《3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)》教案（第一課時(shí)）【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第二章《直線和圓的方程》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)橢圓的簡單幾何性質(zhì)教材的地位和作用地位：本節(jié)課是在橢圓的概念和標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，運(yùn)用代數(shù)的方法，研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)及簡單應(yīng)用.本節(jié)課內(nèi)容的掌握程度直接影響學(xué)習(xí)雙曲線和拋物線幾何性質(zhì)。作用：提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，及分析問題和解決問題的能力。因此，內(nèi)容在解析幾何中占有非常重要的地位。【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.掌握橢圓的幾何性質(zhì),掌握a,b,c,e的幾何意義及a,b,c,e之間的相互關(guān)系.B.嘗試?yán)脵E圓的方程研究橢圓的幾何性質(zhì).C.嘗試?yán)脵E圓的知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題.1.數(shù)學(xué)抽象：橢圓的幾何性質(zhì)2.邏輯推理：利用橢圓的方程研究橢圓的幾何性3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用橢圓的方程研究橢圓的幾何性4.數(shù)學(xué)建模：利用橢圓的知識(shí)解決應(yīng)用問題5.直觀想象：離心率的幾何意義【教學(xué)重點(diǎn)】：由幾何條件求出橢圓的方程【教學(xué)難點(diǎn)】：由橢圓的方程研究橢圓的幾何性質(zhì)【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、情境導(dǎo)學(xué)與利用直線的方程、圓的方程研究它們的幾何性質(zhì)一樣，我們利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，包括橢圓的范圍、形狀、大小、對稱性和特殊點(diǎn)等。二、探究新知觀察橢圓x2a2+y2思觀察圖，我們發(fā)現(xiàn)，不同橢圓的扁平程度不同，扁平程度是橢圓的重要形狀特征，你能用適當(dāng)?shù)牧慷靠坍嫏E圓的扁平程度嗎？思考1.離心率對橢圓扁圓程度的影響?提示:如圖所示,在Rt△BF2O中,cos∠BF2O=ca,記e=ca,則0<e<1,e越大,∠BF2O越小,橢圓越扁;e越小,∠BF2O橢圓的幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上范圍-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤y≤a頂點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)軸長長軸長為2a,短軸長為2b焦點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距2c對稱性對稱軸:x軸、y軸,對稱中心:坐標(biāo)原點(diǎn)離心率1.判斷(1)橢圓x2a2+y2b2=(2)若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸,長軸長與短軸長分別為10,8,則橢圓的方程為x225+y216=(3)設(shè)F為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn),M為其上任一點(diǎn),則|MF|的最大值為a+c答案:(1)×(2)×(3)√2.已知橢圓C:x2a2+y2A.13B.12C.22解析:∵a2=4+22=8,∴a=22.∴e=ca=2答案:C三、典例解析例1已知橢圓C1:x2100+y264=1,設(shè)橢圓C2與橢圓C1的長軸長、短軸長分別相等,且橢圓(1)求橢圓C1的半長軸長、半短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率;(2)寫出橢圓C2的方程,并研究其性質(zhì).解:(1)由橢圓C1:x2100+y264=1,可得其半長軸長為10,半短軸長為8,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0),((2)橢圓C2:y2100+x2①范圍:-8≤x≤8且-10≤y≤10;②對稱性:關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱;③頂點(diǎn):長軸端點(diǎn)(0,10),(0,-10),短軸端點(diǎn)(-8,0),(8,0);④焦點(diǎn):(0,6),(0,-6);⑤離心率:e=35討論橢圓的幾何性質(zhì)時(shí),一定要將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,標(biāo)準(zhǔn)方程能將參數(shù)的幾何意義凸顯出來,另外要抓住橢圓中a2-b2=c2這一核心關(guān)系式.跟蹤訓(xùn)練1求橢圓m2x2+4m2y2=1(m>0)的長軸長、短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率.解:由已知得x21m2+y214m2=1(m>0),因?yàn)?所以橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,并且半長軸長a=1m半短軸長b=12m,半焦距c=所以橢圓的長軸長2a=2m,短軸長2b=1焦點(diǎn)坐標(biāo)為-3頂點(diǎn)坐標(biāo)為1m離心率e=ca例2橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1,F2,以F1F2為邊作正三角解析:方法一:如圖,∵△DF1F2為正三角形,N為DF2的中點(diǎn),∴F1N⊥F2N.∵|NF2|=|OF2|=c,∴|NF1|=|F由橢圓的定義可知|NF1|+|NF2|=2a,∴3c+c=2a,∴a=(3∴e=ca=2方法二:注意到焦點(diǎn)三角形NF1F2中,∠NF1F2=30°,∠NF2F1=60°,∠F1NF2=90°,則由離心率的焦點(diǎn)三角形公式,可得e=sin∠F1N答案:3-1變式1若例2改為如下:橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)F1,F2,以F1F2解析:根據(jù)等腰直角三角形的特征可知a2+a2=4c2,即ca=e=2答案:2例3已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),橢圓上總存在點(diǎn)P使得PF1解析:由PF1⊥PF2,知△F1PF2是直角三角形,所以|OP|=c≥b,即c2≥a2-c2,所以a≤2c.因?yàn)閑=ca,0<e<1,所以22≤e<答案:2求橢圓離心率的值或取值范圍的常用方法(3)方程法:若a,c的值不可求,則可根據(jù)條件建立關(guān)于a,b,c的關(guān)系式,借助于a2=b2+c2,轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次方程(或不等式),再將方程(或不等式)兩邊同除以a的最高次冪,得到關(guān)于e的方程(或不等式),即可求得e的值(或取值范圍).(1)直接法:若已知a,c,可直接利用e=ca求解.若已知a,b(或b,c)可借助于a2=b2+c2求出c(或a),再代入公式e=ca(2)幾何法:若借助數(shù)形結(jié)合,可挖掘涉及幾何圖形的性質(zhì),再借助a2=b2+c2,找到a與c的關(guān)系或求出a與c,代入e=ca即可得到跟蹤訓(xùn)練2(1)已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點(diǎn)(1,2A.4 B.3 C.11 D.23(2)設(shè)F1,F2分別是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),P為直線x=3a2上一點(diǎn),△F2PF1解析:(1)由題意,可得1a2+2b2=1,即a2=b2b2-2.因?yàn)閍2=b2+c2,所以c2a2=a2-b2a2=b2b2(2)由題意,知∠F2F1P=∠F2PF1=30°,∴∠PF2x=60°.∴|PF2|=2×32a-c=3∵|F1F2|=2c,|F1F2|=|PF2|,∴3a-2c=2c,∴e=ca答案:(1)C(2)3(3)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,若橢圓C的中心到直線AB的距離為66|F解:由題意知A(a,0),B(0,b),從而直線AB的方程為xa+yb=1,即bx+ay-ab=0,又|F1F2|=2c,∴aba2+b2=63c.∵b2=a2-c2,∴3a4-7a2c2+2c4=0,解得a2=2c2或3通過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，運(yùn)用方程與函數(shù)的思想，獲得橢圓的幾何性質(zhì)，進(jìn)而推廣到一般。幫助學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過典型例題，掌握根據(jù)橢圓的基本幾何性質(zhì)及其簡單運(yùn)用，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模，數(shù)形結(jié)合，及方程思想，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測1.已知點(diǎn)(3,2)在橢圓x2a2+A.點(diǎn)(-3,-2)不在橢圓上B.點(diǎn)(3,-2)不在橢圓上C.點(diǎn)(-3,2)在橢圓上D.無法判斷點(diǎn)(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在橢圓上解析:由橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸,以原點(diǎn)為對稱中心可知,點(diǎn)(-3,2)在橢圓上,故選C.答案:C2.設(shè)AB是橢圓x2a2+y2b2=線,分別交橢圓的上半部分于點(diǎn)P1,P2,…,P99,F1為橢圓的左焦點(diǎn),則|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是()A.98a B.99a C.100a D.101a解析:由橢圓的定義及其對稱性可知|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a,|F1P50|=a,故結(jié)果應(yīng)為50×2a+|F1P50|=101a.答案:D3.若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形,則該橢圓的離心率為()A.12 B.32 C.3解析:不妨設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,B為橢圓的上頂點(diǎn).依題意可知,△BF1F2是正三角形.∵在Rt△OBF2中,|OF2|=c,|BF2|=a,∠OF2B=60°,∴cos60°=ca=12.即橢圓的離心率答案:A4.已知橢圓x23+y22=1左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,上、下頂點(diǎn)分別為B1,B2,則四邊形B1F1B解析:根據(jù)題意,設(shè)四邊形B1F1B2F2的面積為S,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23+y22=1,其中則c=3-2則F1(-1,0),F2(1,0),B1(0,2),B2(0,-2),即|OF1|=|OF2|=1,|OB1|=|OB2|=2,則S=4×S△B1OF1=4×12×|OB1|×|OF1答案:225.萬眾矚目的北京冬奧會(huì)將于2022年2月4日正式開幕,繼2008年北京奧運(yùn)會(huì)之后,國家體育場(又名鳥巢)將再次承辦奧運(yùn)會(huì)開幕式.在手工課上,王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個(gè)近似鳥巢的金屬模型,其俯視圖可近似看成是兩個(gè)大小不同、扁平程度相同的橢圓.已知大橢圓的長軸長為40cm,短軸長為20cm,小橢圓的短軸長為10cm,則小橢圓的長軸長為cm.

解析:因?yàn)閮蓚€(gè)橢圓的扁平程度相同,所以橢圓的離心率相同,c大a大=c小a小,即答案:206.已知橢圓x2+(m+3)y2=m(m>0)的離心率e=32,求m的值及橢圓的長軸長、短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)解:橢圓方程可化為x2m+y∵m-mm+3=m(m∴a2=m,b2=mm+3,c=a2-b2=m(m+2)m+3.由e=32,得m+2m+3=32,∴m=1.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。【教學(xué)反思】運(yùn)用代數(shù)方法，讓學(xué)生體會(huì)方程與函數(shù)的思想在研究橢圓幾何性質(zhì)中的作用，讓學(xué)生的思路更加清晰，對學(xué)習(xí)內(nèi)容的把握更加容易，同時(shí)注意及時(shí)讓學(xué)生進(jìn)行思維拓展，形成知識(shí)網(wǎng)，提升教學(xué)效果。《3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)》教案（第二課時(shí)）【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第二章《直線和圓的方程》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)橢圓的簡單幾何性質(zhì)教材的地位和作用地位：本節(jié)課是在橢圓的概念和標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，運(yùn)用代數(shù)的方法，研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)及簡單應(yīng)用.本節(jié)課內(nèi)容的掌握程度直接影響學(xué)習(xí)雙曲線和拋物線幾何性質(zhì)。作用：提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，及分析問題和解決問題的能力。因此，內(nèi)容在解析幾何中占有非常重要的地位。【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.根據(jù)幾何條件求出橢圓的方程．B.進(jìn)一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用;C.會(huì)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系．1.數(shù)學(xué)抽象：橢圓的幾何性質(zhì)2.邏輯推理：利用橢圓的方程研究橢圓的幾何性3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：直線與橢圓位置關(guān)系的判斷4.數(shù)學(xué)建模：利用橢圓的知識(shí)解決應(yīng)用問題【教學(xué)重點(diǎn)】：橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用【教學(xué)難點(diǎn)】：直線與橢圓的位置關(guān)系【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、溫故知新橢圓的幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上范圍-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤y≤a頂點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)軸長長軸長為2a,短軸長為2b焦點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距2c對稱性對稱軸:x軸、y軸,對稱中心:坐標(biāo)原點(diǎn)離心率二、典例解析例5.如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分。過對稱軸的截口

ABC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1上，片門位另一個(gè)焦點(diǎn)F2上，由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F1發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)橢圓焦點(diǎn)F2，已知BC⊥F1F典例解析解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)所求橢圓方程為x2a2+y在RtΔBF2B有橢圓的性質(zhì),F1B+a=12(Fb=

所以所求橢圓方程為x2利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的思路1．利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其步驟是：(1)確定焦點(diǎn)位置；(2)設(shè)出相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(對于焦點(diǎn)位置不確定的橢圓可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程)；(3)根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求參數(shù)，列方程(組)時(shí)常用的關(guān)系式有b2＝a2－c2等．跟蹤訓(xùn)練1．(1)若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，長軸長與短軸長的和為18，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,0)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1B.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1B[由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋2b＝18，,c＝3，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝4.))因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.]例6．動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和到定直線的距離之比是常數(shù)，求動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)的軌跡。【解析】如圖，設(shè)是點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是集合，由此得將上式兩邊平方，并化簡，得即：例7.已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.試問當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C：(1)有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)沒有公共點(diǎn)．[思路探究]eq\x(聯(lián)立方程)→eq\x(消元得一元二次方程)→eq\x(利用根的判別式判斷根的個(gè)數(shù))→得出結(jié)論[解]直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0①.方程①的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)當(dāng)Δ＞0，即－3eq\r(2)＜m＜3eq\r(2)時(shí)，方程①有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)．(2)當(dāng)Δ＝0，即m＝±3eq\r(2)時(shí)，方程①有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解，可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．(3)當(dāng)Δ＜0，即m＜－3eq\r(2)或m＞3eq\r(2)時(shí)，方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)解，可知原方程組沒有實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C沒有公共點(diǎn)．代數(shù)法判斷直線與橢圓的位置關(guān)系判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，通過解直線方程與橢圓方程組成的方程組，消去方程組中的一個(gè)變量，得到關(guān)于另一個(gè)變量的一元二次方程，則Δ>0?直線與橢圓相交；Δ＝0?直線與橢圓相切；Δ<0?直線與橢圓相離．提醒：注意方程組的解與交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的等價(jià)關(guān)系．2．若直線y＝kx＋1(k∈R)與橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解]因?yàn)閥＝kx＋1(k∈R)恒過點(diǎn)(0,1)，則點(diǎn)(0,1)在橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1內(nèi)或橢圓上時(shí)，直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，所以eq\f(12,m)≤1，即m≥1.當(dāng)m＝5時(shí)，eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1不是橢圓，它是以原點(diǎn)為圓心，半徑為eq\r(5)的圓．因此，m的取值范圍為[1,5)∪(5，＋∞)．通過知識(shí)回顧，和高考真題的解析，幫助學(xué)生歸納題型，形成基本解題思路。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，直觀想象的核心素養(yǎng)。通過典例解析，歸納基本題型，幫助學(xué)生形成基本解題思路，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過典型例題，掌握根據(jù)橢圓的基本幾何性質(zhì)及其簡單運(yùn)用，了解橢圓的第二定義，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模，數(shù)形結(jié)合，及方程思想，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測1．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)與橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1有相同的長軸，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的短軸長與eq\f(y2,21)＋eq\f(x2,9)＝1的短軸長相等，則()A．a(chǎn)2＝15，b2＝16B．a(chǎn)2＝9，b2＝25C．a(chǎn)2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25D．a(chǎn)2＝25，b2＝9【答案】D[由題意得，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的焦點(diǎn)在x軸上，且a2＝25，b2＝9.]2．若點(diǎn)P(a,1)在橢圓eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,3)＝1的外部，則a的取值范圍為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2\r(3),3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)))B[由題意知eq\f(a2,2)＋eq\f(1,3)>1，即a2>eq\f(4,3)，解得a>eq\f(2\r(3),3)或a<－eq\f(2\r(3),3).]3．（2018·全國高考）已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)為，則的離心率為（）A． B．C．D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，可知，因?yàn)椋裕矗詸E圓的離心率為，故選C.4．（2019·全國高考）已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為A． B． C． D．【答案】B【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．所求橢圓方程為，故選B．法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得所求橢圓方程為，故選B．5．橢圓x2＋4y2＝16被直線y＝eq\f(1,2)x＋1截得的弦長為________．eq\r(35)[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝16，,y＝\f(1,2)x＋1，))消去y并化簡得x2＋2x－6＝0.設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.∴弦長|MN|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(\f(5,4)[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(\f(5,4)4＋24)＝eq\r(35).]6．設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)過點(diǎn)(0,4)，離心率為eq\f(3,5).(1)求橢圓C的方程；(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為eq\f(4,5)的直線被C所截線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)．[解](1)將(0,4)代入C的方程，得eq\f(16,b2)＝1，∴b＝4.由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，得eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(9,25)，即1－eq\f(16,a2)＝eq\f(9,25)，∴a＝5，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為eq\f(4,5)的直線方程為y＝eq\f(4,5)(x－3)．設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線AB的方程y＝eq\f(4,5)(x－3)代入C的方程，得eq\f(x2,25)＋eq\f(x－32,25)＝1，即x2－3x－8＝0，則x1＋x2＝3，∴eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(3,2)，eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(2,5)(x1＋x2－6)＝－eq\f(6,5)，即中點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(6,5))).通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。【教學(xué)反思】通過橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力，并介紹橢圓的定義二定義，體會(huì)圓錐曲線的統(tǒng)一性。在直線與橢圓學(xué)習(xí)過程中，注意類比直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法。《3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案（第一課時(shí)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.根據(jù)橢圓的方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形．2．根據(jù)幾何條件求出橢圓的方程．【重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：由幾何條件求出橢圓的方程難點(diǎn)：由橢圓的方程研究橢圓的幾何性質(zhì)【知識(shí)梳理】橢圓的幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上范圍-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤y≤a頂點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)軸長長軸長為2a,短軸長為2b焦點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距2c對稱性對稱軸:x軸、y軸,對稱中心:坐標(biāo)原點(diǎn)離心率1.判斷(1)橢圓x2a2+y2b2=(2)若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸,長軸長與短軸長分別為10,8,則橢圓的方程為x225+y216=(3)設(shè)F為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn),M為其上任一點(diǎn),則|MF|的最大值為a+c2.已知橢圓C:x2a2+y2A.13B.12C.22【學(xué)習(xí)過程】一、情境導(dǎo)學(xué)與利用直線的方程、圓的方程研究它們的幾何性質(zhì)一樣，我們利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，包括橢圓的范圍、形狀、大小、對稱性和特殊點(diǎn)等。觀察橢圓x2a2+y思考觀察圖，我們發(fā)現(xiàn)，不同橢圓的扁平程度不同，扁平程度是橢圓的重要形狀特征，你能用適當(dāng)?shù)牧慷靠坍嫏E圓的扁平程度嗎？思考1.離心率對橢圓扁圓程度的影響?提示:如圖所示,在Rt△BF2O中,cos∠BF2O=ca,記e=ca,則0<e<1,e越大,∠BF2O越小,橢圓越扁;e越小,∠BF2O二、典例解析例1已知橢圓C1:x2100+y264=1,設(shè)橢圓C2與橢圓C1的長軸長、短軸長分別相等,且橢圓(1)求橢圓C1的半長軸長、半短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率;(2)寫出橢圓C2的方程,并研究其性質(zhì).討論橢圓的幾何性質(zhì)時(shí),一定要將方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,標(biāo)準(zhǔn)方程能將參數(shù)的幾何意義凸顯出來,另外要抓住橢圓中a2-b2=c2這一核心關(guān)系式.跟蹤訓(xùn)練1求橢圓m2x2+4m2y2=1(m>0)的長軸長、短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率.例2橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1,F2典例解析變式1若例2改為如下:橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)F1,F2例3已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),橢圓上總存在點(diǎn)P使得求橢圓離心率的值或取值范圍的常用方法(3)方程法:若a,c的值不可求,則可根據(jù)條件建立關(guān)于a,b,c的關(guān)系式,借助于a2=b2+c2,轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,c的齊次方程(或不等式),再將方程(或不等式)兩邊同除以a的最高次冪,得到關(guān)于e的方程(或不等式),即可求得e的值(或取值范圍).(1)直接法:若已知a,c,可直接利用e=ca求解.若已知a,b(或b,c)可借助于a2=b2+c2求出c(或a),再代入公式e=ca(2)幾何法:若借助數(shù)形結(jié)合,可挖掘涉及幾何圖形的性質(zhì),再借助a2=b2+c2,找到a與c的關(guān)系或求出a與c,代入e=ca即可得到跟蹤訓(xùn)練2(1)已知橢圓x2a2+y2b2=1(A.4 B.3 C.11 D.23(2)設(shè)F1,F2分別是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),P為直線x=3a2上一點(diǎn),(3)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,若橢圓C的中心到直線AB的距離為66【達(dá)標(biāo)檢測】1.已知點(diǎn)(3,2)在橢圓x2a2+A.點(diǎn)(-3,-2)不在橢圓上B.點(diǎn)(3,-2)不在橢圓上C.點(diǎn)(-3,2)在橢圓上D.無法判斷點(diǎn)(-3,-2),(3,-2),(-3,2)是否在橢圓上2.設(shè)AB是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的長軸,若把線段AB分為100等份,過每個(gè)分點(diǎn)作AB的垂線,分別交橢圓的上半部分于點(diǎn)P1,P|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是()A.98a B.99a C.100a D.101a3.若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形,則該橢圓的離心率為()A.12 B.32 C.34.已知橢圓x23+y22=1左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,上、下頂點(diǎn)分別為B1,B2,則四邊形B1F1B5.萬眾矚目的北京冬奧會(huì)將于2022年2月4日正式開幕,繼2008年北京奧運(yùn)會(huì)之后,國家體育場(又名鳥巢)將再次承辦奧運(yùn)會(huì)開幕式.在手工課上,王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個(gè)近似鳥巢的金屬模型,其俯視圖可近似看成是兩個(gè)大小不同、扁平程度相同的橢圓.已知大橢圓的長軸長為40cm,短軸長為20cm,小橢圓的短軸長為10cm,則小橢圓的長軸長為cm.

6.已知橢圓x2+(m+3)y2=m(m>0)的離心率e=32,求m的值及橢圓的長軸長、短軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)【課堂小結(jié)】【參考答案】知識(shí)梳理1.答案:(1)×(2)×(3)√2.解析:∵a2=4+22=8,∴a=22.∴e=ca=2答案:C學(xué)習(xí)過程例1解:(1)由橢圓C1:x2100+y264=(2)橢圓C2:y2100+x①范圍:-8≤x≤8且-10≤y≤10;②對稱性:關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱;③頂點(diǎn):長軸端點(diǎn)(0,10),(0,-10),短軸端點(diǎn)(-8,0),(8,0);④焦點(diǎn):(0,6),(0,-6);⑤離心率:e=35跟蹤訓(xùn)練1解:由已知得x21m2因?yàn)?<m2<4m2,所以1m所以橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,并且半長軸長a=1m半短軸長b=12m,半焦距c=所以橢圓的長軸長2a=2m,短軸長2b=1焦點(diǎn)坐標(biāo)為-3頂點(diǎn)坐標(biāo)為1m離心率e=ca例2解析:方法一:如圖,∵△DF1F2為正三角形,N為DF2的中點(diǎn),∴F1N⊥F2N.∵|NF2|=|OF2|=c,∴|NF1|=|F由橢圓的定義可知|NF1|+|NF2|=2a,∴3c+c=2a,∴a=(3∴e=ca=2方法二:注意到焦點(diǎn)三角形NF1F2中,∠NF1F2=30°,∠NF2F1=60°,∠F1NF2=90°,則由離心率的焦點(diǎn)三角形公式,可得e=sin∠F1N答案:3-1典例解析變式1解析:根據(jù)等腰直角三角形的特征可知a2+a2=4c2,即ca=e=2答案:2例3解析:由PF1⊥PF2,知△F1PF2是直角三角形,所以|OP|=c≥b,即c2≥a2-c2,所以a≤2c.因?yàn)閑=ca,0<e<1,所以22≤e<答案:2跟蹤訓(xùn)練2解析:(1)由題意,可得1a2+2b2=因?yàn)閍2=b2+c2,所以c2a2=a2-b2a2=b2b2-2-b2b(2)由題意,知∠F2F1P=∠F2PF1=30°,∴∠PF2x=60°.∴|PF2|=2×32a-c=3∵|F1F2|=2c,|F1F2|=|PF2|,∴3a-2c=2c,∴e=ca答案:(1)C(2)3(3)解:由題意知A(a,0),B(0,b),從而直線AB的方程為xa+yb=1,即bx+ay-ab=0,又|F1F2|=2c∵b2=a2-c2,∴3a4-7a2c2+2c4=0,解得a2=2c2或3a2=c2(舍去),∴e=22達(dá)標(biāo)檢測1.解析:由橢圓以坐標(biāo)軸為對稱軸,以原點(diǎn)為對稱中心可知,點(diǎn)(-3,2)在橢圓上,故選C.答案:C2.解析:由橢圓的定義及其對稱性可知|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a,|F1P50|=a,故結(jié)果應(yīng)為50×2a+|F1P50|=101a.答案:D3.解析:不妨設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,B為橢圓的上頂點(diǎn).依題意可知,△BF1F2是正三角形.∵在Rt△OBF2中,|OF2|=c,|BF2|=a,∠OF2B=60°,∴cos60°=ca=12.即橢圓的離心率答案:A4.解析:根據(jù)題意,設(shè)四邊形B1F1B2F2的面積為S,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23+y22=1,其中則c=3-2則F1(-1,0),F2(1,0),B1(0,2),B2(0,-2),即|OF1|=|OF2|=1,|OB1|=|OB2|=2,則S=4×S△B1OF1=4×12×|OB1|×|OF1答案:225.解析:因?yàn)閮蓚€(gè)橢圓的扁平程度相同,所以橢圓的離心率相同,c大a大=c小a小,即答案:206解:橢圓方程可化為x2m+y∵m-mm+3=m(m∴a2=m,b2=mm+3,c=a2-b2=m(m+2)m+3.由e=32,得m+2m+3=32,∴m=1.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y《3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)》導(dǎo)學(xué)案（第二課時(shí)）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．根據(jù)幾何條件求出橢圓的方程．2.進(jìn)一步掌握橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用，會(huì)判斷直線與橢圓的位置關(guān)系．【重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：橢圓的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用難點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系【知識(shí)梳理】橢圓的幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上范圍-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤y≤a頂點(diǎn)A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)軸長長軸長為2a,短軸長為2b焦點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距2c對稱性對稱軸:x軸、y軸,對稱中心:坐標(biāo)原點(diǎn)離心率【學(xué)習(xí)過程】一、典例解析例5.如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分。過對稱軸的截口

ABC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1上，片門位另一個(gè)焦點(diǎn)F2上，由橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F1發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)橢圓焦點(diǎn)F2，已知BC⊥F1F典例解析利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的思路1．利用橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其步驟是：(1)確定焦點(diǎn)位置；(2)設(shè)出相應(yīng)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(對于焦點(diǎn)位置不確定的橢圓可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程)；(3)根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，利用方程(組)求參數(shù)，列方程(組)時(shí)常用的關(guān)系式有b2＝a2－c2等．跟蹤訓(xùn)練1．(1)若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，長軸長與短軸長的和為18，一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,0)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,16)＝1B.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1例6．動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和到定直線的距離之比是常數(shù)，求動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)的軌跡。典例解析例7.已知直線l：y＝2x＋m，橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.試問當(dāng)m取何值時(shí)，直線l與橢圓C：(1)有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)沒有公共點(diǎn)．代數(shù)法判斷直線與橢圓的位置關(guān)系判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，通過解直線方程與橢圓方程組成的方程組，消去方程組中的一個(gè)變量，得到關(guān)于另一個(gè)變量的一元二次方程，則Δ>0?直線與橢圓相交；Δ＝0?直線與橢圓相切；Δ<0?直線與橢圓相離．提醒：注意方程組的解與交點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的等價(jià)關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練2．若直線y＝kx＋1(k∈R)與橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【達(dá)標(biāo)檢測】1．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)與橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1有相同的長軸，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的短軸長與eq\f(y2,21)＋eq\f(x2,9)＝1的短軸長相等，則()A．a(chǎn)2＝15，b2＝16B．a(chǎn)2＝9，b2＝25C．a(chǎn)2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25D．a(chǎn)2＝25，b2＝92．若點(diǎn)P(a,1)在橢圓eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,3)＝1的外部，則a的取值范圍為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2\r(3),3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,3)))3．已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)為，則的離心率為（）A． B． C． D．4．（2019·全國高考）已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的方程為A． B． C． D．5．橢圓x2＋4y2＝16被直線y＝eq\f(1,2)x＋1截得的弦長為________．6．設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)過點(diǎn)(0,4)，離心率為eq\f(3,5).(1)求橢圓C的方程；(2)求過點(diǎn)(3,0)且斜率為eq\f(4,5)的直線被C所截線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)．【課堂小結(jié)】【參考答案】學(xué)習(xí)過程例5.解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)所求橢圓方程為x2a2+y在RtΔBF2B有橢圓的性質(zhì),F1B+a=12(Fb=

所以所求橢圓方程為x2跟蹤訓(xùn)練1．B[由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋2b＝18，,c＝3，,a2＝b2＋c2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝4.))因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.]例6．【解析】如圖，設(shè)是點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)題意，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是集合，由此得將上式兩邊平方，并化簡，得即：典例解析例7.[思路探究]eq\x(聯(lián)立方程)→eq\x(消元得一元二次方程)→eq\x(利用根的判別式判斷根的個(gè)數(shù))→得出結(jié)論[解]直線l的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))消去y，得9x2＋8mx＋2m2－4＝0①.方程①的判別式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.(1)當(dāng)Δ＞0，即－3eq\r(2)＜m＜3eq\r(2)時(shí)，方程①有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，可知原方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn)．(2)當(dāng)Δ＝0，即m＝±3eq\r(2)時(shí)，方程①有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解，可知原方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．(3)當(dāng)Δ＜0，即m＜－3eq\r(2)或m＞3eq\r(2)時(shí)，方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)解，可知原方程組沒有實(shí)數(shù)解．這時(shí)直線l與橢圓C沒有公共點(diǎn)．跟蹤訓(xùn)練2．若直線y＝kx＋1(k∈R)與橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解]因?yàn)閥＝kx＋1(k∈R)恒過點(diǎn)(0,1)，則點(diǎn)(0,1)在橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1內(nèi)或橢圓上時(shí)，直線與橢圓恒有公共點(diǎn)，所以eq\f(12,m)≤1，即m≥1.當(dāng)m＝5時(shí)，eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1不是橢圓，它是以原點(diǎn)為圓心，半徑為eq\r(5)的圓．因此，m的取值范圍為[1,5)∪(5，＋∞)．達(dá)標(biāo)檢測1．D[由題意得，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的焦點(diǎn)在x軸上，且a2＝25，b2＝9.]2．B[由題意知eq\f(a2,2)＋eq\f(1,3)>1，即a2>eq\f(4,3)，解得a>eq\f(2\r(3),3)或a<－eq\f(2\r(3),3).]3．【答案】C【解析】根據(jù)題意，可知，因?yàn)椋裕矗詸E圓的離心率為，故選C.4．【答案】B【解析】法一：如圖，由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在中，由余弦定理推論得．在中，由余弦定理得，解得．所求橢圓方程為，故選B．法二：由已知可設(shè)，則，由橢圓的定義有．在和中，由余弦定理得，又互補(bǔ)，，兩式消去，得，解得．所求橢圓方程為，故選B．5．eq\r(35)[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋4y2＝16，,y＝\f(1,2)x＋1，))消去y并化簡得x2＋2x－6＝0.設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.∴弦長|MN|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(\f(5,4)[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(\f(5,4)4＋24)＝eq\r(35).]6．[解](1)將(0,4)代入C的方程，得eq\f(16,b2)＝1，∴b＝4.由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，得eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(9,25)，即1－eq\f(16,a2)＝eq\f(9,25)，∴a＝5，∴橢圓C的方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)過點(diǎn)(3,0)且斜率為eq\f(4,5)的直線方程為y＝eq\f(4,5)(x－3)．設(shè)直線與C的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線AB的方程y＝eq\f(4,5)(x－3)代入C的方程，得eq\f(x2,25)＋eq\f(x－32,25)＝1，即x2－3x－8＝0，則x1＋x2＝3，∴eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(3,2)，eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(2,5)(x1＋x2－6)＝－eq\f(6,5)，即中點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(6,5))).《3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)（1）-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)一、選擇題1．橢圓的短軸長為（）A．6 B．3 C．1 D．22.點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則的取值范圍是（）A． B．C． D．3．橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則m的值為（）A．2 B． C．4 D．4.若點(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的中心和右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最小值為()A． B． C． D．15．（多選題）若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．的長軸長為C．的短軸長為 D．的離心率為6.（多選題）已知橢圓x2a2+y2b2=1與橢圓x225A.a2=25,b2=16B.a2=9,b2=25C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25D.a2=25,b2=9二、填空題7.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是圓的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點(diǎn)為.

8.若橢圓x2k+8+y29=1的離心率9.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不僅是著名的物理學(xué)家,也是著名的數(shù)學(xué)家,他最早利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的半長軸長與半短軸長的乘積.若橢圓C的對稱軸為坐標(biāo)軸,焦點(diǎn)在y軸上,且橢圓C的離心率為45,面積為20π,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為10.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M,直線l:3x-4y=0交橢圓E于A,B兩點(diǎn).若|AF|+|BF|=4,點(diǎn)M到直線三、解答題11.焦點(diǎn)在軸上的橢圓的方程為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求的值.（2）依次求出這個(gè)橢圓的長軸長、短軸長、焦距、離心率.12.如圖,已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F(1)若∠F1AB=90°,求橢圓的離心率;(2)若橢圓的焦距為2,且AF2=2F《3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)（1）-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．橢圓的短軸長為（）A．6 B．3 C．1 D．2【答案】D【解析】因?yàn)闄E圓，所以，即，所以橢圓的短軸長為，故選：D2.點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，所以有，即，解得，則的取值范圍是．故選：B.3．橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，則m的值為（）A．2 B． C．4 D．【答案】D【解析】。4.若點(diǎn)和點(diǎn)分別為橢圓的中心和右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最小值為()A． B． C． D．1【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)，所以，由此可得，，所以的最小值為.5．（多選題）若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．的長軸長為C．的短軸長為 D．的離心率為【答案】ACD【解析】由已知可得，解得或(舍去)，橢圓的方程為，∴，，即，，長軸長為，短軸長，離心率.故選ACD.6.（多選題）已知橢圓x2a2+y2b2=1與橢圓x225A.a2=25,b2=16B.a2=9,b2=25C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25D.a2=25,b2=9【答案】ABC【解析】橢圓x225+y2由題意可知橢圓x2a2+y2b2=1的焦點(diǎn)在二、填空題7.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是圓的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點(diǎn)為.

【答案】【解析】∵圓，化為一般式可得，故其圓心為，∴橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，得，又∵短軸長為，得，∴，可得橢圓的左頂點(diǎn)為，故選D.8.若橢圓x2k+8+y29=1的離心率e=【答案】4或-5【解析】(1)若焦點(diǎn)在x軸上,即k+8>9時(shí),a2=k+8,b2=9,e2=c2a2=(2)若焦點(diǎn)在y軸上,即0<k+8<9時(shí),a2=9,b2=k+8,e2=c2a2=綜上所述,k=4或k=-549.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不僅是著名的物理學(xué)家,也是著名的數(shù)學(xué)家,他最早利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的半長軸長與半短軸長的乘積.若橢圓C的對稱軸為坐標(biāo)軸,焦點(diǎn)在y軸上,且橢圓C的離心率為45,面積為20π,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【答案】y2100【解析】設(shè)橢圓C的方程為y2a2+x2b2=1(又e=1-b2a2=45,解得a2=1003,b10.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M,直線l:3x-4y=0交橢圓E于A,B兩點(diǎn).若|AF|+|BF|=4,點(diǎn)M到直線【答案】0【解析】設(shè)左焦點(diǎn)為F0,連接F0A,F0B,則四邊形AFBF0為平行四邊形.∵|AF|+|BF|=4,∴|AF|+|AF0|=4,∴a=2.設(shè)M(0,b),則4b5≥45,∴離心率e=ca三、解答題11.焦點(diǎn)在軸上的橢圓的方程為，點(diǎn)在橢圓上.（1）求的值.（2）依次求出這個(gè)橢圓的長軸長、短軸長、焦距、離心率.【解析】（1）由題意，點(diǎn)在橢圓上，代入，得，解得（2）由（1）知，橢圓方程為，則橢圓的長軸長；’短軸長；焦距；離心率.12.如圖,已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1,F(1)若∠F1AB=90°,求橢圓的離心率;(2)若橢圓的焦距為2,且AF2=2F【解析】(1)由∠F1AB=90°及橢圓的對稱性知b=c,則e=ca(2)由已知a2-b2=1,F2(1,0),A(0,b),設(shè)B(x,y),則AF2=(1,-b),F2B=(x-1,y),由AF2=2F2B,即(1,解得x=32,y=-b2,則9得a2=3,因此b2=2,橢圓的方程為x23+《3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)（2）-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)一、選擇題1．已知橢圓，若長軸長為8，離心率為，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A． B． C． D．2.橢圓有一條光學(xué)性質(zhì)：從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過橢圓反射后，一定經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn).假設(shè)光線沿直線傳播且在傳播過程中不會(huì)衰減，橢圓的方程為，則光線從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)，到首次回到該焦點(diǎn)所經(jīng)過的路程不可能為（）A．2 B．4 C．6 D．83．無論k為何值，直線和曲線交點(diǎn)情況滿足（）A．沒有公共點(diǎn) B．一個(gè)公共點(diǎn) C．兩個(gè)公共點(diǎn) D．有公共點(diǎn)4.橢圓的左焦點(diǎn)為，若關(guān)于直線的對稱點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．5．（多選題）橢圓的焦距為，則的值為（）A．9 B．23 C． D．6．（多選題）嫦娥四號(hào)月球探測器于2018年12月8日搭載長征三號(hào)乙運(yùn)載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射.12日下午4點(diǎn)43分左右，嫦娥四號(hào)順利進(jìn)入了以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓形軌道，如圖中軌道③所示，其近月點(diǎn)與月球表面距離為100公里，遠(yuǎn)月點(diǎn)與月球表面距離為400公里，已知月球的直徑約為3476公里，對該橢圓下述四個(gè)結(jié)論正確的是（）A．焦距長約為300公里 B．長軸長約為3988公里C．兩焦點(diǎn)坐標(biāo)約為 D．離心率約為二、填空題7.若直線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則斜率的值是______.8．光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出,被橢圓反射后會(huì)經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn);光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出,被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出.如圖,一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn),的橢圓與雙曲線構(gòu)成,現(xiàn)一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出,依次經(jīng)與反射,又回到了點(diǎn),歷時(shí)秒;若將裝置中的去掉,此光線從點(diǎn)發(fā)出,經(jīng)兩次反射后又回到了點(diǎn),歷時(shí)秒;若,則與的離心率之比為______.9.已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，線段與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為的中位線，且，則________.10．已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為________三、解答題11．我國計(jì)劃發(fā)射火星探測器，該探測器的運(yùn)行軌道是以火星（其半徑）的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓．如圖，已知探測器的近火星點(diǎn)（軌道上離火星表面最近的點(diǎn)）到火星表面的距離為，遠(yuǎn)火星點(diǎn)（軌道上離火星表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）到火星表面的距離為．假定探測器由近火星點(diǎn)第一次逆時(shí)針運(yùn)行到與軌道中心的距離為時(shí)進(jìn)行變軌，其中分別為橢圓的長半軸、短半軸的長，求此時(shí)探測器與火星表面的距離（精確到）．12.已知橢圓C:經(jīng)過點(diǎn),是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)在第一象限，且,求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；《3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)（2）-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．已知橢圓，若長軸長為8，離心率為，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)闄E圓長軸長為8，所以，即，又離心率為，所以，解得：，則=，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．2.橢圓有一條光學(xué)性質(zhì)：從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過橢圓反射后，一定經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn).假設(shè)光線沿直線傳播且在傳播過程中不會(huì)衰減，橢圓的方程為，則光線從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)，到首次回到該焦點(diǎn)所經(jīng)過的路程不可能為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】由題意可得,,,所以,.①若光線從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)沿軸方向出發(fā)到長軸端點(diǎn)(較近的)再反射,則所經(jīng)過的路程為,②若光線從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)沿軸方向出發(fā)到長軸端點(diǎn)(較遠(yuǎn)的)再反射,則所經(jīng)過的路程為.③若光線從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)沿非軸方向出發(fā),則所經(jīng)過的路程為，故選:B3．無論k為何值，直線和曲線交點(diǎn)情況滿足（）A．沒有公共點(diǎn) B．一個(gè)公共點(diǎn) C．兩個(gè)公共點(diǎn) D．有公共點(diǎn)【答案】D【解析】因?yàn)檫^定點(diǎn)，且橢圓的上頂點(diǎn)也為，所以當(dāng)直線的斜率為時(shí)，此時(shí)直線與橢圓相切，僅有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不為零時(shí)，此時(shí)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以無法確定直線與橢圓的公共點(diǎn)是一個(gè)還是兩個(gè)，故選：D.4.橢圓的左焦點(diǎn)為，若關(guān)于直線的對稱點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)A為，且A在橢圓上，即，∴，∴橢圓C的離心率．5．（多選題）橢圓的焦距為，則的值為（）A．9 B．23 C． D．【答案】AB【解析】橢圓的焦距為，即得.依題意當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，則，解得；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，則，解得，∴的值為9或23.6．（多選題）嫦娥四號(hào)月球探測器于2018年12月8日搭載長征三號(hào)乙運(yùn)載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射.12日下午4點(diǎn)43分左右，嫦娥四號(hào)順利進(jìn)入了以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓形軌道，如圖中軌道③所示，其近月點(diǎn)與月球表面距離為100公里，遠(yuǎn)月點(diǎn)與月球表面距離為400公里，已知月球的直徑約為3476公里，對該橢圓下述四個(gè)結(jié)論正確的是（）A．焦距長約為300公里 B．長軸長約為3988公里C．兩焦點(diǎn)坐標(biāo)約為 D．離心率約為【答案】AD【解析】設(shè)該橢圓的半長軸長為，半焦距長為.依題意可得月球半徑約為，，，，，，橢圓的離心率約為，可得結(jié)論A、D項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)闆]有給坐標(biāo)系，焦點(diǎn)坐標(biāo)不確定，所以C項(xiàng)錯(cuò)誤.綜上可知，正確的為AD，故選：AD.二、填空題7.若直線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則斜率的值是_______.【答案】【解析】已知直線與橢圓有且只有一個(gè)交點(diǎn)，由消去并整理，得，由題意知，，解得：.8．光線從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出,被橢圓反射后會(huì)經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn);光線從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出,被雙曲線反射后的反射光線等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出.如圖,一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn),的橢圓與雙曲線構(gòu)成,現(xiàn)一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出,依次經(jīng)與反射,又回到了點(diǎn),歷時(shí)秒;若將裝置中的去掉,此光線從點(diǎn)發(fā)出,經(jīng)兩次反射后又回到了點(diǎn),歷時(shí)秒;若,則與的離心率之比為______.【答案】【解析】如圖,由雙曲線定義得:①,由橢圓定義得:②,②①得:;橢圓雙曲線“復(fù)合”光學(xué)裝置中,光線從出發(fā)到回到左焦點(diǎn)走過的路程為:對于單橢圓光學(xué)裝置,光線經(jīng)過次反射后回到左焦點(diǎn),路程為;由于兩次光速相同,路程比等于時(shí)間比,,..9.已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，線段與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為的中位線，且，則________.【答案】6【解析】如圖所示，因?yàn)闉榈闹形痪€，且，所以，由橢圓定義可得：.10．已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為________【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，則，可得，橢圓的左焦點(diǎn)為，，，則，二次函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，.因此，的最大值為.三、解答題11．我國計(jì)劃發(fā)射火星探測器，該探測器的運(yùn)行軌道是以火星（其半徑）的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓．如圖，已知探測器的近火星點(diǎn)（軌道上離火星表面最近的點(diǎn)）到火星表面的距離為，遠(yuǎn)火星點(diǎn)（軌道上離火星表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）到火星表面的距離為．假定探測器由近火星點(diǎn)第一次逆時(shí)針運(yùn)行到與軌道中心的距離為時(shí)進(jìn)行變軌，其中分別為橢圓的長半軸、短半軸的長，求此時(shí)探測器與火星表面的距離（精確到）．【解析】設(shè)所求軌道方程為．．于是．所以所求軌道方程為．設(shè)變軌時(shí)，探測器位于，則．解方程組，得（由題意）．所以探測器在變軌時(shí)與火星表面的距離為．所以探測器在變軌時(shí)與火星表面的距離約為.12.已知橢圓C:經(jīng)過點(diǎn),是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，，是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)在第一象限，且,求點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；【解析】（1）由已知得，，∴，，同理，∴，，∴，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)（），則，，∴，∴，即點(diǎn)橫坐標(biāo)取值范圍是．《3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)（1）-提高練》同步練習(xí)一、選擇題1.曲線與曲線的A．長軸長相等 B．短軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等2.設(shè)橢圓，若四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上，則不在上的點(diǎn)為（）．A． B． C． D．3.設(shè)橢圓的離心率為，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件4.已知橢圓x24+y2=1,F1,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則1|A.[1,2] B.[2,3]C.[25．（多選題）如圖，橢圓Ⅰ與Ⅱ有公共的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，且橢圓Ⅱ的右頂點(diǎn)為橢圓Ⅰ的中心.設(shè)橢圓Ⅰ與Ⅱ的長半軸長分別為和，半焦距分別為和，離心率分別為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．6．（多選題）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率可能為（）A． B． C． D．二、填空題7.已知長方形ABCD,AB=4,BC=3,則以A,B為焦點(diǎn),且過C,D的橢圓的離心率為.8．萬眾矚目的北京冬奧會(huì)將于2022年2月4日正式開幕，繼2008年北京奧運(yùn)會(huì)之后，國家體育場（又名鳥巢）將再次承辦冬奧運(yùn)會(huì)開幕式.在手工課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個(gè)近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個(gè)大小不同，扁平程度相同的橢圓，已知大橢圓的長軸長為40cm，短軸長為20cm，小橢圓的短軸長為10cm，則小橢圓的長軸長為__________.cm9.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率等于__________.10.已知F是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn),P是C上的任意一點(diǎn),則|FP|稱為橢圓C的焦半徑.設(shè)C的左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)分別為A,B,若存在以A為圓心,三、解答題11.（1）計(jì)算:①若A1,A2是橢圓x29+y24=②若A1,A2是橢圓x29+y24=③若A1,A2是橢圓x29+y24=(2)觀察①②③,由此可得到:若A1,A2是橢圓x2a2+y2b2=1(12.已知橢圓與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且橢圓過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且的面積為1，求點(diǎn)的坐標(biāo).《3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)（1）-提高練》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1.曲線與曲線的A．長軸長相等 B．短軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等【答案】D【解析】曲線表示焦點(diǎn)在軸上，長軸長為10，短軸長為6，離心率為，焦距為8．曲線表示焦點(diǎn)在軸上，長軸長為，短軸長為，離心率為，焦距為8．對照選項(xiàng)，則正確．故選：．2.設(shè)橢圓，若四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上，則不在上的點(diǎn)為（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋P(guān)于y軸對稱，所以橢圓經(jīng)過，，所以，當(dāng)在橢圓上時(shí)，，解得，橢圓方程為：成立.因?yàn)椋詸E圓不經(jīng)過，故選：A3.設(shè)橢圓的離心率為，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)，所以，，所以，所以是的充分條件.當(dāng)，若焦點(diǎn)在軸上，則，所以；若焦點(diǎn)在軸上，則，所以，所以不是的必要條件.故選：A.4.已知橢圓x24+y2=1,F1,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn),則1|A.[1,2] B.[2,3]C.[2【答案】D【解析】根據(jù)橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a=4,設(shè)m=|PF1|,n=|PF2|,則m+n=4,m,n∈[a-c,a+c],即m,n∈[2-3,2+3],則1|PF5．（多選題）如圖，橢圓Ⅰ與Ⅱ有公共的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，且橢圓Ⅱ的右頂點(diǎn)為橢圓Ⅰ的中心.設(shè)橢圓Ⅰ與Ⅱ的長半軸長分別為和，半焦距分別為和，離心率分別為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由橢圓Ⅱ的右頂點(diǎn)為橢圓Ⅰ的中心，可得，由橢圓Ⅰ與Ⅱ有公共的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，可得；因?yàn)椋遥瑒t，所以A正確；因?yàn)椋訠正確；因?yàn)椋瑒t有，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)椋訢正確；故選：ABD.6．（多選題）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓上存在點(diǎn)，使得，其中、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則該橢圓的離心率可能為（）A． B． C． D．【答案】BD【解析】設(shè)橢圓的焦距為，由橢圓的定義可得，解得，，由題意可得，解得，又，所以，，所以，該橢圓離心率的取值范圍是.故符合條件的選項(xiàng)為BD.二、填空題7.已知長方形ABCD,AB=4,BC=3,則以A,B為焦點(diǎn),且過C,D的橢圓的離心率為.【答案】1【解析】如圖,|AB|=2c=4,∵點(diǎn)C在橢圓上,∴|CB|+|CA|=2a=3+5=8,∴e=2c8．萬眾矚目的北京冬奧會(huì)將于2022年2月4日正式開幕，繼2008年北京奧運(yùn)會(huì)之后，國家體育場（又名鳥巢）將再次承辦冬奧運(yùn)會(huì)開幕式.在手工課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個(gè)近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個(gè)大小不同，扁平程度相同的橢圓，已知大橢圓的長軸長為40cm，短軸長為20cm，小橢圓的短軸長為10cm，則小橢圓的長軸長為__________.cm【答案】【解析】由大橢圓和小橢圓扁平程度相同，可得兩橢圓的離心率相同，由大橢圓長軸長為40cm，短軸長為20cm，可得焦距長為cm，故離心率為，所以小橢圓離心率為，小橢圓的短軸長為10cm，即cm，由，可得：cm，所以長軸為cm.9.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率等于__________.【答案】【解析】橢圓的右焦點(diǎn)為，過作軸的垂線交橢圓于，兩點(diǎn)，由，若，則是等腰直角三角形為坐標(biāo)原點(diǎn)），可得，即，可得且，解得．10.已知F是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn),P是C上的任意一點(diǎn),則|FP|稱為橢圓C的焦半徑.設(shè)C的左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)分別為A,B,若存在以A為圓心,【答案】3【解析】如圖,|AB|=a2+b2,a-c≤由題意可得,a-c≤a2+b2≤a+c,不等式左邊恒成立,則兩邊平方整理得2e2+2e-1≥0,解得e≤-1-32(舍)或∴橢圓C的離心率的最小值為3-三、解答題11.（1）計(jì)算:①若A1,A2是橢圓x29+y24=②若A1,A2是橢圓x29+y24=③若A1,A2是橢圓x29+y24=(2)觀察①②③,由此可得到:若A1,A2是橢圓x2a2+y2b2=1(【解析】（1）①由橢圓方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P(0,2),∴kPA1②由橢圓方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P-5∴kPA1③由橢圓方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P1,-∴kPA1(2)若A1,A2是橢圓x2a2+y2b2=1(證明如下:設(shè)P(x0,y0).由題意kP則kP又P為橢圓上任意一點(diǎn),滿足x02a2+y0代入可得kPA1·12.已知橢圓與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且橢圓過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且的面積為1，求點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】（1）的焦點(diǎn)為，設(shè)方程為，焦距為，則，把代入，則有，整理得，故或（舎），，故橢圓方程為．（2），設(shè)，則面積為，則，而，所以，，所以點(diǎn)有4個(gè)，它們的坐標(biāo)分別為．《3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)（2）-提高練》同步練習(xí)一、選擇題1.設(shè)橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，,上頂點(diǎn)為,若則該橢圓的方程為（）A． B． C． D．2.“”是“直線與橢圓有公共點(diǎn)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件3.2020年3月9日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號(hào)運(yùn)載火箭，成功發(fā)射北斗系統(tǒng)第54顆導(dǎo)航衛(wèi)星.第54顆導(dǎo)航衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓.設(shè)地球半徑為，若其近地點(diǎn)?遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離大約分別是，，則第54顆導(dǎo)航衛(wèi)星運(yùn)行軌道(橢圓)的離心率是（）A． B． C． D．4.1970年4月24日，我國發(fā)射了自己的第一顆人造地球衛(wèi)星“東方紅一號(hào)”，從此我國開啟了人造衛(wèi)星的新篇章，人造地球衛(wèi)星繞地球運(yùn)行遵循開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律：衛(wèi)星在以地球?yàn)榻裹c(diǎn)的橢圓軌道上繞地球運(yùn)行時(shí)，其運(yùn)行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒規(guī)律，即衛(wèi)星的向徑（衛(wèi)星與地球的連線）在相同的時(shí)間