2025屆北京師范大學蚌埠附屬學校數學高一下期末質量跟蹤監視模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設變量，滿足約束條件則目標函數的最小值為（）A．4 B．-5 C．-6 D．-82．若一個正四棱錐的側棱和底面邊長相等，則該正四棱錐的側棱和底面所成的角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°3．在中，已知a，b，c分別為，，所對的邊，且a，b，c成等差數列，，,則（）A． B． C． D．4．已知角的終邊過點，則（）A． B． C． D．5．函數的零點所在的區間為（）A． B． C． D．6．對于函數f(x)=2sinxcosx，下列選項中正確的是()A．f(x)在（，）上是遞增的 B．f(x)的圖象關于原點對稱C．f(x)的最小正周期為 D．f(x)的最大值為27．設集合，集合為函數的定義域，則（）A． B． C． D．8．經過原點且傾斜角為的直線被圓C:截得的弦長是，則圓在軸下方部分與軸圍成的圖形的面積等于（）A． B． C． D．9．已知,,,,則()A． B．C． D．10．已知點G為的重心，若，，則=()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數列滿足，，，則__________．12．數列滿足：，，的前項和記為，若，則實數的取值范圍是________13．已知數列滿足：（），設的前項和為，則______；14．若八個學生參加合唱比賽的得分為87，88，90，91，92，93，93，94，則這組數據的方差是______15．不等式的解為_______．16．已知1，，，，4成等比數列，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知以點（a∈R，且a≠0）為圓心的圓過坐標原點O，且與x軸交于點A，與y軸交于點B．（1）求△OAB的面積；（2）設直線l：y＝﹣2x+4與圓C交于點P、Q，若|OP|＝|OQ|，求圓心C到直線l的距離．18．設數列的前項和為，若，且成等差數列.（1）求數列的通項公式；（2）若的，求的最大值.19．某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區間是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求圖中的值；（2）根據頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分，眾數，中位數；（3）若這100名學生語文成績某些分數段的人數（）與數學成績相應分數段的人數（）之比如下表所示，求數學成績在[50，90）之外的人數．分數段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）1：12：13：44：520．某種植園在芒果臨近成熟時，隨機從一些芒果樹上摘下100個芒果，其質量分別在，，，，，（單位：克）中，經統計的頻率分布直方圖如圖所示．（1）估計這組數據的平均數（同一組中的數據以這組數據所在區間中點的值作代表）；（2）現按分層抽樣從質量為[200，250)，[250，300)的芒果中隨機抽取5個，再從這5個中隨機抽取2個，求這2個芒果都來自同一個質量區間的概率；（3）某經銷商來收購芒果，同一組中的數據以這組數據所在區間中點的值作代表，用樣本估計總體，該種植園中還未摘下的芒果大約還有10000個，經銷商提出以下兩種收購方案：方案①：所有芒果以9元/千克收購；方案②：對質量低于250克的芒果以2元/個收購，對質量高于或等于250克的芒果以3元/個收購．通過計算確定種植園選擇哪種方案獲利更多．參考數據：．21．如圖，在以、、、、、為頂點的五面體中，面是等腰梯形，，面是矩形，平面平面，，.（1）求證：平面平面；（2）若三棱錐的體積為，求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】繪制不等式組所表示的平面區域，結合目標函數的幾何意義可知，目標函數在點處取得最小值.本題選擇D選項.2、B【解析】

正四棱錐，連接底面對角線，在中，為側棱與地面所成角，通過邊的關系得到答案.【詳解】正四棱錐，連接底面對角線，，易知為等腰直角三角形.中點為，又正四棱錐知：底面即為所求角為，答案為B【點睛】本題考查了線面夾角的計算，意在考察學生的計算能力和空間想象力.3、B【解析】

利用成等差數列可得,再利用余弦定理構造的結構再代入求得即可.【詳解】由成等差數列可得,由余弦定理有,即,解得,即.故選：B【點睛】本題主要考查了等差中項與余弦定理的運算,需要根據題意構造與的結構代入求解.屬于中檔題.4、D【解析】

首先根據三角函數的定義，求得，之后應用三角函數的誘導公式，化簡求得結果.【詳解】由已知得，則.故選D【點睛】該題考查的是有關三角函數的化簡求值問題，涉及到的知識點有三角函數的定義，誘導公式，屬于簡單題目.5、C【解析】

分別將選項中的區間端點值代回,利用零點存在性定理判斷即可【詳解】由題函數單調遞增,,,則,故選:C【點睛】本題考查利用零點存在性定理判斷零點所在區間,屬于基礎題6、B【解析】

解:,是周期為的奇函數,

對于A,在上是遞減的,錯誤;

對于B,是奇函數,圖象關于原點對稱,正確;

對于C,是周期為,錯誤;

對于D,的最大值為1,錯誤;

所以B選項是正確的.7、B【解析】

解不等式化簡集合的表示，求出函數的定義域，表示成集合的形式，運用集合的并集運算法則，結合數軸求出.【詳解】因為，所以.又因為函數的定義域為，所以.因此，故本題選B.【點睛】本題考查了集合的并集運算，正確求出對數型函數的定義域，運用數軸是解題的關鍵.8、A【解析】

由已知利用垂徑定理求得，得到圓的半徑，畫出圖形，由扇形面積減去三角形面積求解．【詳解】解：直線方程為，圓的圓心坐標為，半徑為．圓心到直線的距離．則，解得．圓的圓心坐標為，半徑為1．如圖，，則，．，，圓在軸下方部分與軸圍成的圖形的面積等于．故選：．【點睛】本題考查直線與圓位置關系的應用，考查扇形面積的求法，考查計算能力，屬于中檔題．9、C【解析】

分別求出的值再帶入即可．【詳解】因為,所以因為,所以所以【點睛】本題考查兩角差的余弦公式．屬于基礎題．10、B【解析】

由重心分中線為，可得，又（其中是中點），再由向量的加減法運算可得．【詳解】設是中點，則，又為的重心，∴．故選B．【點睛】本題考查向量的線性運算，解題關鍵是掌握三角形重心的性質，即重心分中線為兩段．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、-2【解析】

根據題干中所給的表達式得到數列的周期性，進而得到結果.【詳解】根據題干表達式得到可以得數列具有周期性，周期為3，故得到故得到故答案為：-2.【點睛】這個題目考查了求數列中的某些項，一般方法是求出數列通項，對于數列通項不容易求的題目，可以列出數列的一些項，得到數列的周期或者一些其它規律，進而得到數列中的項.12、【解析】

因為數列有極限,故考慮的情況.又數列分兩組,故分組求和求極限即可.【詳解】因為,故,且,故,又,即.綜上有.故答案為：【點睛】本題主要考查了數列求和的極限,需要根據題意分組求得等比數列的極限,再利用不等式找出參數的關系,屬于中等題型.13、130【解析】

先利用遞推公式計算出的通項公式，然后利用錯位相減法可求得的表達式，即可完成的求解.【詳解】因為，所以，所以，所以，又因為，不符合時的通項公式，所以，當時，，所以，所以，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查根據數列的遞推公式求通項公式以及錯位相減法的使用，難度一般.利用遞推公式求解數列的通項公式時，若出現了的形式，一定要注意標注，同時要驗證是否滿足的情況，這決定了通項公式是否需要分段去寫.14、1.1【解析】

先求出這組數據的平均數，由此能求出這組數據的方差．【詳解】八個學生參加合唱比賽的得分為87，88，90，91，92，93，93，94，則這組數據的平均數為：（87+88+90+91+92+93+93+94）＝91，∴這組數據的方差為：S2[（87﹣91）2+（88﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2+（92﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（94﹣91）2]＝1.1．故答案為1.1．【點睛】本題考查方差的求法，考查平均數、方差的性質等基礎知識，考查了推理能力與計算能力，是基礎題．15、【解析】

把不等式轉化為，即可求解．【詳解】由題意，不等式，等價于，解得．即不等式的解為故答案為：．【點睛】本題主要考查了分式不等式的求解，其中解答中熟記分式不等式的解法是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．16、2【解析】

因為1，，，，4成等比數列，根據等比數列的性質，可得，再利用，確定取值.【詳解】因為1，，，，4成等比數列，所以，所以或，又因為，所以.故答案為:2【點睛】本題主要考查等比數列的性質，還考查運算求解的能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)4(2)【解析】

（1）求得圓的半徑，設出圓的標準方程，由此求得兩點坐標，進而求得三角形的面積.（2）根據，判斷出，由直線的斜率求得直線的斜率，以此列方程求得，根據直線和圓相交，圓心到直線的距離小于半徑，確定，同時得到圓心到直線的距離.【詳解】（1）根據題意，以點（a∈R，且a≠0）為圓心的圓過坐標原點O，設圓C的半徑為r，則r2＝a2，圓C的方程為（x﹣a）2+（y）2＝a2，令x＝0可得：y＝0或，則B（0，），令y＝0可得：x＝0或2a，則A（2a，0），△OAB的面積S|2a|×||＝4；（2）根據題意，直線l：y＝﹣2x+4與圓C交于點P、Q，則|CP|＝|CQ|，又由|OP|＝|OQ|，則直線OC與PQ垂直，又由直線l即PQ的方程為y＝﹣2x+4，則KOC，解可得a＝±2，當a＝2時，圓心C的坐標為（2，1），圓心到直線l的距離d，r，r＞d，此時直線l與圓相交，符合題意；當a＝2時，圓心C的坐標為（﹣2，﹣1），圓心到直線l的距離d，r，r＜d，此時直線l與圓相離，不符合題意；故圓心C到直線l的距離d．【點睛】本小題主要考查圓的標準方程，考查直線和圓的位置關系，考查兩條直線的位置關系，考查運算求解能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）6.【解析】

（1）根據已知條件，結合，得到，再由已知條件求得，即可求得等比數列的通項公式；（2）根據（1）中的結果化簡得到，由此結合已知條件，即可求解.【詳解】（1）由已知，所以，即，從而，，又因為成等差數列，即，所以，解得，所以數列是首項為2，公比為2的等比數列，故；（2）因為，所以，即，所以，所以，所以的最大值為6.【點睛】本題主要考查了等比數列的通項公式及前n項和公式的應用，以及數列的與關系式的應用，其中解答中數列與關系式和等比數列的通項公式、前n項和公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.19、（1）0.005；（2）平均分為73，眾數為65，中位數為；（3）10【解析】

（1）根據頻率之和為1，直接列式計算即可；（2）平均數等于每組的中間值乘以該組頻率，再求和；眾數指頻率最大的一組的中間值；中位數兩端的小長方形面積之和均為0.5；（3）根據題意分別求出，，，的人數，即可得出結果.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得：,（2）平均分為眾數為65分.中位數為（3）數學成績在的人數為，在的人數為，在的人數為，在的人數為，在的人數為，所以數學成績在之外的人數為100-5-20-40-25=10.【點睛】本題主要考查樣本估計總體，由題中頻率分布直方圖，結合平均數、中位數等概念，即可求解，屬于基礎題型.20、（1）255；（2）；（3）選擇方案②獲利多【解析】

1）由頻率分布直方圖能求出這組數據的平均數．（2）利用分層抽樣從這兩個范圍內抽取5個芒果，則質量在[200，250）內的芒果有2個，記為a1，a2，質量在[250，300）內的芒果有3個，記為b1，b2，b3，從抽取的5個芒果中抽取2個，利用列舉法能求出這2個芒果都來自同一個質量區間的概率．（3）方案①收入22950元，方案②：低于250克的芒果的收入為8400元，不低于250克的芒果的收入為17400元，由此能求出選擇方案②獲利多．【詳解】（1）由頻率分布直方圖知，各區間頻率為0.07，0.15，0.2