第21章一元二次方程復習課（第2課時）教學內容解析教學流程圖地位與作用本節課是復習課的第2課時，是在學生已經復習一元二次方程相關的基礎知識和基本技能的基礎上，通過綜合應用知識解決問題，深化學生對知識的理解，進一步培養發現和提出問題、分析和解決問題的能力．概念解析方程的根是指使方程兩邊相等的未知數的值．一元二次方程（ax2＋bx＋c=0）的根由系數決定，可以通過根的判別式（Δ=b2－4ac）判斷根的存在與否．配方是指把一個多項式經過適當變形配成完全平方式，利用配方可以確定代數式的最值．思想方法通過以判斷一元二次方程根的具體數值及根是否存在為目標導向，經歷對代數式的不斷變形，體會化歸和符號化的思想，培養運算能力；通過過幾何問題的解決，建立幾何對象之間的數量關系，體現數形結合的思想。通過對實際問題的解決，建立方程模型解決實際問題，體現數學與現實世界的聯系，體現數學建模的思想。以綜合問題作為復習課研究的對象，能夠加深學生對于一元二次方程的學習和理解，并且能夠訓練學生的代數變換的基本能力，培養學生分析和解決問題的能力．知識類型一元二次方程屬于概念性知識；一元二次方程的解法是關于原理與規則類知識，建立一元二次方程模型解決實際問題，是數學建模思想的重要體現，這是關于數學思想方法的知識．一元二次方程屬于概念性知識；一元二次方程的解法是關于原理與規則類知識，建立一元二次方程模型解決實際問題，是數學建模思想的重要體現，這是關于數學思想方法的知識．教學目標解析教學目標：1．鞏固本章基礎知識和基本技能，深化理解．2．經歷分析和解決例題的過程，培養分析和解決問題的能力．目標解析：達成目標1的標志是：通過例題的解決，深化對方程的根、判別式等基礎知識的理解，鞏固一元二次方程解法、配方法、代數式變形等基本技能的掌握，鞏固利用一元二次方程模型解決實際問題的一般步驟．達成目標2的標志是：通過問題的引導，學生引發思考，主動呈現分析過程，互相交流完善．教學問題診斷分析具備的基礎在本課之前，學生已經基本掌握一元二次方程的概念、解法，經歷了應用一元二次方程模型解決簡單問題的過程．與本課目標的差距分析例題的解決過程中需要一定的代數式變形的能力，較強的運算能力和邏輯思維能力．可能存在的問題存在的問題：學生對如何有邏輯地分析問題可能存在困難．應對策略：設計合適的例題作為復習提升的載體；通過有效的問題設計，引發學生準確、有邏輯地思考．教學難點本節課的教學難點：抽象出問題中的數量關系．教學支持條件分析通過信息技術直觀地呈現幾何圖形，標明相關線段的表示；通過列表等功能直觀地呈現實際問題中各個量的表示及關系．教學支持條件分析課前檢測1．關于x的方程（a2－3a－5）x2＋2ax+4=0的一個根為1，則實數a的值是__________．2．一條長20cm的繩子圍成一個的矩形．（1）若矩形面積為24cm2，求矩形的長和寬．（2）這個矩形的面積能達到26cm2嗎？設計意圖：復習一元二次方程根的概念、解法和應用．為復習課的開展做好知識上的準備．例題分析【例題1】對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列說法：（1）若，則方程一定有一根是x=－1；（2）若a＜0，b＜0，c＞0，則方程必有兩個不相等的實數根；；（3）若a－b+3c=0，則方程一定有兩個不相等的實數根；其中正確的結論是____________．（填序號）師生互動設計：學生先獨立思考，然后小組交流，最后學生呈現，相互完善，教師引導總結．期間教師巡視課堂并指導．教師可追問以下問題．追問1：如果x=－1是方程的根，我們可以得到怎樣的等式？已知等式能通過變形得到這個等式嗎？追問2：如何判斷方程根的情況？根的判別式如何表示？追問3：得到根的判別式的表示后，如何判斷它與0的關系？追問4：你總結下解決此類關于一元二次方程根的問題的一般策略嗎？設計意圖：通過對含字母的方程根的討論，鞏固對根的概念、判別式的理解，滲透化歸和符號化的思想，培養運算能力．【測評1】對于一元二次方程ax2＋bx＋c=0，下列說法：（1）若b=a＋c，則方程必有一根為x=－1；（2）若c是方程的一個根，則一定有ac＋b＋1=0成立；（3）若ac＜0，則方程一定有兩個不相等實數根；（4）若2a＋3c=b，則方程一定有兩個不相等的實數根．其中正確結論有_________．（填序號）設計意圖：檢測例1是否掌握．若測評不合格，則講解測評1并回至例1的教學．【例題2】如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=2cm，點P以2cm/s的速度從頂點A出發沿折線A－B－C向點C運動，同時點Q以1cm/s的速度從頂點C出發向頂點D運動，當其中一個動點到達末端停止運動時，另一點也停止運動．P，Q兩點從出發開始到幾秒時，（1）四邊形PBCQ的面積是矩形ABCD面積的？（2）點P和點Q之間的距離是cm？（3）點P和點Q之間的距離最?。繋熒釉O計：學生先獨立思考，然后小組交流，最后學生呈現，相互完善，教師引導總結．期間教師巡視課堂指導．為了幫助學生有邏輯地思考，教師可追問以下問題．追問1：如何計算四邊形PBCQ的面積？需要確定哪些量？追問2：如何計算線段PQ的長度？需要確定哪些線段？追問3：這些線段用x表示唯一嗎？追問4：如何確定二次三項式的最值？追問5：你總結下解決動點問題的一般策略嗎？設計意圖：通過動點問題的解決，鞏固用一元二次方程模型解決問題的一般步驟，培養對幾何圖形觀察和分析的能力．【測評2】在例2中，另一點M同時以3cm/s的速度，從點A沿DA射線方向運動．當P，Q停止運動時，M也停止運動．問：出發開始到幾秒時，三角形MQD的面積為cm2？設計意圖：檢測例2是否掌握．若測評不合格，則講解測評2并回至例2的教學．【例題3】某超市銷售一種飲料，平均每天可售出100箱，每箱利潤12元．為了擴大銷售，增加利潤，超市準備適當降價．據測算，每箱每降價1元，平均每天可多售出20箱．若要使每天銷售飲料獲利1400元，則每箱應降價多少元？師生互動設計：學生先獨立思考，然后小組交流，最后學生呈現，相互完善，教師引導總結．期間教師巡視課堂指導．為了幫助學生有邏輯地思考，教師可追問以下問題．追問1：每天的利潤如何計算？追問2：降價后每箱的利潤如何表示？追問3：降價后銷售量如何表示？追問４：你總結下解決利潤問題的一般策略嗎？設計意圖：通過利潤問題的解決，鞏固用一元二次方程模型解決問題的一般步驟，培養分析和解決問題的能力．【測評3】某商場將原來每件進價80元的某種商品按每件100元出售，一天可出售100件，后來經過市場調查，發現這種商品單價每降低2元，其銷量可增加20件．（1）求商場經營該商品原來一天可獲利多少元？（2）若商場經營該商品一天要獲得利潤2160元，則每件商品應降價多少元？設計意圖：檢測例3是否掌握．若測評不合格，則講解測評3并回至例3的教學．課堂小結通過本節課的學習，請你回顧和總結學習中的經驗，并回答以下問題：（1）在解決實際問題時，你是怎樣設未知數的？（2）你是如何發現問題的數量關系？有什么獨到的方法能與同學交流？（3）你是怎樣用數學符號表示數量關系的？存在什么問題沒有？（4）在解一元二次方程方程中，你有什么簡便而準確的方法嗎？你如何保證你所得到的結果都是正確的嗎？設計意圖：指導學生完成例題后，引導學生對內容和過程加以總結和反思，促使學生的數學思維活動更加活躍，形成理性認識．引導學生總結歸納例題解決過程中所運用到的數學知識、數學方法、數學思想，暢談過程中的成功體驗與不足．通過總結與反思，知識更加條理化、系統化，并形成一定的技能，學生的數學思維品質得以提升．目標檢測設計一、選擇題1．已知m是方程x2－2x－5=0的一個根，則m3－2m2－5m－5=（）A．－4B．－5C．4D．52．關于x的方程x2－mx＋2m=0的一個實數根是3，并且它的兩個實數根恰好是等腰△ABC的兩邊長，則△ABC的周長為（）A．12B．15C．10或12D．12或153．已知關于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx＋（a－c）=0，其中a，b，c分別為△ABC三邊的長．如果方程有兩個相等的實數根，△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．無法確定三角形的形狀4．對于一元二次方程ax2＋bx＋c=0，下列說法：①若2b=4a＋c，則方程必有一根為x=－2；②若c是方程的一個根，則一定有ac＋b＋1=0成立；③若b2＞5ac＞0，則方程一定有兩個不相等的實數根；④若2a＋5c=b，則方程一定有兩個不相等的實數根．其中正確結論有（）個．A．1B．2C．3D．45．如圖，某小區規劃在一個長12m，寬8m的矩形場地ABCD上，修建同樣寬的小路，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草．若草坪部分總面積為64m2，設小路寬為xm，那么x滿足的方程是（）A．2x2－25x＋16=0