剛體的平面運動1

§9–1Introductiontoplanemotionofarigidbody

§9–2Planemotioncanbedecomposedinto translationandrotation·Equationsof planemotion

§9–3Velocityofapointinaplanefigure

§9–4Accelerationofapointinaplanefigure·InstantaneouscenterofzeroaccelerationLessonforproblemsolvingChapter9:Planemotionofarigidbody2

§9–1剛體平面運動的概述§9–2平面運動分解為平動和轉動·

剛體的平面運動方程§9–3平面圖形內各點的速度§9–4平面圖形內各點的加速度·

加速度瞬心的概念習題課剛體的平面運動3Inengineering,weoftenencountertheplanemotionofarigidbody,whichismorecomplicated．Investigationintothiskindofmotionisconductedonthebasisoftranslationandrotationofarigidbodyusingcompositionanddecompositionofmotions.Decomposingaplanemotionintotranslationandrotation,andemployingthetheoryofcompositionofmotions，theformulaeforfindingthevelocityandaccelerationofpointintherigidbodycanbederived.

§9-1Introductiontoplanemotionofarigidbody1.Definitionofplanemotionofarigidbody

Thedistancebetweenanypointinarigidbodyandafixedplanealwayskeepsunchangedduringitsmotion.Inotherwords,anypointintherigidbodymovesinaplaneparalleltothefixedplane.Themotiondescribedaboveiscalledplanemotionofarigidbody.Kinematics4

剛體的平面運動是工程上常見的一種運動，這是一種較為復雜的運動．對它的研究可以在研究剛體的平動和定軸轉動的基礎上，通過運動合成和分解的方法，將平面運動分解為上述兩種基本運動．然后應用合成運動的理論，推導出平面運動剛體上一點的速度和加速度的計算公式．運動學§9-1剛體平面運動的概述一．平面運動的定義

在運動過程中，剛體上任一點到某一固定平面的距離始終保持不變．也就是說，剛體上任一點都在與該固定平面平行的某一平面內運動．具有這種特點的運動稱為剛體的平面運動．5Forexample:Examinethemotionoftherodinacrank-rodmechanism.SincepointAmovesinacircularpath,andpintBmovealongastraightline，themotionoftherodABisneithertranslationnorrotationaboutafixedaxis，butplanemotion.Kinematics6例如:曲柄連桿機構中連桿AB的運動，A點作圓周運動，B點作直線運動，因此，AB桿的運動既不是平動也不是定軸轉動，而是平面運動．運動學7KinematicsPleaselookattheanimation8運動學請看動畫9

2．Simplificationofaplanemotion

Aplanemotionofarigidbodycansimplifiedtoamotionofaplanefigureintheplaneitself.Asindicatedinthefigure,whenstudyingaplanemotionofarigidbody,wedonotneedtoconsideritsgeometricalshapeandsizearenotneeded，andinstead,consideringthemotionofaplanefigureisenoughtodeterminethevelocityandaccelerationofanypointintherigidbody.Kinematics10運動學

二．平面運動的簡化

剛體的平面運動可以簡化為平面圖形S在其自身平面內的運動．即在研究平面運動時，不需考慮剛體的形狀和尺寸，只需研究平面圖形的運動，確定平面圖形上各點的速度和加速度．11§9–2Planemotioncanbedecomposedintotranslationandrotation·Equationsofplanemotion

1.Equationsofplanemotion

Todeterminethepositionofaplanefigure,whichrepresentstheplanemotionofarigidbody,onlythepositionofalinesegmentinthisfigureisneededtobedetermined.ThepositionofalinesegmentABcanbedeterminedbythecoordinatesofpointAandtheanglebetweenABandtheaxisx.Therefore,thepositionofthefigureScanbedeterminedbythesethreeindependentvariables.Hence,wehave

Kinematics12§9-2平面運動分解為平動和轉動·

剛體的平面運動方程運動學

一．平面運動方程為了確定代表平面運動剛體的平面圖形的位置，我們只需確定平面圖形內任意一條線段的位置．

任意線段AB的位置可用A點的坐標和AB與x軸夾角表示．因此圖形S的位置決定于三個獨立的參變量．所以13

2．Planemotioncanbedecomposedintotranslationandrotation

WhenpointAinthefigureSkeepsstatic，therigidbodyrotatesaboutafixedaxisWhentheangle

inthefigureSkeepsunchanged，therigidbodyhastranslatorymotion.Therefore,aplanemotioncanbeviewedasthecompositionofatranslationandrotation．EquationsofplanemotionThecanbefoundfromthisequationatanyinstantt,andthusthelocationoftheplanefigureScanbedetermined.Kinematics14

二．平面運動分解為平動和轉動當圖形Ｓ上Ａ點不動時，則剛體作定軸轉動當圖形Ｓ上

角不變時，則剛體作平動．故剛體平面運動可以看成是平動和轉動的合成運動．運動學平面運動方程對于每一瞬時

t

，都可以求出對應的，圖形S在該瞬時的位置也就確定了。15Example

Motionofawheel．

Theplanemotionofthewheelcanbeviewedasthecompositionofthetranslationwiththevehiclebodyandtherotationrelativetothevehicle.Planemotionofthewheelrelativetothestaticreferencesystem(absolutemotion)Translationofthevehiclebody(movingsystemAx

y

)relativetostaticsystem (convectedmotion)Rotationofthewheelrelativetothevehicle(movingsystemAx

y

) (relativemotion)Kinematics16運動學例如車輪的運動．車輪的平面運動可以看成是車輪隨同車廂的平動和相對車廂的轉動的合成．

車輪對于靜系的平面運動（絕對運動）車廂（動系Ax

y

)相對靜系的平動（牽連運動）車輪相對車廂（動系Ax

y

）的轉動（相對運動）

17ThearbitrarilyselectedpointAiscalledapole.Thus,PlanemotionofawheelTranslationwiththepoleARotationaboutthepoleAAplanemotionofarigidbodycanbedecomposedintoatranslationwithapoleandarotationaboutthepole．Kinematics18運動學

我們稱動系上的原點Ａ為基點，于是車輪的平面運動隨基點A的平動繞基點A'的轉動剛體的平面運動可以分解為隨基點的平動和繞基點的轉動．19

Anotherexample:planefigureＳmovesfrompositionItopositionIIinainterval

t.SelectpointAasapole:TranslatethefiguretogetherwithAtothepositionA'B'',andthenrotateitaroundAthroughanangletothefinalpositionA'B‘.SelectpointAasapole:TranslateittogetherwithBtothepositionA''B',andthenrotateitaroundBthroughanangletothefinalpositionA'B'Clearly,AB

A'B''

A''B'，wehaveKinematics20運動學

再例如:平面圖形Ｓ在

ｔ時間內從位置I運動到位置II

以A為基點:

隨基點A平動到A'B''后,繞基點轉角到A'B'

以B為基點:

隨基點B平動到A''B'后,繞基點轉角到A'B'圖中看出：AB

A'B''

A''B'，于是有21

Inconclusion，thetranslationinaplanemotiondependsontheselectionofthepole，however,therotationabouttheselectedpoleDOESNOTdependonthechoiceofapole．(Inotherwords,theinstant,ofanyrotationsaboutANYpolesarethesame）Theselectionofthepoleisarbitrary.(Weusuallyselectapointwithknownmotionasthepole.)Kinematics22運動學

所以，平面運動隨基點平動的運動規律與基點的選擇有關，而繞基點轉動的規律與基點選取無關．(即在同一瞬間，圖形繞任一基點轉動的,都是相同的）基點的選取是任意的。(通常選取運動情況已知的點作為基點)23Crank-rodmechanismRodABhasplanemotionDecompositionoftheplanemotion（pleaselookattheanimation）Kinematics24運動學曲柄連桿機構AB桿作平面運動平面運動的分解（請看動畫）25§9-3velocityofanypointinaplanefigure

Employthetheoremofvelocitycomposition

thevelocityatpointBcanbeexpressedasThevelocityofpointAinfigureSandtherotationalvelocity

ofthefigurearegiven,find.SelectAasthepole,andfixthemovingreferencesystemtopointA.Themotionofthemovingsystemistranslation.ConsiderthemovingpointB,itsmotioncanbeviewedasthecompositionofthetranslation,theconvectedmotion,andtherotation,therelativemotion pointtotherotationdirection.Kinematics1.pole-basedmethod(compositionmethod)26§9-3平面圖形內各點的速度

運動學根據速度合成定理則Ｂ點速度為：

一．基點法（合成法）取B為動點,則B點的運動可視為牽連運動為平動和相對運動為圓周運動的合成已知：圖形S內一點A的速度，圖形角速度

求：指向與

轉向一致．取A為基點,將動系固結于A點,動系作平動。27SincepointAandBarearbitrarilyselected,theequation

givestherelationshipbetweenthevelocitiesofanytwopointinthefigure.Notingthat

,projectingthisequationtoAB，gives——theoremofvelocityprojectionI.e.,thevelocityprojectionsofanytwopointinafigureonthelinelinkingthesetwopointsareidentical．Thismethodforfindthevelocityofapointiscalledvelocityprojectionmethod．Thatis,thevelocityofanypointinthefigureisobtainedasthegeometricsumofthevelocityofthepoleandtherelativerotationalvelocitywithrespecttothepole.Suchamethodoffindingthevelocityiscalledpole-basedmethod,orcompositionmethod,whichisabasicmethodtofindthevelocityofapointinafigure．2．VelocityprojectionmethodKinematics28由于A,B點是任意的，因此表示了圖形上任意兩點速度間的關系．由于恒有，因此將上式在AB上投影，有—速度投影定理即平面圖形上任意兩點的速度在該兩點連線上的投影彼此相等．這種求解速度的方法稱為速度投影法．運動學即平面圖形上任一點的速度等于基點的速度與該點隨圖形繞基點轉動的速度的矢量和．這種求解速度的方法稱為基點法，也稱為合成法．它是求解平面圖形內一點速度的基本方法．二．速度投影法293.Instantaneousvelocitycentermethod

(1)BackgroundIfapointwhosevelocityiszeroisselectedasthepole,theprocessoffindingthevelocityofanypointwillbegreatlysimplified.Hence,itisnaturaltoaskifsuchapointexistsinanyinstant.Ifitdoesexist,howtofindsuchapoint?

(2)ConceptofInstantaneousvelocitycenter

ConsideraplanefigureS.ThevelocityofpointAis

,andtheangularvelocityofthefigureis.Take

alineALalongthedirectionof,andthenturnit90ointhedirectionof

to

AL‘andfindthepointPinAL‘byletting,wehave Kinematics30

三．瞬時速度中心法（速度瞬心法）

1.問題的提出若選取速度為零的點作為基點，求解速度問題的計算會大大簡化．于是，自然會提出，在某一瞬時圖形是否有一點速度等于零？如果存在的話，該點如何確定？運動學

２．速度瞬心的概念平面圖形S，某瞬時其上一點A速度,圖形角速度

，沿方向取半直線AL,然后順

的轉向轉90o至AL'的位置,在AL'上取長度則： 31Atanyinstant,theremustexistasolepointwhosevelocityiszero，whichiscalledtheinstantaneousvelocitycenterofthisfigureatthisinstant.3.MethodstodeterminetheInstantaneousvelocitycenter①Whenthevelocityofapointandtheangularvelocity

ofthefigureareknown,theinstantaneousvelocitycenter(pointP)canbedetermined.

andpointPisinthedirectionofthelineformedbyrotatingthethrough90ointhedirectionofaroundpointA．②Whenaplanefigurerollsalongafixedsurfacewithoutslipping,thecontactpointPbetweenthefigureandthefixedsurfacewillbetheinstantaneousvelocitycenter.

Kinematics32

即在某一瞬時必唯一存在一點速度等于零，該點稱為平面圖形在該瞬時的瞬時速度中心，簡稱速度瞬心．運動學３．幾種確定速度瞬心位置的方法

①已知圖形上一點的速度和圖形角速度

，可以確定速度瞬心的位置．（P點）且Ｐ在順

轉向繞A點轉90o的方向一側．

②已知一平面圖形在固定面上作無滑動的滾動,則圖形與固定面的接觸點P為速度瞬心．33

④ThemagnitudesofthevelocitiesoftwopointsAandBatanyinstantaregiven,and .(b)(a)

③WhenthedirectionsofthevelocitiesattwopointsAandBinafigureareknown,and,drawlinesfromAandBperpendiculartorespectively,andthecrosspointPofthesetwolineswillbetheinstantaneousvelocitycenter.Kinematics34

運動學

④

已知某瞬時圖形上A,B兩點速度大小,且(b)(a)

③已知某瞬間平面圖形上A,B兩點速度的方向，且 。過A,B兩點分別作速度的垂線,交點

P即為該瞬間的速度瞬心。35

Inaddition,ifvA＝vB

incase

④

，themotionisinstantaneoustranslationtoo.

⑤ThevelocitiesoftwopointsAandBpointtothesamedirectionatanyinstant,buttheyarenotperpendiculartolineAB.

Inthiscase,theinstantaneousvelocitycenterisindefinitelyfaraway,andtheangularvelocity

=0,i.e.allpointinthefigurehavethesamevelocityatthisinstantoftime.Suchamotioniscalledinstantaneoustranslation,(buttheiraccelerationsarenotidentical).Kinematics36

運動學另：對

種(a)的情況，若vA＝vB，則是瞬時平動．⑤已知某瞬時圖形上A,B兩點的速度方向相同，且不與AB連線垂直．此時,圖形的瞬心在無窮遠處,圖形的角速度

=0,圖形上各點速度相等,這種情況稱為瞬時平動.(此時各點的加速度不相等)37

Example:Attheinstantoftimeshowninthefigure,therodBCinthecrank-rodmechanismhasinstantaneoustranslation.TheangularvelocityoftherodBC,ThevelocitiesofallpointsinBCareidentical,buttheiraccelerationsarenot.If

isuniform

，thenButthedirectionof

isalongAC,

Instantaneoustranslationisdifferentfromtranslation.Kinematics38

例如:曲柄連桿機構在圖示位置時，連桿BC作瞬時平動．此時連桿BC的圖形角速度，BC桿上各點的速度都相等.但各點的加速度并不相等．設勻

，則而的方向沿AC的，瞬時平動與平動不同運動學39４.InstantaneousvelocitycentermethodThemethodforfindingthevelocityofapointinafigureusinginstantaneousvelocitycenteriscalledinstantaneousvelocitycentermethod.

Atanyinstantoftime,themotionofafigurecanbeviewedastherotationaroundtheinstantaneousvelocitycenter.

IfPistheinstantaneousvelocitycenter,thevelocityofanypointA anditsdirection

AP,pointingthesamedirectionwith.

５.Cautions

Thepositionofthetheinstantaneousvelocitycenterisnotfixedatalltime，itchangesinstantlywithtime,andexistsuniquelyatanyinstantoftime.

Onlythevelocityattheinstantaneousvelocitycenteriszero,butitsaccelerationisnotcertainlyzero.Thisdiffersfromtherotationaboutafixedaxis.

Whenarigidbodyisininstantaneoustranslation,althoughthevelocitiesatallpointsinitareidentical,buttheiraccelerationsarenotnecessarilyidentical.Thisisdifferentfromthetranslatorymotion.Kinematics40４.速度瞬心法利用速度瞬心求解平面圖形上點的速度的方法,稱為速度瞬心法.平面圖形在任一瞬時的運動可以視為繞速度瞬心的瞬時轉動，速度瞬心又稱為平面圖形的瞬時轉動中心。若P點為速度瞬心，則任意一點A的速度方向

AP，指向與

一致。

運動學５.注意的問題

速度瞬心在平面圖形上的位置不是固定的，而是隨時間不斷變化的。在任一瞬時是唯一存在的。

速度瞬心處的速度為零,加速度不一定為零。不同于定軸轉動

剛體作瞬時平動時，雖然各點的速度相同，但各點的加速度是不一定相同的。不同于剛體作平動。41Solution:Inthismechanism,OArotatesaboutafixedaxis,ABhasplanemotion,andpistonBhastranslation.

Pole-basedmethod（compositionmethod）

ConsiderABandtakeAasthepole.Itsdirectionisshowninthefigures.（）[Example1]Inacrank-rodmechanism,OA=AB=l,andthecrankOArotateswithauniform.Find:when

=45o,thevelocityofpistonBandtheangularvelocityofrodAB．KinematicsSince DrawtheparallelogramofvelocitiesatpointB,asshowninthefigure.42解：機構中,OA作定軸轉動,AB作平面運動,滑塊B作平動。

基點法（合成法）研究AB，以A為基點，且方向如圖示。（）運動學[例1]

已知：曲柄連桿機構OA=AB=l，取柄OA以勻

轉動。求：當

=45o時,滑塊B的速度及AB桿的角速度．根據在Ｂ點做速度平行四邊形，如圖示。43（）Trytocomparethesethreemethods.Employingtheoremofvelocityprojection ,WehaveWecannotfind.

Velocityprojectionmethod.ConsiderAB.,anditsdirection

OA,

isalongBO.

InstantaneousvelocitycentermethodConsiderAB.Sincethedirectionsofareknown,wecandeterminetheinstantaneouscenterofvelocityatpointP.Kinematics44（）試比較上述三種方法的特點。運動學根據速度投影定理不能求出

速度投影法研究AB,

,方向

OA,方向沿BO直線

速度瞬心法研究AB，已知的方向，因此可確定出P點為速度瞬心45§9-4Accelerationofapointinaplanefigure·InstantaneouscenterofaccelerationTakeAasthepole,andfixthemovingreferencesystemontoA.TakeBasthemovingpoint,themotionofpointBcanbedecomposedintoarelativemotion(circularmotion)andaconvectedmotion(translation)withthepole.Hence,employingthetheoremofaccelerationcomposition ,thefollowingformulacanbeobtained:1.Pole-basedmethod(compositionmethod)Ataninstantoftime,theaccelerationofapointAinafigureS,

and

aregiven.FindtheaccelerationofanypointBinthefigure.Kinematics46§9-4平面圖形內各點的加速度加速度瞬心的概念取A為基點，將平動坐標系固結于A點取B動點，則B點的運動分解為相對運動為圓周運動和牽連運動為平動．于是,由牽連平動時加速度合成定理可得如下公式．運動學一.基點法(合成法)已知：圖形S內一點A的加速度和圖形的

,

（某一瞬時）。求：該瞬時圖形上任一點B的加速度。47where

,direction

AB,pointingtothesamedirectionwith

;whichisalongABandpointstoA.

Theaccelerationofanypointinafigureequalstothegeometricsumoftheaccelerationofthepole,tangentialandnormalaccelerationsofthispointrotatingaboutthepoletogetherwiththefigure.Thismethodtofindtheaccelerationofapointiscallpole-basedmethod,orcompositionmethod,whichisthebasicmethodtofindingtheaccelerationofapointinaplanefigure.Theformulagivenaboveisanequationintermsofplanevectors.Therefore,wecansolvetwounknownsfromitprovidedthattheothervariablesaregiven.Sincethedirectionsof

arealwaysknown,tosolvetheunknowns,onlyfourothervariablesareneeded.Kinematics48其中：，方向

AB，指向與

一致；，方向沿AB，指向A點。運動學即平面圖形內任一點的加速度等于基點的加速度與該點隨圖形繞基點轉動的切向加速度和法向加速度的矢量和。這種求解加速度的方法稱為基點法，也稱為合成法。是求解平面圖形內一點加速度的基本方法。上述公式是一平面矢量方程。需知其中六個要素，方能求出其余兩個。由于方位總是已知，所以在使用該公式中，只要再知道四個要素，即可解出問題的待求量。49

2.Instantaneouscenterofacceleration

DuetothedependentofonthepointB,wecanalwaysfindapointQinthefigure，atwhichtherelativeaccelerationhasthesamemagnitudebutoppositedirectionwiththeaccelerationinthepolesothattheabsoluteacceleration.SuchapointQiscalledtheinstantaneouscenterofacceleration.Kinematics50

二．加速度瞬心．由于的大小和方向隨B點的不同而不同,所以總可以在圖形內找到一點Q，在此瞬時，相對加速度大小恰與基點A的加速度等值反向，其絕對加速度,Q點就稱為圖形在該瞬時的加速度瞬心．運動學51[Note]

Ingeneral,theinstantaneouscenterofaccelerationdoesnotcoincidewiththeinstantaneouscenterofvelocity.

Ingeneral，thereisnosimilarrelationshipbetweentheaccelerationsattwopointsgiveninthetheoremofvelocityprojection.Thatistosay,thefollowingrelationshipdoesnotholdingeneral:Onlyinthespecialcasewhere

=0,thefigureisininstantaneoustranslation,holds.Inotherwords,iftheangularvelocityofaplanefigureiszeroataninstantoftime,theaccelerationprojectionsofanytwopointinafigureonthelinelinkingthesetwopointsareidentical

．Kinematics52運動學[注]

一般情況下,加速度瞬心與速度瞬心不是同一個點．

一般情況下，對于加速度沒有類似于速度投影定理的關系式.即一般情況下,圖形上任意兩點A,B的加速度

若某瞬時圖形

=0,即瞬時平動,則有即若平面圖形在運動過程中某瞬時的角速度等于零，則該瞬時圖形上任意兩點的加速度在這兩點連線上的投影相等．53

Sinceitisnoteasytofindtheinstantaneouscenterofaccelerationandtheredoesnotexistsarelationshipsimilartothetheoremofvelocityprojection,instantaneouscenterofaccelerationisnotwidelyusedtofindaccelerationsofagivenpoint.Instead,thepolemethodisoftenemployed.Analysis：

magnitude？√Ｒ

Ｒw

2

direction？√√√Therefore,

and

shouldbesolvedfirst.（）

[Example1]

AwheelwithradiusRrollsonaplanesurfacewithoutslipping.ThevelocityandaccelerationattheitscenterOaregiven.FindtheaccelerationatthecontactpointP.Solution:ThewheelhasplanemotionandPistheinstantaneousvelocitycenter.Kinematics54

由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那樣容易確定，且一般情況下又不存在類似于速度投影定理的關系式，故常采用基點法求圖形上各點的加速度或圖形角加速度．分析：大小？√Ｒ

Ｒw

2

方向？√√√故應先求出

．（）運動學

[例1]

半徑為R的車輪沿直線作純滾動,已知輪心O點的速度及加速度,求車輪與軌道接觸點P的加速度．解：輪O作平面運動，P為速度瞬心，55Sincetheequationgivenaboveisvalidatanyinstant,andpointOmovesalongastraightline,weobtain（）Itisevidentthattheaccelerationattheinstantaneouscenterofvelocityisnotzero,whichmeansthatpointPisnottheinstantaneouscenterofacceleration.Inthiscase,theaccelerationofattheinstantaneouscenterofvelocityPpointstothecenterofthewheel.

TakingOasthepole，yields

Asshowninthevectordiagramoftheaccelerations,（andareequalinmagnitudebutoppositeindirection）

i.e.

Kinematics56

由于此式在任何瞬時都成立，且O點作直線運動，故而（）

由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心．當車輪沿固定的直線軌道作純滾動時，其速度瞬心P的加速度指向輪心．運動學以O為基點，有其中：做出加速度矢量圖，由圖中看出：（與等值反向）

即57Solution:(a)ABhastranslation,[Example2]Attheinstantshowninthefigure,O1A=O2BandO1A/O2B.Are

1and

2or

1and

2identicalincase(a)and(b).

(a)(b)Kinematics58解：(a)AB作平動，運動學[例2]

已知O1A=O2B,圖示瞬時O1A/O2B

試問(a),(b)兩種情況下

1和

2，

1和

2是否相等？(a)(b)59(b)ABhasplanemotion,anditisininstantaneoustranslationatthisinstantoftime.Therefore .Kinematics60(b)AB作平面運動,圖示瞬時作瞬時平動,此時運動學61[Example3]Inacrank-rodmechanism,theradiusofthewheelisR=15cm,n=60rpmFind

Ｂand

Ｂ

ofthewheelwhen

=60oandOA

AB.Lookfortheanimationonthenextpage

Kinematics62運動學[例3]

曲柄滾輪機構滾子半徑R=15cm,n=60rpm求：當

=60o時(OA

AB),滾輪的

Ｂ，

Ｂ．翻頁請看動畫

63LookattheanimationKinematics64請看動畫65

Solution：OArotatesaboutafixedaxis,ABandwheelBhaveplanemotions.Consider

rodAB.（）P１istheinstantaneousvelocitycenterofABAnalysis:Tofind

Ｂ,

Ｂ

ofthewheel,vB

and

aB

shouldbeworkedoutfirst.P2P1vBP2istheinstantaneousvelocitycenterofthewheelKinematics66

解：OA定軸轉動,AB桿和輪B作平面運動研究AB：（）P１為其速度瞬心運動學分析:要想求出滾輪的

Ｂ,

Ｂ先要求出vB,

aBP2P1vBP2為輪速度瞬心67TakeAasthepole,PointingtoOMagnitude？√？√Direction√√√√Drawthevectordiagramforaccelerations.ProjectingtheaboveequationontoBA,gives）(）(ConsiderwheelB：its

instantaneousvelocitycenterisP2Kinematics68運動學取A為基點，指向O點大小？√？√方向√√√√作加速度矢量圖，將上式向BA線上投影）(）(研究輪B：P2為其速度瞬心69LessonofproblemsolvingforChapter91.Conceptsandcontent

(1)Definitionofplanemotion

Thedistancebetweenanypointinarigidbodyandafixedplanealwayskeepsunchangedduringitsmotion.

(2)Simplificationofplanemotion

ThemotionofaplanefigureintherigidbodyparallelwiththefixedplaneSinitsownplanecanbeusedtorepresenttheplanemotionoftheentirerigidbody.

(3)Decompositionofplanemotion.Itcanbedecomposedinto:

(4)Pole

Theoreticallyspeaking,anyapointinthefigurecanbeselectedasthepole.Weusuallychoseapointwithknownmotionasthepole.Translationtogetherwiththepole（itdependsonthechoiceofpole）

Rotationaroundthepole（itdoesnotdependontheselectionofpole）Kinematics70剛體平面運動習題課一．概念與內容

1.剛體平面運動的定義剛體運動時，其上任一點到某固定平面的距離保持不變．

2.剛體平面運動的簡化可以用剛體上一個與固定平面平行的平面圖形S在自身平面內的運動代替剛體的整體運動．

3.剛體平面運動的分解分解為

4.基點

可以選擇平面圖形內任意一點,通常是運動狀態已知的點．隨基點的平動（平動規律與基點的選擇有關）繞基點的轉動（轉動規律與基點的選擇無關）運動學71(5)Instantaneouscenterofvelocity

Atanyinstantoftime,thereexistsasolepointinthefigureoritsextensionwhosevelocityiszero.

Thelocationoftheinstantaneouscenterofvelocitychangeswithtime.

Atanyinstant,themotionofaplanefigurecanbeviewedastheinstantrotationaroundtheinstantaneouscenterofvelocity.However,thisinstantrotationisdifferentfromtherotationaboutafixedaxis.

=0,instantaneouscenterofvelocityisindefinitelyfaraway.Inthiscase,allpointshavethesamevelocityandtherigidbodyisininstantaneoustranslation.

Notethatinstantaneoustranslationisdifferentfromtranslation.Kinematics72運動學5.瞬心（速度瞬心）

任一瞬時,平面圖形或擴大部分都唯一存在一個速度為零的點

瞬心位置隨時間改變．

每一瞬時平面圖形的運動可視為繞該瞬時瞬心的轉動．這種瞬時繞瞬心的轉動與定軸轉動不同．

=0,瞬心位于無窮遠處,各點速度相同,剛體作瞬時平動,瞬時平動與平動不同．73(6)Rotationandtranslationaretwospecialcasesofplanemotion.(7)Methodstofindvelocityofanypointinafigure

polemethod：

velocityprojectionmethod：

instantaneousvelocitycentermethod：Inthesemethods,thepolemethodsisthebasicmethod,andtheinstantaneousvelocitycentermethodisaspecialcaseofthepolemethod.Kinematics74運動學6.剛體定軸轉動和平面平動是剛體平面運動的特例．7.求平面圖形上任一點速度的方法

基點法：

速度投影法：

速度瞬心法：其中，基點法是最基本的公式，瞬心法是基點法的特例．75

(8)Methodstofindaccelerationofapointinafigurepolemethod：,Aisthepole.Thisisthemostusefulmethod.Inaddition,when

=0,i.e.instantaneoustranslation,wecanalsoemploy

.Itisthespecialcaseofthepolemethodwhen

=0.(9)Conditionsfortheapplicationsofthemethodsusedinplanemotionandcompositionofmotions

methodsusedinplanemotionareappliedtofindtherelationshipbetweenthevelocities/accelerationsofanytwopointsordeterminetherelationshipamongthevelocity,accelerationofapointandtheangularvelocityandangularaccelerationofONErigidbodyhavingplanemotion.

ThemethodsusedinthecompositionofmotionsareusuallyappliedtodeterminethetransferofmotionatthecontactpointwhereTWOrigidbodiesareincontactandrelativeslippingexists.

Kinematics76

8.求平面圖形上一點加速度的方法 基點法：，A為基點,是最常用的方法 此外，當

=0,瞬時平動時也可采用方法 它是基點法在

=0時的特例。運動學9.平面運動方法與合成運動方法的應用條件

平面運動方法用于研究一個平面運動剛體上任意兩點的速度、加速度之間的關系及任意一點的速度、加速度與圖形角速度、角加速度之間的關系．

合成運動方法常用來確定兩個相接觸的物體在接觸點處有相對滑動時的運動關系的傳遞．772.Stepsinproblemsolvingandsomekeypoints

(1)Accordingtotheinformationgivenintheproblemandthedefinitionsofthemotionsofarigidbody,determinethetypeofmotionsoftherigidbodiesappearedintheproblem.Notethatonlyonerigidbodyshouldbeconsideredeachtime.

Kinematics(2)Forarigidbodywithplanemotion,，properlychooseasuitablemethodtofindthevelocity(orangularvelocity)ofapointbasedontheknownandunknownconditions.Tofindaccelerations,polemethodisrecommended.

(3)Dothethoroughanalysisforvelocitiesandaccelerations,andfinallysolvetheunknowns.(Polemethod:properlyselectapoleandthendrawtheparallelogramforvelocitiesandthevectordiagramforaccelerations；Velocityprojectionmethod:itslimitationisthat

cannotbefound;Instantaneousvelocitycentermethod:findtheInstantaneousvelocitycenteristhekeystep.)78二．解題步驟和要點

1.根據題意和剛體各種運動的定義，判斷機構中各剛體的運動形式．注意每一次的研