常德市高2024屆高三高考模擬試卷

數學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號框涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號框.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫

在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.若集合A={x|2座-3>0,meR}淇中2eA且則實數機的取值范圍是（）

3333）33

A.了司C.D.

“5Ml4J2

2.已知復數2=（：05巴+isinC（i為虛數單位），則閆=（）

66

1V31+V3

A.-B.C.lD.

222

3.平面向量“小滿足。=〃必=1,則〃在6方向上的投影向量為（）

A.—=b

B，］bc--bD,Z?

2

4.將函數/（M=cos2x的圖象向右平移夕0<0<］個單位后得到函數g（x）的圖象，若對滿足

/（西）-g（々）1=2的%，%，有|國-々L=三，則0=（

cdD.2

K.-B.-

64312

22

5.若橢圓土+匕=1（〃〉0）的焦距為2,則該橢圓的離心率為（

a4

A立B芭C.吏_或工D.旦或旦

535235

6.我國古代數學名著《數書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水，天

池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（）

（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）

7.已知等差數列｛4｝的首項為1,公差不為0,若%,生，,成等比數列，則｛為｝的第5項為（）

A.—9B.—7C.-7或1D.—9或1

22

8.如圖，已知M為雙曲線氏今―2r=l（a>0,b>0）上一動點，過M作雙曲線E的切線交x軸于點4

cib

過點A作AOLQW于點。，=則雙曲線E的離心率為（）

A.V2B.—C.V3D.—

22

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知Z],Z2是兩個虛數，則下列結論中正確的是（）

A.若zl-z2,則Z]+z）與z；z2均為實數B.若4+Z2與7^2均為實數，則4=z2

C.若2rZ2均為純虛數，則五為實數D.若五為實數，則Z],Z2均為純虛數

一Z2Z2

10.已知非零函數八》）的定義域為R"（x+1）為奇函數，且/（2+九）=/（2-耳,則（）

A./(1)=O

B.4是函數/(x)的一個周期

D.y=〃x)在區間［0,2024］上至少有1012個零點

11.已知61n772=m+a,6"=e"+。,其中〃zwe",則〃z+e"的取值可以是()

A.eB.e2C.3e2D.4e2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(x2+l)(2x-的展開式中常數項為.

3

13.在公差為正數的等差數列｛4｝中，若6=3,色，4，5a8成等比數列，則數列｛4｝的前10項和為

14.已知圓C：如2+僅加一口,2一2依一。一2=0,若對于任意的QeR，存在一條直線被圓C所截得的弦長

為定值。，則m+n=-

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)△A6C的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,滿足匕絲4=竺0.

cosAcosB

n

(1)求證：A+2B=—；

2

(2)求勺手的最小值.

16.（15分）如圖1,菱形ABCD的邊長為下,BD=2，將其沿BD折疊形成如圖2所示的三棱錐A-BCD.

（1）證明：三棱錐A—BCD中，BD±AC,

（2）當點A在平面BCD的投影為△BCD的重心時，求直線AC與平面BCD所成角的正弦值.

17.（15分）已知橢圓C：1+與=1（?！担?）的左頂點為A,右焦點為R,橢圓C上的點到b的

ab

最大距離是短半軸長的石倍，且橢圓過點

（1）求橢圓C的方程；

（2）設過點F的直線I與C相交于兩點，直線I的傾斜角為銳角.若點到直線I與

的距離為平,求直線PM與直線PN的斜率之和.

18.(17分)在一場乒乓球賽中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠軍.比賽采用“雙敗淘汰制”，具體賽制為：首先,

四人通過抽簽兩兩對陣，勝者進入“勝區”，敗者進入“敗區”；接下來，“勝區”的兩人對陣，勝者進入最后決

賽；“敗區”的兩人對陣，敗者直接淘汰出局獲利第四名，緊接著，“敗區”的勝者和“勝區”的敗者對陣，勝者

晉級最后的決賽，敗者獲得第三名;最后，剩下的兩人進行最后的冠軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲利第二名.甲

對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為夕(0<?<1),且不同對陣的結果相互獨立.

(1)若p=0.6,經抽簽，第一輪由甲對陣乙，丙對陣??；

①求甲獲得第四名的概率；

②求甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場數的數學期望；

(2)除“雙敗淘汰制”外，也經常采用“單敗淘汰制”：抽簽決定兩兩對陣，勝者晉級，敗者淘汰，直至決出最

后的冠軍.哪種賽制對甲奪冠有利？請說明理由.

19.(17分)羅爾定理是高等代數中微積分的三大定理之一,它與導數和函數的零點有關，是由法國數學家米

歇爾?羅爾于1691年提出的.它的表達如下：如果函數/(x)滿足在閉區間團,句連續，在開區間(a/)內可導,

且f(a)=f(b)，那么在區間(a,b)內至少存在一點初使得f'(m)=0.

⑴運用羅爾定理證明：若函數/(x)在區間[a,句連續，在區間(a乃)上可導，則存在后e(a,b),使得

b-a

(2)已知函數/0)=只!《赭(；0=3必—法+1,若對于區間(1,2)內任意兩個不相等的實數X],馬，都有

|/(司)—“為)?|g仔:gG成立,求實數b的取值范圍.

⑶證明：當°>1,〃之2時，有,<1

-Jp--]\」.

npQT’d尸nl

2024數學參考答案

1.A2.C3.D4.A5.C6.C7.B8.B9.ABC10.ABD11.CD

12.1613.16514.近+i或i+近

/、，1一sinAsinB,n

15.(1)由-------=-----知，Aw—

cosAcosB2

即sinAcosB+cosAsinB=cosB,sin(A+B)=cosB=sin--B

TT7T

???A+5=——B,即A+23=—,得證.

22

7TTV

(2)由(1)知4=——2B,C=—+B

22

.a2+b2cos2IB+sin2B(2cos2B-lj+l-cos2B

cos2Bcos2B

a=4cos2B+——5>472-5

c2cos2B

當且僅當cos25=YZ時，取最小值40—5

2c2

16.(1)

記的中點為E,由菱形的性質，有AO=AB,CD=CB,所以AELBO,CE1BD.

而AE和CE在平面ACE1內交于點E,故8D垂直于平面ACE.

又因為AC在平面ACE內，所以

(2)設△BCD的重心為點G,則AG垂直于平面BCD.

這表明直線AC與平面BCD所成角等于NACG,故所求正弦值即為sinNACG的值.

由于CE=JBC?—BE2=5萬=2,AE=yjAB2-BE2=75^1=2>故

22I;-----7442

CG=—CE=7BC“—BE?=—,EG=CE-CG=2——=-.

33333

從而AG=JAE?—EG?=J4—：=,故

4V2_

AG4V2_V6

sinZACH=—

ACNAG?+CG?/3216V483

\~9+~9

所以直線AC與平面3c。所成角的正弦值是逅.

3

17.(1)由題意知a+c=,

得/+2ac-be2=3Z?2,由〃2=/+/,

得/+2ac-1-c2=3a2—3c之，化簡得a—2c,

所以b=J8c,

又因為橢圓過點p1,l

19

所以"7H--y—1,

a24b2

19

所以一一+三=1,解得c=l.

4/12/

22

所以〃=2,b=&,即。的方程為土+匕=1.

43

(2)設直線/的方程為％=根>+1,(m>0).

由點p。，!到直線)與的距離為孚,

3_

3m3A/5

得[2,=三_,解得加=2.

\l+m25

x=2y+1

聯立22

土+匕=1'

[43

整理得16y?+12y-9=0.

39

設"(蒼％)，則%+X%=-而，

所以直線9與直線W的斜率的和為

3333

5--2--2_]3%+%,0,

石一1x2-l2y12y24%%

18.(1)①記“甲獲得第四名”為事件4則P(A)=(1—0.6)2=0.16;

②記在甲在“雙敗淘汰制”下參與對陣的比賽場次為隨機變量尤

則才的所有可能取值為2,3,4,

連敗兩局：P(X=2)=(1-0.6)2=0.16,

X=3可以分為：連勝兩局,第三局不管勝負;負勝負;勝負負；

p(X=3)=0.62+(l-0.6)x0.6x(l-0.6)+0.6x(l-0.6)x(l-0.6)=0.552,

P(X=4)=(1-0.6)X0.6X0.6+0.6X(1-0.6)X0.6=0.288;

故才的分布列如下：

X234

P0.160.5520.288

故數學期望E(X)=2x0.16+3x0.552+4x0.288=3.128;

(2)“雙敗淘汰制”下，甲獲勝的概率尸=p3+p(l—P)P)+(1—p)p3=(3—2p)p3,

在“單敗淘汰制”下，甲獲勝的概率為夕2,

由(3-22)03一°2=(3。一202—1)=02(20-1)(1一2)，且0<P<1

所以peg,11時，(3—27)夕3>夕2,“雙敗淘汰制”對甲奪冠有利；

時，(3—2?)夕3<憂"單敗淘汰制”對甲奪冠有利；

°=；時,兩種賽制甲奪冠的概率一樣.

19.(1)令/(?―/(")=/,貝U/S)—初=/(口)—

b-a

令函數F(x)=f(x)-tx，則F(a)=F(b),F'(x)=f'(x)-t,

顯然2x)在[a,可上連續，且在(。/)上可導，由羅爾定理,存在X。e(a,b)，使得F'(x0)=0,

即八x°)T=0,所以尸(x0)=以/