24.3正多邊形和圓（1）

第一課時

敬憚&棕

了解正多邊形和圓的有關概念；理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、

中心角之間的關系，會應用多邊形和圓的有關知識畫多邊形.

復習正多邊形概念，讓學生盡可能講出生活中盼多邊形為引題引入正多邊形

和圓這一節間的內容.

fcs關鍵

1.重點：講清正多邊形和圓中心正多邊形半徑、中心角、弦心距、邊長之

間的關系.

2.難點與關鍵：通過例題使學生理解四者：正多邊形半徑、中心角、弦心

距、邊長之間的關系.

教學4連

一、復習引入

請同學們口答下面兩個問題.

1.什么叫正多邊形？

2.從你身邊舉出兩三個正多邊形的實例，正多邊形具有軸對稱、中心對稱

嗎?其對稱軸有幾條，對稱中心是哪一點？

點評：1.各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形.

2.實例略.正多邊形是軸對稱圖形，對稱軸有無數多條；

Ap

正多邊形是中心對稱圖形，其對稱中心是正多邊對應頂點的連線XyV

交點?

C-D

二、探索新知

如果我們以正多邊形對應頂點的交點作為圓心，過點到頂點的連線為半徑，

能夠作一個圓，很明顯，這個正多邊形的各個頂點都在這個圓上，如圖，正六邊

形ABCDEF,連結OD、CF交于一點，以0為圓心，0A為半徑作圓，那么肯定B、

C、D、E、F都在這個圓上.

因此，正多邊形和圓的關系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就

可以作出這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓.

我們以圓內接正六邊形為例證明（略）.

為了今后學習和應用的方便，我們把一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個

多邊形的中心.

外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.

正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.ED

中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.尸

例L已知正六邊形ABC—DEF,如圖所示，其外接圓的半MB

徑是n,求正六邊形的周長和面積.

分析：要求正六邊形的周長，只要求AB的長，已知條件是外接圓半徑，因

此自然而然，邊長應與半徑掛上鉤，很自然應連接0A,過0點作OMLAB垂于M,

在RtaAOM中便可求得AM,又應用垂徑定理可求得AB的長.正六邊形的面積是

由六塊正三角形面積組成的.

例2.利用你手中的工具畫一個邊長為3cm的正五邊形.

分析：要畫正五邊形，首先要畫一個圓，然后對圓五等分，因此，應該先求

邊長為3的正五邊形的半徑.

三、鞏固練習教材P115練習1、2、3,P116探究題、練習.

四、應用拓展

例3.在直徑為AB的半圓內，劃出一塊三角形區域，如圖所示，使三角形

的一邊為AB,頂點C在半圓圓周上，其它兩邊分別為6和8,現要建造一個內

接于4ABC的矩形水池DEFN,其中D、E在AB上，如圖的設計方案是使AC=8,

BC=6.

（1）求aABC的邊AB上的高.（2）設DN『，且與產=翳當z取何值時，水池

DEFN的面積最大？

（3）實際施工時，發現在AB上距B點1.85的M處有一

棵大樹，問：這棵大樹是否位于最大矩形水池的邊上?如果在，/平卜

為了保護大樹，請設計出另外的ADGEB

方案，使內接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹.

分析：要求矩形的面積最大，先要列出面積表達式，再考慮最值的求法，初

中階段，尤其現學的知識，應用配方法求最值，（3）的設計要有新意，應用圓的

對稱性就能圓滿解決此題.

五、歸納小結（學生小結，點評）

本節課應掌握：

1.正多邊和圓的有關概念：正多邊形的中心，正多邊形的半徑，正多邊形

的中心角，正多邊的邊心距.

2.正多邊形的半徑、正多邊形的中心角、邊長、正多邊的邊心距之間的等

量關系.

3.畫正多邊形的方法.

4.運用以上的知識解決實際問題.

六、布置作業教材PUT復習鞏固1綜合運用5、7Pus的8

正多邊形和圓

教學目標：

(1)使學生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關系的第一個定

理；

(2)通過正多邊形定義教學，培養學生歸納能力；通過正多邊形與圓關系

定理的教學培養學生觀察、猜想、推理、遷移能力；

(3)進一步向學生滲透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辯證法思

想.

教學重點：

正多邊形的概念與正多邊形和圓的關系的第一個定理.

教學難點：

對定理的理解以及定理的證明方法.

教學活動設計：

(一)觀察、分析、歸納：

觀察、分析：

1.等邊三角形的邊、角各有什么性質？

2.正方形的邊、角各有什么性質？

歸納：等邊三角形與正方形的邊、角性質的共同點.

教師組織學生進行，并可以提問學生問題.

(二)正多邊形的概念：

(1)概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形.如果一個正多

邊形有n(nN3)條邊，就叫正n邊形.等邊三角形有三條邊叫正三角形，正

方形有四條邊叫正四邊形.

(2)概念理解:

①請同學們舉例，自己在日常生活中見過的正多邊形.(正三角形、正方

形、正六邊形，…….)

②矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？

矩形不是正多邊形，因為邊不一定相等.菱形不是正多邊形，因為角

不一定相等.

（三）分析、發現：

A

問題：正多邊形與圓有什么關系呢？

發現：正三角形與正方形都有內切圓和外接圓，并且為同

心圓.

分析：正三角形三個頂點把圓三等分；正方形的四個頂點把圓四等分.要

將圓五等分，把等分點順次連結，可得正五邊形.要將圓六等分呢？

（四）多邊形和圓的關系的定理

定理：把圓分成n（nZ3）等份：

⑴依次連結各分點所得的多邊形是這個圓的內接正n邊形；

⑵經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的

外切正n邊形.

我們以n=5的情況進行證明.

已知：。0中，AB=BC=CD=DE=EA,TP、PQ、QR、RS、ST分別是

經過點A、B、C、D、E的G）0的切線.

求證：（1）五邊形ABCDE是。O的內接正五邊形；

（2）五邊形PQRST是。O的外切正五邊形.

證明：（略）

引導學生分析、歸納證明思路：

弦相等

][多邊形各邊相等

n圓周角相等n多邊形是正多邊形

多邊形各角相等

弧相等弦切角相等

說明：（1）要判定一個多邊形是不是正多邊形，除根據定義來判定外，還可

以根據這個定理來判定，即：①依次連結圓的n（叱3）等分點，所得的多邊

形是正多迫形；②經過圓的n（nN3）等分點作圓的切線，相鄰切線相交成的

多邊形是正多邊形.

⑵要注意定理中的“依次”、“相鄰”等條件.

⑶此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據它判斷一多邊形為正

多邊形或根據它作正多邊形.

（五）初步應用

P157練習

1、（口答）矩形是正多邊形嗎?菱形是正多邊形