培優(yōu)課12與球有關(guān)的切、接問題培優(yōu)點一外接球（定義法）典例1已知一個正六棱柱的頂點都在同一個球面上（審題①可以確定球心位置在正六棱柱的中截面中心），且該六棱柱的體積為98（審題②利用體積公式求出高），底面周長為3（審題③求出底面外接圓半徑），則這個球的體積為解題觀摩[解析]設(shè)正六棱柱的底面邊長為a，正六棱柱的高為?，底面外接圓的半徑為r，球的半徑為R，因為底面周長為3所以底面積S=則V柱則R2故球的體積V=在空間中，如果一個定點到一個簡單多面體的所有頂點的距離都相等，那么這個定點就是該簡單多面體外接球的球心，則可以得到以下結(jié)論:1.正方體或長方體的外接球的球心為其體對角線的中點；2.正棱柱的外接球的球心是上、下底面中心連線的中點；3.直三棱柱的外接球的球心是上、下底面外心連線的中點；4.正棱錐的外接球的球心在其高上，具體位置由計算可得;5.若棱錐的頂點可構(gòu)成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心.將柱體改為錐體1.如圖，在三棱錐A?PBC中，∠APC=π4，∠BPC=π3，PA⊥AC，PB⊥BC，平面PAC⊥平面PBC，三棱錐A?PBC[解析]如圖，取PC的中點O，連接AO,BO，因為PA⊥AC，PB⊥BC，所以O(shè)A=12PC,設(shè)OA=R，則OA=OB=OC=OP=R，PC=又因為平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC=PC，AO?平面PAC因為∠BPC=π3，PB⊥BC，所以V三棱錐A?PBC=13逆用定義法求棱錐的高2.已知A，B，C是半徑為2的球O的球面上的三個點，且AC⊥BC，AC=BC=[解析]如圖,由AC⊥BC可知，△ABC又AC=BC=所以Rt△ABC的外接圓的圓心為AB的中點O1，半徑連接OO1,因為O為球心，所以O(shè)O1⊥平面ABC，即O在Rt△OO1B中，OB=則V三棱錐O?ABC=培優(yōu)點二外接球（截面法）典例2已知正四棱錐S?ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為2（審題①可以求正四棱錐的高），點解題觀摩[解析]如圖，過S作SO1⊥平面ABCD，垂足為O在Rt△S因為SC所以O(shè)所以球的半徑r=1，故球的體積為幾何體外接球問題的處理方法解題關(guān)鍵是確定球心和半徑，其解題思維流程：（R—球的半徑，r—截面圓的半徑，【注意】若截面為非特殊三角形，則可用正弦定理求其外接圓的半徑r.將四棱錐改為三棱錐1.已知A，B，C是半徑為2的球O的球面上的三個點，且AC⊥BC,AC=3,BC=A.36 B.62 C.66[解析]由題意，BA=2，設(shè)AB的中點為D，由OA=根據(jù)勾股定理，得OD=OA2?AD2=1，如圖，連接CD，由OC2=2=CD2+OD2，得OD⊥逆用外接球的定義法求高2.在球面幾何中，球面兩點之間最短的距離為經(jīng)過這兩點的大圓的劣弧長，稱為測地線.已知A，B，C是球O球面上的三個點，AC⊥BC，AC=BC=1，三棱錐O?ABC的體積為[解析]由題意知，△ABC截面圓的圓心在AB的中點O所以O(shè)O1⊥平面ABC，AB設(shè)球O的半徑為r，V三棱錐O?ABC=13S△ABC?OO培優(yōu)點三外接球（補形法）典例3在三棱錐P?ABC中，PA,PB,PC兩兩垂直（審題①考慮補形為長方體），且PA=1解題觀摩[解析]設(shè)三棱錐P?ABC的外接球的半徑為R，因為PA,PB,PC所以補形到長方體中，如圖，…………審題①三條側(cè)棱分別為長方體的長、寬、高，所以該三棱錐的外接球就是由它補形成的長方體的外接球，則球心O是體對角線的中點,所以R=故外接球的表面積S=1.若幾何體中存在側(cè)棱與底面垂直或存在三條兩兩垂直的線段或者三條線有兩條垂直，可構(gòu)造墻角模型，幾何體體對角線的中點即球心.2.若三棱錐的對棱相等，此時探尋球心無從著手.因為長方體的相對面的面對角線相等，所以可在長方體中構(gòu)造三棱錐，從而巧妙探索外接球的球心與半徑.3.補形后可參照培優(yōu)點一的通性通法確定球心.加入翻折元素1.已知等邊三角形ABC的邊長為2，D為BC的中點，沿AD進行折疊，使折疊后的∠BDC=π2，則過A，B，C，A.3π B.4π C.5π[解析]連接BC（圖略），由題知幾何體A?BCD為三棱錐，BD=CD=1，AD=3，BD⊥AD，CD⊥AD，側(cè)棱垂直于底面2.在三棱錐A?BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD=BD=2，CD=4[解析]根據(jù)題意可知BC⊥平面ABD，則BC⊥BD，即AD，BC，BD三條線兩兩垂直，所以可將三棱錐A?BCD補形法之對棱相等型3.在三棱錐A?BCD中，AB=CD=2,[解析]設(shè)外接球的半徑為R，考慮到三棱錐A?BCD的對棱相等，將其補形到長方體中所以該三棱錐的外接球就是由它補形成的長方體的外接球，則球心O位于體對角線的中點，設(shè)此長方體的長、寬、高分別為x,y,z，則{x2所以R=x2培優(yōu)點四內(nèi)切球典例4已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球（審題①考慮半徑最大的球為內(nèi)切球?qū)忣}②考慮等面積法求出軸面內(nèi)切圓的半徑即內(nèi)切球的半徑）的體積為2π解題觀摩[解析]易知圓錐內(nèi)半徑最大的球為圓錐的內(nèi)切球，…………審題①球與圓錐內(nèi)切的軸截面如圖所示，其中BC=2,設(shè)M為BC邊上的中點，內(nèi)切圓的圓心為O，由于AM=32設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r,則S即S△ABC=12幾何體內(nèi)切球問題的處理策略解題時常用以下結(jié)論確定球心和半徑：1.球心在過切點且與切面垂直的直線上；2.球心到各面的距離相等；3.利用等體積法求多面體內(nèi)切球的半徑r=3VS求球的截面的面積1.如圖，已知球O是棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1A.6π6 B.π3 C.π[解析]平面ACD1截球O的截面為△AC∵正方體的棱長為1，∴AC∴內(nèi)切圓半徑r=tan∴S=πr由圓錐變?yōu)檎拿骟w2.[2024·河南聯(lián)考]數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意獨特的幾何體，“勒洛四面體”就是其中之一.勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心，正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分.如圖，在勒洛四面體中，正四面體ABCD