第13章不等式【學法導航】1不等式的概念和性質是本部分內容的基礎，要高度重視不等式的概念和性質，弄清每一個性質和結論，做到深刻理解并能夠靈活應用。2熟練掌握不等式的解法即含有參數的不等式的解法。解不等式是研究函數和方程的重要工具，在學習中不僅要注重不等式在研究函數與方程的工具作用，更要重視不等式、方程、函數三者之間的相互轉化。3均值不等式應用范圍非常廣泛，可與高中數學大部分章節的知識進行綜合考查，但在高考中的考查卻不外乎大小判斷、求最值、求取值范圍等。因此，把握均值不等式應用的前提以及均值不等式的構造是復習這個知識點的關鍵。4重視不等式的綜合應用。不等式單獨命題較少，常在函數、數列、立體幾何、解析幾何和應用題解題過程中涉及，加強不等式的應用能力是提高解綜合問題的關鍵，因此，在復習時應加強這方面知識和能力的訓練，提高應用意識。5注重思想方法的復習和應用。解決不等式問題中經常用到的思想方法有：等價轉化思想、分論討論思想、函數與方程的思想、化歸思想等總之，學習本章應做到立足基礎、培養能力、有的放矢、重點突出、學會建模、提高素質?！緦ｎ}綜合】在《考試大綱》中，雖然沒有對利用不等式解決實際問題和不等式在函數、方程、數列、解析幾何、平面向量、導數、極限和概率與統計等方面的綜合應用提出具體要求，但在解答高考題時，無處不涉及到不等式的有關知識，特別是綜合性強的題更要以不等式作“工具”來解決．不等式的綜合應用主要涉及以下三個方面:1．建立函數關系，利用均值不等式求最值.根據題設條件建立函數關系式，并創設基本不等式應用背景．在應用均值不等式求最值時要注意的是“一正二定三等”，即求和（積）的最小值（最大值）時，必須使其積（和）為定值，并且要注意各項是否為正，確保等號成立的條件是否成立（即各項是否能相等）.2．建立不等式求參數的取值范圍.常見的問題有：(l）在集合問題中的應用；(2）在方程（組）的解的討論中的應用；(3）在函數、導數和數列問題中的應用；(4）在平面向量、解析幾何和立體幾何中的應用;(5)在概率與統計中的應用等等．解決這類問題的基本方法是根據條件列出相關的不等式（組）解不等式，或利用函數單調性、均值不等式求其值域．3．利用不等式解決實際問題.不等式的應用題大致可分為兩類：一類是建立不等式求參數的取值范圍或解決一些實際應用問題，另一類是建立函數關系，利用均值不等式或函數的單調性求最值問題．應用不等式解題的關鍵是建立不等關系．解不等式應用問題步驟：審題，建立不等模型，利用不等式有關知識解題．解決問題的具體模式如下:現實世界中的實際問題不等式模型實際問題的解不等式的解1.不等式與方程例1(2007廣東)已知a是實數，函數，如果函數在區間上有零點，求a的取值范圍.解：若,,顯然在上沒有零點,所以.令,解得①當時,恰有一個零點在上;②當，即時，在上也恰有一個零點.③當在上有兩個零點時,則或解得或綜上所求實數的取值范圍是或.2.不等式與數列例2(2008安徽卷21）設數列滿足為實數（Ⅰ）證明：對任意成立的充分必要條件是；（Ⅱ）設，證明：;（Ⅲ）設，證明：解(1)必要性：，又，即充分性：設，對用數學歸納法證明當時，.假設則，且，由數學歸納法知對所有成立(2)設，當時，，結論成立當時，,由（1）知，所以且(3)設，當時，，結論成立當時，由（2）知3.不等式與解析幾何例3(2008年全國Ⅱ理科21文科22）高考)設橢圓中心在坐標原點，A(2,0)、B(0,1)是它的兩個頂點，直線與AB相交于點D，與橢圓相較于E、F兩點.(Ⅰ)若,求k的值；(Ⅱ)求四邊形AEBF面積的最大值.解：（Ⅰ）依題設得橢圓的方程為，直線的方程分別為，．如圖，設，其中，DFByxADFByxAOE故．①由知，得；由在上知，得．所以，化簡得，解得或．（Ⅱ）解法一：根據點到直線的距離公式和①式知，點到的距離分別為，．又，所以四邊形的面積為，當，即當時，上式取等號．所以的最大值為．解法二：由題設，，．設，，由①得，，故四邊形的面積為，當時，上式取等號．所以的最大值為．4.不等式與概率統計例4（2006遼寧卷）現有甲、乙兩個項目，對甲項目每投資十萬元，一年后利潤是1.2萬元、1.18萬元、1.17萬元的概率分別為、、;已知乙項目的利潤與產品價格的調整有關,在每次調整中價格下降的概率都是,設乙項目產品價格在一年內進行2次獨立的調整,記乙項目產品價格在一年內的下降次數為,對乙項目每投資十萬元,取0、1、2時,一年后相應利潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元.隨機變量、分別表示對甲、乙兩項目各投資十萬元一年后的利潤.(I)求、的概率分布和數學期望、;(II)當時,求的取值范圍.分析解決問題的關鍵是準確求出事件的分布列.解(I)的概率分布為1.21.181.17pE=1.2+1.18+1.17=1.18.由題設得,則的概率分布為012P故的概率分布為1.31.250.2P∴的數學期望為E=++=.(II)由,得:.∵0<p<1,∴時,.點評本題考查二項分布、分布列、數學期望、方差和不等式等基礎知識,以及運用概率知識解決實際問題的能力.不等式與概率與統計的綜合考查,是高考出現的新亮點,2006年北京卷的第18題也是這種題,這是一種新的命題趨向,應引起足夠的重視.5.不等式與函數例5（2009全國卷Ⅰ理）設函數在兩個極值點，且（I）求滿足的約束條件，并在下面的坐標平面內，畫出滿足這些條件的點的區域；(II)證明：分析（I）這一問主要考查了二次函數根的分布及線性規劃作可行域的能力。大部分考生有思路并能夠得分。由題意知方程有兩個根則有故有右圖中陰影部分即是滿足這些條件的點的區域。(II)這一問考生不易得分，有一定的區分度。主要原因是含字母較多，不易找到突破口。此題主要利用消元的手段，消去目標中的，（如果消會較繁瑣）再利用的范圍，并借助（I）中的約束條件得進而求解，有較強的技巧性解：由題意有．．．．．．．．．．．．①又．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②消去可得．又，且6.不等式與實際問題例6（2009湖北卷文）（本小題滿分12分）圍建一個面積為360m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻（利用舊墻需維修），其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2m（Ⅰ）將y表示為x的函數：（Ⅱ）試確定x,使修建此矩形場地圍墻的總費用最小，并求出最小總費用解：（1）如圖，設矩形的另一邊長為am則-45x-180(x-2)+180·2a=225x+360a-360由已知xa=360,得a=,所以y=225x+(II).當且僅當225x=時，等號成立.即當x=24m時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是10440元.點評本題主要考查學生分析問題和解決實際問題的能力,以及數學建模的能力.【專題突破】1.(2006春上海)若，則下列不等式成立的是()A..B..C..D..答案:C2.(2004北京）已知a、b、c滿足，且，那么下列選項中不一定成立的是 （）A． B．C．D．答案:C3.對于實數，下命題正確的是()A.若a<b,則.B.若,則.C.若,則.D.若a>b>0,d>c>0,則答案:C4.已知集合，集合，則集合（）A.B.C.D.解選C.,,.5.設f(x)=則不等式f(x)>2的解集為()A.B.C.D.解:由已知得或即或也即或解得或.故選C.6.下列結論正確的是（）A．當 B．C．的最小值為2 D．當無最大值答案:Ｂ７.(2005福建)設的最小值是 （）A． B． C．－3D．答案：Ｃ8.不等式的解集是．答案:（0，2）9.（2009浙江理）若實數滿足不等式組則的最小值是．答案：4【解析】通過畫出其線性規劃，可知直線過點時，10.（山東卷16）若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整數有且僅有1，2，3，則b的取值范圍。答案:（5，7）.11.(2005北京)經過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內，某公路段汽車的車流量（千輛/小時）與汽車的平均速度v（千米/小時）之間的函數關系為：．(1)在該時段內，當汽車的平均速度為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？（精確到千輛/小時）（2）解：（Ⅰ）依題意，（Ⅱ）由條件得整理得v2－89v+1600<0,即（v－25）（v－64）<0,解得25<v<64.答：當v