2025屆重慶市南開中學高一下數學期末綜合測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知直線的傾斜角為，在軸上的截距為2，則此直線方程為（）A． B． C． D．2．如圖所示的圖形是弧三角形，又叫萊洛三角形，它是分別以等邊三角形ABC的三個頂點為圓心，以邊長為半徑畫弧得到的封閉圖形.在此圖形內隨機取一點，則此點取自等邊三角形內的概率是()A．32π-3 B．34π-233．函數在上的圖像大致為（）A． B．C． D．4．下列結論正確的是（）A．空間中不同三點確定一個平面B．空間中兩兩相交的三條直線確定一個平面C．一條直線和一個點能確定一個平面D．梯形一定是平面圖形5．設函數是定義為R的偶函數，且對任意的，都有且當時，，若在區間內關于的方程恰好有3個不同的實數根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知數列是各項均為正數且公比不等于1的等比數列，對于函數，若數列為等差數列，則稱函數為“保比差數列函數”，現有定義在上的如下函數：①，②，③；④，則為“保比差數列函數”的所有序號為（）A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③④7．我國古代數學家劉徽在《九章算術注》中提出割圓術：“割之彌細，所失彌少，割之割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”，即通過圓內接正多邊形細割圓，并使正多邊形的面積無限接近圓的面積，進而來求得較為精確的圓周率.如果用圓的內接正邊形逼近圓，算得圓周率的近似值記為，那么用圓的內接正邊形逼近圓，算得圓周率的近似值加可表示成（）A． B． C． D．8．已知x?y的取值如下表:x0134y2.24.34.86.7從散點圖可以看出y與x線性相關，且回歸方程，則當時，估計y的值為（）A．7.1 B．7.35 C．7.95 D．8.69．設和分別表示函數的最大值和最小值，則等于（）A． B． C． D．10．若，，，設，，且，則的值為（）A．0 B．3 C．15 D．18二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等比數列的公比為，關于的不等式有下列說法：①當吋，不等式的解集②當吋，不等式的解集為③當>0吋，存在公比，使得不等式解集為④存在公比，使得不等式解集為R.上述說法正確的序號是_______.12．有6根細木棒，其中較長的兩根分別為，，其余4根均為，用它們搭成三棱錐，則其中兩條較長的棱所在的直線所成的角的余弦值為.13．已知向量，，且，則_______．14．已知函數（，）的部分圖像如圖所示，則函數解析式為_______.15．已知平面向量，若，則________16．分形幾何學是美籍法國數學家伯努瓦.B.曼德爾布羅特在20世紀70年代創立的一門新學科，它的創立，為解決傳統科學眾多領域的難題提供了全新的思路，下圖是按照一定的分形規律生長成一個數形圖，則第13行的實心圓點的個數是________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等差數列中，，，數列中，，其前項和滿足：．（1）求數列、的通項公式；（2）設，求數列的前項和．18．如圖，是正方形，是該正方形的中心，是平面外一點，底面，是的中點.求證：（1）平面；（2）平面平面.19．已知函數的最小正周期是.(1)求的值及函數的單調遞減區間；(2)當時，求函數的取值范圍.20．已知，，與的夾角為，，，當實數為何值時，（1）；（2）.21．已知函數.（1）當時，判斷并證明函數的奇偶性；（2）當時，判斷并證明函數在上的單調性.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】

由題意可得直線的斜率和截距，由斜截式可得答案．【詳解】解：∵直線的傾斜角為45°，∴直線的斜率為k＝tan45°＝1，由斜截式可得方程為：y＝x+2，故選：D．【點睛】本題考查直線的斜截式方程，屬基礎題．2、D【解析】

求出以A為圓心，以邊長為半徑，圓心角為∠BAC的扇形的面積，根據圖形的性質，可知它的3倍減去2倍的等邊三角形ABC【詳解】設等邊三角形ABC的邊長為a，設以A為圓心，以邊長為半徑，圓心角為∠BAC的扇形的面積為S1，則S1=萊洛三角形面積為S，則S=3S在此圖形內隨機取一點，則此點取自等邊三角形內的概率為P,P=S【點睛】本題考查了幾何概型.解決本題的關鍵是正確求出萊洛三角形的面積.考查了運算能力.3、A【解析】

利用函數的奇偶性和函數圖像上的特殊點，對選項進行排除，由此得出正確選項.【詳解】由于，所以函數為奇函數，圖像關于原點對稱，排除C選項.由于，所以排除D選項.由于，所以排除B選項.故選：A.【點睛】本小題主要考查函數圖像的識別，考查函數的奇偶性、特殊點，屬于基礎題.4、D【解析】空間中不共線三點確定一個平面，空間中兩兩相交的三條直線確定一個或三個平面，一條直線和一個直線外一點能確定一個平面，梯形有兩對邊相互平行，所以梯形一定是平面圖形，因此選D.5、D【解析】∵對于任意的x∈R,都有f(x?2)=f(2+x),∴函數f(x)是一個周期函數，且T=4.又∵當x∈[?2,0]時,f(x)=?1,且函數f(x)是定義在R上的偶函數，若在區間(?2,6]內關于x的方程恰有3個不同的實數解，則函數y=f(x)與y=在區間(?2,6]上有三個不同的交點，如下圖所示：又f(?2)=f(2)=3，則對于函數y=，由題意可得，當x=2時的函數值小于3，當x=6時的函數值大于3，即<3,且>3,由此解得：<a<2，故答案為(,2).點睛：方程根的問題轉化為函數的交點，利用周期性，奇偶性畫出所研究區間的圖像限制關鍵點處的大小很容易得解6、B【解析】

設數列{an}的公比為q（q≠1），利用保比差數列函數的定義，逐項驗證數列{lnf（an）}為等差數列，即可得到結論．【詳解】設數列{an}的公比為q（q≠1）①由題意，lnf（an）＝ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnlnlnq是常數，∴數列{lnf（an）}為等差數列，滿足題意；②由題意，lnf（an）＝ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnlnq2＝2lnq是常數，∴數列{lnf（an）}為等差數列，滿足題意；③由題意，lnf（an）＝ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnan+1﹣an不是常數，∴數列{lnf（an）}不為等差數列，不滿足題意；④由題意，lnf（an）＝ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）＝lnlnlnq是常數，∴數列{lnf（an）}為等差數列，滿足題意；綜上，為“保比差數列函數”的所有序號為①②④故選：B．【點睛】本題考查新定義，考查對數的運算性質，考查等差數列的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．7、C【解析】

設圓的半徑為，由內接正邊形的面積無限接近圓的面積可得：，由內接正邊形的面積無限接近圓的面積可得：，問題得解.【詳解】設圓的半徑為，將內接正邊形分成個小三角形，由內接正邊形的面積無限接近圓的面積可得：，整理得：，此時，即：同理，由內接正邊形的面積無限接近圓的面積可得：，整理得：此時所以故選C【點睛】本題主要考查了圓的面積公式及三角形面積公式的應用，還考查了正弦的二倍角公式，考查計算能力，屬于中檔題．8、B【解析】

計算，，代入回歸方程計算得到，再計算得到答案.【詳解】，，故，解得.當，.故選：【點睛】本題考查了回歸方程的應用，意在考查學生的計算能力.9、C【解析】

根據余弦函數的值域，確定出的最大值和最小值，即可計算出的值.【詳解】因為的值域為，所以的最大值，所以的最小值，所以.故選：C.【點睛】本題考查余弦型函數的最值問題，難度較易.求解形如的函數的值域，注意借助余弦函數的有界性進行分析.10、B【解析】

首先分別求出向量，然后再用兩向量平行的坐標表示，最后求值.【詳解】,,當時，，解得.故選B.【點睛】本題考查了向量平行的坐標表示，屬于基礎題型.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、③【解析】

利用等比數列的通項公式，解不等式后可得結論．【詳解】由題意，不等式變為，即，若，則，當或時解為，當或時，解為，時，解為；若，則，當或時解為，當或時，解為，時，不等式無解．對照A、B、C、D，只有C正確．故選C．【點睛】本題考查等比數列的通項公式，考查解一元二次不等式，難點是解一元二次不等式，注意分類討論，本題中需對二次項系數分正負，然后以要對兩根分大小，另外還有一個是相應的一元二次方程是否有實數解分類（本題已經有兩解，不需要這個分類）．12、【解析】

分較長的兩條棱所在直線相交，和較長的兩條棱所在直線異面兩種情況討論，結合三棱錐的結構特征，即可求出結果.【詳解】當較長的兩條棱所在直線相交時，如圖所示：不妨設，，，所以較長的兩條棱所在直線所成角為，由勾股定理可得：，所以，所以此時較長的兩條棱所在直線所成角的余弦值為；當較長的兩條棱所在直線異面時，不妨設，，則，取CD的中點為O，連接OA，OB，所以CD⊥OA，CD⊥OB，而，所以OA+OB<AB，不能構成三角形。所以此情況不存在。故答案為：.【點睛】本題主要考查異面直線所成的角，熟記異面直線所成角的概念，以及三棱錐的結構特征即可，屬于常考題型.13、-2或3【解析】

用坐標表示向量，然后根據垂直關系得到坐標運算關系，求出結果.【詳解】由題意得：或本題正確結果：或【點睛】本題考查向量垂直的坐標表示，屬于基礎題.14、y＝sin（2x+）．【解析】

由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值答案可求【詳解】根據函數y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ）的部分圖象，可得A＝1，?，∴ω＝2，再結合五點法作圖可得2?φ＝π，∴φ，則函數解析式為y＝sin（2x+）故答案為：y＝sin（2x+）．【點睛】本題主要考查由函數y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值難度中檔．15、1【解析】

根據即可得出，解出即可．【詳解】∵；∴；解得，故答案為1．【點睛】本題主要考查向量坐標的概念，以及平行向量的坐標關系，屬于基礎題.16、【解析】

觀察圖像可知每一個實心圓點的下一行均分為一個實心圓點與一個空心圓點,每個空心圓點下一行均為實心圓點.再利用規律找到行與行之間的遞推關系即可.【詳解】由圖像可得每一個實心圓點的下一行均分為一個實心圓點與一個空心圓點,每個空心圓點下一行均為實心圓點.故從第三行開始,每行的實心圓點數均為前兩行之和.即.故第1到第13行中實心圓點的個數分別為：.故答案為：【點睛】本題主要考查了遞推數列的實際運用,需要觀察求得行與行之間的實心圓點的遞推關系,屬于中等題型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】試題分析：(1)對于求得首項和公差即可求得數列的通項公式，對于，利用遞推關系求解數列的通項公式即可；(2)利用數列的特點錯位相減求解數列的前n項和即可.試題解析：(I)①②①-②得,為等比數列,(II)由兩式相減，得點睛：一般地，如果數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數列{bn}的公比，然后作差求解．18、（1）見解析；（2）見解析．【解析】

（1）連接，證明后即得線面平行；（2）可證明平面，然后得面面垂直．【詳解】（1）如圖，連接，∵分別是中點，∴，又平面，平面，∴平面；（2）∵，底面，底面，∴，又正方形中，，∴平面，而平面，∴平面平面.【點睛】本題考查證明線面平行和面面垂直，掌握線面平行和面面垂直的判定定理是解題關鍵．19、(1)，減區間為；(2)【解析】

（1）利用倍角公式將函數化成的形式，再利用周期公式求出的值，并將代入區間，求出即可；（2）由求得，利用單位圓中的三角函數線，即可得答案.【詳解】(1)，，；，，的單調遞減區間為.(2)由得，利用單位圓中的三角函數線可得：，∴.【點睛】本題考查三角恒等變換中倍角公式的應用、周期公式、值域求解，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意角度范圍的限制.20、（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）利用平面向量共線的判定條件進行求解；（2），利用平面向量的數量積為0進行求解．試題解析：（1）若，則存在實數，使，即，則，解得得；（2）若，則，解得.考點：1.平面向量共