山西省呂梁市2024屆高三第一次模擬考試數學試題

一、選擇題

A{x[l<x<2}3=?<9}

1.設集合,則（)

A.A<JB=BB.AB=BC.A=BD.A&B

（答案】A

（解析I由3*<9解得x<2,

所以A=(l,2),B=(-<x>,2),所以AgB,A<JB=B>

故選：A.

2.已知復數z=二，則閆=()

1+i1

A.1B.y/2C.2D.4

K答案1A

K解析X2=匕=/。了)、=—i,|z|=J(-l)2+02=1

1+i(l+i)(l-i)II%一

故選：A

22

3.雙曲線馬=1(。>0,6>0)的一條漸近線方程為x+y=o,則該雙曲線的離心率為

ab

()

A.V2B.百C.2D.20

（答案IA

K解析』依題意，2=1,所以該雙曲線的離心率e=M±^=1+之）2=萬

aa\a

故選：A.

4.寬與長的比為避二0.618的矩形叫做黃金矩形，它廣泛的出現在藝術、建筑、人體

2

和自然界中，令人賞心悅目.在黃金矩形ABCD中，5。=b—1,48>8。,8中點為￡,

則AB-AE的值為()

A.^/5-1B.75+1C.4D.2

（答案』D

k解析』因為在黃金矩形ABCD中，BC=4^-1,AB>BC，

81------------iC

所以0￡=避二1,故AB=2,

AB2

而AE=AD+DE=AD-\—AB,

2

ABAD=Q^

(1>121

所以A5AE=AD+-AB\^ABAD+-AB=0+-x292=2.

I2J22

故選：D.

5.tan80。一百的值為（

A.6

K答案1D

tan80。—也_sin80。—也cos80。_2(sin80。x—cos80。>與

sin80°sin80°cos80°—x2sin80°cos80°

2

“tan80。—逝4sin(80°-60°)4sin20°4sin20°

則n-----------=---------------=---------------=--------

sin800sin160°sin(180°-20°)sin20°

故選：D

6.如圖，“蒸茶器”外形為圓臺狀，上、下底面直徑（內部）分別為4cm,12cm,高為8cm

（內部），上口內置一個直徑為4cm,高為3cm的圓柱形空心金屬器皿（厚度不計，用來

放置茶葉）.根據經驗，一般水面至茶葉（圓柱下底面）下方的距離大于等于1cm時茶葉不

會外溢.用此“蒸茶器”蒸茶時為防止茶葉外溢，水的最大容積為(

380兀3047r

A.-------B.380兀C.-------D.304兀

33

(答案IC

K解析』如圖，作出圓臺的軸截面，設截面上部延長部分三角形的高為/?cm,

由相似三角形性質，得“一=二解得九=4,

h+86

設水到達最大容量時水面的圓面半徑為7cm,

4+3+1丫

則-------=—,解得r=4,

4+86

1304兀

水的最大容量為V=3兀(8—3—1)x(4?+4x6+62)==—ml.

7.已知圓Q:(x—4)2+(y—2)2=4,點P為直線x+y+2=0上的動點，以尸。為直徑的

圓與圓。相交于A3兩點，則四邊形PAQ5面積的最小值為()

A.2幣B.4sC.2D.4

(答案》B

(解析I由題意得PBLAQ,0(4,2),

S四邊形PAQg=2sPAQ=2T叫AQ|=2附=2同一4,

當PQ垂直直線x+y+2=0時，|PQL1kl」4+：2|=4加,

23

8.已知函數滿足/(x+y)+/(x—y)=§〃x)/(y),/(1)=-,則下列結論不正

確的是()

A./(O)=3B.函數/(2x—1)關于直線x=g對稱

C./(x)+/(o)>oD.”力的周期為3

K答案XD

K解析工解法一：

9

令x=l,y=0,則"⑴=§/⑴/⑼，解得“0)=3,A正確；

2

令x=O,則/■3)+"-y)=?(0)/(y)=24y),

所以/(》)=/(—y)，即外可是偶函數，

所以〃2x—1)=〃—2x+l)=/[2(l—力―1],所以函數—關于直線x=g對稱,

B正確；

2

令丁=不貝叱(2x)+7■⑼=§r(x"O,

令/=2x,則/⑺+/(0)20,所以/(尤)+/(0”0,C正確；

令y=i,則〃x+l)+/(xT)=/(x)①，

所以/(x+2)+/(x)=/(x+l)②，

①②聯立得了(x+2)=—/(x—1),

所以/(x+3)=—/(￡),/(x+6)=-/(x+3)=/(x),即〃力的周期為6,D錯誤;

7T

解法二：構造函數/(x)=3cos§x,

3JTJT

滿足〃1)=]，且〃x+y)+〃x_y)=3cos§(x+y)+3cos](x_y)

/(0)=3cos0=3,A正確;

2兀兀

/(2x-l)=3cosm(2%-1)=3cos——x——=3cos

33

因為〃2x-1)表示y=3cosq-x的圖象向右平移g個單位，且y=3cosq-x的圖象關于

y軸對稱，

所以/(2x—1)關于直線x對稱，B正確；

由余弦函數的圖象和性質可知/■(x)+y(0)=3cos5x+GO,C正確;

T—__—￡

“力的周期一兀，D錯誤;

3

故選：D.

二、選擇題

9.下列說法正確的是()

A.命題“Vx>l,A<1”的否定是“玉;41,x2>r

B.“a>10”是“-<4;”的充分不必要條件

a10

C.若函數的定義域為[0,2],則函數〃2x)的定義域為[0』

D.記Aki,”％)),3a,〃龍2))(七為函數/(尤)=?圖象上的任意兩點，則

廣+葉/(西)+〃々)

[[答案】BCD

2

K解析』對于A選項，/〈I，”的否定為，勺%>1,%>1故A錯誤;

對于B選項，由，<工，得佇更>0,故。>10或。<0,

a1010a

因此a>10是工的充分不必要條件，故B正確；

a10

對于C選項，/(力中，0WxW2,y(2x)中，0<2x<2,即0<x<l,故C正確;

對于D選項，〃石+"2)=k1+*2"%)+/(%2)=返+厄

、八2丫2'22

》《+值.../(士*)>/&)+/(%),故口正確.故選：BCD.

222

10.已知函數/(x)=Asin(ox+e)[A〉0,0〉0,憫<的部分圖象如圖所示，將函數

/(%)的圖象先關于X軸對稱，然后再向左平移g個單位長度后得到函數g(x)的圖象，則

下列說法正確的是()

C.函數g(x)為奇函數

D.函數g(x)在區間-g，-'上單調遞增

[答案》AD

(解析D根據函數/(x)=Asin(ox+e)[A>0,。〉0,網<]]的部分圖象,

-4c3271571Tl.c

可行A=2,—x—=----1—,??3=2,

4G123

57r7T71

對于A選項，結合五點法作圖，可得2義——+0=—,.?.0=——,故A正確，

1223

/(x)=2sin12x—三],將函數/(X)的圖象平移后得到函數g(x)的圖象，

貝|]g(x)=—2sin12x+|^,

TTTT7TKTT

對于B選項，由2%-1—二—\-ku,得到g(%)的對稱軸為元=---1-----，左wZ,

32122

jrjr

顯然元二—二不是其對稱軸，故g(—x)Wg(x—:)，故B錯誤，

126

對于C選項，函數g(x)顯然不是奇函數，故C錯誤，

7T

對于D選項，—2<0,，g(x)的遞增區間即y=sin(2x+?的遞減區間，

令2E+工42》+'42也+」,左eZ，

232

7T7冗

解得E+—<x<fan-----,GZ,

1212

TT7兀

故g(x)的遞增區間是kit+—,kn+—(左eZ),

當左=—1時，g（x）的遞增區間是一五，一石，故D正確，故選：AD.

11.已知正方體ABC。—A4G。的棱長為1,點P滿足”=九鉆+〃4￡>+z44,

%〃,7eR（P與3,D,A三點不重合），則下列說法正確的是（）

A.當2+〃+7=1時，尸5//平面CDg

B,當/=1,2=〃時，4尸_1_平面3￡）￡）]與

C.當彳=g,〃=/=l時，平面4DP_L平面4。。

D.當初=1,7=0時，直線P4與平面4gG2所成角的正切值的最大值為孝

K答案XABD

（解析UA,當2+〃+/=1時，即7=1—（丸+〃），

uuuuun/Uimuuiix/Uumuuir、uuuuuuuuu

可得AP-AA=4（48-胡）+〃（4。一明），則AP=XA3+〃A￡>,

所以點尸在平面A3。內，如圖，因為BQ/IBD,%DIIB?,

RRu面CD&i,BD<Z面CDlBl,故BD//面CD^,

21Cu面C￡>4，面C￡>[8],故4。//面CRB],

BD4。=。，面ABD,所以面AB。//面CR4，又P3u面

所以尸3//平面C24.故A正確；

B,當/=l,；l=〃時，AP=2AB+2AD+A41,則A戶=X(AB+AD)=九4。，故點尸

在直線4。上，直線A/與直線AG共線，

如圖，AG工BR,AG，。。1，BRDD[=D[,u平面,

所以AC，平面5。2與，即4P，平面8。2用，故B正確；

11-1

C,當當彳=5，〃=7=1時，AP=-AB+AD+AAl,所以〃尸二萬人8，故尸為2G

的中點，

如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，設正方體邊長為2,則0（0,0,0）,A（2,0,2）,

C（0,2,0）,P（0,l,2）,

所以D0=（0,1,2）,以=（2,0,2）,DC=（0,2,0）,

r、TI-DP=y+2z=0

設平面4。尸的一個法向量為〃=（zx,y,z）,則,令z=—1，得

n-D\=2x+2z=0

”=（12-1）,

DC—2b—0

設平面a。。的一個法向量為加二（a,"c）,貝",令z=—i,得

mDA[=2x+2z=0

m=（l,0,-1）,

則解〃=l+0+l=2w0,所以平面A。。與平面4DP不垂直，故C錯誤；

D,當旗=1,丁=0時，則AP=XA3+〃A。，可知點P在平面ABCD內,

因為面ABCD//面A/iG，，則直線P\與面A[5]G2所成角即為直線PA,與面ABCD

所成的角，

因為A4，面ABCD，則直線尸4與面ABCD所成的角為ZA；PA,得

tanZ24PA=AA_J_

1AP-AP

iuunuuniuum

又加=1,即〃=—,則AP=XAB+—A。,

AA

，211

得AP=A,-AB2+—AD2+2ABAD=A29+—>2,

,1即；l=±1時等號成立，知|AP|的最小值為四，則tan44pA=上的

當且僅當外=出1

最大值3=交，

V22

所以直線PA,與平面AgG。所成角的正切值的最大值為巫，故D正確.

2

故選：ABD.

12.畫法幾何的創始人——法國數學家加斯帕爾?蒙日發現：橢圓的兩條切線互相垂直，則兩

切線的交點位于一個與橢圓同中心的圓上，稱此圓為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓

22

。：^+.=1（。〉。＞0）,Fx,入分別為橢圓的左、右焦點，耳其短軸上的一

個端點到心的距離為班，點A在橢圓上，直線/:灰+⑥-/一廿二。，則（）

A.直線/與蒙日圓相切

B.橢圓C的蒙日圓方程為好+丁2=2

C.若點P是橢圓C的蒙日圓上的動點，過點P作橢圓。的兩條切線。12,分別交蒙日圓

于N兩點，則的長恒為4

D.記點A到直線/的距離為d,則d—耳|的最小值為2+孝

k答案1AC

k解析》當兩切線分別與兩坐標軸垂直時，兩切線的方程分別為％=±a、y=+b,

所以點(±a,±A)在蒙日圓上，故蒙日圓的方程為/+/="+廿，

又由題意可得C=J5，^Jc2+b2=A/3>結合解得a=百，b=l,

對于A選項，蒙日圓圓心到直線/的距離為d=:+"=ylcr+b2,

商+/

所以，直線/與蒙日圓相切，故A正確；

對于B選項，。的蒙日圓的方程為/+/=4,故B錯誤；

對于C選項，由題意可知，1[L％,所以為蒙日圓的直徑，MN=4,故C正確；

對于D選項，由橢圓的定義可得，|A娟+|班|=26，

所以，d-\AF^=d+\AF^-2^,

直線/的方程為尤+gy-4=0,

點耳到直線/的距離為4=生乎，

4+4

所以，d-\AF2\=+|A7^|-2A/3>-273=^-^；

當且僅當人耳，/時，等號成立，故D錯誤；

故選：AC.

.（用數字作答）

5

1(1

k解析nx——I的第r+1項為＜+]=C"5fI=(-i)'G”

xI光

令5—2r=l,解得廠=2,令5—2廠=3,得廠=1，

代入通項可得（x-'）5展開式中的x和丁項分別為：iox和1—5三，

X

分別與一和-2相乘,

的展開式中9項為10后+10后=20/,故正的系數為20.

故［答案X為：20.

14.某市2018年至2022年新能源汽車年銷量y（單位：百臺）與年份代號x的數據如下表:

年份20182019202020212022

年份代號

01234

X

年銷量y1015203035

若根據表中的數據用最小二乘法求得丁關于x的回歸直線方程為y=6.5x+a，據此計算相

應于樣本點（1,15）的殘差為

（答案』-0.5

-0+1+2+3+4--10+15+20+30+35”

k解析I依題意,x=---------=2,y=------------z-------------:22,

代入回歸直線亍=6.5x+6,解得4=9

所以回歸直線為3=6.5X+9

當x=l時，夕=15.5,因此殘差15—15.5=-0.5,

故K答案I為：-0.5

15.設各項均為正數的數列｛4｝的前n項和為Sn,前幾項積為M“，若％=l,2anMn=

Mn+l-Mn,則$9=.

K答案H1013

II解析H由2a也"=叫+「叫，

得2aMi此

an>0,：.M“〉0

；?2。〃=an+]-1,即2(an+D=an+l+1

.-.^±i=2

4+1

.??｛4+1｝是以2為首項，2為公比的等比數列

nn

:.an+l=2-2-'=2

：.an=T-l,S=2(1-2")_“=2"+i_2i

n1-2

1O

,-.S9=2-11=1O13.

故(答案』為：1013

16.己知分別是函數/(x)=2x+e"Jln(y+尤一1)和g(x)=x圖象上的動點，若對

任意的爪>0,都有|4邳2。恒成立，則實數。的最大值為.

《答案]V2

k解析》點A(x,/(x))到直線x—y=0的距離d

則|AB|2d=4d,

又/(x)—X=X+e?7—ln(eM+x-l)=(e?+x-l)-ln(eTO+x-l)+l,

由m>0知，y=e'"x和y=x在R上單調遞增，

所以ynx+e"，—1在R上單調遞增，其值域為R,

又x+e?7—1>0，令/=e'm+x—1?>0),

1/_i

令e?)=/_ln/+l,b'?)=l__=——?>0),

tt

當0</<1時，/'(/)<0,當%>1時，

所以函數/(。在(0,1)上單調遞減，在(1,+8)上單調遞增，

所以尸⑺min=%1)=2，

所以恒創21=乎|/0)—力之應，

因為對任意的m>0,都有2a恒成立，所以。4血,

所以實數。的最大值為0.

故(答案x為：JL

四、解答題

17.已知數列｛%｝滿足(+4+。3++cin=n~.

(1)求數列｛%｝的通項公式；

(2)求數列的前幾項和S“.

[44+1J

解：(1)由題意，得S“=/

22

當“22時，an=Sn-Sn_x=n-(n-1)=2n-l

當”=1時，q=S]=1,適合上式.

/.an=2n-l.

-------------------------------(----------------

anan+x(2〃一1)(2〃+1)22n—12n+l

所以s〃=-

35572n—12n+l

18.設ABC的內角AB,C的對邊分別為a,b,c,已知Z?cosC+為cosA=-ccos5.

(1)求A；

(2)設A的角平分線交5C于點AM=i,求b+4c的最小值.

解：(1)Z?cosC+2acosA=-ccosB.

由正弦定理，sinBcosC+sinCcosB=-2sinAcosA

/.sin(B+C)=-2sinAcosA,即sinA=—2sinAcosA

Ae(0,7i)/.sinA>0

sA=--,gpA=—

CO23

(2)由題意可得，+S^AMC=^AABC

:.—c-AMsin60+—b-AM-sin60=—Z?csinl20

222

.\b+c=bc

即LLi

bc

11b4cb4c

/.Z?+4c=(Z?+4c)(-+-)=5+-+—>5+2,

bccbcb

b4c3

當且僅當一=丁，即b=3,c=—時，等號成立，

cb2

所以〃+4。的最小值為9.

19.如圖，在四棱錐P-A5CD中，已知平面ABCD,且四邊形ABCD為直角梯形,

71

ZABC=ZBAD=-9PA=3,AD=2,AB=BC=1.

(1)線段PB上是否存在一點。使得QC_LCD,若存在，求出3Q的長，若不存在，說

明理由；

(2)定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最

小值，求異面直線與CD之間的距離.

解：(1)以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系

則各點的坐標為8(1,0,0),C(l,l,0),￡>(0,2,0),P(0,0,3)

BP=(-1,0,3)，

設。為直線P8上一點，且==(—4,0,32),0(1—40,32)

：.CQ=(-2,-1,32),又CD=(-1,1,0),

CQCD=A-1=O,A=1

所以存在點Q，滿足QCJ_CD,此時3Q=1.

(2)由(1)可得CJD=(T,1,0),

又Q(1—X,0,32),CQ=32)

dN巫

19

所以異面直線網與。之間的距離為上叵

19

20.呂梁市舉辦中式廚師技能大賽，大賽分初賽和決賽，初賽共進行3輪比賽，每輪比賽結

果互不影響.比賽規則如下：每一輪比賽，參賽選手要在規定的時間和范圍內，制作中式面

點和中式熱菜各2道，若有不少于3道得到評委認可，將獲得一張通關卡，3輪比賽中，至

少獲得2張通關卡的選手將進入決賽.為能進入決賽，小李賽前在師傅的指導下多次進行訓

練，師傅從小李訓練中所做的菜品中隨機抽取了中式面點和中式熱菜各4道，其中有3道中

式面點和2道中式熱菜得到認可.

(I)若從小李訓練中所抽取的8道菜品中，隨機抽取中式面點、中式熱菜各2道，由此來

估計小李在一輪比賽中的通關情況，試預測小李在一輪比賽中通關的概率；

(2)若以小李訓練中所抽取的8道菜品中兩類菜品各自被師傅認可的頻率作為該類菜品被

評委認可的概率，經師傅對小李進行強化訓練后，每道中式面點被評委認可的概率不變，每

道中式熱菜被評委認可的概率增加了工，以獲得通關卡次數的期望作為判斷依據，試預測

6

小李能否進入決賽?

解：(1)設人="在一輪比賽中，小李獲得通關卡”，則事件A發生的所有情況有:

C；C；C；_3_1

①得到認可的中式面點入選1道，中式熱菜入選2道的概率為6=

C4C46x612

12_1

②得到認可的中式面點入選2道，中式熱菜入選1道的概率為6=

C氾6^6-3

C2c231

③得到認可中式面點和中式熱菜各入選2道的概率為耳=為|=—=—

C4c46x612

所以P（A）=^-+'+L=L

v7123122

3

（2）由題知，強化訓練后，每道中式面點被評委認可的概率為一，每道中式熱菜被評委認

4

可的概率為‘+'=2,則強化訓練后，在一輪比賽中，小李獲得通關卡的概率為

263

31（2V（3丫21（3丫（2丫

P=C：x二x±xC；x-+C；x-xC^x-xi+C^x-xC；x-

2442（3）2（dJ2332（4J2

1112

=—i--1—=—,

6443

因為每輪比賽結果互不影響，所以進行3輪比賽可看作3重伯努利試驗.

用X表示小李在3輪比賽中獲得通關卡的次數，

則X—,

/.E（X）=3x|=2,

...小李能進入決賽.

21.已知直線x+y+l=O與拋物線。：爐=2Q（「＞0）相切于點A,動直線，與拋物線C

交于不同兩點P,Q（P,Q異于點A）,且以尸。為直徑的圓過點A.

（1）求拋物線。的方程及點A的坐標；

11

（2）當+最小時，求直線/的方程.

\PA\-|QA\~

x+y+1—0c

解：（1）聯立《2"，消y得/+2°%+2P=0,

x=2py

因為直線X+y+1=。與拋物線C:f=2py（p＞0）相切，

所以△=4°2—8p=0,解得p=2或2=0（舍去），

2

當夕=2時，x+4X+4=0，解得X=—2,所以y=l,

所以拋物線C的方程為d=4＞，點A的坐標為（—2,1）；

X0\

(2)顯然直線/的斜率存在，可設為丁=丘+6,河(%,％),NgyJ,

[y=kx+b

由<24，消y得12—4fcr—4Z?=0，則A=16左之+16〃>0,

K=4y

%+%2=4后=-4b,且AM=(%i+2,弘_0,3=(無2+2,%―1)，

因為以MN為直徑的圓過點A,所以AM.AN=0,即(％+