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第五章定積分及其應用

§5.1定積分的概念及性質問題的提出定積分的定義存在定理幾何意義定積分的性質在實際中如何準確求出封閉的不規則圖形的面積呢？分析：在丈量土地時,要準確的得到一塊不規則土地的面積,關鍵在于如何求出邊緣部分的面積（中間部分是矩形）如下圖.數學中這些邊緣部分被稱為曲邊梯形。(a)(b)一、問題的提出問題提出實例1

（求曲邊梯形的面積）用矩形面積近似取代曲邊梯形面積（四個小矩形）（九個小矩形）顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．分割：曲邊梯形如圖所示，在區間[a,b]內插入若干y=f(x)求和：曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積：取極限：當分割無限加細，即小區間的最大長度實例2

（求變速直線運動的路程）過程求得路程的精確值．思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分設某物體作直線運動，已知速度V=V(t)是求物體在這段時間內所經過的路程.（1）分割部分路程值某時刻的速度（3）求和（4）取極限路程的精確值定積分的定義二、定積分的定義記為被積表達式積分上限積分下限被積函數積分變量積分和注意：三、存在定理定理1定理2四、定積分的幾何意義曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值幾何意義：性質五、定積分的性質對定積分的補充規定:說明在下面的性質中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小．性質1

兩個函數的和（差）在上的定積分等于性質2被積函數的常數因子可以提到積分號外面

即性質3（可加性）例則不論a,b,c的相對位置如何，上式總成立補充：若a<b<c，性質4（保號性）證性質4有三個重要推論：推論1證推論2證推論3證（此推論可用于估計積分值的大致范圍）性質5（積分中值定理）積分中值公式證由假設，知函數f(x)在[a,b]必有最大值M和最小值m.由推論3，有再由閉區間上連續函數的介值定理知，在區間使即積分中值公式幾何解釋：[a,b]上至少存在一點例4估計定積分

（A）1 練習：

C

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