廣東省深圳市四校發展聯盟體2024年高一下數學期末監測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若直線與函數的圖象相鄰的兩個交點之間的距離為1,則函數圖象的對稱中心為（）A． B． C． D．2．等差數列中，已知，且公差，則其前項和取最小值時的的值為()A．6 B．7 C．8 D．93．已知函數的圖像關于直線對稱，則可能取值是().A． B． C． D．4．已知數列滿足，（且），且數列是遞增數列，數列是遞減數列，又，則A． B． C． D．5．的內角的對邊分別為,邊上的中線長為,則面積的最大值為（）A． B． C． D．6．若向量，則A． B． C． D．7．已知函數在區間上是增函數，且在區間上恰好取得一次最大值為2，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．在中，若，，，則角的大小為（）A．30° B．45°或135° C．60° D．135°9．三棱錐V-ABC中，VA=VB=AC=BC=2，AB=23，VC=1，則二面角V-AB-CA．30° B．45° C．60° D．90°10．若，則下列結論不正確的是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．從某小學隨機抽取100名同學，將他們的身高（單位：厘米）數據繪制成頻率分布直方圖（如圖）.若要從身高，，三組內的學生中，用分層抽樣的方法抽取18人參加一項活動，則從身高在內的學生中抽取的人數應為________.12．若向量與的夾角為，與的夾角為，則______.13．函數的定義域為_____________．14．如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作兩個半圓，設，則陰影部分的面積是__________.15．已知在中，，則____________.16．（如下圖）在正方形中，為邊中點，若，則__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在一次人才招聘會上，有A、B兩家公司分別開出了它們的工資標準：A公司允諾第一年月工資數為1500元，以后每年月工資比上一年月工資增加230元；B公司允諾第一年月工資數為2000元，以后每年月工資在上一年的月工資增加基礎上遞增5%，設某人年初被A、B兩家公司同時錄取，試問：（1）若該人分別在A公司或B公司連續工作年，則他在第年的月工資收入分別是多少?（2）該人打算連續在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應聘的標準（不計其它因素），該人應該選擇哪家公司，為什么?（3）在A公司工作比在B公司工作的月工資收入最多可以多多少元（精確到1元），并說明理由.18．（2012年蘇州17）如圖，在中，已知為線段上的一點，且．（1）若，求的值；（2）若，且，求的最大值．19．如圖，已知四棱錐的側棱底面，且底面是直角梯形，，，，，，點在棱上，且.（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.20．已知兩點，.（1）求直線AB的方程；（2）直線l經過，且傾斜角為，求直線l與AB的交點坐標.21．如圖，長方形材料中，已知，.點為材料內部一點，于，于，且，.現要在長方形材料中裁剪出四邊形材料，滿足，點、分別在邊，上.（1）設，試將四邊形材料的面積表示為的函數，并指明的取值范圍；（2）試確定點在上的位置，使得四邊形材料的面積最小，并求出其最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

先計算周期得到，得到函數表達式，再根據中心對稱公式得到答案.【詳解】直線與函數的圖象相鄰的兩個交點之間的距離為1則的對稱中心橫坐標為：對稱中心為故答案選A【點睛】本題考查了函數的周期，對稱中心，意在考查學生綜合應用能力.2、C【解析】因為等差數列中，，所以，有，所以當時前項和取最小值.故選C.3、D【解析】

根據正弦型函數的對稱性，可以得到一個等式，結合四個選項選出正確答案.【詳解】因為函數的圖像關于直線對稱，所以有，當時，，故本題選D.【點睛】本題考查了正弦型函數的對稱性，考查了數學運算能力.4、A【解析】

根據已知條件可以推出，當為奇數時，，當為偶數時，，因此去絕對值可以得到，，利用累加法繼而算出結果．【詳解】，即，或，又，．數列為遞增數列，數列為遞減數列，當為奇數時，，當為偶數時，，．．故選A．【點睛】本題主要考查了通過遞推式求數列的通項公式，數列單調性的應用，以及并項求和法的應用。5、D【解析】

作出圖形，通過和余弦定理可計算出，于是利用均值不等式即可得到答案.【詳解】根據題意可知，而，同理，而，于是，即，又因為，代入解得.過D作DE垂直于AB于點E，因此E為中點，故，而，故面積最大值為4，答案為D.【點睛】本題主要考查解三角形與基本不等式的相關綜合，表示出三角形面積及使用均值不等式是解決本題的關鍵，意在考查學生的轉化能力，計算能力，難度較大.6、B【解析】

根據向量的坐標運算法則，可直接得出結果.【詳解】因為，所以.故選B【點睛】本題主要考查向量的坐標運算，熟記運算法則即可，屬于基礎題型.7、D【解析】

化簡函數為正弦型函數，根據題意，利用正弦函數的圖象與性質求得的取值范圍.【詳解】解：函數則函數在上是含原點的遞增區間；又因為函數在區間上是單調遞增，則，得不等式組又因為，所以解得.又因為函數在區間上恰好取得一次最大值為2，可得，所以，綜上所述，可得.故選：D.【點睛】本題主要考查了正弦函數的圖像和性質應用問題，也考查了三角函數的靈活應用，屬于中檔題.8、B【解析】

利用正弦定理得到答案.【詳解】在中正弦定理：或故答案選B【點睛】本題考查了正弦定理，屬于簡單題.9、C【解析】

取AB中點O,連結VO,CO,由等腰三角形的性質可得，VO⊥AB,CO⊥AB,∠VOC是二面角V-AB-C的平面角，由此利用余弦定理能求出二面角的平面角V-AB-C的度數.【詳解】取AB中點O,連結VO,CO,∴三棱錐V-ABC中，VA=VB=AC=BC=2,AB=23所以VO⊥AB,CO⊥AB∴∠VOC是二面角V-AB-C的平面角，VO=VCO=B∴cos∴∠VOC=60∴二面角V-AB-C的平面角的度數為60°【點睛】本題主要考查三棱錐的性質、二面角的求法，屬于中檔題.求二面角的大小既能考查線線垂直關系，又能考查線面垂直關系，同時可以考查學生的計算能力，是高考命題的熱點，求二面角的方法通常有兩個思路：一是利用空間向量，建立坐標系，這種方法優點是思路清晰、方法明確，但是計算量較大；二是傳統方法，求出二面角平面角的大小，這種解法的關鍵是找到平面角.10、C【解析】

A、B利用不等式的基本性質即可判斷出；C利用指數函數的單調性即可判斷出；D利用基本不等式的性質即可判斷出.【詳解】A，

∵b<a<0,∴?b>?a>0,∴，正確；B，∵b<a<0,∴，正確；C，

，因此C不正確；D，，正確，綜上可知：只有C不正確，故選：C.【點睛】本題主要考查不等式的基本性質，屬于基礎題.解答過程注意考慮參數的正負，確定不等號的方向是解題的關鍵.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、3【解析】

先由頻率之和等于1得出的值，計算身高在，，的頻率之比，根據比例得出身高在內的學生中抽取的人數.【詳解】身高在，，的頻率之比為所以從身高在內的學生中抽取的人數應為故答案為：【點睛】本題主要考查了根據頻率分布直方圖求參數的值以及分層抽樣計算各層總數，屬于中檔題.12、【解析】

根據向量平行四邊形法則作出圖形，然后在三角形中利用正弦定理分析.【詳解】如圖所示，，，所以在中有：，則，故.【點睛】本題考查向量的平行四邊形法則的運用，難度一般.在運用平行四邊形法則時候，可以適當將其拆分為三角形，利用解三角形中的一些方法去解決問題.13、【解析】函數的定義域為故答案為14、【解析】

：設兩個半圓交于點,連接,可得直角扇形的面積等于以為直徑的兩個半圓的面積之和，平分,可得陰影部分的面積.【詳解】解：設兩個半圓交于點，連接,,∴直角扇形的面積等于以為直徑的兩個半圓的面積之和，由對稱性可得：平分,故陰影部分的面積是：.故答案為：.【點睛】本題主要考查扇形的計算公式，相對不難.15、【解析】

根據可得，根據商數關系和平方關系可解得結果.【詳解】因為，所以且，又，所以，所以，因為，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了三角函數的符號法則，考查了同角公式中的商數關系和平方關系式，屬于基礎題.16、【解析】∵，根據向量加法的三角形法則，得到∴λ=1，．則λ+μ=．故答案為．點睛：此題考查的是向量的基本定理及其分解，由條件知道，題目中要用和，來表示未知向量，故題目中要通過正方形的邊長和它特殊的直角，來做基底，表示出要求的向量，根據平面向量基本定理，系數具有惟一性，得到結果．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）在A公司第年收入為；在B公司連續工作年收入為；（2）應選擇A公司，理由見詳解；（3）827；理由見詳解.【解析】

（1）先分別記該人在A公司第年收入為，在B公司連續工作年收入為，根據題中條件，即可直接得出結果；（2）根據等差數列與等比數列的求和公式，分別計算前的和，即可得出結果；（3）先令，將原問題轉化為求的最大值，進而可求出結果.【詳解】（1）記該人在A公司第年收入為，在B公司連續工作年收入為，由題意可得：，，，；（2）由（1），當時，該人在A公司工資收入的總量為：（元）；該人在B公司工資收入的總量為：（元）顯然A公司工資總量高，所以應選擇A公司；（3）令，則原問題即等價于求的最大值；當時，，若，則，即，解得；又，所以，因此，當時，；當時，.所以是數列的最大項，（元），即在A公司工作比在B公司工作的月工資收入最多可以多元.【點睛】本題主要考查數列的應用，熟記等差數列與等比數列的通項公式與求和公式即可，屬于常考題型.18、（1）；（2）．【解析】試題分析：(1)利用平面向量基本定理可得．(2)利用題意可得，則的最大值為．試題解析：（1），而，∴．（2）∴當時，的最大值為．19、（1）見證明；（2）4【解析】

（1）取的三等分點，使，證四邊形為平行四邊形，運用線面平行判定定理證明.（2）三棱錐的體積可以用求出結果.【詳解】（1）證明：取的三等分點，使，連接，.因為，，所以，.因為，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面.（2）解：因為，，所以的面積為，因為底面，所以三棱錐的高為，所以三棱錐的體積為.因為，所以三棱錐的高為，所以三棱錐的體積為，故三棱錐的體積為.【點睛】本題考查了線面平行的判定定理、三棱錐體積的計算，在證明線面平行時需要構造平行四邊形來證明，三棱錐的體積計算可以選用割、補等方法.20、（1）；（2）.【解析】

（1）根據、兩點的坐標，得到斜率，再由點斜式得到直線方程；（2）根據的傾斜角和過點，得到的方程，再與直線聯立，得到交點坐標.【詳解】（1）因為點，，所以，所以方程為，整理得；（2）因為直線l經過，且傾斜角為，所以直線的斜率為，所以的方程為，整理得，所以直線與直線的交點為，解得，所以交點坐標為.【點睛】本題考查點斜式求直線方程，求直線的交點坐標，屬于簡單題.21、(1)見解析;(2)當時，四邊形材料的面積最小，最小值為.【解析】分析：（1）通過直角三角形的邊角關系，得出和，進而得出四邊形材料的面積的表達式，再結合已知尺寸條件，確定角的范圍.（2）根據正切的兩角差公式和換元法，化簡和整理函數表達式，最后由基本不等式，確定面積最小值及對應的點在上的位置.詳解：解：（1）在直角中，因為，，所以，所以，在直角中，因為，，所以，所以，所以，.（2）因為，令，由，得，所以