2022-2023學年高三上數學期末模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則等于()A． B． C． D．2．己知集合，，則（）A． B． C． D．3．已知定義在上的奇函數，其導函數為，當時，恒有．則不等式的解集為（）．A． B．C．或 D．或4．在四邊形中，，，，，，點在線段的延長線上，且，點在邊所在直線上，則的最大值為（）A． B． C． D．5．已知定義在上的函數滿足，且在上是增函數，不等式對于恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．6．我國古代數學名著《九章算術》有一問題：“今有鱉臑(biēnaò)，下廣五尺，無袤；上袤四尺，無廣；高七尺.問積幾何？”該幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體外接球的表面積為()A．平方尺 B．平方尺C．平方尺 D．平方尺7．己知函數的圖象與直線恰有四個公共點，其中，則（）A． B．0 C．1 D．8．若點x,y位于由曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區域內（包括邊界），則A．-3,1 B．-3,5 C．-∞,-39．設全集，集合，.則集合等于（）A． B． C． D．10．已知四棱錐中，平面，底面是邊長為2的正方形，，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．11．已知是兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，下列命題正確的是（）A．若，，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則12．已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，它的終邊過點，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是定義在上的奇函數，當時，，則不等式的解集用區間表示為__________．14．若，則的展開式中含的項的系數為_______.15．能說明“在數列中，若對于任意的，，則為遞增數列”為假命題的一個等差數列是______.（寫出數列的通項公式）16．若，則________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知變換將平面上的點，分別變換為點，．設變換對應的矩陣為．（1）求矩陣；（2）求矩陣的特征值．18．（12分）已知函數（1）若函數在處取得極值1，證明：（2）若恒成立，求實數的取值范圍.19．（12分）求下列函數的導數：（1）（2）20．（12分）已知橢圓E：（）的離心率為，且短軸的一個端點B與兩焦點A，C組成的三角形面積為.（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）若點P為橢圓E上的一點，過點P作橢圓E的切線交圓O：于不同的兩點M，N（其中M在N的右側），求四邊形面積的最大值.21．（12分）在最新公布的湖南新高考方案中，“”模式要求學生在語數外3門全國統考科目之外，在歷史和物理2門科目中必選且只選1門，再從化學、生物、地理、政治4門科目中任選2門，后三科的高考成績按新的規則轉換后計入高考總分.相應地，高校在招生時可對特定專業設置具體的選修科目要求.雙超中學高一年級有學生1200人，現從中隨機抽取40人進行選科情況調查，用數字1~6分別依次代表歷史、物理、化學、生物、地理、政治6科，得到如下的統計表：序號選科情況序號選科情況序號選科情況序號選科情況11341123621156312352235122342223532236323513145232453323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245（1）雙超中學規定：每個選修班最多編排50人且盡量滿額編班，每位老師執教2個選修班（當且僅當一門科目的選課班級總數為奇數時，允許這門科目的1位老師只教1個班）.已知雙超中學高一年級現有化學、生物科目教師每科各8人，用樣本估計總體，則化學、生物兩科的教師人數是否需要調整？如果需要調整，各需增加或減少多少人？（2）請創建列聯表，運用獨立性檢驗的知識進行分析，探究是否有的把握判斷學生“選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（3）某高校在其熱門人文專業的招生簡章中明確要求，僅允許選修了歷史科目，且在政治和地理2門中至少選修了1門的考生報名.現從雙超中學高一新生中隨機抽取3人，設具備高校專業報名資格的人數為，用樣本的頻率估計概率，求的分布列與期望.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，為正三角形，平面平面分別是的中點.（1）證明:平面（2）若，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

解不等式確定集合，然后由補集、并集定義求解．【詳解】由題意或，∴，．故選：B.【點睛】本題考查集合的綜合運算，以及一元二次不等式的解法，屬于基礎題型．2、C【解析】

先化簡，再求.【詳解】因為，又因為，所以，故選：C.【點睛】本題主要考查一元二次不等式的解法、集合的運算，還考查了運算求解能力，屬于基礎題.3、D【解析】

先通過得到原函數為增函數且為偶函數，再利用到軸距離求解不等式即可.【詳解】構造函數，則由題可知，所以在時為增函數；由為奇函數，為奇函數，所以為偶函數；又，即即又為開口向上的偶函數所以，解得或故選：D【點睛】此題考查根據導函數構造原函數，偶函數解不等式等知識點，屬于較難題目.4、A【解析】

依題意，如圖以為坐標原點建立平面直角坐標系，表示出點的坐標，根據求出的坐標，求出邊所在直線的方程，設，利用坐標表示，根據二次函數的性質求出最大值.【詳解】解：依題意，如圖以為坐標原點建立平面直角坐標系，由，，，，，，，因為點在線段的延長線上，設，解得，所在直線的方程為因為點在邊所在直線上，故設當時故選：【點睛】本題考查向量的數量積，關鍵是建立平面直角坐標系，屬于中檔題.5、A【解析】

根據奇偶性定義和性質可判斷出函數為偶函數且在上是減函數，由此可將不等式化為；利用分離變量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到結果.【詳解】為定義在上的偶函數，圖象關于軸對稱又在上是增函數在上是減函數，即對于恒成立在上恒成立，即的取值范圍為：本題正確選項：【點睛】本題考查利用函數的奇偶性和單調性求解函數不等式的問題，涉及到恒成立問題的求解；解題關鍵是能夠利用函數單調性將函數值的大小關系轉化為自變量的大小關系，從而利用分離變量法來處理恒成立問題.6、A【解析】

根據三視圖得出原幾何體的立體圖是一個三棱錐，將三棱錐補充成一個長方體，此長方體的外接球就是該三棱錐的外接球，由球的表面積公式計算可得選項.【詳解】由三視圖可得，該幾何體是一個如圖所示的三棱錐，為三棱錐外接球的球心，此三棱錐的外接球也是此三棱錐所在的長方體的外接球，所以為的中點，設球半徑為，則,所以外接球的表面積，故選：A．【點睛】本題考查求幾何體的外接球的表面積，關鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖，找出外接球的球心位置和半徑，屬于中檔題.7、A【解析】

先將函數解析式化簡為，結合題意可求得切點及其范圍，根據導數幾何意義，即可求得的值.【詳解】函數即直線與函數圖象恰有四個公共點，結合圖象知直線與函數相切于，，因為，故，所以.故選：A.【點睛】本題考查了三角函數的圖像與性質的綜合應用，由交點及導數的幾何意義求函數值，屬于難題.8、D【解析】

畫出曲線x=y-2+1與x=3圍成的封閉區域，y+1x-2表示封閉區域內的點(x,y)【詳解】畫出曲線x=y-2+1與y+1x-2表示封閉區域內的點(x,y)和定點P(2,-1)設k=y+1x-2，結合圖形可得k≥k由題意得點A,B的坐標分別為A(3,0),B(1,2)，∴kPA∴k≥1或k≤-3，∴y+1x-2的取值范圍為-∞,-3故選D．【點睛】解答本題的關鍵有兩個：一是根據數形結合的方法求解問題，即把y+1x-29、A【解析】

先算出集合，再與集合B求交集即可.【詳解】因為或.所以，又因為.所以.故選：A.【點睛】本題考查集合間的基本運算，涉及到解一元二次不等式、指數不等式，是一道容易題.10、B【解析】

由題意建立空間直角坐標系，表示出各點坐標后，利用即可得解.【詳解】平面，底面是邊長為2的正方形，如圖建立空間直角坐標系，由題意：，，，，，為的中點，.，，，異面直線與所成角的余弦值為即為.故選：B.【點睛】本題考查了空間向量的應用，考查了空間想象能力，屬于基礎題.11、B【解析】

根據空間中線線、線面位置關系，逐項判斷即可得出結果.【詳解】A選項，若，，，，則或與相交；故A錯；B選項，若，，則，又，是兩個不重合的平面，則，故B正確；C選項，若，，則或或與相交，又，是兩個不重合的平面，則或與相交；故C錯；D選項，若，，則或或與相交，又，是兩個不重合的平面，則或與相交；故D錯；故選B【點睛】本題主要考查與線面、線線相關的命題，熟記線線、線面位置關系，即可求解，屬于常考題型.12、B【解析】

根據三角函數定義得到，故，再利用和差公式得到答案.【詳解】∵角的終邊過點，∴，.∴.故選：.【點睛】本題考查了三角函數定義，和差公式，意在考查學生的計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設，則，由題意可得故當時，由不等式，可得，或求得，或故答案為（14、【解析】

首先根據定積分的應用求出的值,進一步利用二項式的展開式的應用求出結果.【詳解】，根據二項式展開式通項：，令，解得，所以含的項的系數.故答案為：【點睛】本題考查定積分，二項式的展開式的應用,主要考查學生的運算求解能力,屬于基礎題.15、答案不唯一，如【解析】

根據等差數列的性質可得到滿足條件的數列.【詳解】由題意知，不妨設，則，很明顯為遞減數列，說明原命題是假命題.所以，答案不唯一，符合條件即可.【點睛】本題考查對等差數列的概念和性質的理解，關鍵是假設出一個遞減的數列，還需檢驗是否滿足命題中的條件，屬基礎題.16、13【解析】

由導函數的應用得：設，，所以，，又，所以，即，由二項式定理：令得：，再由，求出，從而得到的值；【詳解】解：設，，所以，，又，所以，即，取得：，又，所以，故，故答案為：13【點睛】本題考查了導函數的應用、二項式定理，屬于中檔題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）1或6【解析】

（1）設，根據變換可得關于的方程，解方程即可得到答案；（2）求出特征多項式，再解方程，即可得答案；【詳解】（1）設，則，，即，解得，則．（2）設矩陣的特征多項式為，可得，令，可得或．【點睛】本題考查矩陣的求解、矩陣的特征值，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查運算求解能力.18、（1）證明見詳解；（2）【解析】

（1）求出函數的導函數，由在處取得極值1，可得且.解出，構造函數，分析其單調性，結合，即可得到的范圍，命題得證；

（2）由分離參數，得到恒成立，構造函數，求導函數，再構造函數，進行二次求導.由知，則在上單調遞增.根據零點存在定理可知有唯一零點，且.由此判斷出時，單調遞減，時，單調遞增，則，即.由得，再次構造函數，求導分析單調性，從而得，即，最終求得，則.【詳解】解：（1）由題知，∵函數在，處取得極值1，，且，，，令，則為增函數，，即成立.（2）不等式恒成立，即不等式恒成立，即恒成立，令，則令，則,，，在上單調遞增，且，有唯一零點，且，當時，，，單調遞減；當時，，，單調遞增.，由整理得，令，則方程等價于而在上恒大于零，在上單調遞增，.，∴實數的取值范圍為.【點睛】本題考查了函數的極值，利用導函數判斷函數的單調性，函數的零點存在定理，證明不等式，解決不等式恒成立問題.其中多次構造函數，是解題的關鍵，屬于綜合性很強的難題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）根據復合函數的求導法則可得結果.（2）同樣根據復合函數的求導法則可得結果.【詳解】（1）令，，則，而，，故.（2）令，，則，而，，故，化簡得到.【點睛】本題考查復合函數的導數，此類問題一般是先把函數分解為簡單函數的復合，再根據復合函數的求導法則可得所求的導數，本題屬于容易題.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【解析】

（Ⅰ）結合已知可得，求出a，b的值，即可得橢圓方程；（Ⅱ）由題意可知，直線的斜率存在，設出直線方程，聯立直線方程與橢圓方程，利用判別式等于0可得，聯立直線方程與圓的方程，結合根與系數的關系求得，利用弦長公式及點到直線的距離公式，求出，得到，整理后利用基本不等式求最值.【詳解】解：（Ⅰ）可得，結合，解得，，，得橢圓方程；（Ⅱ）易知直線的斜率k存在，設：，由，得，由，得，∵，設點O到直線：的距離為d，，，由，得，，，∴∴，∴而，，易知，∴，則，四邊形的面積當且僅當，即時取“”.∴四邊形面積的最大值為4.【點睛】本題考查了由求橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查了學生的計算能力，綜合性比較強，屬于難題.21、（1）不需調整（2）列聯表見解析；有的把握判斷學生“選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關（3）詳見解析【解析】

（1）可估計高一年級選修相應科目的人數分別為120，2，推理得對應開設選修班的數目分別為15，1．推理知生物科目需要減少4名教師，化學科目不需要調整．（2）根據列聯表計算觀測值，根據臨界值表可得結論．（3）經統計，樣本中選修了歷史科目且在政治和地理2門中至少選修了一門的人數為12，頻率為．用頻率估計概率，則，根據二項分布概率公式可得分布列和數學期望．【詳解】（1）經統計可知，樣本40人中，選修化學、生物的人數分別為24，11，則可估計高一年級選修相應科目的人數分別為120，2．根據每個選修班最多編排50人，且盡量滿額編班，得對應開設選修班的數目分別為15，1．現有化學、生物科目教師每科各8人，根據每位教師執教2個選修班，當且僅當一門科目的選課班級總數為奇數時，允許這門科目的一位教師執教一個班的條件