有特殊性質嗎？如圖②，某數學興趣小組進行深入研究發現：證明：如圖③，作，交于點.

∵，∴，∴

即

（請按他們的思路繼續完成證明）【應用遷移】如圖④，已知等邊外接圓，點為上一點，且，，求的長.課后專項訓練1．（2023·北京·九年級校考期中）如圖，點是外一點，為的一條割線，且，交于點，若，，則長為（

）A． B． C． D．2．（2023·山東九年級月考）如圖，過點作的兩條割線分別交于點、和點、，已知，，則的長是（）A．3 B．7.5 C．5 D．5.53．（2023·浙江·中考模擬）如圖,PT是外切兩圓的公切線,T為切點,PAB,PCD分別為這兩圓的割線,若PA=3,PB=6,PC=2,則PD等于(

)A．12 B．9 C．8 D．44．（2023·浙江杭州·模擬預測）如圖，過點引圓的兩條割線和，分別交圓于點和，連結，則在下列各比例式中，①；②；③，成立的有（把你認為成立的比例式的序號都填上）．5．（2023·北京九年級月考）如圖，割線、分別交于和，若，，，則．6．（2023·浙江紹興·模擬預測）四邊形內接于圓，對角線交點為E，，若、都是整數，則的值為．7．（2023·遼寧大連·模擬預測）如圖1，內接于，點D為圓外上方一點，連接，若．(1)求證：是的切線；(2)如圖2，連接．若，，，求的半徑．（注：本題不允許使用弦切角定理）8．（2022秋·四川綿陽·九年級統考期中）定義：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．如圖1，為的切線，點為切點，為內一條弦，即為弦切角．(1)古希臘數學家歐幾里得的《幾何原本》是一部不朽的數學巨著，全書共13卷，以第1卷的23個定義、5個公設和5個公理作為基本出發點，給出了119個定義和465個命題及證明．第三卷中命題32一弦切角定理的內容是：“弦切角的度數等于它所夾的弧所對的圓心角度數的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度數．”如下給出了弦切角定理不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出“證明”過程．已知：如圖2，為的切線，點為切點，為內一條弦，點在上，連接，，，．求證：．證明：(2)如圖3，為的切線，為切點，點是上一動點，過點作于點，交于，連接，，．若，，求弦的長．9．（2023秋·山西呂梁·九年級校考期末）閱讀與思考：閱讀下列材料，并完成相應的任務．米勒定理米勒（）是德國的數學家，是歐洲最有影響的數學家之一，米勒發表的《三角全書》，是使得三角學在歐洲取得獨立地位的第一部系統性著作．下面是米勒定理（又稱切割線定理）的證明過程已知：如圖1，與相切于點A，與相交于點B，C．求證：．證明：如圖2，連接．∵為的切線，∴，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，……

任務：(1)請完成剩余的證明過程(2)應用：如圖3，是的切線，經過的圓心O，且，割線交于點D，E，，求的長．10．（2023·山西呂梁·校考模擬預測）閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到與圓交點的兩條線段長的比例中項．證明過程如下：如圖1：已知：點P是外一點，是切線，F是切點，是割線，點A，B是它與的交點，求證：證明：連接并延長交于C，連接，∵是的切線，（依據________________________________)∵是的直徑，（依據_______________________________)

又∵（依據_____________________________________)......任務：(1)完成材料證明部分中的“依據”，填入空格．(2)把證明過程補充完整．(3)定理應用：已知為的切線，T是切點，是的割線，交于D，為的直徑，，求的長．11．（2023·江蘇·九年級專題練習）閱讀下列材料，完成相應任務：弗朗索瓦?韋達，法國杰出數學家．第一個有意識地和系統地使用字母來表示已知數、未知數及其乘冪，帶來了代數學理論研究的重大進步，在歐洲被尊稱為“代數學之父”．他還發現從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項（切割線定理）．如圖1，P是外一點，是的切線，是的一條割線，與的另一個交點為B，則．證明：如圖2，連接、，過點C作的直徑，連接．∵是的切線，∴，∴，即．……任務：(1)請按照上面證明思路寫出該證明的剩余部分．(2)如圖3，與相切于點A，連接并延長與交于點B、C，，，，連接．①與的位置關系是．②求的長．12．（2022秋·山西·九年級校聯考期末）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．切割線定理揭示了從圓外一點引圓的切線和割線時，切線與割線之間的關系．如圖1，是外一點，切于點，交于點（即是的割線），則．下面是切割線定理的證明過程：證明：如圖2，連接并延長，交于點，連接．切于點，．．是的直徑，……(1)根據前面的證明思路，補全剩余的證明過程；(2)在圖1中，已知，，則______，______．13．（2022·山西·三模）閱讀與思考請閱讀下列材料，并完成相應的任務．人們在研究圓與直線的位置和數量關系時，發現存在這樣一個關系：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點構成的兩條線段長的比例中項．這個幾何關系也叫圓的切割線定理．喜歡探究的小明嘗試給出了該定理的如下證明：已知：如圖1，P為⊙O外一點，切線PA與圓相切于點A，割線PBC與圓相交于點B，C．求證：．證明：如圖2，連接AB，AC，BO，AO．∵PA切⊙O于點A，∴，即．∵，∴．∵，∴．……任務：(1)請幫助小明補充完成以上證明過程．(2)如圖，割線PDE與圓交于點D，E，且，，連接BE，過點C向下作交PE的延長線于點F，求EF的長．14．（2022·河南商丘·統考二模）讀下面材料，并完成相應的任務切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．下面是不完整的證明過程，請補充完整．已知：P為外一點，PA與交于A，B兩點，PM與相切于點M．求證：．證明：如圖，連接AM，BM，連接MO并延長交于點C，連接BC．∵PM為的切線，∴_______，∴，∵CM為的直徑，∴_______，∴，∴_______，∵，∴．∵，∴_______．∴，∴．學習任務：如圖，若線段AB與相交于C，D兩點，且，射線AB，BF為的兩條切線，切點分別為E，F，連接CF．(1)求證：；(2)若，，，求的面積．15．（2023·河南周口·校考三模）閱讀與思考學習了圓的相關知識后，某數學興趣小組的同學們進行了如下探究活動，請仔細閱讀，并完成相應任務．割線定理如圖，A是外一點，過點A作直線分別交于點B，C，D，E，則有．

證明：如圖，連接．∵（依據：①________________），，∴．∴②_________________．∴．任務：(1)上述閱讀材料中①處應填的內容是________，②處應填的內容是_______．(2)興趣小組的同學們繼續思考，當直線AE與圓相切時，是否仍有類似的結論．請將下列已知、求證補充完整，并給出證明．已知：如圖，A是外一點，過點A的直線交于點B，C，__________．求證：___________．

16．（2022·山東九年級期中）如圖，為外接圓⊙O的直徑，交于點F，且．(1)求證：是⊙O的切線；(2)求證：；(3)若，，，求⊙O的半徑．17．（2022秋·廣東九年級期中）探究問題：

(1)閱讀理解：①如圖A，在所在平面上存在一點P，若它到三個頂點的距離之和最小，則稱點P為的費馬點，此時的值為的費馬距離．②如圖B，若四邊形的四個頂點在同一個圓上，則有，此為托勒密定理．知識遷移：①請你利用托勒密定理解決如下問題：如圖C，已知點P為等邊外接圓的上任意一點．求證：；②根據（2）①的結論，我們有如下探尋（其中均小于）的費馬點和費馬距離的方法：第一步：如圖D，在的外部以為一邊作等邊及其外接圓；第二步：在上任取一點，連接．易知________；第三步：請你根據（1）①中定義，在圖D中找出的費馬點P，則線段______的長度即為的費馬距離．(2)知識應用：今年以來某市持續干旱，許多村莊出現了人、畜飲水困難的問題，為解決老百姓的飲水問題，解放軍某部來到該市某地打井取水．已知三村莊A、B、C構成了如圖E所示的（其中，均小于），現選取一點P打水井，使從水井P到三村莊A、B、C所鋪設的輸水管總長度最小，求輸水管總長度的最小值．18．（2022秋·山西臨汾·九年級統考期末）閱讀下列材料，并完成相應任務托勒密，古希臘天問學家、地理學家和光學家，而他在數學方面也有重大貢獻，下面就是托勒密發現的一個定理，圓內接四邊形的兩組對邊乘積之和等于兩條對角線的乘積．下面是該定理的證明過程（部分）已知：如圖①四邊形是的內接四邊形

求證：證明：以C頂點，為一邊作交于點E，使得又∵∴∴

∴，又，∴∴∴，∴∴

∴

即任務：(1)請將“托勒密”定理的證明過程補充完整；(2)當圓內接四邊形是矩形時，托勒密定理就是我們非常熟知的一個定理：．(3)如圖②若，試探究線段之間的數量關系，并利用托勒密定理證明這個結論．

19．（2023·湖南岳陽·統考二模）請閱讀下列材料，解答問題：克羅狄斯·托勒密（約90年—168年），是希臘數學家，天文學家，地理學家和占星家．在數學方面，他還論證了四邊形的特性，即有名的托勒密定理．托勒密定理：圓的內接四邊形的兩條對角線的乘積等于兩組對邊乘積的和．如圖，正五邊形ABCDE內接于，，則對角線BD的長為．

專題06圓中的重要模型--圓冪定理模型圓冪定理是一個總結性的定理，是對相交弦定理、切割線定理、割線定理、弦切角定理、托勒密定理以及它們推論的統一與歸納。可能是在19世紀由德國數學家施泰納（Steiner）或者法國數學家普朗克雷（Poncelet）提出的。圓冪定理的用法：可以利用圓冪定理求解與圓有關的線段比例、角度、面積等問題。模型1.相交弦模型條件：在圓O中，弦AB與弦CD交于點E，點E在圓O內。結論：。例1．（2023·廣東廣州·九年級校考期中）如圖，兩個同心圓，大圓的弦與小圓相切于點P，大圓的弦經過點P，且，，兩圓組成的圓環的面積是．

【答案】【分析】連接，，，，先根據切線的性質定理和垂徑定理證出，再證明，得到，代入數據求得，最后根據圓環的面積公式進行計算即可求解．【詳解】解：如圖，連接，，，，

∵大圓的弦與小圓相切于點P，∴，∴，，∵，，∴，∵，，∴，∴，即，解得：（負值舍去），∴圓環的面積為：，故答案為：．【點睛】此題綜合運用了切線的性質定理、垂徑定理、勾股定理、圓周角定理、圓環的面積公式，分別求出大圓和小圓的半徑是解題的關鍵．例2．（2023·江西景德鎮·九年級校考期末）如圖，PT是⊙O的切線，T為切點，PA是割線，交⊙O于A、B兩點，與直徑CT交于點D．已知CD＝2，AD＝3，BD＝4，那PB＝．【答案】20.【分析】連接AC，BT，AT，易證?CAD~?BTD，得到TD=6，易證：?BTP~?TAP，得：，設PB=x，則AP=x+7，，PD=x+4，根據勾股定理，即可求解.【詳解】連接AC，BT，AT，∵∠CAD=∠BTD，∠ADC=∠TDB，∴?CAD~?BTD，∴，即：∴TD=6，∵PT是⊙O的切線，T為切點，∴∠BTP+∠BTD=90°，∵CT是直徑，∴∠CAD+∠TAP=90°∵∠CAD=∠BTD，∴∠BTP=∠TAP，∵∠P=∠P，∴?BTP~?TAP，∴，即：，設PB=x，則AP=x+7，，PD=x+4，∵在Rt?DPT中，，∴，解得：x=20，故答案是：20.【點睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質定理與圓的性質的綜合，根據題意，添加輔助線，構造相似三角形，是解題的關鍵.例3．（2023·江蘇·九年級專題練習）相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．

(1)為了說明相交弦定理正確性，需要對其進行證明，如下給出了不完整的“已知”“求證”，請補充完整，并寫出證明過程．已知：如圖①，弦，交于點P，求證：______________．(2)如圖②，已知是的直徑，與弦交于點P，且于點P，過D作的切線，交的延長線于E，D為切點，若，的半徑為5，求的長．【答案】(1)，證明見解析(2)【分析】（1）先證明，再利用相似的性質即可；（2）利用（1）可知，求出，再證明，利用相似的性質求出，求差即可得到的長．【詳解】（1）求證：．證明：連接AC、BD．如圖①．

∵，．∴．∴．∴．（2）解：∵，，．由（1）可知．∴．∵，是的直徑，，．連接OD．如圖②．∵為切線．∴．∵．．∴．∴．∵，∴．∴，．又∵．∴．【點睛】本題考查了圓的相關性質，三角形相似的判定與性質，嚴格的邏輯思維和嚴密的書寫過程是解題的關鍵．模型2.雙割線模型條件：如圖，割線CH與弦CF交圓O于點E和點G。結論：例1．（2023·浙江·九年級假期作業）如圖：、為⊙O的兩條割線，若，，則的長為（）

A．10 B．7 C． D．3【答案】B【分析】如圖，連接，，可證，可得，從而可求得的長，進而可得到的長．【詳解】解：如圖，連接，，

∵，∴又∴∴

∵，，，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查了圓的內接四邊形性質，相似三角形的判定和性質，由相似三角形得到線段間數量關系是解題的關鍵．例2．（2023·四川成都·九年級校考階段練習）如圖，為的割線，且，交于點C，若，則的半徑的長為．【答案】【分析】延長交圓于點D，連接、，由圓內接四邊形內對角互補性質可得，結合鄰補角互補可得，繼而證明，由相似三角形對應邊成比例解得，由此計算，最后根據線段的和差解題即可．【詳解】如圖，延長交圓于點D，連接、，四邊形為圓內接四邊形，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴半徑為，故答案為：．【點睛】本題考查圓的內接四邊形、相似三角形的判定與性質等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．例3．（2022·河南洛陽·統考一模）我們知道，直線與圓有三種位置關系：相交、相切、相離．當直線與圓有兩個公共點（即直線與圓相交）時，這條直線就叫做圓的割線．割線也有一些相關的定理．比如，割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓交點的距離的積相等．下面給出了不完整的定理“證明一”，請補充完整．已知：如圖①，過外一點作的兩條割線，一條交于、點，另一條交于、點．求證：．證明一：連接、，∵和為所對的圓周角，∴______．又∵，∴______，∴______．即．研究后發現，如圖②，如果連接、，即可得到學習過的圓內接四邊形．那么或許割線定理也可以用圓內接四邊形的性質來證明．請根據提示，獨立完成證明二．證明二：連接、，【答案】證明一：，∽，；證明二見解析【分析】（1）證明∽即可得到結論；（2）根據圓內接四邊形的性質可得，進一步證明∽【詳解】解：證明一：連接、，∵和為所對的圓周角，∴．又∵，∴∽，∴．即．故答案為：，∽，，證明二：連接、，∵四邊形為圓內接四邊形，∴，又∵，∴，又∵，∴∽，∴，即．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關鍵．模型3.切割線模型條件：如圖，CB是圓O的切線，CA是圓O的割線。結論：例1．（2023·江蘇鹽城·九年級統考期中）如圖，與切于點，是的割線，如果，那么的長為.【答案】【分析】根據切割線定理得出PA2=PB?PC，再代入數據進行計算即可．【詳解】解：∵PA為⊙O的切線，A為切點，PBC是⊙O的割線，∴PA2=PB?PC，∵PB=BC=2，∴PC=4，∴PA2=4×2，∴故答案為【點睛】本題考查了切割線定理，解題的關鍵是運用切割線定理列方程求解．例2．（2023·河南鄭州·一模）復習鞏固，切線：直線和圓只有一個公共點，這時這條直線和圓相切，我們把這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點．割線：直線和圓有兩個公共點，這時這條直線和圓相交，我們把這條直線叫做圓的割線．切線長：過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間線段的長，叫做這點到圓的切線長．閱讀材料：《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得所著的一部數學著作．它是歐洲數學的基礎，總結了平面幾何五大公設，被廣泛地認為是歷史上學習數學幾何部分最成功的教科書．其中第三卷命題36﹣2圓冪定理（切割線定理）內容如下：切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．為了說明材料中定理的正確性，需要對其進行證明，下面已經寫了不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出證明過程．已知：如圖，A是⊙O外一點，．求證：．【答案】AB是⊙O的切線，直線ACD為⊙O的割線，AB2＝AC?AD，見解析【分析】按照題設要求，寫出“已知”和“求證”，然后證明△ABC∽△ADB，即可求解．【詳解】解：（已知：如圖，A是⊙O外一點，）AB是⊙O的切線，直線ACD為⊙O的割線．求證：AB2＝AC?AD．故答案為：AB是⊙O的切線，直線ACD為⊙O的割線，AB2＝AC?AD，證明：連接BD，連接BO并延長交⊙O于點E，連接CE，∵AB是⊙O的切線，∴∠ABC+∠CBE＝90°，∵BE是圓的直徑，∴∠BCE＝90°＝∠E+∠CBE，∴∠ABC＝∠E，而∠E＝∠CDB，∴∠ABC＝∠BDC，∵∠BAC＝∠DAB，∴△ABC∽△ADB，∴，∴AB2＝AC?AD．【點睛】本題考查了切線的性質，圓周角定理，相似三角形的判定及性質，作出輔助線是解決本題的關鍵．例3．（2023·山東濰坊·統考一模）如圖，是的直徑，點C、D在上，且平分，過點D作的垂線，與的延長線相交于E，與的延長線相交于點F，G為的下半圓弧的中點，交于H，連接(1)證明：是的切線；(2)若圓的半徑，求的長；(3)求證：．

【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【分析】（1）連接，證明即可由切線的判定定理得出結論；（2）連接，因為G是半圓弧中點，所以，在中，根據勾股定理求解即可；（3）證明，得，即可得出結論．【詳解】（1）連接，

，，又平分，，，，又，，∴是的切線；（2）連接，

∵G是半圓弧中點，，在中，，．∴．（3）∵是的直徑，，，由（1）得，是的切線，，，，，，又，，∴，．【點睛】本題考查切線的判定和性質，圓周角定理及其推論，勾股定理，相似三角形的判定與性質，解題關鍵是熟練掌握相關性質與判定定理．模型4.弦切角模型條件：如圖，CB是圓O的切線，AB是圓O的直徑。結論：1）；2）；3）。例1．（2023·河南三門峽·統考二模）小銳同學是一個數學學習愛好者，他在一本數學課外讀物上看到一個課本上沒有的與圓相關的角---弦切角（弦切角的定義：把頂點在圓上，一邊與圓相切，另一邊和圓相交的角叫做弦切角），并嘗試用所學的知識研究弦切角的有關性質．（1）如圖，直線與⊙O相切于點，，為⊙O上不同于的兩點，連接，，．請你寫出圖中的兩個弦切角______；（不添加新的字母和線段）（2）小銳目測和可能相等，并通過測量的方法驗證了他的結論，你能幫小銳用幾何推理的方法證明結論的正確性嗎？已知：如圖，直線與⊙O相切于點，，為圓上不同于的兩點，連接，，．求證：．（3）如果我們把上述結論稱為弦切角定理，請你用一句話概括弦切角定理______．【答案】（1），，，（任意寫出兩個即可）；（2）見解析；（3）弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角【分析】（1）根據弦切角的定義加以識別即可；（2）過點C作直徑CF，連接DF，借助于同弧所對的圓周角相等，將∠DEC轉化為∠F，所以只需證∠DCB=∠F即可．（3）由題意可歸納：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．【詳解】解：（1）弦CD、CE分別與切線CB構成的弦切角為：∠DCB，∠ECB；弦CD、CE分別與切線CA構成的弦切角為：∠DCA，∠ECA．故答案為：，，，（任意寫2個即可）（2）證明：過作直徑，連接．∵是直徑，∴．∴．又∵與相切于點，∴．∴．∴．∴．∴．（3）弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．【點睛】本題考查了圓的切線的性質、圓周角定理及推論、直角三角形的兩銳角互余等知識點，熟知上述圖形的相關性質是解題的基礎，對新定義的理解及問題的概括能力是關鍵.例2．（2022·山西大同·九年級校聯考期中）閱讀與思考閱讀下面內容并完成任務：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．如圖1，直線與相切于點，為的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夾的弧，是所對的圓周角，為直徑時，很容易證明．小華同學認為這是一種特殊情況，若不是直徑會如何呢？即在圖2中嗎？她連接并延長，交于點，連接…問題得到了解決．小穎同學利用圖3證明了當弦切角為直角時，弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．小亮積極思考，提出當弦切角為鈍角時，能證明（如圖4）嗎？任務：(1)請按照小華的思路，利用圖2證明；(2)結合小華、小穎的思路或結論，利用圖4解答小亮提出的問題；(3)寫出在上面解決問題的過程中體現的數學思想：______（寫出兩種）；(4)解決問題：如圖5，點為的弦延長線上一點，切于點，連接，，，，則______°【答案】(1)見解析(2)見解析(3)轉化思想和類比思想(4)【分析】（1）連接并延長，交于點，連接，則，根據是的直徑，可得，再根據切線的性質可得，即可；（2）連接并延長，交于點，連接，根據是的直徑，可得，再根據切線的性質可得，從而得到，再由圓內接四邊形的性質，可得，即可；（3）上面解決問題的過程中體現的數學思想為：轉化思想和類比思想；（4）接并延長，交于點，連接，則，證明，即可．【詳解】（1）證明：連接并延長，交于點，連接，則，∵是的直徑，∴，∴，∵直線與相切于點，∴，∴，∴，∴；（2）證明：連接并延長，交于點，連接，∵是的直徑，∴，∴，∵直線與相切于點，∴，∴，∴，∵四邊形是的內接四邊形，∴，∵，∴；（3）解：上面解決問題的過程中體現的數學思想為：轉化思想和類比思想；故答案為：思想轉化思想和類比思想（4）解：如圖，接并延長，交于點，連接，則，∵是的直徑，∴，∴，∵直線與相切于點，∴，∴，∴，∴，∵，，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，切線的性質，圓內接四邊形的性質，熟練掌握圓周角定理，切線的性質，圓內接四邊形的性質是解題的關鍵．模型5.托勒密定理模型條件：如圖，AB、CD是圓O的兩條弦；結論：例1．（2022春·廣東九年級課時練習）閱讀與應用請閱讀下列材料，完成相應的任務：托勒密是“地心說”的集大成者，著名的天文學家、地理學家、占星學家和光學家．后人從托勒密的書中發現一個命題：圓內接四邊形對邊乘積的和等于對角線的乘積．下面是對這個命題的證明過程．如圖1，四邊形ABCD內接于．求證：．證明：如圖2，作交BD于點E．∵，∴．（依據）∴．∴．．…∴．∴．∴．∵，∴．∴．任務：(1)證明過程中的“依據”是______；(2)補全證明過程；(3)如圖3，的內接五邊形ABCDE的邊長都為2，求對角線BD的長．【答案】(1)同弧所對的圓周角相等；(2)見解析；(3)；【分析】（1）根據同弧所對的圓周角相等可得；（2）由可得，再由可得；（3）連接AD，BE，由可得，進而，BE=AD=BD，再由解方程即可；【詳解】（1）解：∵同弧所對的圓周角相等，，∴；故答案為：同弧所對的圓周角相等；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴；（3）解：如圖，連接AD，BE，∵，∴，∴，∴，∴BE=AD=BD，∵四邊形ABDE是的內接四邊形，∴，∵，∴，解得：或（舍去），∴對角線BD的長為；【點睛】本題考查了圓內接多邊形，圓心角、弧、弦關系，相似三角形的判定和性質，一元二次方程等知識；掌握在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等是解題關鍵．例2．（2023·江蘇鹽城·九年級統考期中）【舊知再現】圓內接四邊形的對角.如圖①，四邊形是的內接四邊形，若，則.【問題創新】圓內接四邊形的邊會有特殊性質嗎？如圖②，某數學興趣小組進行深入研究發現：證明：如圖③，作，交于點.

∵，∴，∴

即

（請按他們的思路繼續完成證明）【應用遷移】如圖④，已知等邊外接圓，點為上一點，且，，求的長.【答案】【舊知再現】互補，

110；【問題創新】見解析；【應用遷移】【分析】【重溫舊知】根據圓周角定理，得出，，化簡得出，利用等腰三角形的兩個底角相等和圓內接四邊形對角互補，即可得；【提出問題】所得等式兩邊加上AD?BC，右邊變形后即可得證；【應用遷移】由上題的結論，根據為等邊三角形，可得AB=AC=BC，代入化簡即可求出PA的長.【詳解】（1）如圖示：連接OA，OC，根據圓周角定理，則有：，∴∴圓內接四邊形的對角互補；∵，∴在等腰三角形ABD中，∴（2）證明：如圖，∵∴，即，又∵，∴∴，即∴，∴，（3）由（2）可知∵是等邊三角形，∴，∴，∴即.【點睛】此題屬于圓的綜合題，涉及的知識有：圓內接四邊形的性質，等邊三角形的性質，相似三角形的判定與性質，熟練掌握圓內接四邊形的性質是解本題的關鍵．課后專項訓練1．（2023·北京·九年級校考期中）如圖，點是外一點，為的一條割線，且，交于點，若，，則長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設PA=AB=x，延長PO交圓于點D．證明得PA?PB=PC?PD即可求得PA的長，也就得到了AB的長．【詳解】解：設PA=AB=x，延長PO交圓于點D．連接BD，AC∵四邊形ABDC內接于∴又∴∴∴PA?PB=PC?PD，∵OC=3，OP=5，∴PC=2，PD=5+3=8∴x?2x=16，∴x=∴．故選：B．【點睛】本題考查了圓內接四邊形以及相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關鍵．2．（2023·山東九年級月考）如圖，過點作的兩條割線分別交于點、和點、，已知，，則的長是（）A．3 B．7.5 C．5 D．5.5【答案】B【分析】由已知可得PB的長，再根據割線定理得PA?PB=PC?PD即可求得PD的長.【詳解】解：∵PA=3，AB=PC=2，∴PB=5，∵PA?PB=PC?PD，∴PD=7.5，故選B.【點睛】主要是考查了割線定理的運用.3．（2023·浙江·中考模擬）如圖,PT是外切兩圓的公切線,T為切點,PAB,PCD分別為這兩圓的割線,若PA=3,PB=6,PC=2,則PD等于(

)A．12 B．9 C．8 D．4【答案】B【分析】根據切割線定理得PT2=PA?PB，PT2=PC?PD，所以PA?PB=PC?PD，從而可求得PD的長.【詳解】∵PT2=PA?PB，PT2=PC?PD，∴PA?PB=PC?PD，∵PA=3，PB=6，PC=2，∴PD=9．故選B．4．（2023·浙江杭州·模擬預測）如圖，過點引圓的兩條割線和，分別交圓于點和，連結，則在下列各比例式中，①；②；③，成立的有（把你認為成立的比例式的序號都填上）．【答案】②③【分析】根據已知及相似三角形的判定方法得到，△PAD∽△PCB，根據相似三角形的對應邊的比相等從而可得到答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，∴∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC，∴△PAD∽△PCB，∴，∴①錯誤；②正確；③連接AC，BD，∵∠P=∠P，∠PBD=∠PCA，∴△PAC∽△PDB，∴，∴，正確；故答案為：②③．【點睛】本題主要考查了圓內接四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，注意到題目中的相似三角形是解決本題的關鍵．5．（2023·北京九年級月考）如圖，割線、分別交于和，若，，，則．【答案】【分析】設PA=x，則PB=3x，由切割線定理得，2×（16+2）=x?3x，求解即可．【詳解】設PA=x，∵PA：AB=1：2，∴AB=2x，∴PB=3x，由切割線定理得，2×（16+2）=x?3x，解得x=2，∴AB=4．故答案為4．【點睛】本題考查了切割線定理和勾股定理，是基礎知識要熟練掌握．6．（2023·浙江紹興·模擬預測）四邊形內接于圓，對角線交點為E，，若、都是整數，則的值為．【答案】3或4【分析】證明△ABD∽△AEB，求出AD，從而得到DE，再證明△AEC∽△BED，得到BE·CE=12，根據BE，CE都是整數可得所有可能的取值，再根據三角形三邊關系可得BE，CE都是整數，從而得到DE的取值．【詳解】解：∵AB=AC=4，AE=2，∴∠ADB=∠ADC，∵∠ABC=∠ADC，∴∠ADB=∠ABC，又∠BAD=∠BAE，∴△ABD∽△AEB，∴，即，∴AD=8，∴DE=6，∵∠CAE=∠DBE，∠ACE=∠BDE，∴△AEC∽△BED，∴，即，∴BE·CE=12，∵BE，CE都是整數，則BE和CE可取的值為3，4或2，6或1，12；∵AB=AC=4，∴BC＜AB+AC=8，∴BC=3+4=7，∴BE的值為3或4，故答案為：3或4．【點睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質，以及三角形三邊關系，解題的關鍵是找出適當的相似三角形得到線段關系．7．（2023·遼寧大連·模擬預測）如圖1，內接于，點D為圓外上方一點，連接，若．(1)求證：是的切線；(2)如圖2，連接．若，，，求的半徑．（注：本題不允許使用弦切角定理）【答案】(1)見解析(2)R=【分析】(1)連接，根據圓周角定理，得到；根據，得到即，等量代換即可證明．(2)延長交于F，連接，過A作于E．先證明，再利用勾股定理，三角函數計算，的長度，再次運用勾股定理求解即可．【詳解】（1）如圖，連接，根據題意，得；∵，∴即，∵，∴，∴，∴是的切線．（2）如圖，延長交于F，連接，過A作于E．∵是的直徑，，∴，，，∴，∴，∵，∴，∴，解得（舍去），∴；∵；∴，∴，，∴，∴，故的半徑為．【點睛】本題考查了圓周角定理，正切函數，三角形相似的判定和性質，勾股定理，切線的判定，熟練掌握正切函數，三角形相似的判定和性質，勾股定理是解題的關鍵．8．（2022秋·四川綿陽·九年級統考期中）定義：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．如圖1，為的切線，點為切點，為內一條弦，即為弦切角．(1)古希臘數學家歐幾里得的《幾何原本》是一部不朽的數學巨著，全書共13卷，以第1卷的23個定義、5個公設和5個公理作為基本出發點，給出了119個定義和465個命題及證明．第三卷中命題32一弦切角定理的內容是：“弦切角的度數等于它所夾的弧所對的圓心角度數的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度數．”如下給出了弦切角定理不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，并寫出“證明”過程．已知：如圖2，為的切線，點為切點，為內一條弦，點在上，連接，，，．求證：．證明：(2)如圖3，為的切線，為切點，點是上一動點，過點作于點，交于，連接，，．若，，求弦的長．【答案】(1)見解析(2)21【分析】（1）如圖2，延長交于，連接，根據圓周角定理得到，求得，根據切線的性質得到，求得，于是得到結論；（2）如圖3，連接，根據勾股定理得到，根據切線的性質得到，根據相似三角形的性質即可得到結論．【詳解】（1）解：求證：，證明：如圖2，延長交于，連接，是的直徑，，，為的切線，，，，，；即；（2）如圖3，連接，，，，為的切線，，，，，，．【點睛】本題考查了切線的性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關鍵．9．（2023秋·山西呂梁·九年級校考期末）閱讀與思考：閱讀下列材料，并完成相應的任務．米勒定理米勒（）是德國的數學家，是歐洲最有影響的數學家之一，米勒發表的《三角全書》，是使得三角學在歐洲取得獨立地位的第一部系統性著作．下面是米勒定理（又稱切割線定理）的證明過程已知：如圖1，與相切于點A，與相交于點B，C．求證：．證明：如圖2，連接．∵為的切線，∴，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，……

任務：(1)請完成剩余的證明過程(2)應用：如圖3，是的切線，經過的圓心O，且，割線交于點D，E，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據提供的過程，繼而證明，可得，再轉化為；（2）連接，根據切割線定理得到，，將已知線段代入求出，再代入中，即可求出結果．【詳解】（1）解：證明：如圖2，連接．∵為的切線，∴，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：由（1）可知：，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，圓的性質，根據題干中的材料，熟練掌握割線定理是解題的關鍵．10．（2023·山西呂梁·校考模擬預測）閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到與圓交點的兩條線段長的比例中項．證明過程如下：如圖1：已知：點P是外一點，是切線，F是切點，是割線，點A，B是它與的交點，求證：證明：連接并延長交于C，連接，∵是的切線，（依據________________________________)∵是的直徑，（依據_______________________________)

又∵（依據_____________________________________)......任務：(1)完成材料證明部分中的“依據”，填入空格．(2)把證明過程補充完整．(3)定理應用：已知為的切線，T是切點，是的割線，交于D，為的直徑，，求的長．【答案】(1)切線的性質定理；直徑所對的圓周角是直角；同弧所對的圓周角相等(2)見解析(3)【分析】（1）利用圓周角定理推論、切線性質找等角即可解答；（2）先構造相似三角形，再根據相似三角形對應邊成比例解答即可；（3）設，如圖：連接，先證，再根據相似三角形的性質列式求得x，然后再利用切割線定理求y長度即可．【詳解】（1）證明：連接并延長交與C，連接，∵是的切線，（依據：切線的性質定理)∵是的直徑，（依據：直徑所對的圓周角是直角)

又∵（依據：同弧所對的圓周角相等)…………故答案為：切線的性質定理；直徑所對的圓周角是直角；同弧所對的圓周角相等．（2）證明：連接并延長交與C，連接，∵是的切線，（依據：切線的性質定理)∵是的直徑，（依據：直徑所對的圓周角是直角)

又∵（依據：同弧所對的圓周角相等)又∵∴

．（3）解：設，如圖：連接，∵∴，∴，即，解得：或（舍去）由切割線定理，由勾股定理可得：，解得，∴.【點睛】本題綜合考查了閱讀理解能力、圓周角定理、切線的性質定理、切線長定理、相似三角形的判定與性質等知識點，從閱讀材料中提取有用信息是解答本題的關鍵．11．（2023·江蘇·九年級專題練習）閱讀下列材料，完成相應任務：弗朗索瓦?韋達，法國杰出數學家．第一個有意識地和系統地使用字母來表示已知數、未知數及其乘冪，帶來了代數學理論研究的重大進步，在歐洲被尊稱為“代數學之父”．他還發現從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項（切割線定理）．如圖1，P是外一點，是的切線，是的一條割線，與的另一個交點為B，則．證明：如圖2，連接、，過點C作的直徑，連接．∵是的切線，∴，∴，即．……任務：(1)請按照上面證明思路寫出該證明的剩余部分．(2)如圖3，與相切于點A，連接并延長與交于點B、C，，，，連接．①與的位置關系是．②求的長．【答案】(1)見解析(2)①平行；②【分析】（1）先根據切線的性質和圓周角定理證得，進而證明，利用相似三角形的性質求解即可；（2）根據圓周角定理證得，根據平行線的判定即可得出結論；（3）連接，根據已知和（1）中結論和求得，，再利用勾股定理求得，然后證明，利用相似三角形的性質即可求解．【詳解】（1）證明：如圖2，連接、，過點C作的直徑，連接．∵是的切線，∴，∴，即．∵是直徑，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：①∵，，∴，∴，故答案為：平行；②如圖3，連接，∵與相切，為割線，∴，∵，∴，∴，即，∴，由（1）可知，，∴，∴，在中，，由勾股定理可知，，∴，即，∴，由（1）中證明過程可知，又，∴，∴，即∴．【點睛】本題考查圓的切線和割線性質、相似三角形的判定與性質、圓周角定理、平行線的判定、勾股定理等知識，熟練掌握相關知識的聯系與運用，利用相似三角形的性質探究線段間的數量關系是解答的關鍵．12．（2022秋·山西·九年級校聯考期末）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．切割線定理揭示了從圓外一點引圓的切線和割線時，切線與割線之間的關系．如圖1，是外一點，切于點，交于點（即是的割線），則．下面是切割線定理的證明過程：證明：如圖2，連接并延長，交于點，連接．切于點，．．是的直徑，……(1)根據前面的證明思路，補全剩余的證明過程；(2)在圖1中，已知，，則______，______．【答案】(1)見解析(2)，【分析】（1）先證明，再證明，即可補充完成證明過程；（2）根據可求出的值，根據可求出的值．【詳解】（1）證明：如圖2，連接并延長，交于點，連接．∵切于點，∴．∴．∵是的直徑，∴，∴．∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）解：∵，，∴．∴，∴．∵，∴，∴．故答案為：，．【點睛】本題考查了切線的性質，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，證明是解答本題的關鍵．13．（2022·山西·三模）閱讀與思考請閱讀下列材料，并完成相應的任務．人們在研究圓與直線的位置和數量關系時，發現存在這樣一個關系：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點構成的兩條線段長的比例中項．這個幾何關系也叫圓的切割線定理．喜歡探究的小明嘗試給出了該定理的如下證明：已知：如圖1，P為⊙O外一點，切線PA與圓相切于點A，割線PBC與圓相交于點B，C．求證：．證明：如圖2，連接AB，AC，BO，AO．∵PA切⊙O于點A，∴，即．∵，∴．∵，∴．……任務：(1)請幫助小明補充完成以上證明過程．(2)如圖，割線PDE與圓交于點D，E，且，，連接BE，過點C向下作交PE的延長線于點F，求EF的長．【答案】(1)補充證明見解析(2)【分析】（1）根據圓周角定理確定∠O=2∠PCA，根據角的和差關系和等價代換思想確定∠APB=∠CPA，然后根據相似三角形的判定定理和性質即可證明．（2）根據（1）中結論先求出PA2，然后求出PE的長度，最后根據平行線分線段成比例定理即可求出EF的長度．【詳解】（1）解：補充證明如下．∵∠PCA和∠O分別是所對的圓周角和圓心角，∴∠O=2∠PCA．∴2∠OAB+2∠PCA=180°．∴∠OAB+∠PCA=90°．∴∠PAB=∠PCA．∵∠APB=∠CPA，∴．∴．∴．（2）解：由（1）中結論可知，．∵PB=BC=4，∴PC=PB+BC=8．∴．∵PD=5，∴．∴．∵，∴．∴．【點睛】本題考查圓周角定理，角的和差關系，相似三角形的判定定理和性質，平行線分線段成比例定理，正確應用（1）中結論是解題關鍵．14．（2022·河南商丘·統考二模）讀下面材料，并完成相應的任務切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項．下面是不完整的證明過程，請補充完整．已知：P為外一點，PA與交于A，B兩點，PM與相切于點M．求證：．證明：如圖，連接AM，BM，連接MO并延長交于點C，連接BC．∵PM為的切線，∴_______，∴，∵CM為的直徑，∴_______，∴，∴_______，∵，∴．∵，∴_______．∴，∴．學習任務：如圖，若線段AB與相交于C，D兩點，且，射線AB，BF為的兩條切線，切點分別為E，F，連接CF．(1)求證：；(2)若，，，求的面積．【答案】(1)∠CMP；∠CBM；∠BMP；△PMA；見解析(2)27【分析】閱讀材料：連接AM，BM，連接MO并延長交于點C，連接BC，證△PMA即可得出結論；（1）由閱讀材料得，，再由AC=BD，證AD=BC，即可得出結論；（2）由閱讀材料得，從而求出，再過點F作于點G，解求出，最后利用計算即可求解．【詳解】（1）閱讀材料證明：如圖，連接AM，BM，連接MO并延長交于點C，連接BC．∵PM為的切線，∴∠CMP，∴，∵CM為的直徑，∴∠CBM，∴，∴∠BMP，∵，∴．∵，∴△PMA．∴，∴．故答案為：∠CMP，∠CBM，∠BMP，△PMA．（1）證明：∵AE，BF為的兩條切線，∴，．∵，∴，即．∴，∴．（2）解：∵，設，則，，由由閱讀材料得，，即，解得，∴，如圖1，過點F作于點G，在中，，即，∴．【點睛】本題考查切線的性質，相似三角形的判定與性質，解直角三角形，本題屬閱讀材料題，通過閱讀，探究出一個結論，再運用結論解決其他問題，屬中考試常用考類型．15．（2023·河南周口·校考三模）閱讀與思考學習了圓的相關知識后，某數學興趣小組的同學們進行了如下探究活動，請仔細閱讀，并完成相應任務．割線定理如圖，A是外一點，過點A作直線分別交于點B，C，D，E，則有．

證明：如圖，連接．∵（依據：①________________），，∴．∴②_________________．∴．任務：(1)上述閱讀材料中①處應填的內容是________，②處應填的內容是_______．(2)興趣小組的同學們繼續思考，當直線AE與圓相切時，是否仍有類似的結論．請將下列已知、求證補充完整，并給出證明．已知：如圖，A是外一點，過點A的直線交于點B，C，__________．求證：___________．

【答案】(1)同弧所對的圓周角相等；；(2)與相切于點E．；證明見解析【分析】（1）根據題意得到結論即可；（2）如圖，連接，證明即可得到結論．【詳解】（1）如圖，連接．∵（依據：①__同弧所對的圓周角相等__），，∴．∴②_______．∴．故答案為：同弧所對的圓周角相等；；（2）已知：如圖，A是外一點，過點A的直線交于點B，C，與相切于點E．求證：．

證明：如圖，連接，連接并延長交于點D，連接．

∵為的切線