2025屆北京師范大學(xué)蚌埠附屬學(xué)校數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析_第1頁
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2025屆北京師范大學(xué)蚌埠附屬學(xué)校數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.設(shè)變量,滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最小值為()A.4 B.-5 C.-6 D.-82.若一個(gè)正四棱錐的側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)相等,則該正四棱錐的側(cè)棱和底面所成的角為()A.30° B.45° C.60° D.90°3.在中,已知a,b,c分別為,,所對(duì)的邊,且a,b,c成等差數(shù)列,,,則()A. B. C. D.4.已知角的終邊過點(diǎn),則()A. B. C. D.5.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()A. B. C. D.6.對(duì)于函數(shù)f(x)=2sinxcosx,下列選項(xiàng)中正確的是()A.f(x)在(,)上是遞增的 B.f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.f(x)的最小正周期為 D.f(x)的最大值為27.設(shè)集合,集合為函數(shù)的定義域,則()A. B. C. D.8.經(jīng)過原點(diǎn)且傾斜角為的直線被圓C:截得的弦長(zhǎng)是,則圓在軸下方部分與軸圍成的圖形的面積等于()A. B. C. D.9.已知,,,,則()A. B.C. D.10.已知點(diǎn)G為的重心,若,,則=()A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知數(shù)列滿足,,,則__________.12.?dāng)?shù)列滿足:,,的前項(xiàng)和記為,若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是________13.已知數(shù)列滿足:(),設(shè)的前項(xiàng)和為,則______;14.若八個(gè)學(xué)生參加合唱比賽的得分為87,88,90,91,92,93,93,94,則這組數(shù)據(jù)的方差是______15.不等式的解為_______.16.已知1,,,,4成等比數(shù)列,則______.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知以點(diǎn)(a∈R,且a≠0)為圓心的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O,且與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B.(1)求△OAB的面積;(2)設(shè)直線l:y=﹣2x+4與圓C交于點(diǎn)P、Q,若|OP|=|OQ|,求圓心C到直線l的距離.18.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若的,求的最大值.19.某校100名學(xué)生期中考試語文成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績(jī)分組區(qū)間是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)求圖中的值;(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)這100名學(xué)生語文成績(jī)的平均分,眾數(shù),中位數(shù);(3)若這100名學(xué)生語文成績(jī)某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)()與數(shù)學(xué)成績(jī)相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)()之比如下表所示,求數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)赱50,90)之外的人數(shù).分?jǐn)?shù)段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)1:12:13:44:520.某種植園在芒果臨近成熟時(shí),隨機(jī)從一些芒果樹上摘下100個(gè)芒果,其質(zhì)量分別在,,,,,(單位:克)中,經(jīng)統(tǒng)計(jì)的頻率分布直方圖如圖所示.(1)估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表);(2)現(xiàn)按分層抽樣從質(zhì)量為[200,250),[250,300)的芒果中隨機(jī)抽取5個(gè),再從這5個(gè)中隨機(jī)抽取2個(gè),求這2個(gè)芒果都來自同一個(gè)質(zhì)量區(qū)間的概率;(3)某經(jīng)銷商來收購芒果,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表,用樣本估計(jì)總體,該種植園中還未摘下的芒果大約還有10000個(gè),經(jīng)銷商提出以下兩種收購方案:方案①:所有芒果以9元/千克收購;方案②:對(duì)質(zhì)量低于250克的芒果以2元/個(gè)收購,對(duì)質(zhì)量高于或等于250克的芒果以3元/個(gè)收購.通過計(jì)算確定種植園選擇哪種方案獲利更多.參考數(shù)據(jù):.21.如圖,在以、、、、、為頂點(diǎn)的五面體中,面是等腰梯形,,面是矩形,平面平面,,.(1)求證:平面平面;(2)若三棱錐的體積為,求的值.

參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】繪制不等式組所表示的平面區(qū)域,結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知,目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值.本題選擇D選項(xiàng).2、B【解析】

正四棱錐,連接底面對(duì)角線,在中,為側(cè)棱與地面所成角,通過邊的關(guān)系得到答案.【詳解】正四棱錐,連接底面對(duì)角線,,易知為等腰直角三角形.中點(diǎn)為,又正四棱錐知:底面即為所求角為,答案為B【點(diǎn)睛】本題考查了線面夾角的計(jì)算,意在考察學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象力.3、B【解析】

利用成等差數(shù)列可得,再利用余弦定理構(gòu)造的結(jié)構(gòu)再代入求得即可.【詳解】由成等差數(shù)列可得,由余弦定理有,即,解得,即.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差中項(xiàng)與余弦定理的運(yùn)算,需要根據(jù)題意構(gòu)造與的結(jié)構(gòu)代入求解.屬于中檔題.4、D【解析】

首先根據(jù)三角函數(shù)的定義,求得,之后應(yīng)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式,化簡(jiǎn)求得結(jié)果.【詳解】由已知得,則.故選D【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值問題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三角函數(shù)的定義,誘導(dǎo)公式,屬于簡(jiǎn)單題目.5、C【解析】

分別將選項(xiàng)中的區(qū)間端點(diǎn)值代回,利用零點(diǎn)存在性定理判斷即可【詳解】由題函數(shù)單調(diào)遞增,,,則,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間,屬于基礎(chǔ)題6、B【解析】

解:,是周期為的奇函數(shù),

對(duì)于A,在上是遞減的,錯(cuò)誤;

對(duì)于B,是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,正確;

對(duì)于C,是周期為,錯(cuò)誤;

對(duì)于D,的最大值為1,錯(cuò)誤;

所以B選項(xiàng)是正確的.7、B【解析】

解不等式化簡(jiǎn)集合的表示,求出函數(shù)的定義域,表示成集合的形式,運(yùn)用集合的并集運(yùn)算法則,結(jié)合數(shù)軸求出.【詳解】因?yàn)椋?又因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?因此,故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的并集運(yùn)算,正確求出對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域,運(yùn)用數(shù)軸是解題的關(guān)鍵.8、A【解析】

由已知利用垂徑定理求得,得到圓的半徑,畫出圖形,由扇形面積減去三角形面積求解.【詳解】解:直線方程為,圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為.圓心到直線的距離.則,解得.圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為1.如圖,,則,.,,圓在軸下方部分與軸圍成的圖形的面積等于.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用,考查扇形面積的求法,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.9、C【解析】

分別求出的值再帶入即可.【詳解】因?yàn)?所以因?yàn)?所以所以【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的余弦公式.屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

由重心分中線為,可得,又(其中是中點(diǎn)),再由向量的加減法運(yùn)算可得.【詳解】設(shè)是中點(diǎn),則,又為的重心,∴.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算,解題關(guān)鍵是掌握三角形重心的性質(zhì),即重心分中線為兩段.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、-2【解析】

根據(jù)題干中所給的表達(dá)式得到數(shù)列的周期性,進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題干表達(dá)式得到可以得數(shù)列具有周期性,周期為3,故得到故得到故答案為:-2.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了求數(shù)列中的某些項(xiàng),一般方法是求出數(shù)列通項(xiàng),對(duì)于數(shù)列通項(xiàng)不容易求的題目,可以列出數(shù)列的一些項(xiàng),得到數(shù)列的周期或者一些其它規(guī)律,進(jìn)而得到數(shù)列中的項(xiàng).12、【解析】

因?yàn)閿?shù)列有極限,故考慮的情況.又?jǐn)?shù)列分兩組,故分組求和求極限即可.【詳解】因?yàn)?故,且,故,又,即.綜上有.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列求和的極限,需要根據(jù)題意分組求得等比數(shù)列的極限,再利用不等式找出參數(shù)的關(guān)系,屬于中等題型.13、130【解析】

先利用遞推公式計(jì)算出的通項(xiàng)公式,然后利用錯(cuò)位相減法可求得的表達(dá)式,即可完成的求解.【詳解】因?yàn)椋裕裕裕忠驗(yàn)椋环蠒r(shí)的通項(xiàng)公式,所以,當(dāng)時(shí),,所以,所以,所以,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式以及錯(cuò)位相減法的使用,難度一般.利用遞推公式求解數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí),若出現(xiàn)了的形式,一定要注意標(biāo)注,同時(shí)要驗(yàn)證是否滿足的情況,這決定了通項(xiàng)公式是否需要分段去寫.14、1.1【解析】

先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),由此能求出這組數(shù)據(jù)的方差.【詳解】八個(gè)學(xué)生參加合唱比賽的得分為87,88,90,91,92,93,93,94,則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為:(87+88+90+91+92+93+93+94)=91,∴這組數(shù)據(jù)的方差為:S2[(87﹣91)2+(88﹣91)2+(90﹣91)2+(91﹣91)2+(92﹣91)2+(93﹣91)2+(93﹣91)2+(94﹣91)2]=1.1.故答案為1.1.【點(diǎn)睛】本題考查方差的求法,考查平均數(shù)、方差的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查了推理能力與計(jì)算能力,是基礎(chǔ)題.15、【解析】

把不等式轉(zhuǎn)化為,即可求解.【詳解】由題意,不等式,等價(jià)于,解得.即不等式的解為故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式不等式的求解,其中解答中熟記分式不等式的解法是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、2【解析】

因?yàn)?,,,,4成等比數(shù)列,根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),可得,再利用,確定取值.【詳解】因?yàn)?,,,,4成等比數(shù)列,所以,所以或,又因?yàn)椋?故答案為:2【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì),還考查運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)4(2)【解析】

(1)求得圓的半徑,設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,由此求得兩點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求得三角形的面積.(2)根據(jù),判斷出,由直線的斜率求得直線的斜率,以此列方程求得,根據(jù)直線和圓相交,圓心到直線的距離小于半徑,確定,同時(shí)得到圓心到直線的距離.【詳解】(1)根據(jù)題意,以點(diǎn)(a∈R,且a≠0)為圓心的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)O,設(shè)圓C的半徑為r,則r2=a2,圓C的方程為(x﹣a)2+(y)2=a2,令x=0可得:y=0或,則B(0,),令y=0可得:x=0或2a,則A(2a,0),△OAB的面積S|2a|×||=4;(2)根據(jù)題意,直線l:y=﹣2x+4與圓C交于點(diǎn)P、Q,則|CP|=|CQ|,又由|OP|=|OQ|,則直線OC與PQ垂直,又由直線l即PQ的方程為y=﹣2x+4,則KOC,解可得a=±2,當(dāng)a=2時(shí),圓心C的坐標(biāo)為(2,1),圓心到直線l的距離d,r,r>d,此時(shí)直線l與圓相交,符合題意;當(dāng)a=2時(shí),圓心C的坐標(biāo)為(﹣2,﹣1),圓心到直線l的距離d,r,r<d,此時(shí)直線l與圓相離,不符合題意;故圓心C到直線l的距離d.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線和圓的位置關(guān)系,考查兩條直線的位置關(guān)系,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.18、(1);(2)6.【解析】

(1)根據(jù)已知條件,結(jié)合,得到,再由已知條件求得,即可求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果化簡(jiǎn)得到,由此結(jié)合已知條件,即可求解.【詳解】(1)由已知,所以,即,從而,,又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列,即,所以,解得,所以數(shù)列是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,故;(2)因?yàn)椋裕矗裕裕缘淖畲笾禐?.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,以及數(shù)列的與關(guān)系式的應(yīng)用,其中解答中數(shù)列與關(guān)系式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式,準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)0.005;(2)平均分為73,眾數(shù)為65,中位數(shù)為;(3)10【解析】

(1)根據(jù)頻率之和為1,直接列式計(jì)算即可;(2)平均數(shù)等于每組的中間值乘以該組頻率,再求和;眾數(shù)指頻率最大的一組的中間值;中位數(shù)兩端的小長(zhǎng)方形面積之和均為0.5;(3)根據(jù)題意分別求出,,,的人數(shù),即可得出結(jié)果.【詳解】(1)由頻率分布直方圖可得:,(2)平均分為眾數(shù)為65分.中位數(shù)為(3)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為,在的人數(shù)為,在的人數(shù)為,在的人數(shù)為,在的人數(shù)為,所以數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谥獾娜藬?shù)為100-5-20-40-25=10.【點(diǎn)睛】本題主要考查樣本估計(jì)總體,由題中頻率分布直方圖,結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)等概念,即可求解,屬于基礎(chǔ)題型.20、(1)255;(2);(3)選擇方案②獲利多【解析】

1)由頻率分布直方圖能求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).(2)利用分層抽樣從這兩個(gè)范圍內(nèi)抽取5個(gè)芒果,則質(zhì)量在[200,250)內(nèi)的芒果有2個(gè),記為a1,a2,質(zhì)量在[250,300)內(nèi)的芒果有3個(gè),記為b1,b2,b3,從抽取的5個(gè)芒果中抽取2個(gè),利用列舉法能求出這2個(gè)芒果都來自同一個(gè)質(zhì)量區(qū)間的概率.(3)方案①收入22950元,方案②:低于250克的芒果的收入為8400元,不低于250克的芒果的收入為17400元,由此能求出選擇方案②獲利多.【詳解】(1)由頻率分布直方圖知,各區(qū)間頻率為0.07,0.15,0.2

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