第十三講向量性質(zhì)與基本定理應(yīng)用

目錄

題型01向量夾角：模型夾角.......................................................................I

題型02向量夾角：坐標(biāo)型........................................................................2

題型03向量夾角：復(fù)合型........................................................................2

題型04向量夾角：恒成立與最值型.................................................................3

題型05投影與投影向量：投影數(shù)量.................................................................4

題型06投影與投影向量：投影向量.................................................................4

題型07線性運(yùn)算：雞爪基礎(chǔ)型.....................................................................5

題型08線性運(yùn)算：四邊形........................................................................6

題型09基底：換基底型..........................................................................7

題型10基底：兩線交點(diǎn)型........................................................................8

題型11基底：面積比值型........................................................................9

題型12基底：趙爽弦圖型........................................................................9

題型13數(shù)量積最值范圍..........................................................................11

題型14范圍最值型：建系法......................................................................11

高考練場.......................................................................................12

熱點(diǎn)題型歸納

題型01向量夾角：模型夾角

【解題攻略】

求平面向量夾角的方法模長型）：

a-b…「

定義法：利用向量數(shù)量積的定義得cos<a，b>=b，其中兩向量<a,b>的取值氾圍是[0,句；

a?

【典例1-1】.（2022?遼寧?模擬預(yù)測）已知向量a，Z，滿足期第=3,卜-3%歷，則〃，夾角的余

弦值為（）

【典例1-2】（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知a,6為非零向量，Q.y/3\a\=2\b\,\a+2b\=\2a-b\,貝必與6夾

角的余弦值為（）

A,昱

B.gC.邁D.國

816816

【變式1-1]（2022?甘肅.一模（文））向量a,z,滿足網(wǎng)=豆，6=1，。-26=9，則向量a,6的夾

角是（）

,71「兀-2兀-5兀

A.—B.-C.—D.—

6336

【變式1?2】（2022?廣西南寧?一模（文））若兩個(gè)向量a、6滿足|a|=l，W=6,a-6=3,則a與，的夾角是

（）

一兀一兀一兀

A兀B.—C.—D.一

432

【變式1-3］（2022?廣西?高三階段練習(xí)（文））已知單位向量a,b，+=則。與方的夾角為

（）.

A.30°B.60°C.120°D.150°

題型02向量夾角：坐標(biāo)型

【解題攻略】

求平面向量夾角的方法（坐標(biāo)型）：

坐標(biāo)法：若非零向量：=（為,乂）、力=（%,為），則cos<a，6>=

+?西-r

【典例1-1］（2021?江西?高三階段練習(xí)（理））已知向量。=（x,l）/=（-2,y）,若2a+6=（2,6）,則向量“與

b的夾角為（)

371

A.——

4噌

【典例1-2］（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））已知為整數(shù)，且肛設(shè)平面向量2=（%〃）與辦=（2,_1）

會(huì)1）的概率為（）

的夾角為6,貝g

「9一4色

A.2B.—C.—D.

32642525

（2022?全國?高三專題練習(xí)）若向量）=（1,2）與人=「一1,|4的夾角為銳角，則f的取值范圍為

【變式1-1]

()

B.小

A.(4,+oo)

cJVD.弓，"（…）

【變式1-2］（2022?河北?衡水市冀州區(qū)y釜運(yùn)中學(xué)高三）已知點(diǎn)4（-1,2）,5（1,0）,C（l,-2）,0（4,2）,則向

量AB與CZ）夾角的余弦值為（）

、貶R0070n70

A.----D.------C.--------D,------

10101010

Q

【變式1-3］（2022?全國?高三專題練習(xí)）若a=（l,X,2）,人=（2,-1,2）,且0,6的夾角的余弦值為“則4

等于（）

22

A.2B.—2C.—2或—D.2或---

5555

題型03向量夾角：復(fù)合型

【解題攻略】

復(fù)合型向量夾角計(jì)算，和簡單向量夾角計(jì)算一樣，多了一個(gè)復(fù)雜的求分母計(jì)算

abxixz+yi”

cos〈a,方〉=|a仙I=q尤?+y對蝮+免

【典例1-11（2022.河南?光山一中高三階段練習(xí)）己知單位向量a,b,^滿足4一36=2億，則6與a+&c

夾角的余弦值為（）

A一3B.王C.一也D.一正

3223

【典例1-2】（2022?四川省成都市新都一中高三）已知。=（cose,-1,sina）,/>=（sin?,-l,cos?）,貝！I向量

與a-。的夾角為（）

A.90°B.60°C.30°D.0°

【變式1-11.（2020?云南德宏?高三（理））已知向量4,辦滿足1a1=1,b=,且則〃與a+Z?

夾角的余弦值為（）

A.無B.氈C.土且D.+2

5555

【變式1-2］（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知向量4=（2,4）,6=（-2,相），若a+6與b的夾角為60,貝1」以=

（）

AV3Q幣「2出n2出

3333

【變式1-3］（2022?全國?圖二專題練習(xí)（理））已知a、b、c均為單位向量，且2a=4Z?+3c，則〃、c之

間夾角的余弦值為（）

題型04向量夾角：恒成立與最值型

【解題攻略】

向量型恒成立:

1.通過模計(jì)算，轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立。

2.通過向量幾何意義，轉(zhuǎn)化為圖形恒成立

【典例1-1】已知向量d,6滿足同=g|,W=1,且對任意的實(shí)數(shù)X,不等式,+也國a+.恒成立，設(shè)心

6的夾角為6,貝1Jtan。的值為（）

A.-272B.272C.-72D.后

【典例1-2】設(shè)q?為單位向量，滿足|2/-02卜&,。=《+02,6=36+02，設(shè)的夾角為。，則cos20的

可能取值為（）

A19-20「28c38

A.—B.—C.—D.—

29292929

【變式1-1】已知向量。=（1,2）,力=（-左2,1）,keR,a，b的夾角為6,若存在實(shí)數(shù)使得|小。$。-若根>。,

則m的取值范圍是（）

A.f-1-

B.（0,+。）

C.I-00,11

D.—00,—

2

【變式1-2］已知平面向量a,6,滿足口=1,且對任意實(shí)數(shù)2,有卜-XapI,設(shè)匕與6一°夾角為0,貝UcosE

的取值范圍是（）

A.（°，圖B.［0,|］C.惇"D,［|,1］

【變式1-3］已知單位向量q,g的夾角為6。°，向量。=啊+*2，,fil<x<2,l<y<2,設(shè)向量〃與q的

夾角為C,則cosa的最大值為（）

逅也「5近「2幣

A.B.Vz.------LJ.------

43147

題型05投影與投影向量：投影數(shù)量

【解題攻略】

若a=（七,乂）、b=（%2，%），則

砂_x1x2+y1y2

。在?方向上的投影為：|a|cos6=-⑸&+4

【典例1-1］（2023下?遼寧葫蘆島?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量。=（虛,1）,6=（2忘,-1）,則向量°在向

量B上的投影的數(shù)量為（）

A-TBYC.-D.1

3

【典例1-2】已知I。1=2,向量。在向量。上的投影為近，則。與6的夾角為（）

71-兀

A.—B.—C

36-TD-T

【變式1-1X2024.全國?模擬預(yù)測）已知向量。=（1,右），人=（-2,機(jī)），若向量&在向量方向上的投影為-6,

則機(jī)的值為（）

「2指2A/3

A.73B.-6X_Z.--------N\-J.-----

33

向量建（）（）則〃在方方向上投影的數(shù)量為（）

【變式1-2］（2023?遼寧丹東?統(tǒng)考一模）2,1,b=-3,4,

A2石口2C.-D.型

5555

【變式1-3］（2022上.云南昆明.高三昆明市第三中學(xué)校考期末）已知向量a=（1,2）,向量b=（3,-4）,則向

量。在向量6方向上的投影數(shù)量為（）

A.-2B.-1C.1D.2

題型06投影與投影向量：投影向量

【解題攻略】

若a=（七,乂）、6=（孫％），則。在力士施投影向量：

【典例1-1】（2023?全國?模擬預(yù)測）已知向量a=（/l+l,2）/=（l,-X）,若a'b，貝U向量c=（l,2）在向量a+b

上的投影向量為（）

A.（3,1）B.（1,3）

【典例1-2】（2023上?山東?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量a=（l,2）,b=（3,l）,則a在0上的投影向量

（8石6百

【變式1-1］（2023?廣西?模擬預(yù)測）向量a=（2&2）在向量力=（1，⑹上的投影向量為（）

【變式1-2］（2023?廣東?東莞市東華高級中學(xué)校聯(lián)考一模）已知。=（1,3）,6=（2,5）,則向量。在向量方上

的投影向量為（）

【變式1-3］（2023.全國.模擬預(yù)測）向量a=（l,2）,6=（-2,-1）,那么向量a-b在。上的投影向量為（）

題型07線性運(yùn)算：雞爪基礎(chǔ)型

uun3yLm1uu?UUD21011uura

C.AP=-AB——ACD.AP=-AB+-AC

一2233

,__3

【典例1?2】如圖，若Q4=Q,OB=b，O0=c，點(diǎn)3是線段AC上一點(diǎn)，且A3=yAC.若b=4a+g

則（）

23

B.4=—,R=—

55

。41

D./l=一,u.=一

55

【變式1?1】在一ABC中，M為邊的中點(diǎn)，^CM=mAB+nAC^則加+川=（）

A.1B.-1C.0D.不確定

【變式1?2］如圖，在,ABC中，BD=2DC，AD=mAB+nAC9則加〃=（）

A

1

cD

2-

【變式1-3］設(shè)。為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，AD=3AB，貝1J()

A.CD=3CA-2cBB.CD=3CA+2CB

C.CD=—2CA—3cBD.CD=-2CA+3cB

題型08線性運(yùn)算：四邊形

【解題攻略】

四邊形基底線性運(yùn)算，可以用基底推導(dǎo)，也可以通過特殊化構(gòu)造坐標(biāo)系設(shè)點(diǎn)計(jì)算

【典例1-1］（2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)E滿足2。=48萬，

CE=ABA+juBC（A,/zeR）,則加=（）

【典例1-2】（2023春?河北石家莊?高三校聯(lián)考）如圖，在平行四邊形ABCD中，AMAMB，DN=心，

（4〃eR）,^MN=-^AB+AD,則下列關(guān)系正確的是（

)

1_____

B.〃-2=3

〃+14+13

111

C---------------——D.%—4=3

?2+1n+13

【變式1-1］（2023春?海南?高三校）如圖，在等腰梯形ABCD中，ADUBC,AB=BC=CD=3AD,點(diǎn)、E

為線段8的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段8c上的一點(diǎn)，且FC=5BF,則尸E=（）

-BC+-BAC.-BC+-BAD.-BC+-BA

32433422

【變式1-2］.（2023春?江蘇鹽城?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，E是線段5D的中點(diǎn),

若=+則〃?+〃的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

【變式1-3］（2023秋?新疆博爾塔拉?高三校考開學(xué)考試）如圖，在平行四邊形ABC。中，￡是2C的中點(diǎn),

F是線段AE上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn),則。戶等于（）

B.-AB--AD

33

13

C.-AB--ADD.-AB--AD

3634

題型09基底：換基底型

【解題攻略】

若華、4是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任一向量〃，有且只有一對實(shí)數(shù)4、4,

特別提醒：不共線的向量4、4叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；

基底的不唯一性：只要兩個(gè)向量不共線，就可以作為平面的一組基底，對基底的選取不唯一，平面內(nèi)任意

向量〃都可被這個(gè)平面的一組基底,、4線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的.

【典例1-1］設(shè)向量｛竹?｝是平面內(nèi)一個(gè)基底，且〃=q+24乃=-q+4，則向量q+與可以用另一個(gè)基底

表示，即%+e2.

【典例1?2】已知a=—6+34，b-4^+2^2,c=—3,+24,右以人與c為一'組基底，則用匕與c表不〃=

【變式1”】若a,4是一組基底，向量7=xa+y尸（x,"R）,則稱（%,y）為向量/在基底a,夕下的坐標(biāo)，

現(xiàn)已知向量〃在基底p=（1,-1）,4=（2,1）下的坐標(biāo)為（一2,2）,則〃在另一組基底根=（—1,1）,〃=（1,2）下的坐

標(biāo)為________

【變式1?2］設(shè)q?是平面內(nèi)一組基底，且1=令+2%，b=-ex+/，則向量q+6可以表示為另一組基底

的線性組合，即q+6二—.

【變式1.3】已知令與與不平行，且a=—q+3e2，b=4e1+2^2,c=-3e1+12^2,若以人、d為一組基底,

則〃用Z?、c可表示為

題型10基底：兩線交點(diǎn)型

【解題攻略】

向量共線定理（兩個(gè)向量之間的關(guān)系）：向量6與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)X,使得

b=Aa-

變形形式：已知直線/上三點(diǎn)A、B、P,。為直線/外任一點(diǎn)，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)X,使得：

OP=（l-AyOA+AOB.

特別提醒：共線向量定理應(yīng)用時(shí)的注意點(diǎn)：向量共線的充要條件中要注意“aw0”，否則幾可能不存在，也

可能有無數(shù)個(gè).證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)

兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線；另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說明這

兩條直線不重合.

【典例1-1】（2023?陜西咸陽?統(tǒng)考三模）如圖，在ABC中，點(diǎn)。為8C邊的中點(diǎn)，O為線段AQ的中點(diǎn),

連接CO并延長交于點(diǎn)E,設(shè)A8=a,AC=6，則CE=（）

13,?1

A.—a——bB.-a-b

444

113

C.—a—bD.—a-----b7

334

AF1

【典例1?2】（2023?高一課時(shí)練習(xí)）如圖，在ABC中,是8C邊上的中線，尸是A。上的一點(diǎn)，且不1=二,

FD5

連接CT并延長交A3于￡,若A石=4防，則2等于（）

D-A

【變式14】（2022.全國?高一專題練習(xí)）在△Q4B中，已知QA=3OC，OB=2OD，且AO與的交點(diǎn)為

M,石是04中點(diǎn)，又直線ME與線段03交于點(diǎn)凡若OF=4OB,則實(shí)數(shù)X的值為.

【變式1?2】（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，平行四邊形A3C0的兩條對角線相交于點(diǎn)。7AE=5AB，

AD=4AF^石廠交AC于點(diǎn)K,AK=WA，則實(shí)數(shù)丸的值為.

【變式1-3］（2023春.湖南岳陽.高一湖南省校考期末）在11ABe中，BE=gEC,D是AC

..X

的中點(diǎn)，^AC=xAE+yBD,則一=（）

y

A.士B.2C.-D.3

22

題型U基底：面積比值型

【典例1-1］（2023春?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)。、P為一ABC內(nèi)的兩點(diǎn)，且滿足AD=e（A2+AC）,

AP=AD+~BC,則於皿=

103△ABC

32

【典例1?2】（2023?全國?高三專題練習(xí)）若點(diǎn)M是.ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：AM=~AB+-AC.則

與ABC的面積之比為.

］1\13

【變式1-1］（2023春?全國?高三專題練習(xí)）四邊形ABCD中，=。。=。，1），冏氏4+6⑶=內(nèi)即，

nAnCn/J

則四邊形ABC。面積為（）

A.73B.72C.2D.

13

【變式1-21（2023春?四川南充?高三校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)。、G為」ABC所在平面內(nèi)的點(diǎn)，AD=-AB+-AC

44f

AG=^（AB+AC）,記SBC、S△物分別為，ABC、BDG的面積，那么沁（）

3'7^AABC

【變式1-3］（2023春?高三單元測試）已知點(diǎn)。為ABC所在平面上一點(diǎn)，且滿足04+408+（1+%）000,

若QC的面積與，。鉆的面積比值為1:4,貝□的值為（）

A.gB.-C.2D.3

23

題型12基底：趙爽弦圖型

【典例1-D我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”.

如圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.已知"E=2EB,M為線段AB的中

點(diǎn)，設(shè)戶為中間小正方形EFG”內(nèi)一點(diǎn)（不含邊界）.若MP=4ME-MB，則X的取值范圍為.

Dp；—----------fC

M'B

【典例1-2】趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家，大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓

方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組

成）.類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的

一個(gè)較大的等邊三角形，設(shè)DF+2AF=0，若AD=4AB+〃AC,則可以推出九一〃=.

【變式1-1】《周髀算經(jīng)》是我國最早的數(shù)學(xué)典籍，書中記載：我國早在商代時(shí)期，數(shù)學(xué)家商高就發(fā)現(xiàn)了勾

股定理，亦稱商高定理三國時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了如圖1的“勾股圓方圖”（以弦為邊長得到的正方形ABCD

是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的那個(gè)小正方形組成），用數(shù)形結(jié)合法給出了勾股定理的詳細(xì)證明.

現(xiàn)將“勾股圓方圖”中的四條股延長相同的長度得到圖2.在圖2中，若A/=6,BF=4M,G,尸兩點(diǎn)間的

距離為2而■，則“勾股圓方圖”中小正方形的面積為（）

A.9B.4C.3D.8

【變式我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為

“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖”

中，已知===,則人石=（）

A.與+~B,3。+絲b34-

C.D.-a+-b

252525255555

題型13數(shù)量積最值范圍

【解題攻略】

求最值基本思維：

（1）應(yīng)用平面向量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減

或數(shù)乘運(yùn)算.

（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論

表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.

（3）具有特殊條件向量，可以考慮三角換元求最值

【典例1-1】（2023秋?河北保定?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知邊長為2的菱形ABC。中，點(diǎn)尸為題）上一動(dòng)

點(diǎn)，點(diǎn)E滿足BE=3EC，AEBD=-^,則A尸"的最大值為（）

24

A.0B.-C.-D.3

33

【典例1-2】（2023?河北滄州?校考三模）在.ABC中，若===|聯(lián)|=|淺|=2,A=120°,

則APAB的取值范圍為（）

A.[—2,8]B.[—2,6]C.[T,6]D.[T，8]

【變式1-1]（2024秋.內(nèi)蒙古呼和浩特?高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知定點(diǎn)尸（2,1）,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A是圓。

上的一點(diǎn)，且圓。的半徑為1,則PA-PO的最大值為（）

A.5B.3+75C.5+75D.8

【變式1-2]（2023秋?云南大理?高三云南省下關(guān)第一中學(xué)校考開學(xué)考試）設(shè)一ABC的內(nèi)角A&C的對邊分

別為a,6,c,且62+c2+6c=q2,若角A的內(nèi)角平分線AD=2,則24AC的最小值為（）

A.8B.4C.16D.12

【變式1-3]（2023春?北京海淀?高三清華附中校考）已知卜耳=1,|CD|=2,AD-AC=\AC^,則CHCD的

最大值為（）_

A.1B.2C.2-72D.4

題型14范圍最值型：建系法

【典例1-1】（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知平面向量b，C滿足|a|=l,叫=2,|c|=3,且

則|a+b-c|的取值范圍是（）

A.[3-君,3+百]B.（3,6）C.（3,3+75]D.[3-75,6）

【典例1-2]（2023春?廣東東莞?高三東莞市東莞中學(xué)松山湖學(xué)校校考階段練習(xí)）在扇形。45中，。4=2,

ZAOB=90°,M是。4中點(diǎn)，點(diǎn)P在弧AB上，則尸匠心的最小值為（）

A.0B.2C.4-3亞D.4-275

【變式1-1]（2023秋?江西撫州?高三江西省樂安縣第二中學(xué)校考開學(xué)考試）在平面四邊形ABC。中，

AB=BC=2CD=2,ZABC=60,ZAZ）C=90,若P為邊8c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PAJC的最小值是（）

【變式1-2]（2023春?重慶沙坪壩?高三重慶一中校考階段練習(xí)）已知長方形ABC。的邊長AB=2,BC=1,

P,。分別是線段BC,C。上的動(dòng)點(diǎn)，ZPAQ=45°,則的最小值為（）

A.三B.4A/3—6

C.4A/2+4D.4忘-4

【變式1-3]（2023春.湖南永州.高三永州市第一中學(xué)校考開學(xué)考試）已知；MC是邊長為4的等邊三角形,

尸為..ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，貝|尸4（尸3+尸。）的最小值為（）

A.—8B.—6C.—4D.—2

高考練場

1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）若非零向量入滿足口=忖，（。-2方），“，則向量°與％的夾角為（）

,71—兀-2兀571

A.—B.-C.—D.—

6336

2.（2021?北京?中國人民大學(xué)附屬中學(xué)朝陽學(xué)校高三階段練習(xí)）已知〃=（-6,-1）/=（1,代），那么私的夾角

0=（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

3.（2022.山西.懷仁市大地學(xué)校高中部高三階段練習(xí)）設(shè)向量三=（2,0）,&=（1,1）,則a與a-b夾角的余弦

值為（）

A.0B.—C.-也D.1

22

4..已知向量a、b,滿足同=1,|b|=2,若對任意模為2的向量c，均有,七|+電。|<2夕，則向量0、b

夾角的取值范圍是（）

A.[0,勺B.JmC.4,勺D.[0,與

33633

5.（2022上.北京?高三階段練習(xí)）已知a=（-l,0,-1）力=（1,1,2）,則向量a在b方向上的投影數(shù)量為（）

A.一3B.--C.-逑D.漁

222

6.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知向量。=（-2,1）=（3,0）,e是與b方向相同的單位向量，貝?在b上的投

影向量為（）

A.一非eB.y/5e

C.-2eD.2e

21

7.在一ABC中，BC=2BD，S.AD=-AB+-ACf則;1=（）

2i

A.2B.3C.-D.-

Jz

8.（2022春.陜西安康.高三校考）如圖，在梯形ABCD中，BC=2ADDE=EC,設(shè)BA=a，BC=b，則

BE=（）

11,cl5,

A.-a+-bB.-CLH—b

2436

〃13]22

C.—a+—bD.—a—b

2433

9.若｛&4｝是一個(gè)基底，向量/=xa+y￡（x,yeR）,則稱（x,y）為向量/在基底｛a,/?｝下的坐標(biāo).現(xiàn)已知

7^=（1,-1）,q=（2,l）,加=（-1,1）,?=（1,2）,向量°在基底｛p,4｝下的坐標(biāo)為（一2,2）,則“在基底｛/，力下

的坐標(biāo)為.

10..如圖，在ABC中，已知AB=2,AC=8,ZBAC=60°,BC、AC邊上的兩條中線AM、BN相交于點(diǎn)

P,則AR在2P上的投影為（）

8A/74A/3

~nD.

11.（2021秋?湖南?高三周南中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）在中，E為AC上一點(diǎn)，AC=3AE，尸為BE上任

31

一點(diǎn)，AD^mAB-AF=nAC>Cm>0,〃>0）,若4P=A￡>+Ab，則當(dāng)一+—取最小值時(shí)，四邊形ADPb

mn

的面積與一ABC的面積之比等于.

12.“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成.現(xiàn)仿照趙爽弦圖，

用四個(gè)三角形和一個(gè)小平行四邊形構(gòu)成如下圖形，其中，E,F,G,H分別是。尸，AG,BH,CE的

中點(diǎn)，^AG=xAB+yAD,則2x+y等于（）

55

13.（2022春?高三單元測試）若平面向量Z,b,c滿足卜-2@=2,aVb，c-（a+2b-2c）=-4,則=心+2%）的取

值范圍是（）

A.[-2,4]B.[-1,3]C.[1,5]D.[1,4]

14.（2023春?浙江臺州?高三溫嶺中學(xué)校考）已知尸是邊長為2的正六邊形A5CDEF內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，M

為邊BC的中點(diǎn)，則的取值范圍是（）

A.[-2,6]B.[-1,9]C.[-2,4]D.[-1,6]

第十三講向量性質(zhì)與基本定理應(yīng)用

目錄

題型01向量夾角：模型夾角.......................................................................1

題型02向量夾角：坐標(biāo)型........................................................................2

題型03向量夾角：復(fù)合型........................................................................2

題型04向量夾角：恒成立與最值型.................................................................3

題型05投影與投影向量：投影數(shù)量.................................................................4

題型06投影與投影向量：投影向量.................................................................4

題型07線性運(yùn)算：雞爪基礎(chǔ)型.....................................................................5

題型08線性運(yùn)算：四邊形........................................................................6

題型09基底：換基底型..........................................................................7

題型10基底：兩線交點(diǎn)型........................................................................8

題型11基底：面積比值型........................................................................9

題型12基底：趙爽弦圖型........................................................................9

題型13數(shù)量積最值范圍..........................................................................11

題型14范圍最值型：建系法......................................................................11

高考練場.................