黑龍江哈爾濱市省實驗中學2025屆高一下數學期末經典試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若是等比數列，下列結論中不正確的是（）A．一定是等比數列； B．一定是等比數列；C．一定是等比數列； D．一定是等比數列2．已知a＞0，x，y滿足約束條件,若z=2x+y的最小值為1，則a=A． B． C．1 D．23．如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B．C． D．4．如圖是某體育比賽現場上評委為某位選手打出的分數的莖葉圖，去掉一個最高分和一個最低分，所剩數據的平均數和方差分別是()A．5和1.6 B．85和1.6 C．85和0.4 D．5和0.45．用數學歸納法時，從“k到”左邊需增乘的代數式是（）A． B．C． D．6．已知向量若為實數，則＝（）A．2 B．1 C． D．7．邊長為1的正方形上有一動點，則向量的范圍是（）A． B． C． D．8．若，且，則()A． B． C． D．9．已知，下列不等式中必成立的一個是()A． B． C． D．10．已知向量=(3，4)，=(2，1)，則向量與夾角的余弦值為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．圓的一條經過點的切線方程為______．12．在中，，，.若，，且，則的值為______________.13．在中，角所對邊長分別為，若，則的最小值為__________.14．若數列的前項和為，則該數列的通項公式為______.15．若函數的圖象過點，則___________.16．若直線y＝x＋m與曲線x＝恰有一個公共點，則實數m的取值范圍是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知余切函數.（1）請寫出余切函數的奇偶性，最小正周期，單調區間；（不必證明）（2）求證：余切函數在區間上單調遞減.18．已知函數當時,求函數的最小值.19．計算：（1）（2）（3）20．已知圓過點,且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）平面上有兩點，點是圓上的動點，求的最小值；（3）若是軸上的動點，分別切圓于兩點，試問：直線是否恒過定點？若是，求出定點坐標，若不是，說明理由．21．如圖，在三棱錐中，平面平面為等邊三角形，，且，分別為的中點.（1）求證：平面平面；（2）求三棱錐的體積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

判斷等比數列,可根據為常數來判斷.【詳解】設等比數列的公比為,則對A：為常數,故一定是等比數列；對B：為常數,故一定是等比數列；對C：當時,,此時為每項均為0的常數列；對D：為常數,故一定是等比數列.故選：C.【點睛】本題主要考查等比數列的判定,若數列的后項除以前一項為常數,則該數列為等比數列.本題選項C容易忽略時這種情況.2、B【解析】

畫出不等式組表示的平面區域如圖所示：當目標函數z=2x+y表示的直線經過點A時，取得最小值，而點A的坐標為（1，），所以，解得，故選B.【考點定位】本小題考查線性規劃的基礎知識，難度不大，線性規劃知識在高考中一般以小題的形式出現，是高考的重點內容之一，幾乎年年必考.3、C【解析】

先通過三視圖找到幾何體原圖，再求幾何體的體積得解.【詳解】由題得該幾何體是一個邊長為4的正方體挖去一個圓錐（圓錐底面在正方體上表面上，圓錐頂部朝下），所以幾何體體積為.故選：C【點睛】本題主要考查三視圖還原幾何體原圖，考查組合體體積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.4、B【解析】

去掉最低分分，最高分分，利用平均數的計算公式求得，利用方差公式求得.【詳解】去掉最低分分，最高分分，得到數據，該組數據的平均數，.【點睛】本題考查從莖葉圖中提取信息，并對數據進行加工和處理，考查基本的運算求解和讀圖的能力.5、C【解析】

分別求出n＝k時左端的表達式，和n＝k+1時左端的表達式，比較可得“n從k到k+1”左端需增乘的代數式．【詳解】當n＝k時，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），當n＝k+1時，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），∴左邊需增乘的代數式是故選：C．【點睛】本題考查用數學歸納法證明等式，分別求出n＝k時左端的表達式和n＝k+1時左端的表達式，是解題的關鍵．6、D【解析】

求出向量的坐標，然后根據向量的平行得到所求值．【詳解】∵，∴．又，∴，解得．故選D．【點睛】本題考查向量的運算和向量共線的坐標表示，屬于基礎題．7、A【解析】

分類，按在正方形的四條邊上分別求解．【詳解】如圖，分別以為建立平面直角坐標系，，設，，∴，當在邊或上時，，所以，當在邊上時，，，當在邊上時，，，∴的取值范圍是．故選：A.【點睛】本題考查平面向量的數量積，通過建立坐標系，把向量和數量積用坐標表示，使問題簡單化．8、A【解析】

利用二倍角的正弦公式和與余弦公式化簡可得.【詳解】∵，∴，∵，所以，∴，∴.故選：A【點睛】本題考查了二倍角的正弦公式，考查了二倍角的余弦公式，屬于基礎題.9、B【解析】

根據不等式的性質，對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A選項，由于，不等號方向不相同，不能相加，故A選項錯誤.對于B選項，由于，所以，而，根據不等式的性質有：，故B選項正確.對于C選項，，而兩個數的正負無法確定，故無法判斷的大小關系，故C選項錯誤.對于D選項，，而兩個數的正負無法確定，故無法判斷的大小關系，故D選項錯誤.故選：B.【點睛】本小題主要考查根據不等式的性質判斷不等式是否成立，屬于基礎題.10、A【解析】

由向量的夾角公式計算．【詳解】由已知，，．∴．故選A．【點睛】本題考查平面向量的數量積，掌握數量積公式是解題基礎．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據題意，設為，設過點圓的切線為，分析可得在圓上，求出直線的斜率，分析可得直線的斜率，由直線的點斜式方程計算可得答案．【詳解】根據題意，設為，設過點圓的切線為，圓的方程為，則點在圓上，則，則直線的斜率，則直線的方程為，變形可得，故答案為．【點睛】本題考查圓的切線方程，注意分析點與圓的位置關系．12、【解析】,則.【考點】向量的數量積【名師點睛】根據平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一組基地可以表示平面內的任一向量，利用向量的定比分點公式表示向量，計算數量積，選取基地很重要，本題的已知模和夾角，選作基地易于計算數量積.13、【解析】

根據余弦定理，可得，然后利用均值不等式，可得結果.【詳解】在中，，由，所以又，當且僅當時取等號故故的最小值為故答案為：【點睛】本題考查余弦定理以及均值不等式，屬基礎題.14、【解析】

由，可得出，再令，可計算出，然后檢驗是否滿足在時的表達式，由此可得出數列的通項公式.【詳解】由題意可知，當時，；當時，.又不滿足.因此，.故答案為：.【點睛】本題考查利用求，一般利用來計算，但要對是否滿足進行檢驗，考查運算求解能力，屬于中等題.15、【解析】

由過點，求得a，代入，令，即可得到本題答案【詳解】因為的圖象過點，所以，所以，故.故答案為：-5【點睛】本題主要考查函數的解析式及利用解析式求值.16、{m|－1＜m≤1或m＝－}【解析】

由x=，化簡得x2+y2=1，注意到x≥0，所以這個曲線應該是半徑為1，圓心是（0，0）的半圓，且其圖象只在一、四象限．畫出圖象，這樣因為直線與其只有一個交點，由此能求出實數m的取值范圍．【詳解】由x=，化簡得x2+y2=1，注意到x≥0，所以這個曲線應該是半徑為1，圓心是（0，0）的半圓，且其圖象只在一、四象限．畫出圖象，這樣因為直線與其只有一個交點，從圖上看出其三個極端情況分別是：①直線在第四象限與曲線相切，②交曲線于（0，﹣1）和另一個點，③與曲線交于點（0，1）．直線在第四象限與曲線相切時解得m=﹣，當直線y=x+m經過點（0，1）時，m=1．當直線y=x+m經過點（0，﹣1）時，m=﹣1，所以此時﹣1＜m≤1．綜上滿足只有一個公共點的實數m的取值范圍是：﹣1＜m≤1或m=﹣．故答案為：{m|－1＜m≤1或m＝－}．【點睛】本題考查實數的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意數形結合思想的合理運用．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）奇函數；周期為，單調遞減速區間：（2）證明見解析【解析】

（1）直接利用函數的性質寫出結果．（2）利用單調性的定義和三角函數關系式的變換求出結果．【詳解】（1）奇函數；周期為，單調遞減區間：（2）任取，，，有因為，所以，于是，，從而，.因此余切函數在區間上單調遞減.【點睛】本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變變換，函數關系式的應用，主要考查學生的運算能力和轉化能力，屬于基礎題型．18、當時，，當時，，當時，.【解析】

將函數的解析式化成二次函數的形式，然后把作為整體，并根據的取值范圍，結合求二次函數在閉區間上的最值的方法進行求解即可．【詳解】由題意得．∵，∴．當，即時，則當，即時，函數取得最小值，且；當，即時，則當，即時，函數取得最小值，且；當，即時，則當，函數取得最小值，且．綜上可得．【點睛】解答本題的關鍵是將問題轉化為二次函數的問題求解，求二次函數在閉區間上的最值時要結合拋物線的開口方向和對稱軸與區間的位置關系求解，體現了數形結合的應用，屬于基礎題．19、（1）；（2）；（3）.【解析】

利用誘導公式，對每一道題目進行化簡求值.【詳解】（1）原式.（2）原式.（3）原式.【點睛】在使用誘導公式時，注意“奇變偶不變，符號看象限”法則的應用，即輔助角為的奇數倍，函數名要改變；若為的偶數倍，函數名不改變.20、（1）；（2）26；（3）直線恒過定點．證明見解析【解析】

（1）設圓心，根據則，求得和圓的半徑，即可得到圓的方程；（2）設，化簡得，根據圓的性質，即可求解；（3）設，圓方程，根據兩圓相交弦的性質，求得相交弦的方程，進而可判定直線恒過定點．【詳解】（1）由題意知，圓心在直線上，設圓心為，又因為圓過點,則，即，解得，所以圓心為，半徑，所以圓方程為．（2）設，則，又由，所以，即的最小值為．（3）設，則以為直徑的圓圓心為，半徑為，則圓方程為，整理得，直線為圓與圓的相交弦，兩式相減，可得得直線方程，即，令，解得，即直線恒過定點．【點睛】本題主要考查了圓的綜合應用，其中解答中涉及到圓的標準方程的求解，圓的最值問題的求解，以及兩圓的相交弦方程的求解及應用，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．21、(1)證明見詳解；（2）.【解析】