樂山市2024屆高三第二次診斷性考試

數學（理科）

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、座位號和準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷

上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

_l+3i.

1.復數z1-i1,則忖=()

A.V13B.75C.2D.V2

答案：D

l+3i.(l+3i)(l+i).,.

解析：因為z=3一『/向1+1，

所以同=J5,

故選：D.

2.某公司收集了某商品銷售收入y（萬元）與相應的廣告支出X（萬元）共10組數據（七,y）

（7=1,2,3,,10）,繪制出如下散點圖，并利用線性回歸模型進行擬合.

。銷售收入M萬元

60

50-

40-_??

30'**A

2Q

1.01.52.02.53.03.54.04.55.05.5廣告支出

x/方元

若將圖中10個點中去掉A點后再重新進行線性回歸分析，則下列說法正確的是（)

A.決定系數尺2變小B.殘差平方和變小

C.相關系數r的值變小D.解釋變量X與預報變量y相關性變弱

答案：B

解析：從圖中可以看出A點較其他點，偏離直線遠，故去掉A點后，回歸效果更好，

故決定系數發會變大，更接近于1,殘差平方和變小，

相關系數r的絕對值，即“會更接近于1,由圖可得x與V正相關，故廠會更接近于1,

即相關系數7?的值變大，解釋變量X與預報變量y相關性變強，

故A、C、D錯誤，B正確.

故選：B.

3.［x2—2］的展開式中一的系數為()

A.80B.40(110D.-40

答案：B

解析：由二項式［x2-2］展開式的通項公式為(+］=

C；(x2)5-r(--)r=(-2)r-C；x10-3r,

X

令10—3r=4,可得1=2,

所以展開式中一的系數為(-2)2.c；=40.

故選：B.

4.已知數列｛風｝滿足4—2,4+i=J+i(/?N'),則。2024=()

1

A.-3B.--(-D.2

23

答案：A

解析：因為q—2,a=",

n+l%+1

—116Z9—11

所以%=,1=々,1=c，

+13g+12

_a3-1_O一%一］—2

%+1&+1

又2024=4x506，所以。2024=%=-3

故選：A

5.已知。，E分別為_ABC的邊A3,AC的中點，若DE=(3,4),8(—2,—3),則點C的坐標為()

A.(4,5)B.(1,1)C.(-5,-7)D.(-8,-11)

答案：A

解析：因為。，E分別為A5,AC的中點，

所以3。=2。￡=(6,8),

設。(x,y),又3(-2,-3),所以(x+2,y+3)=(6,8)

x+2=6[x=4

即1。Q，解得《

。+3=8[y=5

故選：A

x+y-4<0,

6.已知平面區域。=<x-y-2W0,圓C：(x-?)2+(y-Z?)2=1,若圓心CeO,且圓C與y軸相切,

>0,

則a+b的最大值為()

A.10B.4C.2D.0

答案：B

解析：作出如圖所示的可行域(陰影部分)，

由于圓C與y軸相切，CeQ,所以a=l,故C(a,Z?)在直線x=l上運動,

x=lx=l

聯立《得《，即A(L3),

[x+y_4=0b=3

a+b=l+b,故當Z?最大時，a+b最大,

故當圓心在A(l,3)時，此時〃最大時為3,故a+b的最大值為4,

故選：B

xty-4=0

7.某校甲、乙、丙、丁4個小組到4B,C這3個勞動實踐基地參加實踐活動，每個小組選擇一個基地,

則每個基地至少有1個小組的概率為（）

2148

C

A.9-B.3-9-I).9-

答案：C

解析：每個小組選擇一個基地，所有的選擇情況有34=81種,

每個基地至少有1個小組的情況有C：C；A：=36,

364

故概率為二=入，

819

故選：C

8.已知函數/'（%）=cos2x+sin2x,則下列說法中，正確的是（

A.7（尤）的最小值為-1

冗7C

B.7（%）在區間-上單調遞增

〃龍）的圖象關于點，。對稱

C.

D.〃尤）的圖象可由g（X）=V^cos2x的圖象向右平移-個單位得到

8

答案：D

解析：/(%)=cos2x+sin2x=y/2sin(2x+-^),

/（x）的最小值為-0,故A錯誤,

兀71c兀713兀71717171

xe時,2x+—G5所以函數/⑴在-“I不單調’故B錯誤;

4?444T2?2

/^=72sin(2x^+^)=72,故的圖象關于x=p寸稱，C錯誤，

JT

將函數g(x)=V^cos2x的圖象向右平移一個單位得

8

8(尤一])=a85(2尤一3)=應sin[]+(2尤一：[]=夜sin(2x+=,故D正確.

故選：D.

9.如圖，菱形45切的對角線然與初交于點。，砂是△BCD的中位線，然與廝交于點G,!PEF

是ZXCEF繞耳'旋轉過程中的一個圖形，且平面A3CD.給出下列結論:

①BD//平面PEF；

②平面B4C_L平面ABCD；

③二面角P-EF-C的平面角是直線。與平面切所成角的2倍.

其中所有正確結論的序號為()

A.①②③B.①②C.①③D.②③

答案：A

解析：對①，由所是△BCD的中位線，故EFIIDB,又EFu平面PEF,

DBu平面PEF，故6。//平面PEF,故①正確；

對②，連接B4、PC、PG,菱形/9中，AC1BD,即CG，EF\

由折疊的性質可知，PG±EF,即PGLBD,

又AC、尸Gu平面PAC,ACcPG=G,故5。上平面PAC,

又u平面ABCD,故平面私。，平面ABC。，故②正確；

對③，連接P0,由口是△BCD的中位線，故G為0C中點，

故PG=GC=GO,即NPOG=NGPO,ZPGC=ZGPO+ZGOP=2Z.GOP,

由CGJ_E/，PGVEF,故/PGC為二面角P—石尸―C的平面角，

由平面B4C，平面ABCD,故點P在平面ABCD的投影必在線段0C上，

故NGOP為直線8與平面力及力所成角，故③正確.

10已知函數/(x)=(ox+l)eX,給出下列4個圖象:

A.1B.2C.3D.4

答案：D

解析：由題意知，〃可定義域為R,

當a=O時，/(%)=e\由指數函數的單調性可知函數”可單調遞增，可對應①;

%=-9已<0,所以當-土止］時,

當a〉0時，/,(x)=(ax+a+l)e￥,令/'(x)=0可得:

aya)

/,(%)<0,當X€[-與±+,時，/,(%)>0,所以，函數/(%)先減后增，且當工<一1時，/(x)<0,

此時可對應②;

當時，/,(x)=(av+a+l)eA,當/'(x)=0時x=-"L當xe］-”,—"［時，/'(x)>0,當

dkdJ

時，/'(x)<0,所以，函數/(%)先增后減，

當。<一1時，》=一處t<0,且此時0<-4<1,所以可對應③，

aa

當一1<。<0時，X=-3擔>0,此時一工〉1,所以可對應④.

aa

故選：D.

22

ii.已知耳(-c,o),凡(c,o)分別是雙曲線a=-4=1(。>0/>0)的左、右焦點，過耳的直線與圓

ab

(x—gc)2+y2=c2相切，與C在第一象限交于點只且軸，則C的離心率為()

A.3B.2辨C.2D.75

答案：D

解析：設圓心為V,直線與圓相切于點N,

則=c,閨閭=C+；C=TG故"例=加小同2=冬，

由于所以％p=c,故］一2g=”=:,

ab

b2

附1二凄c

因此在RtZkP耳心，由tanNP4B二

閨閭2c或J

2C

故45b2-4ac=0，即A/5C2-4ac-，5a2=0n&-4e-非=bne=5

故選：D

11

12.已知a,b,c均為正數，且工=2(22c

z-log2(6Z+1),b—(b---)40i,c=,H---,則a,b,c的

a-2e-2c

大小關系為()

A.b<c<aB.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

答案：A

1

解析：由一=2a—log2(a+l)92,可得,1----=log2(〃+1),

a2a

由b=(〃—g)4?L可得bT=4i

由C+可得C-2=C

e?，

ec-'2c2ce"i

令〃x)=x—g,r(x)=l+^>0,故/(%)在(O,+8)上單調遞增，

令g(x)=log2(x+l),g<x)=(x+：)ln2〉0，故g(“在(°，+°°)上單調遞增，

令貼)=41,/z,(x)=M1-xln4<0,故人(左)在(0,+e)上單調遞減,

令〃(x)=xe1-*,則“(x)=e1-J-xe1-x=(1—x)e1-x,

則光G(0,l)時，〃'(x)>0,%G(1,+oo),"'(x)<o,

故4(x)在(0,1)上單調遞增，在(1,+。)上單調遞減，

1111

/⑴=H，g(l)=log2(l+l)=l,/i(l)=4-=l,/z(l)=lxe-=l,

i7io

12

/(2)=2--=-,g(2)=log2(2+l)=log23e(l,2),==-,//(2)=2xe^=-.

。為函數/(尤)與函數g(x)的交點橫坐標，〃為函數〃尤)與函數可尤)的交點橫坐標，

C為函數/(%)與函數〃(x)的交點橫坐標，結合函數圖象可得Z?<c<a.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知集合。={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={2,4,6,8},B={3,4,5,6},則e(Au5)=

答案：{1,7,9}

解析：由4={2,4,6,8},6={3,4,5,6},故Au6={2,3,4,5,6,8},

故e(AB)={1,7,9}.

故答案為：{1,7,9).

14.已知/(x)=e*7,則曲線V=/(x)在點(1,/⑴)處的切線方程為.

答案：y=(e-l)x

解析：r(x)=e-1，則r(l)=ei—l=e—1,又/⑴=9—1=e—1,

故切線方程為y_(e—l)=(e_l)(x_l),即y=(e—l)x.

故答案為：y=（e-l）x.

15.已知等差數列{4}的公差為等，集合S={x|x=cosa","wN*}有且僅有兩個元素，則這兩個元素的

積為

答案：—

2

解析：an=ax+(zi-l)d=4H——-1),

,2兀2兀2兀

貝i]cosa=cosa\+~=cos—〃+---

n33

-2--兀-3c

其周期為四,而“eN*，即cosa“最多3個不同取值,

T

集合S={x|x=cos4，"eN*}有且僅有兩個元素，設S={a,b},

貝|]在cosan,cosan+l,cosan+2中,cosan=cosan+lwcosan+2或cosan豐cosan+1=cosan+2,

或cosan=cosan+2手cosan+l,又cosan=cosan+3,即cosan+3=cosan+2主cosan+l,

所以一定會有相鄰的兩項相等，設這兩項分別為cos，,cos6+g

27r?2兀JT

于是有cose=cos（e+與-）,即有。+[e+=2kit,keZ,解得0=ku----,keZ,

T3

不相等的兩項為85，,以）5，+7）,

..j兀、,兀、4兀、兀、27兀1,

故aZ?=COS（A17l——）cos[r（fal——）H----1=-COS（Kt7l——）COSK77l=~COS-KUcos—=——，左GZ.

333332

故答案為：-彳.

2

16.一個圓錐的頂點和底面圓都在半徑為2的球體表面上，當圓錐的體積最大時，其側面積為—

答案：32島

9

解析:設圓錐高為力(0<〃<4),底面半徑為廠，則22=(%-2)?+/,...戶=4九一》,

V=1=-h(4h-/z2)=---/z3,

3333

oQ

:.v'工ih"令v'=o得〃=—或〃=0(舍去)，

33

QQ

當0<丸<—時，V'>0,函數V是增函數；當一<“<4時，Vf<o.函數V是減函數，

33

因此當為=號，/=逑時函數取得極大值也最大值，此時圓錐體積最大.

33

故側面積為兀八/產+〃2=兀半J殍、+(|)2:①答

故答案為：必叵.

9

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每

個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.某校在課外活動期間設置了文化藝術類活動和體育鍛煉類活動，為了解學生對這兩類活動的參與情況,

統計了如下數據:

文化藝術類體育鍛煉類合計

男100300400

女50100150

合計150400550

(1)通過計算判斷，有沒有90%的把握認為該校學生所選擇課外活動的類別與性別有關系？

(2)“投壺”是中國古代宴飲時做的一種投擲游戲，也是一種禮儀.該校文化藝術類課外活動中，設置了

一項“投壺”活動.已知甲、乙兩人參加投壺活動，投中1只得1分，未投中不得分，據以往數據，甲每

只投中的概率為工，乙每只投中的概率為9,若甲、乙兩人各投2只，記兩人所得分數之和為求&的

32

分布列和數學期望.

附表及公式:

p-k。)0.150.100.050.0250.010

2.0722.7063.8415.0246.635

其中K2=——迎3——，n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

答案：(1)有90%的把握認為該校學生所選擇課外活動的類別與性別有關,

(2)分布列見解析，期望為°

3

小問1解析：

零假設：沒有90%的把握認為該校學生所選擇課外活動的類別與性別有關,

左2_550x(100x100—50x300)2_2753819>2706

150x400x150x40072

故有90%的把握認為該校學生所選擇課外活動的類別與性別有關,

小問2解析：

J的可能取值為。,1,2,3,4,

41

369

1

3

13

36

1

6

…盜出I：

故&的分布列為:

401234

1113j_1

p

9336636

數學期望石(占)=0+工+蚊+工+!=9

',318293

18.如圖，在三棱錐P—ABC中，〃為AC邊上的一點，ZAPC=ZPAM=90°,cosZCAB^—,

3

AB=2PC=逐,PA=6

(1)證明：平面？平面ABC；

(2)若直線PA與平面/8C所成角的正弦值為苴，且二面角P—AC—6為銳二面角，求二面角B-AP-C

5

的正弦值.

答案：(1)證明見解析

⑵運

7

小問1解析:

因為在△Z4C中，ZAPC=90°,PA=5PC=旦,

2

所以AC=±&,又因為N2/W4=90°,所以AP-PC=ACPM,

2

則？M=1,AM=6,

在.ABM中，由余弦定理可得BM=ylAB~+AM2-2AB-AM-cosZCAB=2，

所以=452,于是5/欣，3，BM±AC,

又PMJ_AC,PMcBM=M,PM、BMu平面PRVf，

所以ACJ_平面PAW,又因為ACu平面ABC,所以平面PBM,平面ABC.

小問2解析：

因為二面角P—AC—5為銳二面角，

平面平面ABC,平面PBMc平面=,

過點P作兩人平面ABC于N點，則N點必在線段上，

連接A/V,可知44N為B4與平面ABC所成的角，

在Rt^/W中，sinNPAN=B，PA=6，得PN=M

25J

34

在Rt^PAW中,PM=1,PN=父得MN、

以M為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系M-孫z,

則A(夜,0,0),5(0,2,0),M(0,0,0),

則有43=卜逝,2,0),AP=I-A/2,|,|LAM=(-72,0,0),

設平面6A?、平面M4P的法向量分別為沅=(%,%,4)，?=(x2,y2,z2)

A/2X；+2%=0-\/2X2=0

則有《/~43'廠43，

Z

v2x1+-)；1+-z1=0?212+二歹2+-2=0

令玉=J5,%=3,可得機=(國,2),為=(0,3,-4),

設二面角B-AP-C的平面角為。，

所以的M=即sin*手,

故二面角5—AP—C的正弦值為這.

7

19.已知43C的內角B,。的對邊分別為小b,c,且tanB+tanC="".

ccosB

（1）求角G

（2）若切是NACB的角平分線，CD=46，.ABC的面積為18石，求c的值.

JT

答案：（1）c=-

3

（2）c=6g

小問1解析：

由tanB+tanC=可得

ccosB

sinBsinC\/3sinAsinBcosC+cosBsinCV3sinAsin（B+C）A/3sinA

----1----=-------zz>--------------=-------=>-------=-------

cos5cosCsinCcosBcosBcosCsinCcosBcosBcosCsinCcosB

_sinAA/3sinA.1_\/3

=>------------------------------,sinAw0,cos_Bw0,..----------------,

cosBcosCsinCcosBcosCsinC

故sinC=6cosC，進而tanC=6，

由于。￡（0,兀），所以C=g

小問2解析：

由面積公式得S=—absinC=—abx—=18^,解得a/?=72,

.AABC222

o

SZAiDML=DS.BCD+-/iS-ACD,18V3=-Z?.CDsin30+-a-CDsin30°,

BP-CD-sin30°（a+Z?）=18^,.?.o+6=18,

2

又一ab=12,c2=a2+b2-labcosC=a2+b2—ab=（a+b）2-3ab=182-3x72=108,

c=6^3?

20.在直角坐標系中，設產為拋物線C：y2=2?（p>0）的焦點，M為C上位于第一象限內一點.當

MF.OF=0時，/XOEM的面積為1.

(1)求C的方程;

(2)當航E.OE=_3時，如果直線/與拋物線。交于A,B兩點，直線M4,MB的斜率滿足人心皿=一2,

試探究點M到直線/的距離的最大值.

答案：(1)y2=4x

(2)2歷

小問1解析：

由題意得由MFQF=O，MFLOF,即

1D

從而△OFM的面積SOF”二3萬子二：!，則p=2,

所以，拋物線。的方程為V=4x；

小問2解析：

，產、(產、

設/丁/("0),則MF=1—丁,T,。尸=(1,0),

k4)V47

產

由MF,OF——3,得1——3，即，=4，

4

所以，此時加(4,4),

由題意可知，/斜率必不等于0,于是可設/：x=my+n9

[x=my+n

由〈？,可得y-Amy-4M=0,

y=4x

上述方程的判別式滿足A=(—4772)2—4.(_4耳>0,BPm2>-n，

根據韋達定理有：%+%=4M,%%=-4”,

Ji-4y-4

2=244

因為左“左出=-2,所以片_4yl_

4X+4%+4

T-T-

于是％為+4(%+%)+24=。，

所以，-4n+16m+24=0,即〃=4加+6,

故直線I的方程為x=my+4m+6,即無—6=+4),

所以直線/恒過定點N(6,-4),

則當肱V_U時，點M到直線/的距離有最大值,

且最大值為\MN\^^(4-6)2+[4-(-4)]2=2屈■

21已知函數=-2.

(1)若/(%)在區間(0,1)存在極值，求。的取值范圍；

⑵若xe(0,+oo),/(x)>x-sinx-cosx,求。的取值范圍.

答案：(1)(l,e)

(2)(-℃,!]

小問1解析：

由/(x)=e*—④一2,得/'(x)=eX-a,

當aW0時，/'(力>0,則外力單調遞增，"力不存在極值，

當a>0時，令/'(%)=0,則％=Ina,

若x<lna,則/'(x)<0,單調遞減；

若X>lna,則/'(力>0,/(%)單調遞增,

所以x=lna是外力的極小值點，

因為/(九)在區間(0,1)存在極值，則0<lna<l,即l<a<e,

所以，/(九)在區間(0,1)存在極值時，。的取值范圍是(l,e)；

小問2解析：

由/(x)>x-sinx-cosx在xe(0,+e)時恒成立，

即QX+cosx+sinx-(a+l)x-2>0在xe(0,+8)時恒成立，

設g(x)=e*+cosx+sinx-(?+l)x-2,則g(x)>0在xe(0,+8)時恒成立，

貝|]g'(x)=e*-sinx+cosx-(a+1),

令m(x)=g'(x)=e"—sin%+cosx-(tz+l),貝!17〃(x)=er-cos%-sinx,

令"(x)=?7'(x)=ex-cosx-sinx,貝！I/'(x)=e*+sinx-cosx,

l

xe(0,l)時，+sinx>1,則〃'(x)=eX+sinx—cosx>0,xe[l,+oo)時，e>e)則〃'(x)>0,

所以xe(0,+<x>)時,ri(x)>0,則〃(x)即加(％)單調遞增,

所以加(x)>m,(0)=0,則應尤)即g'(x)單調遞增，

所以g'(x)>g'(O)=l—a,

①當a<l時，g,(0)=l-a>0,故xe(0,+oo),g'(x)〉0,則g(x)單調遞增,

所以g(x)>g(O)=。,

所以/(x)>x-sinx-cosx在xe(0,+8)時恒成立，

②當時，g,(0)=l-a<0.

g'[in(a+3)]=a+3-sin[in(a+3)]+cos[in(a+3)]-(a+1)

=2-V2sinIn(a+3)-?>0,

故在區間(0,In(a+3))上函數g'(x)存在零點%,即g'(%)=0,

由于函數g'(x)在(0,+e)上單調遞增,則xe(0,面)時,g'(x)<g'(Xo)=O,

故函數g(x)在區間(0,%)上單調遞減，

所以，當xe(O,%o)時，函數g(x)<g(O)=O,不合題意，

綜上所述，的取值范圍為(-8,1].

（二）選考題：共10分.請考生在第22,23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一

題記分.

［選修4-4：坐標系與參數方程］（10分）

%=l+2cos。

22.在平面直角坐標系九0