福建省南平市2025屆數學高一下期末預測試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖是某個正方體的平面展開圖，，是兩條側面對角線，則在該正方體中，與（）A．互相平行 B．異面且互相垂直 C．異面且夾角為 D．相交且夾角為2．《九章算術》是我國古代的數學名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數列．問五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）．這個問題中，甲所得為（）A．錢 B．錢 C．錢 D．錢3．在中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，，則的面積是（）A． B． C． D．4．擲一枚均勻的硬幣，如果連續拋擲2020次，那么拋擲第2019次時出現正面向上的概率是（）A． B． C． D．5．等差數列an的公差d<0，且a12=a212，則數列aA．9 B．10 C．10和11 D．11和126．已知兩點，，直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A． B．C． D．或7．已知數列中，，則=（）A． B． C． D．8．函數y=2cosx-1A．2，－2 B．1，－3 C．1，－1 D．2，－19．設實數滿足約束條件，則的最大值為（）A． B．9 C．11 D．10．已知A(2,4)與B(3,3)關于直線l對稱，則直線l的方程為()．A．x＋y＝0 B．x－y＝0C．x－y＋1＝0 D．x＋y－6＝0二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．關于的方程（）的兩虛根為、，且，則實數的值是________.12．甲、乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.7，現兩人各自獨立射擊一次，均中靶的概率為______．13．在單位圓中，面積為1的扇形所對的圓心角的弧度數為_．14．P是棱長為4的正方體的棱的中點，沿正方體表面從點A到點P的最短路程是_______.15．已知數列：，，，，，，，，，，，，，，，，，則__________．16．在正數數列an中，a1=1，且點an,an-1三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數列的前項和（）；（1）判斷數列是否為等差數列；（2）設，求；（3）設（），，是否存在最小的自然數，使得不等式對一切正整數總成立？如果存在，求出；如果不存在，說明理由；18．已知數列的前n項和為，，，.（1）求證：數列是等差數列；（2）令，數列的前n項和為，求證：.19．如圖，已知在側棱垂直于底面三棱柱中，，，，，點是的中點.（1）求證：；（2）求證：（3）求三棱錐的體積.20．如圖，等腰梯形中，，，，取中點，連接，把三角形沿折起，使得點在底面上的射影落在上，設為的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.21．已知數列滿足關系式，.（1）用表示，，；（2）根據上面的結果猜想用和表示的表達式，并用數學歸納法證之.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

先將平面展開圖還原成正方體，再判斷求解.【詳解】將平面展開圖還原成正方體如圖所示，則B，C兩點重合，所以與相交，連接，則為正三角形，所以與的夾角為.故選D.【點睛】本題主要考查空間直線的位置關系，意在考查學生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.2、B【解析】設甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為,則,解得,又,則,故選B.3、C【解析】

根據題意，利用余弦定理可得ab，再利用三角形面積計算公式即可得出答案．【詳解】由c2＝（a﹣b）2+6，可得c2＝a2+b2﹣2ab+6，由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2﹣ab，所以：a2+b2﹣2ab+6＝a2+b2﹣ab，所以ab＝6；則S△ABCabsinC；故選：C．【點睛】本題考查余弦定理、三角形面積計算公式，關鍵是利用余弦定理求出ab的值.4、B【解析】

根據概率的性質直接得到答案.【詳解】根據概率的性質知：每次正面向上的概率為.故選：.【點睛】本題考查了概率的性質，屬于簡單題.5、C【解析】

利用等差數列性質得到a11=0，再判斷S10【詳解】等差數列an的公差d<0，且a根據正負關系：S10或S故答案選C【點睛】本題考查了等差數列的性質，Sn的最大值，將Sn的最大值轉化為6、D【解析】

作出示意圖，再結合兩點間的斜率公式，即可求得答案.【詳解】，，又直線過點且與線段相交，作圖如下：則由圖可知，直線的斜率的取值范圍是：或．故選：D【點睛】本題借直線與線段的交點問題，考查兩點間的斜率公式，考查理解辨析能力，屬于中檔題.7、B【解析】

，故選B.8、B【解析】

根據余弦函數有界性確定最值.【詳解】因為-1≤cosx≤1，所以【點睛】本題考查余弦函數有界性以及函數最值，考查基本求解能力，屬基本題.9、C【解析】

由約束條件作出可行域，化目標函數為直線方程的斜截式，數形結合得到最優解，把最優解的坐標代入目標函數得答案．【詳解】作出約束條件表示的可行域如圖，化目標函數為，聯立，解得，由圖可知，當直線過點時，z取得最大值11，故選：C.【點睛】本題主要考查線性規劃中，利用可行域求目標函數的最值，屬于簡單題.求目標函數最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實線還是虛線）；（2）找到目標函數對應的最優解對應點（在可行域內平移變形后的目標函數，最先通過或最后通過的頂點就是最優解）；（3）將最優解坐標代入目標函數求出最值.10、C【解析】試題分析：兩點關于直線對稱，則,點與的中點在直線上，,那么直線的斜率等于，中點坐標為，即中點坐標為，,整理得：,故選C.考點：求直線方程二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、5【解析】

關于方程兩數根為與，由根與系數的關系得：，，由及與互為共軛復數可得答案．【詳解】解：與是方程的兩根由根與系數的關系得：，，由與為虛數根得：，，則，解得，經驗證，符合要求，故答案為：．【點睛】本題考查根與系數的關系的應用．求解是要注意與為虛數根情形，否則漏解，屬于基礎題．12、0.56【解析】

根據在一次射擊中，甲、乙同時射中目標是相互獨立的，利用相互獨立事件的概率乘法公式，即可求解．【詳解】由題意，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.7，所以兩人均中靶的概率為，故答案為0.56【點睛】本題主要考查了相互獨立事件的概率乘法公式的應用，其中解答中合理利用相互獨立的概率乘法公式求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．13、2【解析】試題分析：由題意可得：．考點：扇形的面積公式．14、【解析】

從圖形可以看出圖形的展開方式有二，一是以底棱BC，CD為軸，可以看到此兩種方式是對稱的，所得結果一樣，另外一種是以側棱為軸展開，即以BB1，DD1為軸展開，此兩種方式對稱，求得結果一樣，故解題時選擇以BC為軸展開與BB1為軸展開兩種方式驗證即可【詳解】由題意，若以BC為軸展開，則AP兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為4，6，故兩點之間的距離是若以BB1為軸展開，則AP兩點連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為2，8，故兩點之間的距離是故沿正方體表面從點A到點P的最短路程是cm故答案為【點睛】本題考查多面體和旋轉體表面上的最短距離問題，求解的關鍵是能夠根據題意把求幾何體表面上兩點距離問題轉移到平面中來求15、【解析】

根據數列的規律和可知的取值為，則分母為；又為分母為的項中的第項，則分子為，從而得到結果.【詳解】當時，；當時，的分母為：又的分子為：本題正確結果：【點睛】本題考查根據數列的規律求解數列中的項，關鍵是能夠根據分子的變化特點確定的取值.16、2【解析】

在正數數列an中，由點an,an-1在直線x-2y=0上，知a【詳解】由題意，在正數數列an中，a1=1，且a可得an-2即an因為a1=1，所以數列所以Sn故答案為2n【點睛】本題主要考查了等比數列的定義，以及等比數列的前n項和公式的應用，同時涉及到數列與解析幾何的綜合運用，是一道好題．解題時要認真審題，仔細解答，注意等比數列的前n項和公式和通項公式的靈活運用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）否；（2）；（3）；【解析】

（1）根據數列中與的關系式，即可求解數列的通項公式，再結合等差數列的定義，即可求解；（2）由（1）知，求得當時，，當時，，利用等差數列的前項和公式，分類討論，即可求解.（3）由（1）得到當時，，當時，，結合裂項法，求得，即可求解.【詳解】（1）由題意，數列的前項和（），當時，，當，所以數列的通項公式為，所以數列不是等差數列.（2）由（1）知，令，解得，所以當時，，當時，，①當時，②當時，綜上可得.（3）由（1）可得，當時，，當時，，，要使得不等式對一切正整數總成立，則，即.【點睛】本題主要考查了數列中與的關系式，等差數列的定義，數列的絕對值的和，以及“裂項法”的綜合應用，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與計算能力，試題有一定的綜合性，屬于中檔試題.18、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）根據和的關系式，利用，整理化簡得到，從而證明是等差數列；（2）利用由（1）寫出的通項，利用裂項相消法求出，從而證明【詳解】（1）因為，所以當時，兩式相減，得到，整理得，又因為，所以，所以數列是等差數列，公差為3；（2）當時，，解得或，因為，所以，由（1）可知，即公差，所以，所以，所以【點睛】本題考查根據與的關系證明等差數列，裂項相消法求數列的和，屬于中檔題.19、（1）見解析；（2）見解析；(3)8.【解析】試題分析：（1）由勾股定理得，由面得到，從而得到面，故；（2）連接交于點，則為的中位線，得到∥，從而得到∥面；（3）過作垂足為，面，面積法求，求出三角形的面積，代入體積公式進行運算.試題解析：（1）證明：在中，由勾股定理得為直角三角形，即．又面，，，面，.（2）證明：設交于點，則為的中點，連接，則為的中位線，則在中，∥，又面，則∥面．（3）在中過作垂足為，由面⊥面知，面，．而，，.考點：直線與平面平行的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積．20、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）取的中點，取的中點，連接、、、、，可知、均為等邊三角形，可證明出平面，從而得出，再證明出四邊形為平行四邊形，可得出，由等腰三角形三線合一的性質可得，從而可得出，再利用線面垂直的判定定理可證明出平面；（2）過點在平面內作，垂足為點，連接，證明出平面，可得知二面角的平面角為，計算出直角三角形三邊邊長，即可求出，即為所求.【詳解】（1）如下圖所示，取的中點，取的中點，連接、、、、，在等腰梯形中，，，，為的中點，所以，，又，則，為等邊三角形，同理可知為等邊三角形，為的中點，，，，平面，平面，，由于和是邊長相等的等邊三角形，且為的中點，，為的中點，.在等腰梯形中，且，則四邊形為平行四邊形，、分別為、的中點，且，為的中點，且，則四邊形為平行四邊形，，，，平面；（2）過點在平面內作，垂足為點，連接，由于點在平面內的射影點在上，則平面平面，由（1）知，，又平面平面，平面，平面，平面，，，，平面，平面，，所以，