2025屆黑龍江省哈爾濱市師范大學附中高一下數學期末學業質量監測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數，若對于恒成立，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．2．某校統計了1000名學生的數學期末考試成績，已知這1000名學生的成績均在50分到150分之間，其頻率分布直方圖如圖所示，則這1000名學生中成績在130分以上的人數為（）A．10 B．20 C．40 D．603．已知角滿足，，且，，則的值為（）A． B． C． D．4．若集合A={x|2≤x<4},?B={x|x>3}A．{x|3≤x<4} B．{x|3<x<4} C．{x|2≤x<3} D．{x|2≤x≤3}5．已知是第二象限角，且，則的值為A． B． C． D．6．某次運動會甲、乙兩名射擊運動員成績如右圖所示，甲、乙的平均數分別為為、，方差分別為，，則（）A． B．C． D．7．在中，是上一點，且，則（）A． B．C． D．8．《九章算術》中有這樣一個問題：今有女子善織，日增等尺，七日織二十八尺，第二日、第五日、第八日所織之和為十五尺，問若聘該女子做工半月（15日），一共能織布幾尺（）A．75 B．85 C．105 D．1209．在數列中，，，則的值為（）A．4950 B．4951 C． D．10．若向量，，且，則＝()A． B．－ C． D．－二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在公比為q的正項等比數列{an}中，a3＝9，則當3a2+a4取得最小值時，＝_____．12．如圖，分別沿長方形紙片和正方形紙片的對角線剪開，拼成如圖所示的平行四邊形，且中間的四邊形為正方形.在平行四邊形內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是______________13．在等差數列中，若，則的前13項之和等于______.14．給出下列語句：①若為正實數，，則；②若為正實數，，則；③若，則；④當時，的最小值為，其中結論正確的是___________．15．已知數列的通項公式為，數列的通項公式為，設，若在數列中，對任意恒成立，則實數的取值范圍是_________.16．若向量與的夾角為，與的夾角為，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．現有8名奧運會志愿者，其中志愿者通曉日語，通曉俄語，通曉韓語．從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個小組．（1）求被選中的概率；（2）求和不全被選中的概率．18．在一次人才招聘會上，有、兩家公司分別開出了他們的工資標準：公司允諾第一個月工資為8000元，以后每年月工資比上一年月工資增加500元；公司允諾第一年月工資也為8000元，以后每年月工資在上一年的月工資基礎上遞增，設某人年初被、兩家公司同時錄取，試問：（1）若該人分別在公司或公司連續工作年，則他在第年的月工資分別是多少；（2）該人打算連續在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應聘的標準（不計其他因素），該人應該選擇哪家公司，為什么？19．研究正弦函數的性質（1）寫出其單調增區間的表達式（2）利用五點法，畫出的大致圖像（3）用反證法證明的最小正周期是20．已知的三個內角，，的對邊分別為，，，函數，且當時，取最大值.（1）若關于的方程，有解，求實數的取值范圍；（2）若，且，求的面積.21．已知數列的前項和為，，.（1）求數列的通項公式；（2）在數列中，，其前項和為，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

首先設，將題意轉化為，即可，再分類討論求出，解不等式組即可.【詳解】，恒成立，等價于，恒成立.令，對稱軸為.即等價于，即可.當時，得到，解得：.當時，得到，解得：.當時，得到，解得：.綜上所述：.故選：A【點睛】本題主要考查二次不等式的恒成立問題，同時考查了二次函數的最值問題，分類討論是解題的關鍵，屬于中檔題.2、C【解析】

由頻率分布直方圖求出這1000名學生中成績在130分以上的頻率，由此能求出這1000名學生中成績在130分以上的人數．【詳解】由頻率分布直方圖得這1000名學生中成績在130分以上的頻率為：，則這1000名學生中成績在130分以上的人數為人．故選：．【點睛】本題考查頻數的求法，考查頻率分布直方圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．3、D【解析】

根據角度范圍先計算和，再通過展開得到答案.【詳解】，，故答案選D【點睛】本題考查了三角函數恒等變換，將是解題的關鍵.4、B【解析】

根據交集定義計算．【詳解】由題意A∩B={x|3<x<4}．故選B．【點睛】本題考查集合的交集運算，屬于基礎題．5、B【解析】試題分析：因為是第二象限角，且，所以．考點：兩角和的正切公式．6、C【解析】試題分析：,;,,故選C.考點：莖葉圖.【易錯點晴】本題考查學生的是由莖葉圖中的數據求平均數和方差,屬于中檔題目.由莖葉圖觀察數據,用莖表示成績的整數環數,葉表示小數點后的數字,利用平均值公式及標準差公式求出兩個樣本的平均數和方差,一般平均數反映的是一組數據的平均水平,平均數越大,則該名運動員的平均成績越高;方差式用來描述一組數據的波動大小的指標,方差越小,說明數據波動越小,即該名運動員的成績越穩定.7、C【解析】

利用平面向量的三角形法則和共線定理，即可得到結果．【詳解】因為是上一點，且，則．故選：C．【點睛】本題考查了平面向量的線性運算和共線定理的應用，屬于基礎題．8、D【解析】設第一天織尺，第二天起每天比前一天多織尺，由已知得，，故選D.【方法點睛】本題主要考查等差數列的通項公式、等差數列的前項和公式，屬于中檔題.等差數列基本量的運算是等差數列的一類基本題型，數列中的五個基本量，一般可以“知二求三”，通過列方程組所求問題可以迎刃而解，另外，解等差數列問題要注意應用等差數列的性質（）與前項和的關系.9、C【解析】

利用累加法求得，由此求得的表達式，進而求得的值.【詳解】依題意，所以，所以，當時，上式也滿足.所以.故選：C【點睛】本小題主要考查累加法求數列的通項公式，屬于基礎題.10、B【解析】

根據向量平行的坐標表示，列出等式，化簡即可求出．【詳解】因為，所以，即，解得，故選B．【點睛】本題主要考查向量平行的坐標表示以及同角三角函數基本關系的應用．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用等比數列的性質，結合基本不等式等號成立的條件，求得公比，由此求得的值.【詳解】∵在公比為q的正項等比數列{an}中，a3＝9，根據等比數列的性質和基本不等式得，當且僅當，即，即q時，3a2+a4取得最小值，∴log3q＝log3．故答案為：【點睛】本小題主要考查等比數列的性質，考查基本不等式的運用，屬于基礎題.12、【解析】

設正方形的邊長為，正方形的邊長為，分別求出陰影部分的面積和平行四邊形的面積，最后利用幾何概型公式求出概率.【詳解】設正方形的邊長為，正方形的邊長為，在長方形中，，故平行四邊形的面積為，陰影部分的面積為，所以在平行四邊形KLMN內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是.【點睛】本題考查了幾何概型概率的求法，求出平行四邊形的面積是解題的關鍵.13、【解析】

根據題意，以及等差數列的性質，先得到，再由等差數列的求和公式，即可求出結果.【詳解】因為是等差數列，，所以，即，記前項和為，則.故答案為：【點睛】本題主要考查等差數列前項和的基本量的運算，熟記等差數列的性質以及求和公式即可，屬于基礎題型.14、①③.【解析】

利用作差法可判斷出①正確；通過反例可排除②；根據不等式的性質可知③正確；根據的范圍可求得的范圍，根據對號函數圖象可知④錯誤.【詳解】①，為正實數，，即，可知①正確；②若，，，則，可知②錯誤；③若，可知，則，即，可知③正確；④當時，，由對號函數圖象可知：，可知④錯誤.本題正確結果：①③【點睛】本題考查不等式性質的應用、作差法比較大小問題、利用對號函數求解最值的問題，屬于常規題型.15、【解析】

首先分析題意，可知是取和中的最大值，且是該數列中的最小項，結合數列的單調性和數列的單調性可得出或，代入數列的通項公式即可求出實數的取值范圍.【詳解】由題意可知，是取和中的最大值，且是數列中的最小項.若，則，則前面不會有數列的項，由于數列是單調遞減數列，數列是單調遞增數列.，數列單調遞減，當時，必有，即.此時，應有，，即，解得.，即，得，此時；若，則，同理，前面不能有數列的項，即，當時，數列單調遞增，數列單調遞減，.當時，，由，即，解得.由，得，解得，此時.綜上所述，實數的取值范圍是.故答案為：.【點睛】本題考查利用數列的最小項求參數的取值范圍，同時也考查了數列中的新定義，解題的關鍵就是要分析出數列的單調性，利用一些特殊項的大小關系得出不等式組進行求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于難題.16、【解析】

根據向量平行四邊形法則作出圖形，然后在三角形中利用正弦定理分析.【詳解】如圖所示，，，所以在中有：，則，故.【點睛】本題考查向量的平行四邊形法則的運用，難度一般.在運用平行四邊形法則時候，可以適當將其拆分為三角形，利用解三角形中的一些方法去解決問題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）;（2）.【解析】

（1）從8人中選出日語、俄語和韓語志愿者各1名，其一切可能的結果組成的基本事件空間{，，，，，，，，}由18個基本事件組成．由于每一個基本事件被抽取的機會均等，因此這些基本事件的發生是等可能的．用表示“恰被選中”這一事件，則{，}事件由6個基本事件組成，因而．（2）用表示“不全被選中”這一事件，則其對立事件表示“全被選中”這一事件，由于{}，事件有3個基本事件組成，所以，由對立事件的概率公式得．18、（1）公司：；公司：；（2）公司十年月工資總和為，公司十年月工資總和為，選公司；【解析】

(1)易得在兩家公司每年的工資分別成等差和等比數列再求解即可.(2)根據(1)中的通項公式求解前10年的工資和比較大小即可.【詳解】(1)易得在公司的工資成公差為500,首項為8000的等差數列,故在公司第年的月工資為.在公司的工資成公比為,首項為8000的等比數列.故在公司第年的月工資為.(2)由(1)得,在公司十年月工資總和在公司十年月工資總和.因為.故選公司.【點睛】本題主要考查了等差等比數列的實際應用題,需要根據題意找出首項公比公差再求和等.屬于基礎題型.19、（1）（2）見解析（3）見解析【解析】

（1）利用正弦函數的圖象和性質即可得解；（2）利用五點法作函數的圖象即可；（3）先證明，再假設存在，使得，令，可得，令，可得，得到矛盾，即可得證.【詳解】（1）單調遞增區間為，所以單調遞增區間的表達式為（2）列表：描點，連線，可得函數圖象如下：（3）證明：，假設存在，使得，即，令，則，即；再令，可得，得到矛盾，綜上可知的最小正周期是.【點睛】本題主要考查了正弦函數的單調性，五點法作函數的圖象，考查了反證法的應用，屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）利用兩角和差的正弦公式整理可得：，再利用已知可得：（），結合已知可得：，求得：時，，問題得解.（2）利用正弦定理可得：，結合可得：，對邊利用余弦定理可得：，結合已知整理得：，再利用三角形面積公式計算得解.【詳解】解：（1）.因為在處取得最大值，所以，,即.因為，所以，所以.因為，所以所以，因為關于的方程有解，所以的取值范圍為．（2）因為，，由正弦定理，于是．又，所以.由余弦定理得：，整理得：，即，所以，所以.