2023?2024學年度第二學期高二第一次調研

數學試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上指定位置上，在其他位置作答

一律無效。

3.本卷滿分為150分，考試時間為120分鐘。考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的。

1.在空間直角坐標系中，點4（9,8,5）關于xOz平面對稱的點的坐標為

A,（9,8,-5）B.（9,-8,5）c.（-9,8,5）D.（-9,8,-5）

xG-l）--（x-m+l）,其中xeR,meN*,且Ao=l,這是排列數4"（小meN*,且

2.規定人加=

Xxn

立九）的一種推廣,則%=

B.1C.V2D.2

3.某校文藝部有7名同學，其中高一年級3名，高二年級4名.從這7名同學中隨機選3名組織校文藝匯

演，則兩個年級都至少有1名同學入選的選法種數為

A.12B.30C.34D.60

6

4.|—-展開式中的常數項為

A.240B.-240C.180D.-180

5.從0,1,2,3,4這5個數中任選3個數，組成沒有重復數字的三位數的個數為

A.24B.36C.42D.48

6.在空間直角坐標系中，已知點人（1』，1）,（0,1,0）,C（l,2,3）,則點C到直線A8的距離為

A.書B.2C.2展D.3

7.已知平行六面體qqqq中，叫=3,BD=4,ADDC-ABBC=5,則

cos^AA?BD）=

5544

A.—B.——C.-D.——

12121515

(1(1-x)"的展開式中不含X3的項，則含X5的項的系數為

8.若x+—

IX2.

A.30B.32C.34D.36

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.在G+2y1的展開式中，下列說法正確的是

A.二項式系數和為32

B.各項系數和為243

C.二項式系數最大的項為第2項和第5項

D.所有偶數項的系數和為122

10.有6本不同的書，按下列方法進行分配，其中分配種數正確的是

A.分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有90種分法

B.分給甲、乙、丙三人，一人4本，另兩人各1本，有180種分法

C.分給甲、乙、丙、丁四人，甲、乙每人2本，丙、丁每人1本，有180種分法

D.分給甲、乙、丙、丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有2160種分法

11.在長方體ABCD—qqq。］中，AB=2,BCGC1,E是CD的中點.則

ABE=AD-A4-J-AB

'ii2

匹

B.異面直線AB與BE所成角的余弦值為丁

回

C.直線從己與平面BBE所成角的正弦值為

~5~

點B到平面ADE的距離為半

D.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.設aeZ,且0WaW7,若32024+。能被8整除，則.

13.現有5雙鞋子，從中任取4只鞋子，則取出的4只鞋子中，恰好有1雙的取法總數為

14.已知正方體ABC。—AfFR的棱長為2,M,N,G分別是棱BC,AR的中點，。是該正方

體表面上的一點，且麗0光祈G+y麗.若有度1,則直線NQ與平面455：所成角的大小為,

若x,yeR,則麗?麗的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）

已知即+!的展開式中，第2項與第3項的二項式系數之比為1：3.

(1)求"的值：

(2)求展開式中所有的有理項。

16.(15分)

如圖，在三棱柱ABC—cqq中，ABLAC,ABAC2,o為8C的中點，平面ABC.

(1)求證：±AO.

(2)若坐=/,求直線A/與平面Bcqq所成角的正弦值.

17.(15分)

現有4名男生和3名女生.

(1)若安排這7名學生站成一排照相，要求3名女生互不相鄰，這樣的排法有多少種？

(2)若邀請這7名學生中的4名參加一項活動，其中男生甲和女生乙不能同時參加，求邀請的方法種數:

(3)若將這7名學生全部安排到5個備選工廠中的4個工廠參加暑期社會實踐活動，要求3名女生必須安

排在同一個工廠，求這樣安排的方法共有多少種？

18.(17分)

在四棱錐S—ABC。中，AD//BC,ADLCD,平面SC。，平面ABC。，SCLSD,

SCAD2BC2,SD=2^/2.

a)求點B到平面SAC的距離；

4^70

(2)在線段SB上是否存在點E,使二面角E-C。-A的正弦值為卷一？若存在，請確定點E的位置;

若不存在，請說明理由.

19.(17分)

(1)已知乙〃eN*,且左求證：kCk=nCk-i.

nn-1

Z女20=〃(〃+1)-2〃-2；

(2)若〃￡N*,且〃23,證明:

n

k=l

(3)設數列。,a,a,…，a是公差不為o的等差數列，證明：對任意的〃eN*,函數

012n

pkx)aCo(1-%)+〃C"(1-X>T+〃。2%2+...+〃C〃血是關于X的一次函數.

0n1n2nnn

2023-2024學年度第二學期高二第一次調研

數學參考答案及評分建議

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

兀

12.713.12014.—,3

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）

【解】（1）因為+的展開式中，第2項與第3項的二項式系數之比為1：3,

IXJ

Ci1

所以式=彳

n

2n1

即mrh

解得〃=7.

（

（2）因為3jLx+—11"的展開式的第r+1項為

7-3r）

所以當一^―eZ時，=i,3,5,7,

所以3g—的展開式中，有理項分別為

036X35103^2T合34%-I2835x-i,

337

=T會32%-1189k1,TG3OX-7X

6757

16.（15分）

【解】（1）因為MAC2,。為Be的中點,

所以

因為A,J_平面ABC,AO,BCu平面ABC,

所以AO1BC,

所以AO,BC兩兩垂直.

以口4,。氏。4」為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系.

由A3.AO=0x+^1^2x0+(—r)x0=0,

得A/LA。，即A/_LAO.

（綜合法證明參考給分）

（2）因為”=心，所以4。=2,即A］（0,0,2）,

所以珥=照=。/,0,2）,=平（）,聲,—2）.

又OB=Q,JI,。），設平面Bee*的法向量n=（x,y,z）,

n±OBn-OBy/2y0

則1—?即＜取〃=

n±BBn-BB=-y/2x+2z=0

1

設直線A產與平面Bcqq所成角的大小為0.

ABn2

測sin0cos_i在

AT3-

17.（15分）

【解】（1）（采用插空法）共有排法數為4?出=1440種.

45

（2）（采用去雜法）共有邀請方法數為04—C2—02=25種.

725

（3）有兩類不同情形：

①先選4個工廠，將3名女生和1名男生安排在同一個工廠，其余3名男生分別在另三個工廠，一廠安排

一人，其方法數為04=480種；

43

②先選4個工廠，將3名女生安排在一個工廠，4名男生安排在另外三個工廠，有一廠兩人，另兩廠各一人，

其方法數為號岑=720種.

44

所以共有480+720=1200種不同的安排方法.

18.（17分）

【解】（1）因為平面SCZ3_L平面ABCD,平面SC0A平面ABcz）=cr?,

AOu平面ABCA,AD1CD,

所以AO,平面SCD.

因為AD〃8C,所以平面SCD

過點C作0尸〃SD,

因為SCAD2BC2,SD=2y[2

則C（0,0,0）,B（0,0,1）,S（0,2,0）,4（2#,2,2）,

所以近=（2々,2,2）,通=（0,2,0）.

設平面SAC的一個法向量為n=（x,y,z）,

CA±nCA'n=-^f2x+2y+2z=0

則1——即4——“

CS1n[CSn=2y=0

又曰=（0,0,1）,

可@

所以點B到平面SAC的距離力V6

TT忑

C（0,0,0）,o（2#,2,o）A，20,2,2）B（0,0,1）,S（0,2,0）,

（2）

設BE=XBS,Xe[0,1],

則礪入（0,2,V）（0,2九,一九），所以E（0,2九,1—九）.

設平面ACD的一個法向量為％=,I）,

無=Q",2,2）,麗=（2/2,0）,

CALnCAn=-2d2x+2y+2z=0

由“——i得々____iiii

CD±nCD-n=-2J2x+2y-0

122

取＜=

設平面COE的一個法向量為〃2=（1%，22卜CE（0,2入,1-九）,

CD-n0CD-n=—2+0

由＜___2。得22

CEnCEr^2Xy+（1-0

2313

取4=

3（X-1）

n-n

所以8卡牛4_=J--2_

\n\\nIJ11九2—6入+3

12

設二面角E—CO—A的平面角為0,

4J70

因為二面角E-CD-A的正弦值為$一,

4770]_/05

所以|cosq

3535’

3（Z-1）_7105

|cos（?,n^|=|cos6|,所以

又cos一^-'

為2—6九+3

2

化簡得3九2—8九+4=0,解得九=2或九=1,

、、2

因為入e[0,1],所以九=§.

所以當點E是線段SB上靠近點S的三等分點時，滿足條件.

19.（17分）

flIflI

【解】⑴左邊市E"(l)!(i)!’

(n-1)!n\

右邊一〃.5—1)!(”。!"'

所以上Cz=nCk-i.

nn—1

⑵★2。J^kCkk?nCk-i,

nnn-1

而kCk-l-(k—1)C上一1+Ck-1—(九一1)C上一2+(Jk-1,

n—1H-1n—1n—2n=l

所以k2c女=n(n-l)Ck-2.

nn—2n—1

所以Z左2c仁-Ck-2+Ck-un(n—1)-2〃-2+n?2八一匕n{n+1)2^-2

nn-2n—1

k1=k0=k1

所以，原命題成立.

另法：k?Ck-k?kCk-k?nCk-if

nnn-1

要證Z左2。攵=〃(〃+1)?2〃-2,只需證￡左,。左-1=(〃+1)?2"-2.

nn—1

k=lk=l

設/G)X(1+JT,

由尤(l+x)—ixCc*o+xCi+X2C2H-----

n—1n—1n—1n—1

—X(J^+42。1+43。2+----FXnCn~^

n—1n—\n—ln—1

兩邊同時求導，

得(1+X)n-1+(〃-1)X(1+1)〃-2=C。+2xC*i+342。2H-----Fnxn~^C^-^

n—1n—1n—1n—1

令x=1,得C。+2cl+3c2+FTlC"T—(〃